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Decentralized Best-Response-Based Learning in Two-Player Zero-Sum Stochastic Games: A Finite-Sample Analysis

यह शोध पत्र दो-खिलाड़ी शून्य-योग (zero-sum) मैट्रिक्स और स्टोकेस्टिक खेलों के लिए विकेंद्रीकृत, पे-ऑफ-आधारित बेस्ट-रिस्पॉन्स लर्निंग एल्गोरिदम का एक परिमित-नमूना (finite-sample) विश्लेषण प्रस्तुत करता है, जो एक नवीन कपल्ड लयापुनोव-ड्रिफ्ट (coupled Lyapunov-drift) ढांचे के माध्यम से क्रमशः $\mathcal{O}(\epsilon^{-1})$ और $\tilde{\mathcal{O}}(\epsilon^{-8})$ के नमूना जटिलता (sample complexity) सीमाओं को स्थापित करता है जो परस्पर क्रिया करने वाले स्टोकेस्टिक इटरेट्स और गैर-स्थिर सैंपलिंग को संभालता है।

मूल लेखक: Zaiwei Chen, Kaiqing Zhang, Eric Mazumdar, Asuman Ozdaglar, Adam Wierman

प्रकाशित 2026-06-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Zaiwei Chen, Kaiqing Zhang, Eric Mazumdar, Asuman Ozdaglar, Adam Wierman

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

दो लोगों की कल्पना करें जो शतरंज का एक उच्च-दांव वाला खेल खेल रहे हैं, लेकिन इसमें एक मोड़ है: वे अलग-अलग कमरों में हैं, वे एक-दूसरे से बात नहीं कर सकते, और वे यह भी नहीं जानते कि खेल के नियम क्या हैं या उनका प्रतिद्वंद्वी क्या कर रहा है। वे केवल एक चीज़ जानते हैं: हर बार जब वे कोई चाल चलते हैं, तो उन्हें एक स्कोर (एक इनाम) मिलता है या अंक खोने पड़ते हैं।

यह शोध पत्र इन दोनों खिलाड़ियों को यह सिखाने के बारे में है कि वे आपस में खेलने का सबसे अच्छा तरीका कैसे सीखें, पूरी तरह से 'ट्रायल एंड एरर' (प्रयास और त्रुटि) के माध्यम से, बिना कभी एक-दूसरे की रणनीति देखे। लेखक इसे "विकेंद्रीकृत शिक्षण" (decentralized learning) कहते हैं।

यहाँ उनके काम का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

समस्या: अंधेरे में सीखना

वास्तविक दुनिया की कई स्थितियों में (जैसे कि एक साथ काम करने वाली सेल्फ-ड्राइविंग कारों या रोबोट्स में), कई "एजेंट्स" (खिलाड़ियों) को निर्णय लेने होते हैं। कभी-कभी वे सहयोग करना चाहते हैं, लेकिन अक्सर वे प्रतिस्पर्धी होते हैं (जैसे कि एक ज़ीरो-सम गेम में जहाँ एक जीतता है और दूसरा हारता है)।

चुनौती यह है कि अधिकांश लर्निंग एल्गोरिदम यह मान लेते हैं कि खिलाड़ियों के पास बात करने या एक-दूसरे की चालें देखने की क्षमता है। यह शोध पत्र पूछता है: क्या हम एक ऐसी लर्निंग सिस्टम डिज़ाइन कर सकते हैं जहाँ खिलाड़ी पूरी तरह से स्वतंत्र रूप से कार्य करें, केवल अपने स्वयं के स्कोर को देखें, और फिर भी एक आदर्श रणनीति खोज सकें?

