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Topological 8d $\mathcal{N}=1$ Gauge Theory: Novel Floer Homologies, and $A_\infty$ -categories of Six, Five, and Four-Manifolds

यह शोध पत्र Spin(7)-मैनिफोल्ड्स पर एक टोपोलॉजिकली-ट्विस्टेड 8d $\mathcal{N}=1$ गेज थ्योरी का उपयोग करके नवीन गेज-थ्योरेटिक फ्लोर होमोलॉजी का निर्माण करता है और दो से सात आयामों वाले मैनिफोल्ड्स के लिए $A_\infty$ -कैटेगरीज को कैटेगोरिफाई करता है, जिससे डोनाल्डसन-थॉमस थ्योरी और संबंधित क्षेत्रों में लंबे समय से चले आ रहे अनुमानों के भौतिक प्रमाण और सामान्यीकरण प्रदान होते हैं।

मूल लेखक: Arif Er, Meng-Chwan Tan

प्रकाशित 2026-06-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Arif Er, Meng-Chwan Tan

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, बहु-परतीय केक है। इस शोध पत्र में, लेखक उस केक के एक बहुत ही विशिष्ट, उच्च-आयामी हिस्से का अध्ययन कर रहे हैं: एक 8-आयामी दुनिया जो "Spin(7) गेज थ्योरी" नामक नियमों के एक समूह द्वारा संचालित है।

इस 8D दुनिया को एक विशाल, जटिल मशीन के रूप में सोचें। लेखकों का लक्ष्य यह समझना है कि जब वे इस मशीन को अलग-अलग तरीकों से "स्लाइस" (काटते) करते हैं, तो छोटे, निम्न-आयामी टुकड़ों (7D, 6D, 5D, और 4D दुनिया) में छिपे हुए पैटर्न कैसे प्रकट होते हैं।

यहाँ उनकी यात्रा का विवरण दिया गया है, सरल उपमाओं का उपयोग करते हुए:

1. बड़ी मशीन (8D थ्योरी)

लेखक 8 आयामों में चलने वाली एक सैद्धांतिक मशीन से शुरुआत करते हैं। इस मशीन का एक विशेष गुण है: यह "टोपोलॉजिकल" (topological) है, जिसका अर्थ है कि इसका व्यवहार उस स्थान के आकार पर निर्भर करता है जिसमें यह स्थित है, न कि विशिष्ट दूरियों या आकारों पर। यह एक गांठ की तरह है; आप धागे को खींच सकते हैं, लेकिन गांठ वैसी ही रहती है।

इस मशीन का "इंजन" एक विशिष्ट समीकरण (Spin(7) इंस्टेंटन समीकरण) द्वारा संचालित होता है। लेखक यह देखना चाहते हैं कि जब वे इस मशीन को प्याज की परतों को छीलने की तरह, एक-एक करके निचले आयामों तक कम करते हैं, तो क्या होता है।

2. प्याज छीलना: नई "फ्लोर होमोलॉजी" (Floer Homologies) की खोज

जब वे 8D मशीन के एक आयाम को कम करते हैं, तो वे एक 7D दुनिया में पहुँचते हैं। यहाँ, वे आकृतियों को गिनने और वर्गीकृत करने का एक नया तरीका खोजते हैं, जिसे वे "Spin(7) इंस्टेंटन फ्लोर होमोलॉजी" कहते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जटिल 7D मूर्ति है। इसे समझने के लिए, आप केवल इसे देखते नहीं हैं; आप देखते हैं कि इसके ऊपर से पानी कैसे बहता है। "फ्लोर होमोलॉजी" उन सभी संभावित पथों का एक मानचित्र है जिन्हें पानी ले सकता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि यह मानचित्र मौजूद है और यह "G2 इंस्टेंटन" नामक विशिष्ट स्थिर आकृतियों द्वारा निर्मित है।

वे इस प्रक्रिया को दोहराते हैं:

एक और आयाम कम करना (6D): वे डोनाल्डसन-थॉमस (Donaldson-Thomas) कॉन्फ़िगरेशन से संबंधित एक "होलोमॉर्फिक फ्लोर होमोलॉजी" पाते हैं। इसे एक 6D परिदृश्य के लिए एक नए प्रकार के मानचित्र के रूप में सोचें, जहाँ पथ जटिल, गणितीय "होलोमॉर्फिक" नियमों द्वारा निर्देशित होते हैं।
फिर से आयाम कम करना (5D): वे हेडिस-विटन (Haydys-Witten) कॉन्फ़िगरेशन से संबंधित 5D दुनिया के लिए एक अन्य मानचित्र पाते हैं।
फिर से आयाम कम करना (4D): वे 4D दुनिया के लिए मानचित्र पाते हैं, जो वाफा-विटन (Vafa-Witten) कॉन्फ़िगरेशन से संबंधित हैं।

बड़ा दावा: लेखक प्रसिद्ध गणितज्ञों (जैसे डोनाल्डसन, थॉमस और सलामोन) द्वारा किए गए कई गणितीय अनुमानों (conjectures) के लिए एक "भौतिक प्रमाण" प्रदान करते हैं। उन्होंने दिखाया कि ये गणितीय मानचित्र केवल अमूर्त विचार नहीं हैं; वे वास्तविक भौतिक घटनाएं हैं जो इस 8D मशीन को चलाने पर स्वाभाविक रूप से उभरती हैं।

3. "एटिए-फ्लोर" (Atiyah-Floer) पुल

इस शोध पत्र के सबसे रोमांचक हिस्सों में से एक एक ही चीज़ को देखने के दो अलग-अलग तरीकों के बीच एक पुल की खोज है।

पक्ष A: "गेज-थ्योरेटिक" मानचित्र (जो मशीन के आंतरिक इंजन द्वारा उत्पन्न होते हैं)।
पक्ष B: "सिम्प्लेक्टिक" (Symplectic) मानचित्र (जो गणित की एक अलग शाखा से आते हैं जिसमें ज्यामिति और प्रतिच्छेदन शामिल है, जैसे कि दो सड़कों का मिलना)।

लेखक दिखाते हैं कि कुछ आकृतियों के लिए (जैसे कि एक 4D सतह और एक वृत्त से बनी 6D जगह), पक्ष A और पक्ष B वास्तव में एक ही चीज़ हैं।

उपमा: यह महसूस करने जैसा है कि फ्रेंच में लिखी गई एक रेसिपी (पक्ष A) और जापानी में लिखी गई एक रेसिपी (पक्ष B) वास्तव में एक ही केक का वर्णन करती हैं। भले ही सामग्री और निर्देश अलग दिखते हों, वे समान परिणाम देते हैं। इसे "एटिए-फ्लोर द्वैतता" (Atiyah-Floer duality) कहा जाता है।

4. "मैप्स" से "कैटेगरी" (A∞-Categories) में अपग्रेड करना

अब तक, लेखक "मानचित्र" (फ्लोर होमोलॉजी) बना रहे थे। लेकिन शोध पत्र के दूसरे आधे भाग में, वे इन मानचित्रों को "कैटेगरी" (Categories) में अपग्रेड करते हैं।

उपमा:
- एक मानचित्र (होमोलॉजी) आपको बताता है कि स्थिर आकृतियाँ कहाँ हैं।
- एक कैटेगरी (A∞-category) न केवल यह बताती है कि वे कहाँ हैं, बल्कि यह भी कि वे एक-दूसरे से कैसे बात करती हैं। यह एक स्थिर शहर के मानचित्र को एक गतिशील जीपीएस सिस्टम में अपग्रेड करने जैसा है जो आपको सभी संभावित मार्ग, ट्रैफ़िक पैटर्न और यह दिखाता है कि एक सड़क दूसरे से कैसे जुड़ती है।

वे दिखाते हैं कि अपनी 8D मशीन में एक दूसरा "समय" आयाम जोड़ने से (इसे 2D मॉडल में बदलने से), परिणामी "सॉलिटन्स" (stable wave-like particles) संदेशवाहक स्ट्रिंग्स (messenger strings) की तरह कार्य करते हैं।

