⚛️ general relativity

The Odd-Parity Part of the Observed Galaxy Trispectrum

यह शोध पत्र रेडशिफ्ट स्पेस में गैलेक्सी ट्राइस्पेक्ट्रम के अग्रणी-क्रम (leading-order) सापेक्षतावादी सुधारों की गणना करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ये प्रभाव एक पैरिटी-ओड (parity-odd) संकेत उत्पन्न करते जिसे मुद्रास्फीति भौतिकी (inflationary physics) की जांच करने के लिए उपयोग करने से पहले संभावित आंतरिक पैरिटी उल्लंघन से सावधानीपूर्वक अलग किया जाना चाहिए।

मूल लेखक: Pritha Paul, Chris Clarkson, Roy Maartens

प्रकाशित 2026-07-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Pritha Paul, Chris Clarkson, Roy Maartens

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड आकाशगंगाओं से बना एक विशाल, अदृश्य 3D पहेली है। दशकों से, ब्रह्मांड विज्ञानी (cosmologists) यह जाँच रहे हैं कि क्या इस पहेली में कोई छिपा हुआ "हाथ का प्रकार" (handedness) है—एक गुप्त प्राथमिकता कि वह बाएं हाथ जैसा हो या दाएं हाथ जैसा, ठीक वैसे ही जैसे आपके हाथ एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होते हैं और उन्हें पूरी तरह से एक के ऊपर एक नहीं रखा जा सकता। इस गुण को पैरिटी (parity) कहा जाता है।

खेल के मानक नियमों में, ब्रह्मांड को पूरी तरह से सममित (symmetrical) होना चाहिए; यदि आप इसे दर्पण में देखें, तो यह बिल्कुल वैसा ही दिखना चाहिए जैसा यह वास्तव में है। लेकिन क्या होगा यदि ऐसा नहीं है? यदि हमें आकाशगंगाओं के विन्यास (arrangement) में कोई "हाथ का प्रकार" मिलता है, तो यह बिग बैंग के ठीक बाद हुई नई भौतिकी के लिए एक निर्णायक संकेत (smoking gun) हो सकता है।

टेट्राहेड्रोन टेस्ट (The Tetrahedron Test)

इस ब्रह्मांडीय 'हाथ के प्रकार' को पकड़ने के लिए, वैज्ञानिक केवल आकाशगंगाओं के जोड़ों (2-point) या यहाँ तक कि त्रिकों (3-point) को देखकर काम नहीं चला सकते। क्यों? क्योंकि यदि आप 3D स्पेस में एक जोड़े या एक त्रिकोण को पलटते हैं, तो आप उन्हें बस घुमाकर फिर से वैसा ही बना सकते हैं। वे बहुत सरल हैं और रहस्य प्रकट करने में सक्षम नहीं हैं।

आपको एक टेट्राहेड्रोन (tetrahedron) की आवश्यकता है—चार आकाशगंगाओं से बनी एक पिरामिड जैसी आकृति। 3D स्पेस में, एक टेट्राहेड्रोन सबसे सरल आकृति है जिसे केवल घुमाने से उसके दर्पण प्रतिबिंब पर सुपरइम्पोज़ (superimpose) नहीं किया जा सकता। यह एक बाएं हाथ के दस्ताने को दाएं हाथ में फिट करने की कोशिश करने जैसा है; आप उसे कितना भी घुमा लें, वह फिट नहीं होगा। यह शोध पत्र ट्रिसपेक्ट्रम (trispectrum) पर केंद्रित है, जो गणितीय तरीका है जिससे यह मापा जाता है कि ये चार-आकाशगंगा वाले टेट्राहेड्रोन कैसे व्यवस्थित हैं।

ब्रह्मांडीय "भूतिया" संकेत (The Cosmic "Ghost" Signal)

इस शोध पत्र के लेखक, प्रितहा पॉल, क्रिस क्लार्कसन और रॉय मार्टेन्स ने एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछा: यदि हम इन टेट्राहेड्रोन में एक "हाथ का प्रकार" वाला संकेत देखते हैं, तो क्या यह प्रारंभिक ब्रह्मांड की नई भौतिकी का संकेत है, या यह केवल उस तरीके का भ्रम है जिससे हम ब्रह्मांड को देखते हैं?