समाधान: "स्मूद्थ बेस्ट रिस्पॉन्स" (Smoothed Best Response)

लेखक एक विशिष्ट प्रकार के लर्निंग पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिसे "बेस्ट रिस्पॉन्स" कहा जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक खेल खेल रहे हैं। एक "बेस्ट रिस्पॉन्स" पिछले बार आपके प्रतिद्वंद्वी ने क्या किया था उसे देखने और यह सोचने जैसा है कि, "यदि मैं यह विशेष चाल चलता हूँ, तो मैं सबसे अधिक अंक जीतूँगा।"
मोड़: वास्तविक दुनिया में, आप 100% निश्चित नहीं हो सकते कि प्रतिद्वंद्वी अगली बार क्या करेगा। इसलिए, लेखक इसके "स्मूद्थ" संस्करण का उपयोग करते हैं। एक ही सटीक चाल चुनने के बजाय, खिलाड़ी चालों का एक मिश्रण चुनता है जो मुख्य रूप से जीतने वाली रणनीति के पक्ष में होता है लेकिन थोड़ी जगह यादता (randomness) के लिए छोड़ देता है। यह खिलाड़ियों को बुरी आदतों के चक्र में फंसने से रोकता है।

दो परिदृश्य (Scenarios)

1. मैट्रिक्स गेम (सरल अरीना)
इसे रॉक-पेपर-सिज़र्स के खेल के रूप में सोचें। यहाँ बदलती हुई अवस्थाएँ (states) नहीं हैं; आप बस एक चाल चुनते हैं, एक स्कोर प्राप्त करते हैं, और दोहराते हैं।

परिणाम: लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि दोनों खिलाड़ी इस "स्मूद्थ बेस्ट रिस्पॉन्स" पद्धति का उपयोग करते हैं, तो वे अंततः खेल के एक स्थिर पैटर्न (नैश इक्विलिब्रियम) को सीख लेंगे।
सावधानी: बिना थोड़ी अतिरिक्त मदद के, सीखना धीमा और अक्षम है। यह घास के ढेर में सुई खोजने जैसा है जहाँ आप एक समय में केवल एक ही स्थान को देखते हैं।
समाधान: उन्होंने एक "एक्सप्लोरेशन" (Exploration) फीचर जोड़ा। यह खिलाड़ियों को यह बताने जैसा है कि, "समय-समय पर, यह देखने के लिए कि क्या होता है, पूरी तरह से रैंडम चाल चुनें।" इस छोटे से बदलाव ने उन्हें यह सिद्ध करने में सक्षम बनाया कि खिलाड़ी बहुत तेज़ी से (गणितीय रूप से, समय जिसे लिया जाता है वह एक प्रबंधनीय दर से बढ़ता है, न कि असंभव दर से) आदर्श रणनीति पा सकते हैं।

2. स्टोकेस्टिक गेम (जटिल अरीना)
अब, कल्पना कीजिए कि खेल एक वीडियो गेम की तरह है जिसमें स्तर (levels) हैं। आप एक जंगल में हैं, आप एक रास्ता चुनते हैं, और जंगल बदल जाता है। आप एक गुफा या पहाड़ में पहुँच सकते हैं। आपका लक्ष्य लंबे समय तक जीतने का है, न कि केवल एक चाल के लिए।

चुनौती: यह बहुत कठिन है क्योंकि खिलाड़ियों को न केवल अपनी वर्तमान चाल को याद रखना होगा, बल्कि यह भी कि उनकी चाल भविष्य के "मैप" को कैसे बदलती है।
समाधान (VI-SBR): लेखकों ने वैल्यू इटरेशन विद स्मूद्थ बेस्ट रिस्पॉन्स (VI-SBR) नामक एक नया एल्गोरिदम बनाया।
- आउटर लूप (मैप): एल्गोरिदम का एक हिस्सा मैप के विभिन्न स्थानों के "मूल्य" (value) का अनुमान लगाने की कोशिश करता है (जैसे, "गुफा 10 अंक की है, पहाड़ 5 अंक का है")।
- इनर लूप (चालें): दूसरा हिस्सा वर्तमान स्थान में कौन सी चाल चलनी है, यह तय करने के लिए "स्मूद्थ बेस्ट रिस्पॉन्स" पद्धति का उपयोग करता है।
परिणाम: भले ही खिलाड़ी अलग-अलग कमरों में हों और खेल लगातार बदल रहा हो, यह एल्गोरिदम सिद्ध करता है कि वे अभी भी आदर्श रणनीति सीख सकते हैं। उन्होंने दिखाया कि "एक्सप्लोरेशन" सुधार के साथ, वे एक उचित समय में जीतने वाली रणनीति पा सकते हैं।