ये स्ट्रिंग्स विभिन्न स्थिर आकृतियों को जोड़ती हैं।
जिस तरह से ये स्ट्रिंग्स बिखरती और परस्पर क्रिया करती हैं, उससे नियमों का एक जटिल जाल (एक $A_\infty$ -category) बनता है।
यह जाल पिछले मानचित्रों को "कैटेगोरिफाई" (categorify) करता है। सरल शब्दों में, मानचित्र शहरों की सूची है; कैटेगरी उन्हें जोड़ने वाला संपूर्ण परिवहन नेटवर्क है।

5. संबंधों का भव्य जाल

अंत में, लेखक इन सभी खोजों को जोड़ने वाला एक विशाल "जाल" (शोध पत्र में चित्र 9 और 10) खींचते हैं।

वे दिखाते हैं कि कैसे 7D, 6D, 5D और 4D के मानचित्र आयामों को छोटा करने की प्रक्रिया के माध्यम से एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं (एक वंशावली की तरह)।
वे दिखाते हैं कि इन मानचित्रों के "कैटेगरी" संस्करण भी आपस में जुड़े हुए हैं।
वे सिद्ध करते हैं कि "कैटेगरी" मानचित्र का एक उच्च-स्तरीय संस्करण है।

एक वाक्य में सारांश

एक सैद्धांतिक 8-आयामी मशीन का अध्ययन करके, लेखकों ने भौतिक रूप से प्रदर्शित किया कि जटिल गणितीय मानचित्र (फ्लोर होमोलॉजी) और उनके और भी जटिल "नेटवर्क" संस्करण (A∞-categories) स्वाभाविक रूप से निम्न-आयामी दुनिया में मौजूद हैं, जिससे लंबे समय से चले आ रहे गणितीय अनुमान सिद्ध होते हैं और ज्यामिति, भौतिकी और टोपोलॉजी को जोड़ने वाली एक गहरी, एकीकृत संरचना का पता चलता है।

यह शोध पत्र क्या दावा नहीं करता है:

यह दावा नहीं करता है कि इससे नए चिकित्सा उपचार या इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों की ओर ले जाने वाला है।
यह दावा नहीं करता है कि यह हमारे वास्तविक ब्रह्मांड में अतिरिक्त आयामों के अस्तित्व को सिद्ध करता है (यह एक सैद्धांतिक भौतिकी/गणितीय अध्ययन है)।
यह पूरी तरह से भौतिक तर्क का उपयोग करके गणितीय अनुमानों को सिद्ध करने पर केंद्रित है।

तकनीकी सारांश: टोपोलॉजिकल 8d $N=1$ गेज थ्योरी: नवीन फ्लोर होमोलॉजीज़, और छह, पांच, और चार-मैनिफोल्ड्स की $A_\infty$ -कैटेगरीज

समस्या विवरण
यह कार्य चार, पांच, छह, और सात-आयामी मैनिफोल्ड्स से जुड़ी विभिन्न गणितीय रूप से अनुमानित फ्लोर होमोलॉजीज़ (Floer homologies) और $A_\infty$ -कैटेगरीज के भौतिक व्युत्पत्ति और कैटेगोरिफिकेशन (categorification) को संबोधित करता है। विशेष रूप से, यह निम्नलिखित के संबंध में अनुमानों के लिए भौतिक प्रमाण प्रदान करने का प्रयास करता है:

गेज-थ्योरेटिक फ्लोर होमोलॉजीज़: छह-मैनिफोल्ड्स की डोनाल्डसन-थॉमस (DT) फ्लोर होमोलॉजी, पांच-मैनिफोल्ड्स की हेडिस-विटन (HW) फ्लोर होमोलॉजी, और सात-मैनिफोल्ड्स की $\text{Spin}(7)$ इंस्टेंटन फ्लोर होमोलॉजी।
हाइपरकेहलर और सिम्पलेक्टिक फ्लोर होमोलॉजीज़: हाइपरकॉन्टैक्ट तीन-मैनिफोल्ड्स द्वारा परिभाषित होमोलॉजीज़ और इंस्टेंटन मॉडुली स्पेस के सिम्पलेक्टिक इंटरसेक्शन फ्लोर होमोलॉजी के साथ उनका संबंध।
कैटेगोरिफिकेशन: उन फ्लोर होमोलॉजीज़ के कैटेगोरिफिकेशन के लिए फुकया-सीडेल (FS) प्रकार की $A_\infty$ -कैटेगरीज का निर्माण, विशेष रूप से कैलिब-याउ (CY) मैनिफोल्ड्स और उनके उत्पादों पर कॉन्फ़िगरेशन के लिए।
ड्यूलिटीज (Dualities): गेज-थ्योरेटिक फ्लोर होमोलॉजीज़ और सिम्पलेक्टिक इंटरसेक्शन फ्लोर होमोलॉजीज़ के बीच आतिया-फ्लोर (Atiyah-Floer) प्रकार की ड्यूलिटियों की स्थापना।

