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Clifford-Deformed Compass Codes

यह शोध पत्र क्लिफोर्ड-विकृत दीर्घित कंपास कोड (Clifford-deformed elongated compass codes) प्रस्तावित करता है जो पक्षपाती विसंकेतन शोर (biased dephasing noise) के तहत बेहतर त्रुटि थ्रेशोल्ड और निम्न तार्किक त्रुटि दर प्राप्त करने के लिए अनुकूलित समरूपताओं और गेज फिक्सिंग का लाभ उठाते हैं, जो मध्यम पक्षपात पर XZZX सतह कोड से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।

मूल लेखक: Julie A. Campos, Kenneth R. Brown

प्रकाशित 2026-04-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Julie A. Campos, Kenneth R. Brown

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप नावों के एक बेड़े का उपयोग करके एक तूफानी समुद्र के पार एक गुप्त संदेश भेजने की कोशिश कर रहे हैं। तूफान का "शोर" (noise) उन त्रुटियों (errors) का प्रतिनिधित्व करता है जो आपके संदेश को उल्टा कर सकती हैं या उसे अस्त-व्यस्त कर सकती हैं। क्वांटम कंप्यूटरों की दुनिया में, ये तूफान वास्तविक हैं, और ये लगातार होते रहते हैं। जीवित रहने के लिए, हम क्वांटम एरर करेक्शन (QEC) का उपयोग करते हैं—जो मूल रूप से कई छोटी नावों (फिजिकल क्वबिट्स) का एक समूह है जो मिलकर एक बड़े, बहुमूल्य कार्गो (एक लॉजिकल क्वबिट) की रक्षा करते हैं।

यह शोध पत्र विशेष रूप से उस तूफान के लिए बेहतर नावों का बेड़ा डिजाइन करने के बारे में है जो मुख्य रूप से एक दिशा में बहता है (डीफेज़िंग एरर्स), न कि उस तूफान के लिए जो सभी दिशाओं में बेतरतीब ढंग से बहता है।

यहाँ उनकी खोज का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "एक-तरफ़ा" तूफान

अधिकांश वैज्ञानिक पहले अपने एरर-करेक्शन कोड को यह मानकर डिजाइन करते थे कि तूफान यादृच्छिक (रैंडम) है (डीपोलराइजिंग नॉइज़)—जैसे कि हर कोण से टकराने वाला एक चक्रवात। लेकिन वास्तविक क्वांटम कंप्यूटरों में (जैसे गूगल या आईबीएम द्वारा बनाए गए), "हवा" आमतौर पर केवल एक ही दिशा में चलती है। यह एक नदी की धारा की तरह है जो सब कुछ नीचे की ओर धकेलती है, लेकिन शायद ही कभी ऊपर की ओर धकेलती है।

यदि आप एक ऐसी नाव बनाते हैं जो रैंडम चक्रवात के लिए डिज़ाइन की गई है, तो यह नीचे की ओर बहने वाली धारा के लिए ज़रूरत से ज़्यादा मज़बूत (over-engineered) होगी और उस विशिष्ट दबाव के लिए कमज़ोर (under-engineered) होगी जिसका सामना वह वास्तव में करती है।

2. पुराना समाधान: "लंबा कम्पास"

लेखकों ने एलोंगेटेड कंपास कोड (Elongated Compass Code) नामक एक डिज़ाइन से शुरुआत की।

उपमा: नावों के एक ग्रिड की कल्पना करें। नीचे की ओर बहने वाली धारा को संभालने के लिए, उन्होंने ग्रिड को लंबा और पतला खींच दिया। इसने नावों को "डाउनस्ट्रीम" दिशा से आने वाली त्रुटियों को पहचानने और ठीक करने में बहुत कुशल बना दिया।
दोष: हालांकि यह विशिष्ट धारा के लिए बहुत अच्छा था, लेकिन इसने नावों को थोड़ा अनाड़ी बना दिया जब हवा थोड़ी बदल जाती है या जब धारा बहुत तेज़ हो जाती है। यह एक विशिष्ट उपकरण था जो केवल हवा की एक विशेष गति के "स्वीट स्पॉट" पर ही अच्छा काम करता था।

3. नया विचार: "क्लिफोर्ड डिफॉर्मेशन" (जादुई दर्पण)

लेखकों ने पूछा: क्या हम इस खींचे हुए ग्रिड को इसके विशेष आकार को खोए बिना और भी बेहतर बनाने के लिए इसमें थोड़ा बदलाव कर सकते हैं?