उन्होंने पाया कि भले ही ब्रह्मांड अपने मूल रूप में पूरी तरह से सममित हो, लेकिन हमारा इसके प्रति दृष्टिकोण सापेक्षता (relativity) के कारण विकृत हो जाता है।

ब्रह्मांड को एक विशाल महासागर के रूप में सोचें। जब हम आकाशगंगाओं का अवलोकन करते हैं, तो हम उन्हें वहां नहीं देख रहे होते हैं जहाँ वे अभी हैं; बल्कि हम उन्हें वहां देख रहे होते हैं जहाँ वे थीं जब उनका प्रकाश हमारे "पास्ट लाइट कोन" (past light cone) के साथ यात्रा कर रहा था। क्योंकि आकाशगंगाएं गतिमान हैं (peculiar velocity) और स्वयं अंतरिक्ष फैल रहा है (expansion), जिस तरह से हम उनकी स्थिति को मापते हैं, वह विकृत हो जाता है।

लेखक गणना करते हैं कि ये सापेक्षतावादी प्रभाव (relativistic effects) एक "ब्रह्मांडीय भूत" की तरह कार्य करते हैं। वे एक "पैरिटी-ओड" (parity-odd) संकेत—एक नकली हाथ का प्रकार—पैदा करते, जो हमारे डेटा में दिखाई देता है, भले ही अंतर्निहित ब्रह्मांड पूरी तरह से सममित हो। यह पानी के पूल में एक सीधी छड़ी को देखने जैसा है; छड़ी इसलिए मुड़ी हुई दिखती है क्योंकि पानी का प्रभाव है, न कि इसलिए कि छड़ी वास्तव में मुड़ी हुई है।

उन्होंने क्या किया (और क्या नहीं किया)

टीम ने आकाश में कोई नया संकेत खोजने के लिए बाहर जाकर काम नहीं किया। इसके बजाय, उन्होंने यह गणना करने के लिए कि यह "भूतिया" संकेत वास्तव में कितना मजबूत होना चाहिए, एक विस्तृत गणितीय सिमुलेशन बनाया। उन्होंने जनरल रिलेटिविटी के समीकरणों को लिया और उन्हें ट्रिसपेक्ट्रम पर लागू किया, यह गणना करते हुए कि घनत्व (density), वेग (velocity) और गुरुत्वाकर्षण (gravity) कैसे हमारे दृश्य को विकृत करते हैं।

उन्होंने विशेष रूप से भविष्य के दो प्रकार के गैलेक्सी सर्वे देखे:

यूक्लिड-जैसा (Euclid-like): एक निकट-अवरक्त स्पेक्ट्रोस्कोपिक सर्वे।
एसकेए-जैसा (SKA-like): एक रेडियो टेलीस्कोप सर्वे जो न्यूट्रल हाइड्रोजन का मानचित्रण करता है।

आंकड़े: भ्रम कितना बड़ा है?

उनके सिमुलेशन के परिणाम काफी आश्चर्यजनक हैं। उन्होंने पाया कि ये सापेक्षतावादी सुधार मामूली या उपेक्षा योग्य प्रभाव नहीं हैं।

उन पैमानों पर जहाँ पदार्थ और ऊर्जा लगभग बराबर होते हैं ("equality scales"), ये सापेक्षतावादी सुधार कुल अपेक्षित संकेत का 10% या उससे अधिक का संकेत पैदा करते हैं।
सीधे शब्दों में कहें तो, यदि आप सापेक्षता को अनदेखा करते हैं, तो आपको लग सकता है कि आपने ब्रह्मांड की समरूपता के उल्लंघन की खोज कर ली है, जबकि वास्तव में, आप केवल पूल के पानी से ठगे गए थे।
देखने के कोणों (viewing angles) के आधार पर, यह नकली संकेत और भी बड़ा हो सकता है, जो कुछ विशिष्ट स्थितियों में कुल संकेत का 20% से 80% तक पहुँच जाता है।

"निरस्तीकरण" का खेल (The "Cancellation" Game)