गुप्त हथियार: "कप्ल्ड लियापुनोव-ड्रिफ्ट" (Coupled Lyapunov-Drift) फ्रेमवर्क

यह भारी गणित वाला हिस्सा है, लेकिन यहाँ इसका सरल संस्करण है:
जब दो लोग एक साथ सीख रहे होते हैं, तो उनकी प्रगति आपस में जुड़ी होती है। यदि खिलाड़ी A तेज़ी से सीखता है, तो यह खिलाड़ी B के लिए वातावरण को बदल देता है, जो खिलाड़ी B के सीखने के तरीके को बदल देता है, जो फिर से खिलाड़ी A को बदल देता है। यह एक उलझा हुआ जाल है।

लेखकों ने एक गणितीय "सुरक्षा जाल" (जिसे कप्ल्ड लियापुनोव-ड्रिफ्ट फ्रेमवर्क कहा जाता है) बनाया है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि दो हाइकर कोहरे में एक पहाड़ पर चढ़ रहे हैं, और उनके बीच एक लंबी रस्सी बंधी है। वे शिखर को नहीं देख सकते, लेकिन वे रस्सी के तनाव (tension) को महसूस कर सकते हैं।
लेखकों ने एक गणितीय उपकरण बनाया जो रस्सी में "तनाव" (त्रुटि/error) को ट्रैक करता है। उन्होंने सिद्ध किया कि चाहे हाइकर लड़खड़ाएं या कोहरा कैसे भी बदले, रस्सी का तनाव अंततः कम होता जाएगा, जिससे वे दोनों शिखर (परफेक्ट रणनीति) की ओर खिंचते चले जाएंगे। यह उपकरण गणितीय रूप से गारंटी देता है कि सीखने की प्रक्रिया नियंत्रण से बाहर नहीं जाएगी।

दावों का सारांश

विकेंद्रीकृत (Decentralized): खिलाड़ियों को एक-दूसरे से बात करने या देखने की आवश्यकता नहीं है; उन्हें केवल अपने स्वयं के स्कोर की आवश्यकता है।
सममित (Symmetric): दोनों खिलाड़ी बिल्कुल एक ही लर्निंग नियमों का उपयोग करते हैं।
पर्याप्त तेज़: थोड़ा सा रैंडम "एक्सप्लोरेशन" जोड़कर, खिलाड़ी एक ऐसे समय में आदर्श रणनीति पा सकते हैं जो गणितीय रूप से अनुमानित और कुशल है (विशेष रूप से, समय वांछित सटीकता के 8वें घात के साथ बढ़ता है, जो इस विशिष्ट प्रकार के एल्गोरिदम के लिए पिछले तरीकों की तुलना में एक महत्वपूर्ण सुधार है)।
मजबूत (Robust): गणित तब भी कायम रहता है जब खेल जटिल और समय के साथ बदलने वाला हो।

संक्षेप में, यह शोध पत्र गणितीय प्रमाण प्रदान करता है कि दो जिद्दी, मौन प्रतिस्पर्धी एक-दूसरे के खिलाफ एक आदर्श खेल खेलना सीख सकते हैं, बशर्ते वे कुछ नया सीखने के लिए कभी-कभी एक रैंडम चाल चलाने के लिए तैयार हों।

तकनीकी सारांश: दो-खिलाड़ी शून्य-योग स्टोकेस्टिक गेम्स में विकेंद्रीकृत बेस्ट-रिस्पॉन्स-आधारित लर्निंग

1. समस्या का निरूपण (Problem Formulation)

यह शोध पत्र दो-खिलाड़ी शून्य-योग (two-player zero-sum) गेम्स में विकेंद्रीकृत लर्निंग (decentralized learning) की चुनौती को संबोधित करता है, जो विशेष रूप से मैट्रिक्स गेम्स और अनंत-क्षित डिस्काउंटेड स्टोकेस्टिक (मार्कोव) गेम्स पर केंद्रित है। इस परिवेश की विशेषताएं निम्नलिखित हैं:

विकेंद्रीकरण (Decentralization): खिलाड़ी केवल अपने स्वयं के स्टेट (state) और प्राप्त पे-ऑफ (payoff) को देखते हैं। उनके पास प्रतिद्वंद्वी की पॉलिसी, क्रियाओं (actions), या गेम के ट्रांजिशन/रिवॉर्ड मैट्रिसेस तक पहुंच नहीं होती (मॉडल-मुक्त)।
स्वतंत्रता (Independence): खिलाड़ी बिना किसी स्पष्ट समन्वय या संचार के अपनी नीतियों (policies) को अपडेट करते हैं।
तार्किकता (Rationality): लर्निंग डायनेमिक्स यह सुनिश्चित करने चाहिए कि यदि प्रतिद्वंद्वी एक स्थिर पॉलिसी (stationary policy) खेलता है, तो खिलाड़ी एक 'बेस्ट रिस्पॉन्स' की ओर अग्रसर हो।
लक्ष्य: पारंपरिक स्पर्शोन्मुख (asymptotic) अभिसरण विश्लेषणों से आगे बढ़कर, $\epsilon$ -नैश इक्विलिब्रियम ( $\epsilon$ -NE) या $\epsilon$ -नैश डिस्ट्रीब्यूशन खोजने के लिए फाइनाइट-सैंपल गारंटी (सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी) स्थापित करना।

यह शोध पत्र बेस्ट-रिस्पॉन्स-आधारित लर्निंग एल्गोरिदम पर ध्यान केंद्रित करता है, जहाँ खिलाड़ी प्रतिद्वंद्वी की वर्तमान रणनीति के अनुमानित स्मूथेड बेस्ट रिस्पॉन्स (smoothed best response) की ओर अपनी नीतियों को क्रमिक रूप से अपडेट करते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक दो प्राथमिक एल्गोरिदम का प्रस्ताव और विश्लेषण करते हैं, एक मैट्रिक्स गेम्स के लिए और एक स्टोकेस्टिक गेम्स के लिए इसका विस्तार।

A. मैट्रिक्स गेम्स: पे-ऑफ-आधारित विकेंद्रीकृत लर्निंग
लेखक एक एल्गोरिदम (एल्गोरिदम 1) का विश्लेषण करते हैं जो मूल रूप से [36] में प्रस्तावित किया गया था, जो केवल पे-ऑफ फीडबैक का उपयोग करके सिंगल टाइमस्केल (या मल्टीप्लिकेटिव स्टेपसाइज़ अंतर के साथ) पर संचालित होता है।

तंत्र (Mechanism): प्रत्येक खिलाड़ी प्रतिद्वंद्वी की पॉलिसी-वेटेड पे-ऑफ मैट्रिक्स ( $R_i \pi_{-i}$ ) का अनुमान लगाने के लिए एक $q$ -फंक्शन बनाए रखता है। पॉलिसी को इस अनुमानित $q$ -फंक्शन के स्मूथेड बेस्ट रिस्पॉन्स (सॉफ्टमैक्स) के माध्यम से अपडेट किया जाता है।
एक्सप्लोरेशन (Exploration) संबंधी समस्या: मानक सॉफ्टमैक्स पॉलिसी टेम्परेचर पैरामीटर $\tau$ के सापेक्ष घातीय रूप से (exponentially) छोटी एक्शन प्रोबेबिलिटी की निचली सीमा (lower bound) की ओर ले जाती है। यह "एक्सप्लोरेशन की कमी" $\epsilon$ -NE खोजने के लिए सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी को $\epsilon^{-1}$ के घातीय (exponential) बना देती है।
समाधान: लेखक एक $\bar{\epsilon}$ -एक्सप्लोरेशन वेरिएंट (एल्गोरिदम 2) पेश करते हैं। यह एक समान एक्सप्लोरेशन घटक को शामिल करने के लिए पॉलिसी अपडेट को संशोधित करता है: $\sigma_{\bar{\epsilon}}^\tau(q) = \bar{\epsilon} \cdot \text{Unif} + (1-\bar{\epsilon}) \cdot \sigma^\tau(q)$ । यह मापदंडों के बहुपद (polynomial) में एक्शन प्रोबेबिलिटी की एक समान निचली सीमा सुनिश्चित करता है, जिससे बहुपद सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी सक्षम होती है।

