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Impact of leakage on the dynamics of a ST $_0$ qubit implemented in a Double Quantum Dot device

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एक डबल क्वांटम डॉट ST $_0$ क्वबिट में लीकेज एक चरण परिवर्तन (फेज शिफ्ट) को प्रेरित करता है जिससे गेट ऑपरेशन्स के दौरान ओवर- या अंडर-रोटेशन होता है, एक ऐसी घटना जिसका उपयोग गेट टाइमिंग को अनुकूलित करने और फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए सुसंगतता (कोहेरेंस) बढ़ाने के लिए किया जा सकता है।

मूल लेखक: Javier Oliva del Moral, Olatz Sanz Larrarte, Reza Dastbasteh, Josu Etxezarreta Martinez, Rubén M. Otxoa

प्रकाशित 2026-03-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Javier Oliva del Moral, Olatz Sanz Larrarte, Reza Dastbasteh, Josu Etxezarreta Martinez, Rubén M. Otxoa

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कुत्ते को एक नया करतब सिखाने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि "बैठना" (sit)। आप आदेश देते हैं, और कुत्ता बिल्कुल सही तरीके से बैठ जाता है। लेकिन क्या होगा अगर, हर बार जब आप "बैठो" कहते हैं, तो पृष्ठभूमि में कुत्ते को बहुत हल्का सा "रुको" (stay) या "लुढ़को" (roll over) सुनाई दे जाए? भले ही कुत्ता ज्यादातर समय बैठता है, लेकिन भ्रम का वह छोटा सा अंश उसे थोड़ा धीरे, थोड़ा तेज़ बैठा सकता है, या उसका सिर थोड़ा ज्यादा बाईं ओर झुका सकता है।

यह शोध पत्र क्वांटम कंप्यूटरों की दुनिया में उसी "झुके हुए सिर" के बारे में है।

यहाँ शोधकर्ताओं द्वारा की गई खोजों का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. परिवेश: क्वांटम खेल का मैदान (The Quantum Playground)

एक क्वांटम डॉट (Quantum Dot) को एक एकल इलेक्ट्रॉन के लिए एक छोटे, अदृश्य पिंजरे के रूप में समझें। इस पिंजरे के अंदर, इलेक्ट्रॉन का एक गुण होता है जिसे "स्पिन" (spin) कहा जाता है, जो एक छोटे चुंबक की तरह काम करता है जो या तो ऊपर (Up) या नीचे (Down) की ओर संकेत करता है।

लक्ष्य: हम इन Up/Down स्पिनों का उपयोग सूचना के बिट्स (0s और 1s) के रूप में करना चाहते हैं ताकि एक सुपर-कंप्यूटर बनाया जा सके।
तरीका: गणित करने के लिए, हमें इन स्पिनों को घुमाना (rotate) पड़ता है। हम ऐसा एक विशिष्ट समय के लिए चुंबकीय पल्स (एक "धक्का" या "kick") लगाकर करते हैं। यदि हम ठीक 1 सेकंड के लिए धक्का देते हैं, तो स्पिन 90 डिग्री घूम जाता है। यदि हम 2 सेकंड के लिए धक्का देते हैं, तो यह 180 डिग्री घूम जाता है।

2. समस्या: "लीकी" (Leaky) बाल्टी

एक आदर्श दुनिया में, इलेक्ट्रॉन के पास केवल दो ही अवस्थाएँ (states) होनी चाहिए: ऊपर और नीचे। लेकिन वास्तविकता में, इलेक्ट्रॉन एक ऐसी बाल्टी की तरह है जिसके नीचे एक छोटा सा छेद है।

कंप्यूटेशनल अवस्थाएँ (Computational States): ऊपर और नीचे (वह पानी जिसे हम रखना चाहते हैं)।
लीकेज (Leakage): पास में ही अन्य ऊर्जा स्तर (energy levels) मौजूद हैं (जैसे इसके बगल में रखी एक दूसरी बाल्टी)। कभी-कभी, जब हम स्पिन को घुमाने की कोशिश करते हैं, तो इलेक्ट्रॉन की थोड़ी सी "ऊर्जा" इन अन्य अवस्थाओं में लीक हो जाती है।
शोध पत्र का केंद्र: अधिकांश लोग इस बात की चिंता करते हैं कि लीकेज के कारण कंप्यूटर क्रैश हो सकता है (जैसे बाल्टी खाली हो जाना)। यह शोध पत्र एक अलग सवाल पूछता है: जब पानी लीक हो रहा हो, तब उस करतब की टाइमिंग और सटीकता का क्या होता है?