लेखकों ने गणित के भीतर होने वाले एक दिलचस्प "खींचातानी" (tug-of-war) की भी खोज की। कुल संकेत विभिन्न भागों से बना होता है: कुछ गणना के पहले और दूसरे क्रम से आते हैं, अन्य तीसरे से।

अपने सिमुलेशन में, उन्होंने पाया कि कुछ सर्वे प्रकारों (जैसे SKA-जैसा रेडियो सर्वे) के लिए, तीसरे क्रम के प्रभाव हावी होते हैं, जबकि अन्य के लिए (जैसे Euclid-जैसा सर्वे), दूसरे क्रम के प्रभाव नेतृत्व करते हैं। लेकिन सबसे बड़ी बात यह है कि: ये अलग-अलग भाग अक्सर एक दूसरे को रद्द (cancel) कर देते हैं।

कल्पना कीजिए कि दो लोग एक कार को विपरीत दिशाओं में धकेल रहे हैं। यदि वे समान शक्ति से धक्का देते हैं, तो कार नहीं हिलती। शोध पत्र दिखाता है कि "ओड" (odd) संकेत अक्सर इन विशाल बलों के लगभग एक दूसरे को रद्द करने का परिणाम होता है, जिससे एक बहुत ही छोटा, सूक्ष्म शुद्ध परिणाम बचता है। यह अंतिम संकेत को आकाशगंगा व्यवस्था के विशिष्ट आकार और उपयोग किए जाने वाले सर्वे के प्रकार के प्रति अत्यधिक संवेदनशील बनाता है।

उन्होंने क्या खारिज किया

यह शोध पत्र बहुत स्पष्ट है कि क्या नहीं हो रहा है। वे स्पष्ट रूप से कहते हैं कि मानक "न्यूटनियन" रेडशिफ्ट-स्पेस डिस्टॉर्शन (आकाशगंगाओं के हमारी ओर या हमसे दूर जाने के सामान्य तरीके) पैरिटी सिमेट्रिक (parity symmetric) हैं। दूसरे शब्दों में, वे मानक प्रभाव जिन्हें हम वर्षों से जानते आए हैं, यह "हाथ का प्रकार" पैदा नहीं करते हैं। "भूतिया" संकेत विशेष रूप रूप से उन सापेक्षतावादी (relativistic) सुधारों से आता है (डॉप्लर प्रभाव, गुरुत्वाकर्षण रेडशिफ्ट और टाइम डिले) जिन्हें आमतौर पर इसलिए अनदेखा किया जाता है क्योंकि वे बहुत छोटे माने जाते हैं।

निष्कर्ष (The Bottom Line)

यह शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि उसने ब्रह्मांड में पैरिटी के उल्लंघन को खोज लिया है। इसके बजाय, यह भविष्य के प्रयोगों के लिए एक चेतावनी लेबल के रूप में कार्य करता है।

लेखक सुझाव देते हैं कि जैसे-जैसे हम Euclid और SKA जैसे विशाल नए सर्वे की तैयारी कर रहे हैं, हमें इन सापेक्षतावादी "भूतों" को ध्यान में रखना चाहिए। यदि हम ऐसा नहीं करते हैं, तो हम अपने देखने के कोण के एक गणितीय आर्टिफैक्ट (artifact) को भौतिकी के मौलिक नियम के रूप में समझ सकते हैं। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि ये सुधार इतने महत्वपूर्ण हैं कि इन्हें ट्रिसपेक्ट्रम के किसी भी गंभीर विश्लेषण में अनदेखा नहीं किया जा सकता।

संक्षेप में: ब्रह्मांड पूरी तरह से सममित हो सकता है, लेकिन हमारा दृश्य थोड़ा झुका हुआ है। इससे पहले कि हम नई भौतिकी खोजने का दावा करें, हमें अपने चश्मे सीधे करने की आवश्यकता है।