ये संरचनाएं जो पहले डोनाल्डसन-थॉमस, डोनाल्डसन-सेगल, होलोच-नोएत्ज़ल-सालामोन, सालामोन, हेडिस, चेर्किस, और बौसे द्वारा अनुमानित या परिकल्पित की गई थीं, उन्हें एक एकीकृत भौतिक व्युत्पत्ति की कमी थी।

कार्यप्रणाली
लेखक एक $\text{Spin}(7)$ -मैनिफोल्ड (एक आठ-आयामी मैनिफोल्ड जिसकी $\text{Spin}(7)$ होलोनॉमी है) पर परिभाषित एक टोपोलॉजिकली-ट्विस्टेड 8d $N=1$ गेज थ्योरी का उपयोग करते हैं। मुख्य कार्यप्रणाली में शामिल है:

डायमेंशनल और टोपोलॉजिकल रिडक्शन: 8d थ्योरी को वृत्तों ( $S^1$ ) के साथ कालुज़ा-क्लेन (KK) रिडक्शन और कैलिब-याउ सतहों ( $CY_2$ ) के साथ टोपोलॉजिकल रिडक्शन के माध्यम से कम आयामों (7d, 6d, 5d, 4d) में प्रभावी थ्योरी प्राप्त करने के लिए अधीन किया जाता है।
सुपरसिमेट्रिक क्वांटम मैकेनिक्स (SQM) व्याख्या: इन रिड्यूस्ड थ्योरीज़ को गेज कनेक्शनों या मैप्स के अनंत-आयामी स्थानों में 1d SQM मॉडलों के रूप में पुनर्गठित किया जाता है। इन SQMs के पार्टीशन फंक्शन्स को क्रिटिकल पॉइंट्स के योग के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, जो भौतिक रूप से फ्लोर होमोलॉजी समूहों को साकार करते हैं।
लैंडौ-गिंजबर्ग (LG) मॉडल्स: $\mathbb{R}^2$ कारकों (जैसे, $CY_3 \times \mathbb{R}^2$ ) वाले मैनिफोल्ड्स पर विचार करके, लेखक इस थ्योरी को 2d गेज्ड लैंडौ-गिंजबर्ग मॉडल के रूप में पुनर्गठित करते हैं। यह पार्टीशन फंक्शन को सॉलिटॉन स्ट्रिंग्स के ट्री-लेवल स्कैटरिंग एम्प्लीट्यूड के योग के रूप में व्याख्यायित करने की अनुमति देता है, जिससे $A_\infty$ -कैटेगरीज को साकार किया जाता है।
ट्यूरिन डिजनरेशन (Tyurin Degeneration): ड्यूलिटियों को स्थापित करने के लिए, लेखक एक $CY_2$ सतह के साथ कैलिब-याउ थ्रीफोल्ड्स ( $CY_3$ ) का ट्यूरिन डिजनरेशन करते हैं, जिससे $\text{Spin}(7)$ मैनिफोल्ड को विभाजित कर गेज-थ्योरेटिक कॉन्फ़िगरेशन को सिम्पलेक्टिक इंटरसेक्शन डेटा से जोड़ा जा सके।