3. खोज: "घोस्ट" फेज शिफ्ट (The "Ghost" Phase Shift)

शोधकर्ताओं ने पाया कि लीकेज की थोड़ी सी मात्रा भी एक भूतिया हस्तक्षेप (ghostly interference) की तरह काम करती है।

कल्पना कीजिए कि आप एक ट्रैक पर दौड़ लगा रहे हैं।

बिना लीकेज के: आप एक सीधी रेखा में दौड़ते हैं। आप ठीक 10 सेकंड में दौड़ पूरी करते हैं।
लीकेज के साथ: यह ऐसा है जैसे आपके खिलाफ एक हल्की, अदृश्य हवा चल रही हो, या आपके जूते में एक छोटा सा कंकड़ हो। आप अभी भी दौड़ रहे हैं, लेकिन आपकी गति थोड़ी बदल जाती है। आप शायद 10.05 सेकंड या 9.95 सेकंड में दौड़ पूरी करते हैं।

क्वांटम दुनिया में, यह "गति परिवर्तन" का अर्थ है कि रोटेशन अब ठीक 90 डिग्री नहीं रह जाता। यह 89.9 डिग्री या 90.1 डिग्री हो सकता है।

परिणाम: इसे ओवर-रोटेशन (over-rotation) या अंडर-रोटेशन (under-rotation) कहा जाता है।
खतरा: यदि आप एक बार करतब करते हैं, तो 0.1% की त्रुटि ठीक है। लेकिन एक क्वांटम कंप्यूटर को एक के बाद एक अरबों करतब करने की आवश्यकता होती है। यदि हर करतब थोड़ा सा गलत है, तो त्रुटियाँ जमा होती जाती हैं, और गणना के अंत तक, उत्तर पूरी तरह से गलत हो जाता है।

4. ट्विस्ट: एक बग को फीचर में बदलना

यहाँ शोध पत्र का सबसे दिलचस्प हिस्सा है। आमतौर पर, वैज्ञानिक लीकेज को ठीक करने के लिए "छेद" को छोटा करने की कोशिश करते हैं। लेकिन इन शोधकर्ताओं ने कुछ बहुत चतुर महसूस किया:

हम वास्तव में लीकेज का अपने लाभ के लिए उपयोग कर सकते हैं।

चूंकि लीकेज रोटेशन की गति को बदल देता है, इसलिए हम चुंबकीय क्षेत्रों को उस गति को ट्यून (tune) करने के लिए उपयोग कर सकते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक कार चला रहे हैं, लेकिन इंजन थोड़ा खराब चल रहा है (लीक हो रहा है)। इंजन को तुरंत ठीक करने के बजाय, आप महसूस करते हैं कि एक्सीलेटर को बिल्कुल सही तरीके से एडजस्ट करके, आप इंजन की खराबी के बावजूद कार को ठीक उसी गति पर चला सकते हैं जिसकी आपको आवश्यकता है।
लाभ: इन "लीकेज टर्म्स" को नियंत्रित करके, हम क्वांटम गेट्स (रोटेशन) को तेज़ या धीमा कर सकते हैं ताकि वे अधिक कुशल बन सकें। यह हमें एल्गोरिदम को तेज़ी से चलाने या अन्य प्रकार के शोर (noise) को ठीक करने में मदद करता है।

5. भविष्य के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि जबकि लीकेज को आमतौर पर एक विलेन (त्रुटि पैदा करने वाला) के रूप में देखा जाता है, यह समझना कि यह टाइमिंग को कैसे बदलता है, हमें निम्नलिखित की अनुमति देता है:

त्रुटियों का अनुमान लगाना: हम सटीक रूप से गणना कर सकते हैं कि "भूतिया हवा" हमारे रोटेशन को पथ से कितना विचलित करेगी।
टाइमिंग को ठीक करना: हम अपने पल्स को लीकेज की भरपाई करने के लिए एडजस्ट कर सकते हैं, जिससे यह सुनिश्चित हो सके कि स्पिन ठीक वहीं पहुंचे जहाँ हम चाहते हैं।
एरर करेक्शन (Error Correction) में सुधार: भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों को अपनी गलतियों को खुद ठीक करने की आवश्यकता होगी। लीकेज कंप्यूटर के "क्लॉक" (घड़ी) को कैसे प्रभावित करता है, इसे जानने से इंजीनियरों को बेहतर सिस्टम बनाने में मदद मिलती है जो गणना को बर्बाद करने से पहले उन गलतियों को पकड़ सकें और ठीक कर सकें।

सारांश

इस शोध पत्र को एक बहुत ही नाजुक, उच्च गति वाली घड़ी के मैनुअल के रूप में देखें। शोधकर्ताओं ने पाया कि घड़ी में एक छोटा, छिपा हुआ स्प्रिंग (लीकेज) है जो इसे उम्मीद से थोड़ा तेज़ या धीमा चलाता है। उस स्प्रिंग को हटाने की कोशिश करने के बजाय, उन्होंने इसके प्रभाव को इतनी सटीकता से मापने का तरीका खोज लिया है कि वे घड़ी के गियर को एडजस्ट करके फिर से सटीक समय बनाए रख सकें। यह एक ऐसे क्वांटम कंप्यूटर के निर्माण की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है जो न केवल सिद्धांत में काम करता है, बल्कि वास्तविक दुनिया में भी विश्वसनीय रूप से काम करता है।

यहाँ शोध पत्र "Impact of leakage on the dynamics of a ST0 qubit implemented in a Double Quantum Dot device" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

सेमीकंडक्टर क्वांटम डॉट्स (QDs) में स्पिन क्वबिट्स, विशेष रूप से डबल क्वांटम डॉट्स (DQDs) में एनकोडेड सिंगलेट-ट्रिपलेट ( $ST_0$ ) क्वबिट्स, अपने तेज़ गेट स्पीड और लंबी सुसंगतता समय (coherence times) के कारण स्केलेबल क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक प्रमुख दावेदार हैं। हालाँकि, उच्च-फिडेलिटी क्वांटम गेटों को लागू करने में एक महत्वपूर्ण चुनौती लीकेज (leakage) है।

मुख्य मुद्दा: जबकि $ST_0$ क्वबिट्स सैद्धांतिक रूप से एक दो-स्तरीय कम्प्यूटेशनल सबस्पेस (सिंगलेट $|S\rangle$ और न्यूट्रल ट्रिपलेट $|T_0\rangle$ ) में एनकोडेड होते हैं, भौतिक प्रणाली एक चार-स्तरीय प्रणाली है जिसमें चार्ज्ड ट्रिपलेट अवस्थाएँ ( $|T_+\rangle$ और $|T_-\rangle$ ) भी शामिल हैं।
परिणाम: वास्तविक परिदृश्यों में, बाहरी नियंत्रण क्षेत्र (विशेष रूप से गेट संचालन के लिए आवश्यक ट्रांसवर्स मैग्नेटिक फील्ड) और शोर के स्रोत (हाइपरफाइन इंटरैक्शन, चार्ज नॉइज़) कम्प्यूटेशनल सबस्पेस और इन उच्च-ऊर्जा लीकेज अवस्थाओं के बीच संक्रमण (transitions) उत्पन्न कर सकते हैं।
अंतराल (The Gap): अधिकांश एरर मॉडल लीकेज को एक साधारण जनसंख्या हानि (असंगत त्रुटि/incoherent error) के रूप में देखते हैं। यह शोध पत्र एक अधिक सूक्ष्म प्रभाव की जांच करता है: ये लीकेज पाथवे, बिना किसी महत्वपूर्ण जनसंख्या हस्तांतरण के भी, कैसे यूनिटरी टाइम इवोल्यूशन ऑपरेटर को बदलते हैं, जिससे व्यवस्थित फेज शिफ्ट (phase shifts) उत्पन्न होते हैं जो ओवर- या अंडर-रोटेशन (कोहेरेंट त्रुटियों) का कारण बनते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक $ST_0$ क्वबिट्स की गतिशीलता का विश्लेषण करने के लिए सैद्धांतिक मॉडलिंग, परटर्बेशन थ्योरी (perturbation theory) और संख्यात्मक सिमुलेशन (numerical simulation) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