समस्या
मानक ब्रह्मांड संबंधी मॉडल (standard cosmological model) यह भविष्यवाणी करता है कि बड़े पैमाने की संरचना के सांख्यिकीय गुण समरूपता रूपांतरणों (parity transformations) के तहत अपरिवर्तनीय होने चाहिए। समानता उल्लंघन (parity violation) का पता लगाना मानक मॉडल से परे भौतिकी का संकेत देगा, जो मुद्रास्फीति भौतिकी (inflationary physics) में अंतर्दर्दृष्टि प्रदान कर सकता है। हालांकि सदिश और टेंसर क्षेत्रों (जैसे CMB B-modes) में समानता उल्लंघन की खोज की गई है, लेकिन स्केलर क्षेत्र (गैलेक्सी घनत्व क्षेत्र) में समानता-संवेदनशील सांख्यिकी का निर्माण करना चुनौतीपूर्ण है। निम्न-क्रम के सांख्यिकीय गुण जैसे 2-बिंदु और 3-बिंदु सहसंबंध फलन (correlation functions), समानता के प्रति असंवेदनशील हैं क्योंकि उनकी ज्यामितीय संरचनाएं (बिंदु और त्रिभुज) घूर्णन के माध्यम से अपने दर्पण प्रतिबिंबों पर आरोपित की जा सकती हैं। 4-बिंदु सहसंबंध फलन (4PCF), या ट्रिसपेक्ट्रम (trispectrum), समानता उल्लंघन का पता लगाने में सक्षम निम्नतम-क्रम का सांख्यिकीय गुण है, क्योंकि चार गैलेक्सियों द्वारा निर्मित चतुष्फलक (tetrahedron) को उसके दर्पण प्रतिबिंब पर आरोपित नहीं किया जा सकता है।

BOSS डेटासेट के 4PCF के हालिया विश्लेषणों ने समानता-विषम (parity-odd) संकेतों के लिए भिन्न स्तर के साक्ष्य रिपोर्ट किए हैं, जिसमें कोवेरियेंस पुनर्गणना के बाद महत्वपूर्ण पता लगाने से लेकर शून्य परिणाम तक शामिल हैं। एक महत्वपूर्ण मुद्दा आंतरिक समानता उल्लंघन को प्रेक्षण संबंधी संदूषकों (observational contaminants) से अलग करना है। जबकि मानक न्यूटोनियन रेडशिफ्ट-स्पेस डिस्टॉर्शन्स (RSD) समानता-सममित (parity symmetric) हैं, प्रेक्षित गैलेक्सी संख्या गणनाओं का पूर्ण सापेक्षतावादी विवरण (relativistic description) नहीं है। सापेक्षतावादी प्रक्षेप प्रभाव (relativistic projection effects), जिनमें डॉपलर पद, गुरुत्वाकर्षण रेडशिफ्ट और लेंसिंग शामिल हैं, दृष्टि रेखा (line of sight) के अनुदिश विषमताओं को पेश करते हैं। ये प्रभाव, मानक RSD के सापेक्ष $H/k$ के कारक द्वारा दबाए जाते हैं, जो पावर स्पेक्ट्रम और बाइसपेक्ट्रम में एक काल्पनिक भाग उत्पन्न करते हैं, और संभावित रूप से एक समानता-विषम घटक (parity-odd component) ट्रिसपेक्ट्रम में उत्पन्न कर सकते हैं। आंतरिक समानता उल्लंघन का दावा करने से पहले, इन सापेक्षतावादी संदूषकों का व्यापक रूप से लक्षण वर्णन किया जाना चाहिए।

कार्यप्रणाली
लेखक रेडशिफ्ट स्पेस में प्रेक्षित गैलेक्सी ट्रिसपेक्ट्रम की गणना करते हैं, जिसमें अग्रणी-क्रम के सापेक्षतावादी प्रभावों को स्पष्ट रूप से शामिल किया गया है। कार्यप्रणाली में शामिल है:

परटर्बेटिव विस्तार (Perturbative Expansion): गैलेक्सी संख्या कंट्रास्ट $\Delta_g$ का विक्षोभ सिद्धांत (perturbation theory) में तीसरे क्रम तक विस्तार किया जाता है। लेखक गैलेक्सी संख्या गणनाओं के लिए सामान्य सापेक्षतावादी अभिव्यक्ति व्युत्पन्न करते हैं, जिसमें घनत्व के उतार-चढ़ाव, विशिष्ट वेग (peculiar velocities) और मेट्रिक क्षमताएं (metric potentials) शामिल हैं।
कर्नेल व्युत्पत्ति (Kernel Derivation): लेखक फूरियर स्पेस में तीसरे क्रम तक गैलेक्सी संख्या गणनाओं के लिए कर्नेल व्युत्पन्न करते हैं। वे इन्हें न्यूटोनियन ( $K_N$ $K_{N}$ ) और सापेक्षतावादी ( $K_{GR}$ $K_{GR}$ ) घटकों में विभाजित करते हैं।
- न्यूटोनियन कर्नेल में केवल $\mu = \hat{k} \cdot \hat{n}$ (जहाँ $\hat{n}$ दृष्टि रेखा है) की सम घातें होती हैं, जो उन्हें समानता-सम (parity-even) बनाती हैं।
- सापेक्षतावादी कर्नेल में $\mu$ की विषम घातें होती हैं जो $v \cdot n$ और विभवों के रेडियल डेरिवेटिव जैसे पदों से उत्पन्न होती हैं, जो समानता समरूपता को तोड़ती हैं।
ट्रिसपेक्ट्रम निर्माण: विक के प्रमेय (Wick's theorem) का उपयोग करते हुए, प्रथम, द्वितीय और तृतीय-क्रम के कर्नेल के गुणनफल से संबद्ध (connected) ट्रिसपेक्ट्रम का निर्माण किया जाता है। कुल ट्रिसपेक्ट्रम को $k \to -k$ रूपांतरण के आधार पर समानता-सम ( $T_{even}$ ) और समानता-विषम ( $T_{odd}$ ) भागों में विभाजित किया जाता है।
संख्यात्मक मूल्यांकन: लेखक विशिष्ट सर्वेक्षण कॉन्फ़िगरेशन के लिए $|T_{odd}/T_{even}|$ के अनुपात की गणना करते हैं। वे दो अलग-अलग सर्वेक्षण प्रकारों का विश्लेषण करते हैं: एक Euclid-जैसा निकट-अवरक्त स्पेक्ट्रोस्कोपिक सर्वेक्षण और एक SKA-जैसा 21cm तीव्रता मानचित्रण (intensity mapping) सर्वेक्षण। विश्लेषण स्केल ( $k$ ), विन्यास कोणों (चतुष्फलक के आकार को परिभाषित करने वाले), और दृश्य कोणों (दृष्टि रेखा के सापेक्ष अभिविन्यास) को बदलता है। वे विभिन्न विधायी आदेशों ( $T_{1113}$ और $T_{1122}$ ) के योगदान और प्रथम, द्वितीय और तृतीय-क्रम के विशिष्ट सापेक्षतावादी कर्नेल की भूमिकाओं की भी जांच करते हैं।

प्रमुख योगदान

तीसरे-क्रम के कर्नेल की व्युत्पत्ति: यह शोध पत्र फूरियर स्पेस में विस्तृत तीसरे-क्रम के न्यूटोनियन और सापेक्षतावादी कर्नेल प्रदान करता है, जो पावर स्पेक्ट्रा और बाइसपेक्ट्रा के पिछले कार्यों को ट्रिसपेक्ट्रम स्तर तक विस्तारित करता है।
सापेक्षतावादी संदूषण का परिमाणीकरण: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि सापेक्षतावादी प्रक्षेप प्रभाव स्वाभाविक रूप से एक समानता-विषम ट्रिसपेक्ट्रम उत्पन्न करते हैं, भले ही प्रारंभिक ब्रह्मांड समानता-सम हो।
पैरामीटर स्पेस अन्वेषण: अध्ययन व्यवस्थित रूप से सर्वेक्षण मापदंडों (बायस, इवोल्यूशन बायस, मैग्निफिकेशन बायस), स्केल, और ज्यामितीय विन्यासों पर समानता-विषम संकेत की निर्भरता का मानचित्रण करता है।
सर्वेक्षण-विशिष्ट विश्लेषण: यह पत्र Euclid और SKA-जैसे सर्वेक्षणों के लिए इन प्रभावों की स्पष्ट गणना करता है, जिससे यह पता चलता है कि विभिन्न बायस पैरामीटर सापेक्षतावादी सुधारों के परिमाण को कैसे प्रभावित करते हैं।