B. स्टोकेस्टिक गेम्स: स्मूथेड बेस्ट-रिस्पॉन्स के साथ वैल्यू इटरेशन (VI-SBR)
स्टोकेस्टिक गेम्स के लिए, लेखक एल्गोरिदम 3 (VI-SBR) विकसित करते हैं, जो मैट्रिक्स-गेम प्रिमिटिव को मिनिमैक्स वैल्यू इटरेशन के साथ जोड़ता है।

संरचना: एल्गोरिदम में एक आउटर लूप है जो विकेंद्रीकृत, मॉडल-मुक्त मिनिमैक्स वैल्यू इटरेशन करता है और एक इनर लूप है जो प्रत्येक स्टेट पर प्रेरित सहायक (auxiliary) मैट्रिक्स गेम्स के लिए स्मूथेड बेस्ट-रिस्पॉन्स लर्निंग चलाता है।
प्रमुख चुनौती: विकेंद्रीकृत सेटिंग में, खिलाड़ी स्वतंत्र वैल्यू फंक्शन ( $v^1_t, v^2_t$ ) बनाए रखते हैं। फलस्वरूप, प्रत्येक स्टेट पर प्रेरित सहायक मैट्रिक्स गेम्स लर्निंग प्रक्रिया के दौरान सटीक रूप से शून्य-योग (zero-sum) नहीं होते ( $T^1(v^1_t) + T^2(v^2_t) \neq 0$ )।
एक्सप्लोरेशन संवर्धन: मैट्रिक्स गेम मामले की तरह ही, लेखक बहुपद सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी सुनिश्चित करने के लिए एल्गोरिदम 4 (VI-SBR के साथ $\bar{\epsilon}$ -एक्सप्लोरेशन) का प्रस्ताव करते हैं।

3. तकनीकी योगदान और ढांचा (Technical Contributions and Framework)

मुख्य तकनीकी योगदान विकेंद्रीकृत लर्निंग में जटिल अंतःक्रियाओं को संभालने के लिए एक कपल्ड ल्यपुनोव-ड्रिफ्ट फ्रेमवर्क (Coupled Lyapunov-Drift Framework) का विकास करना है।

कपल्ड इटरेट्स (Coupled Iterates): विश्लेषण को एक साथ कई परस्पर क्रिया करने वाले स्टोकेस्टिक इटरेट्स को ट्रैक करना चाहिए: पॉलिसियाँ ( $\pi$ ), स्थानीय $q$ -फंक्शंस ( $q$ ), और वैल्यू फंक्शंस ( $v$ )।
नॉन-जीरो-सम सहायक गेम्स: फ्रेमवर्क एक ल्यपुनोव फंक्शन ( $L_{sum}$ ) पेश करता है जो स्वतंत्र वैल्यू फंक्शन अपडेट के कारण होने वाले नॉन-जीरो-सम नेचर से उत्पन्न त्रुटि को ट्रैक करता है।
टाइम-इनहोमोजेनियस नॉइज़ (Time-Inhomogeneous Noise): विश्लेषण समय-परिवर्तित पॉलिसियों द्वारा उत्पन्न मार्कोवियन नॉइज़ को ध्यान में रखता है, जिसमें मिक्सिंग-टाइम तर्क और स्टेशनरी डिस्ट्रीब्यूशन की संवेदनशीलता विश्लेषण का उपयोग किया जाता है।
डिकपलिंग रणनीति (Decoupling Strategy): लेखक बूटस्ट्रैपिंग प्रक्रिया के माध्यम से कपल्ड ल्यपुनोव ड्रिफ्ट असमानताओं (inequalities) को हल करते हैं:
1. $q$ -फंक्शन त्रुटि पर एक कच्चा (crude) बाउंड प्राप्त करना।
2. पॉलिसी त्रुटि पर बाउंड को कड़ा करने के लिए इसे वापस प्रतिस्थापित करना।
3. इन कड़े बाउंड्स का उपयोग इनर-लूप त्रुटियों से वैल्यू फंक्शन अपडेट को डिकपल करने के लिए करना।