हैमिल्टनियन फॉर्मूलेशन (Hamiltonian Formulation):
- सिस्टम को $\{|S\rangle, |T_0\rangle, |T_+\rangle, |T_-\rangle\}$ आधार (basis) में एक 4-लेवल हैमिल्टनियन का उपयोग करके मॉडल किया गया है।
- हैमिल्टनियन में ज़ीमन इंटरैक्शन (मैग्नेटिक फील्ड्स) और हाइजेनबर्ग एक्सचेंज इंटरैक्शन (जो वोल्टेज डिट्यूनिंग $\epsilon$ के माध्यम से ट्यून करने योग्य है) शामिल हैं।
- हैमिल्टनियन को एक कम्प्यूटेशनल सबस्पेस ( $H_{ST0}$ ), एक लीकेज सबस्पेस ( $H_{T\pm}$ ), और ट्रांसवर्स मैग्नेटिक फील्ड ग्रेडिएंट्स ( $\delta B_x, \delta B_y$ ) द्वारा प्रेरित कपलिंग टर्म्स ( $H_{leak}$ ) में विभाजित किया गया है।
विश्लेणात्मक दृष्टिकोण (Analytical Approach):
- परटर्बेशन थ्योरी (PT): कमजोर ट्रांसवर्स फील्ड शासन (regime) में कम्प्यूटेशनल अवस्थाओं के आइजनवैल्यू (ऊर्जा स्तरों) में बदलाव की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया गया है।
- डायसन सीरीज़ एक्सपेंशन (Dyson Series Expansion): समय-निर्भर हैमिल्टनियन (स्थिर पल्स) के लिए टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर को व्युत्पन्न करने के लिए इसका उपयोग किया गया है। यह लेखकों को दूसरे क्रम (second order) तक प्रभावी हैमिल्टनियन और ट्रांजिशन एम्प्लीट्यूड को अनुमानित करने की अनुमति देता है, जो प्रत्यक्ष संक्रमणों और लीकेज-मध्यस्थ पथों के बीच हस्तक्षेप प्रभावों (interference effects) को पकड़ता है।
- सिमेट्री विश्लेषण (Symmetry Analysis): अध्ययन गैर-समान चुंबकीय क्षेत्रों के कारण होने वाले $SU(2) \otimes SU(2)$ सिमेट्री ब्रेकिंग का उपयोग यह समझाने के लिए करता है कि $U(1)$ (सिंगलेट) और $SU(3)$ (ट्रिपलेट) सबस्पेस के बीच संक्रमण कैसे होते हैं।
संख्यात्मक सिमुलेशन (Numerical Simulations):
- लेखक विभिन्न ट्रांसवर्स मैग्नेटिक फील्ड स्ट्रेंथ (0%, 2%, और 10% एक्सचेंज कपलिंग $J$ के) के तहत स्टेट पॉपुलेशन के टाइम इवोल्यूशन का अनुकरण करते हैं।
- औसत गेट फिडेलिटी बाउंड का उपयोग करके चार्ज नॉइज़ और मैग्नेटिक फील्ड फ्लक्चुएशन की उपस्थिति में गेट फिडेलिटी की गणना की जाती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