परिणाम

सुधार का परिमाण: समानता पैमानों ( $k \approx 0.01 h \text{Mpc}^{-1}$ ) के लिए, ट्रिसपेक्ट्रम में सापेक्षतावादी सुधार महत्वपूर्ण हैं। विन्यास और दृश्य कोणों के आधार पर, $|T_{odd}/T_{even}|$ का अनुपात 10% या उससे अधिक तक पहुँच सकता है, और विशिष्ट कोणीय विन्यासों में, यह 80% से अधिक हो सकता है।
क्रम योगदान: दूसरे-क्रम ( $T_{1122}$ ) बनाम तीसरे-क्रम ( $T_{1113}$ ) के योगदान का सापेक्ष प्रभुत्व सर्वेक्षण प्रकारों और विन्यासों के बीच काफी भिन्न होता है। Euclid-जैसे सर्वेक्षणों के लिए, दूसरा-क्रम का योगदान अक्सर हावी रहता है, जबकि SKA-जैसे सर्वेक्षणों के लिए, तीसरा-क्रम का योगदान प्रभावी हो सकता है।
निरसन (Cancellations): विभिन्न परटर्बेटिव योगदानों ( $T_{1113}$ और $T_{1122}$ ) के बीच महत्वपूर्ण निरसन होते हैं, जो व्यक्तिगत पदों की तुलना में कुल समानता-विषम आयाम ( $T_{odd}$ ) को कम कर सकते हैं। ये निरसन दृश्य कोणों और विन्यास विकल्पों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं।
कर्नेल निर्भरता: प्रथम-क्रम का सापेक्षतावादी कर्नेल ( $K^{(1)}_{GR}$ ) अक्सर Euclid-जैसे सर्वेक्षणों के लिए सिग्नल पर हावी रहता है, जबकि उच्च-क्रम के कर्नेल SKA-जैसे सर्वेक्षणों के लिए बड़ी भूमिका निभाते हैं।
रेडशिफ्ट विकास: रेडशिफ्ट के साथ सिग्नल की निर्भरता जटिल है और इवोल्यूशन एवं मैग्निफिकेशन बायस के चयन के प्रति संवेदनशील है। कुछ बायस विन्यासों के लिए, सिग्नल उच्च रेडशिफ्ट पर कम हो जाता है, जबकि अन्य के लिए, यह महत्वपूर्ण बना रहता है।

महत्ता
यह शोध पत्र तर्क देता है कि ट्रिसपेक्ट्रम के लिए सापेक्षतावादी सुधार गैर-नगण्य हैं और समानता उल्लंघन की खोज करते समय "संदूषण" के एक प्रमुख स्रोत के रूप में कार्य करते हैं। लेखक कहते हैं कि जबकि मानक RSD पद समानता-सम होते हैं, सापेक्षतावादी पद एक डिपोल-जैसे समानता-विषम योगदान को पेश करते हैं जो आकाश के बड़े हिस्से और उच्च रेडशिफ्ट वाले सर्वेक्षणों के लिए प्रभावी हो जाता है।

इस कार्य की महत्ता इसकी चेतावनीपूर्ण भूमिका में निहित है: समानता उल्लंघन के पिछले दावों (जैसे कि BOSS डेटा में, जो दृष्टि रेखाओं का औसत लेते हैं) को इन सापेक्षतावादी प्रभावों के आलोक में पुनर्मूल्यांकन की आवश्यकता हो सकती है, या कम से कम, किसी भी आंतरिक सिग्नल को अलग करने के लिए इन प्रभावों को कठोरता से मॉडल किया जाना चाहिए। लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि भविष्य के ट्रिसपेक्ट्रम विश्लेषणों में, विशेष रूप से Euclid और SKA जैसे आगामी बड़े पैमाने के सर्वेक्षणों के लिए, इन सापेक्षतावादी प्रक्षेप प्रभावों को ध्यान में रखना आवश्यक है ताकि मुद्रास्फीति भौतिकी और जनरल रिलेटिविटी के परीक्षणों पर सटीक बाधाएं सुनिश्चित की जा सकें। वे सुझाव देते हैं कि बाइसपेक्ट्रम और ट्रिसपेक्ट्रम के संयुक्त विश्लेषण इन सापेक्षतावादी सुधारों पर कड़े नियंत्रण प्रदान कर सकते हैं।