4. प्रमुख परिणाम (Key Results)

मैट्रिक्स गेम्स:

नैश डिस्ट्रीब्यूशन: एल्गोरिदम $\epsilon$ -नैश डिस्ट्रीब्यूशन (रेगुलराइज्ड नैश गैप द्वारा मापा गया) खोजने के लिए $O(\epsilon^{-1})$ की सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त करता है।
नैश इक्विलिब्रियम: एक्सप्लोरेशन-एन्हांस्ड वेरिएंट (एल्गोरिदम 2) के साथ, $\epsilon$ -नैश इक्विलिब्रियम खोजने के लिए सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी $\tilde{O}(\epsilon^{-8})$ है। यह इस सेटिंग में एक पे-ऑफ-आधारित, सिमेट्रिक और विकेंद्रीकृत बेस्ट-रिस्पॉन्स एल्गोरिदम के लिए पहली फाइनाइट-सैंपल गारंटी है।

स्टोकेस्टिक गेम्स:

नैश इक्विलिब्रियम: एक्सप्लोरेशन-एन्हांस्ड VI-SBR एल्गोरिदम (एल्गोरिदम 4) $\epsilon$ -नैश इक्विलिब्रियम खोजने के लिए $\tilde{O}(\epsilon^{-8})$ की सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त करता है।
तार्किकता (Rationality): शोध पत्र यह भी सिद्ध करता है कि यदि प्रतिद्वंद्वी एक स्थिर पॉलिसी खेलता है, तो खिलाड़ी $\tilde{O}(\epsilon^{-8})$ सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी के साथ एक बेस्ट रिस्पॉन्स प्राप्त करता है।

5. महत्व और दावे (Significance and Claims)

शोध पत्र का दावा है कि यह दो-खिलाड़ी शून्य-योग स्टोकेस्टिक गेम्स के लिए पहले विकेंद्रीकृत, बेस्ट-रिस्पॉन्स-आधारित लर्निंग एल्गोरिदम का पहला फाइनाइट-सैंपल विश्लेषण प्रदान करता है जो साथ में निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:

विकेंद्रीकरण: कोई समन्वय या प्रतिद्वंद्वी की पॉलिसी का ज्ञान नहीं।
अभिसरण (Convergence): $\epsilon$ -नैश इक्विलिब्रियम के लिए प्रमाणित फाइनाइट-सैंपल अभिसरण।
तार्किकता: स्थिर प्रतिद्वंद्वियों के विरुद्ध बेस्ट रिस्पॉन्स की ओर अभिसरण।
बहुपद जटिलता (Polynomial Complexity): सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी $\epsilon^{-1}$ के बहुपद (polynomial) में है (विशेष रूप से $\tilde{O}(\epsilon^{-8})$ ), जो समान डायनेमिक्स के पिछले विश्लेषणों में पाए गए घातीय (exponential) निर्भरता को दूर करती है।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि उनके बाउंड $\tilde{O}(\epsilon^{-8})$ हैं, समवर्ती कार्य (concurrent work) जो मिरर-डिसेंट (mirror-descent) आधारित विधियों का उपयोग करते हैं, बेहतर दरें (जैसे, $\tilde{O}(\epsilon^{-4})$ से $\tilde{O}(\epsilon^{-5})$ ) प्राप्त कर चुके हैं। हालाँकि, इस कार्य का महत्व प्राकृतिक बेस्ट-रिस्पॉन्स डायनेमिक्स (मिरर डिसेंट के बजाय) का विश्लेषण करने और उन्हें एक नवीन कपल्ड ल्यपुनोव फ्रेमवर्क के साथ स्टोकेस्टिक गेम सेटिंग में विस्तारित करने में निहित है। शोध पत्र स्वीकार करता है कि वर्तमान बाउंड संभवतः इष्टतम (optimal) नहीं हैं और फंक्शन एप्रोक्सिमेशन सेटिंग्स में इन परिणामों को विस्तारित करना एक आवश्यक भविष्य की दिशा है।