फेज शिफ्ट को कोहेरेंट एरर के रूप में पहचानना: यह पेपर सिद्ध करता है कि लीकेज केवल जनसंख्या हानि नहीं करता है बल्कि टाइम इवलेशन ऑपरेटर में एक व्यवस्थित फेज शिफ्ट भी पेश करता है। इसके परिणामस्वरूप कोहेरेंट त्रुटियां होती हैं जहाँ क्वबिट ट्रांसवर्स मैग्नेटिक फील्ड के आयाम के आधार पर ओवर- या अंडर-रोटेशन का अनुभव करता है।
प्रभावी हैमिल्टनियन का व्युत्पन्न (Effective Hamiltonian Derivation): लेखक लीकेज के सेकंड-ऑर्डर प्रभावों को ध्यान में रखते हुए एक प्रभावी 2x2 हैमिल्टनियन ( $H_{eff}$ ) व्युत्पन्न करते हैं। यह जटिल 4-लेवल डायनेमिक्स को शिफ्टेड एनर्जी गैप और प्रभावी कपलिंग स्ट्रेंथ के साथ एक संशोधित 2-लेवल सिस्टम के रूप में मॉडल करने की अनुमति देता है।
लीकेज के माध्यम से नियंत्रण तंत्र (Control Mechanism via Leakage): एक नवीन खोज यह है कि लीकेज टर्म्स को क्वांटम गेट की गति को ट्यून करने के लिए नियंत्रित किया जा सकता है। ट्रांसवर्स मैग्नेटिक फील्ड्स को समायोजित करके, आप गेट फिडेलिटी से समझौता किए बिना विशिष्ट रोटेशन करने के लिए आवश्यक समय को प्रभावी रूप से कम या बढ़ा सकते हैं।
रीडआउट और एरर मिटिगेशन पर प्रभाव: अध्ययन विश्लेषण करता है कि लीकेज रीडआउट प्रक्रिया (पॉली स्पिन ब्लॉकेड) को कैसे प्रभावित करता है और ज़ीरो-नॉइज़ एक्सट्रपलेशनेशन (ZNE) जैसी क्वांटम एरर मिटिगेशन (QEM) तकनीकों को कैसे प्रभावित करता है। यह इस बात पर प्रकाश डालता है कि लीकेज, गेट अवधि और शोर संचय (noise accumulation) के बीच के संबंध को बदल देता है, जो QEM प्रोटोकॉल को कैलिब्रेट करने के लिए महत्वपूर्ण है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

रोटेशन स्पीड मॉड्यूलेशन (Rotation Speed Modulation):
- रोटेशन करने के लिए आवश्यक समय ( $\tau$ ) अब केवल एक्सचेंज कपलिंग $J$ या लॉन्गिट्यूडिनल फील्ड ग्रेडिएंट $\delta B_z$ द्वारा निर्धारित नहीं होता है।
- ट्रांसवर्स फील्ड्स ( $B_x, B_y$ ) की उपस्थिति प्रभावी ऊर्जा अंतराल को संशोधित करती है। पेपर विश्लेषणात्मक बाउंड (Eqs. 29 और 30) प्रदान करता है जो दिखाता है कि $\tau_X$ और $\tau_Z$ , ट्रांसवर्स फील्ड एम्प्लीट्यूड पर निर्भर करते हैं।
- परिणाम: लीकेज गेट्स को तेज़ या धीमा बना सकता है। उदाहरण के लिए, ट्रांसवर्स मैग्नेटिक फील्ड्स का एक विशिष्ट विन्यास गेट समय को कम कर सकता है, जिससे संभावित रूप से इनकोहेरेंट शोर (decoherence) के संपर्क को कम किया जा सकता है।
फिडेलिटी विश्लेषण (Fidelity Analysis):
- गेट फिडेलिटी: कमजोर ट्रांसवर्स फील्ड्स की उपस्थिति में, गेट फिडेलिटी बाउंड उच्च रहता है क्योंकि कम्प्यूटेशनल और लीकेज अवस्थाओं के बीच ऊर्जा अंतराल शोर के आयामों की तुलना में बड़ा होता है। प्राथमिक त्रुटि स्रोत जनसंख्या लीकेज नहीं बल्कि कोहेरेंट फेज एरर का संचय है।
- रीडआउट फिडेलिटी: लीकेज नॉन-यूनिटरी ऑपरेटर्स के प्रभावी कपलिंग को बदलकर रीडआउट प्रक्रिया को प्रभावित करता है। दिखाया गया है कि रीडआउट स्टेट की कोहेरेंस टाइम ( $T_1$ ), ट्रांसवर्स फील्ड एम्प्लीट्यूड पर निर्भर करती है।
त्रुटियों का संचय (Accumulation of Errors):
- हालांकि लीकेज के कारण एक एकल गेट त्रुटि छोटी होती है, पेपर इस बात पर जोर देता है कि गहरे सर्किटों (जैसे शोर के विरुद्ध $10^{18}$ गेट्स की आवश्यकता वाले शोरर एल्गोरिदम) में, ये व्यवस्थित फेज शिफ्ट संचित होते हैं, जिससे यदि अनियंत्रित छोड़ा गया तो विनाशकारी विफलता हो सकती है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