प्रमुख योगदान और परिणाम

नवीन फ्लोर होमोलॉजीज़:
- सात-मैनिफोल्ड्स: $G_2$ -मैनिफोल्ड्स के लिए एक $\text{Spin}(7)$ इंस्टेंटन फ्लोर होमोलॉजी को परिभाषित किया गया। चेन्स को समय-अपरिवर्तनीय $G_2$ इंस्टेंटन कॉन्फ़िगरेशन द्वारा उत्पन्न किया जाता है, और डिफरेंशियल एक चेर्न-साइमन प्रकार के फंक्शनल के ग्रेडिएंट फ्लो लाइन्स हैं। यह डोनाल्डसन-थॉमस अनुमान का भौतिक प्रमाण प्रदान करता है।
- छह-मैनिफोल्ड्स: कैलिब-याउ थ्रीफोल्ड्स ( $CY_3$ ) के लिए एक होलोमॉर्फिक $G_2$ मोनोपोल फ्लोर होमोलॉजी को परिभाषित किया गया। यह डोनाल्डसन-सेगल अनुमान का सामान्यीकरण करता है जिसमें एक गैर-शून्य वास्तविक स्केलर फील्ड (कैलिब-याउ मोनोपोल्स) शामिल है। जब स्केलर शून्य होता है, तो यह होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल मामले को पुनः प्राप्त करता है।
- पांच-मैनिफोल्ड्स: $CY_2 \times S^1$ के लिए एक होलोमॉर्फिक डोनाल्डसन-थॉमस फ्लोर होमोलॉजी को परिभाषित किया गया। चेन्स को समय-अपरिवर्तनीय हेडिस-विटन कॉन्फ़िगरेशन द्वारा उत्पन्न किया जाता है जहाँ एक घटक का स्व-द्वि-रूप (self-dual) टू-फॉर्म शून्य होता है।
- हाइपरकेहलर/सिम्पलेक्टिक होमोलॉजीज़: हाइपरकॉन्टैक्ट तीन-मैनिफोल्ड्स ( $HC_3$ ) द्वारा निर्दिष्ट हाइपरकेहलर फ्लोर होमोलॉजीज़ को परिभाषित किया गया जो $CY_2$ के इंस्टेंटन मॉडुली स्पेस में मैप करते हैं। विशिष्ट मामलों ( $HC_3 = T^3, I \times T^2, I \times S^1 \times \mathbb{R}$ ) को क्रमशः ट्रिपल लूप स्पेस, डबल लूप स्पेस, और इंस्टेंटन्स के पाथ स्पेस में सिम्पलेक्टिक फ्लोर होमोलॉजीज़ के समकक्ष दिखाया गया है।
आतिया-फ्लोर प्रकार की ड्यूलिटियाँ:
- $CY_3 \times S^1$ के लिए एक $\text{Spin}(7)$ आतिया-फ्लोर ड्यूलिटी स्थापित की गई, जो गेज-थ्योरेटिक $\text{Spin}(7)$ इंस्टेंटन फ्लोर होमोलॉजी को $CY_2$ के इंस्टेंटन्स के डबल लूप स्पेस के सिम्पलेक्टिक इंटरसेक्शन फ्लोर होमोलॉजी के साथ तुल्य बनाती है।
- $CY_3$ के लिए एक 7d- $\text{Spin}(7)$ आतिया-फ्लोर ड्यूलिटी निकाली गई, जो होलोमॉर्फिक $G_2$ मोनोपोल फ्लोर होमोलॉजी को इंस्टेंटन्स के लूप स्पेस के सिम्पलेक्टिक इंटरसेक्शन फ्लोर होमोलॉजी से जोड़ती है।
फुकया-सीडेल प्रकार की $A_\infty$ -कैटेगरीज:
- $CY_3$ (छह-मैनिफोल्ड्स) के लिए एक FS प्रकार की $A_\infty$ -कैटेगरी का निर्माण किया गया जिसके ऑब्जेक्ट्स $\theta$ -डीफॉर्मेड DT कॉन्फ़िगरेशन (होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल) हैं। मोर्फिज्म को इंटरसेक्टिंग थिमबल्स (सॉलिटॉन्स) के फ्लोर होमोलॉजी क्लासेस के रूप में पहचाना जाता है।
- $CY_2 \times S^1$ (पांच-मैनिफोल्ड्स) के लिए एक FS प्रकार की $A_\infty$ -कैटेगरी का निर्माण किया गया जो HW कॉन्फ़िगरेशन को कैटेगोरिफाई करती है।
- $CY_2$ (चार-मैनिफोल्ड्स) के लिए एक FS प्रकार की $A_\infty$ -कैटेगरी का निर्माण किया गया जो VW कॉन्फ़िगरेशन को कैटेगोरिफाई करती है।
- प्रदर्शित किया गया कि $\mathbb{R}^2$ पर संबंधित गेज थ्योरीज़ के नॉर्मलाइज्ड पार्टीशन फंक्शन्स, सॉलिटॉन स्ट्रिंग्स के ट्री-लेवल स्कैटरिंग एम्प्लीट्यूड के योग के अनुरूप होते हैं, जो $A_\infty$ कंपोजिशन मैप्स को परिभाषित करते हैं।
कैटेगोरिफिकेशन स्कीम:
- एक व्यवस्थित योजना प्रस्तावित की गई है जहाँ एक $D$ -मैनिफोल्ड $M_D$ पर कॉन्फ़िगरेशन को एक 0-कैटेगरी (फ्लोर होमोलॉजी) से जोड़ा जाता है जिसे $M_D \times \mathbb{R}$ पर एक गेज थ्योरी द्वारा साकार किया जाता है।
- इसे एक 1-कैटेगरी (FS प्रकार की $A_\infty$ -कैटेगरी) में कैटेगोरिफाई किया जाता है जिसे $M_D \times \mathbb{R}^2$ पर एक गेज थ्योरी द्वारा साकार किया जाता है।
- लेखक सुझाव देते हैं कि यह $M_D \times \mathbb{R}^3$ पर गेज थ्योरीज़ के माध्यम से 2-कैटेगरीज (फुएटर प्रकार) तक विस्तारित होता है, जो उच्च श्रेणीगत संरचनाओं (higher categorical structures) का एक पदानुक्रम प्रदान करता है।
अनुमानों के भौतिक प्रमाण:
- डोनाल्डसन-थॉमस ( $\text{Spin}(7)$ इंस्टेंटन फ्लोर होमोलॉजी), डोनाल्डसन-सेगल (DT फ्लोर होमोलॉजी), चेर्किस (ऑक्टोनियन मोनोपोल्स के माध्यम से रियल फ्लोर होमोलॉजी), होलोच-नोएत्ज़ल-सालामोन (हाइपरकेहलर फ्लोर होमोलॉजी), सालामोन (आतिया-फ्लोर समानताएं), हेडिस (होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल्स की FS $A_\infty$ -कैटेगरी), और बौसेने (लैग्रेंजियन्स की Hom-कैटेगरीज और $G_2$ इंस्टेंटन फ्लोर होमोलॉजी के बीच पत्राचार) के अनुमानों के लिए भौतिक प्रमाण प्रदान किए।