क्वांटम एरर करेक्शन (QEC) के लिए: लीकेज को पारंपरिक रूप से एक "लीकेज एरर" (इरेज़र) के रूप में देखा जाता है। यह कार्य इसे कमजोर शासन (weak regime) में कोहेरेंट एरर (फेज शिफ्ट) के स्रोत के रूप में पुनर्गठित करता है। यह अंतर QEC कोड्स को डिजाइन करने के लिए महत्वपूर्ण है, क्योंकि कोहेरेंट एरर्स के लिए इनकोहेरेंट एरर्स की तुलना में अलग मिटिगेशन रणनीतियों (जैसे Pauli twirling) की आवश्यकता होती है।
क्वांटम एरर मिटिगेशन (QEM) के लिए: ज़ीरो-नॉइज़ एक्सट्रपलेशनेशन (ZNE) जैसी तकनीकें शोर को स्केल करने (अक्सर पल्स ड्यूरेशन को बढ़ाकर) पर निर्भर करती हैं। चूंकि लीकेज, पल्स ड्यूरेशन और यूनिटरी इवोल्यूशन के बीच के संबंध को बदल देता है, इसलिए लीकेज को अनदेखा करने से गलत शोर एक्सट्रपलेशन और गलत परिणाम मिल सकते हैं।
प्रायोगिक प्रासंगिकता (Experimental Relevance): निष्कर्ष बताते हैं कि प्रयोगकर्ताओं को न केवल लीकेज को कम करने का प्रयास करना चाहिए, बल्कि इसका चरित्र चित्रण (characterize) और संभावित रूप से इसका उपयोग भी करना चाहिए। ट्रांसवर्स मैग्नेटिक फील्ड्स को नियंत्रित करने का उपयोग गेट स्पीड और कोहेरेंस टाइम को अनुकूलित करने के लिए एक "नॉब" के रूप में किया जा सकता है।
सामान्यीकरण (Generalizability): डायसन सीरीज़ एक्सपेंशन और सिमेट्री ब्रेकिंग विश्लेषण का सैद्धांतिक ढांचा किसी भी ऐसी क्वांटम तकनीक पर लागू होता है जिसमें दो से अधिक सुलभ ऊर्जा स्तर होते हैं, जिसमें सुपरकंडक्टिंग क्वबिट्स और अन्य स्पिन क्वबिट आर्किटेक्चर शामिल हैं।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र यह समझने के लिए एक कठोर सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है कि $ST_0$ क्वबिट्स में "लीकेज" कैसे एक दोधारी तलवार के रूप में कार्य करता है: यह व्यवस्थित कोहेरेंट त्रुटियां पेश करता है जिन्हें कैलिब्रेट करना आवश्यक है, लेकिन यह बेहतर प्रदर्शन के लिए गेट डायनेमिक्स को ट्यून करने के लिए एक डिग्री ऑफ फ्रीडम भी प्रदान करता है।