महत्व
यह पत्र दावा करता है कि यह एक एकीकृत भौतिक ढांचा प्रदान करता है जो न केवल इन गणितीय रूप से अनुमानित संरचनाओं के अस्तित्व को सिद्ध करता है बल्कि उनका सामान्यीकरण भी करता है (उदाहरण के लिए, $\theta$ -डीफॉर्मेशन और गैर-शून्य स्केलर फील्ड के माध्यम से)। इन गेज थ्योरीज़ को SQMs और LG मॉडल्स के रूप में व्याख्यायित करके, लेखक गेज-थ्योरेटिक इनवेरियंट्स, सिम्पलेक्टिक इनवेरियंट्स, और उच्च श्रेणीगत संरचनाओं को जोड़ने वाले एक "संबंधों के जाल" (web of relations) को स्थापित करते हैं। कार्य यह प्रदर्शित करता है कि $\text{Spin}(7)$ थ्योरी में टोपोलॉजिकल इनवेरियंस स्वाभाविक रूप से इन ड्यूलिटियों और कैटेगोरिफिकेशन को जन्म देता है, जो निम्न-आयामी टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति में गहरे गणितीय संरचनाओं के लिए एक भौतिक वास्तविकता प्रदान करता है। परिणाम पिछले कार्य [1] के सामान्यीकरण के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं और उच्च-आयामी गेज थ्योरी और फ्लोर होमोलॉजी के कैटेगोरिफिकेशन के बीच एक सेतु के रूप में कार्य करते हैं।