उन्होंने क्लिफोर्ड डिफॉर्मेशन (Clifford Deformation) नामक एक गणितीय तकनीक का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना करें कि आपके पास आपके नाव बेड़े का एक मानचित्र है। आप एक जादु적인 दर्पण (हैडामार्ड ट्रांसफॉर्मेशन) लेते हैं और कुछ नावों को पलट देते हैं। आप नावों को हिलाते नहीं हैं; आप बस यह बदलते हैं कि वे पानी को कैसे "पढ़ती" हैं।
परिणाम: यह एक नई समरूपता (symmetry) बनाता है। यह ऐसा है जैसे यह महसूस करना कि यदि आप अपने मानचित्र को घुमाते हैं, तो "डाउनस्ट्रीम" त्रुटियां अब एक सीधी रेखा में चलती हुई दिखाई देंगी, जिससे उन्हें पहचानना और ठीक करना अविश्वसनीय रूप से आसान हो जाता है।

उन्होंने इन नावों को पलटने के दो विशिष्ट तरीके आजमाए:

XZZX स्क्वायर डिफॉर्मेशन: एक विशिष्ट चेकरबोर्ड पैटर्न में नावों को पलटना।
ZXXZ स्क्वायर डिफॉर्मेशन: थोड़े अलग पैटर्न में (ऊपर-बाएँ और नीचे-दाएँ) नावों को पलटना।

4. बड़ी सफलता: "ZXXZ" सुपर-ग्रिड

शोध पत्र में पाया गया कि इन नए पैटर्न में से एक (ZXXZ डिफॉर्मेशन) गेम-चेंजर साबित हुआ।

"दोष" (Defect) की उपमा: जब कोई त्रुटि होती है, तो वह ग्रिड पर एक "निशान" या "दोष" छोड़ देती है। पुराने कोड में, ये निशान एक बिखरे हुए, अराजक बादल की तरह फैल सकते थे, जिससे यह बताना मुश्किल हो जाता था कि मूल त्रुटि कहाँ थी।
नया जादू: ZXXZ डिफॉर्मेशन अदृश्य दीवारों के एक सेट की तरह काम करता है। यह इन त्रुटि निशानों को सीधी रेखाओं में रहने के लिए मजबूर करता है। एक बिखरे हुए बादल के बजाय, त्रुटियां एक सीधी ट्रेन ट्रैक की तरह दिखती हैं।
यह क्यों मायने रखता है: कंप्यूटर के "डिकोडर" (कप्तान जो बेड़े को ठीक करने की कोशिश कर रहा है) के लिए एक अराजक बादल का पीछा करने के बजाय एक सीधी ट्रेन ट्रैक का पीछा करना बहुत आसान है।

5. परिणाम: सर्वश्रेष्ठ को मात देना

लेखकों ने अपने नए कोड का परीक्षण वर्तमान "गोल्ड स्टैंडर्ड" (XZZX सरफेस कोड) के विरुद्ध किया।

"कोड कैपेसिटी" (सैद्धांतिक आदर्श) के तहत: एक आदर्श दुनिया में जहाँ हम केवल हवा की चिंता करते हैं और नाव के इंजनों की नहीं, उनके नए ZXXZ-डिफॉर्म्ड कोड्स गोल्ड स्टैंडर्ड से बेहतर प्रदर्शन करते हैं। वे संदेश खोने से पहले बहुत अधिक "धाराओं" (उच्च त्रुटि दरों) को संभाल सकते थे।
"फेनोमेनोलॉजिकल नॉइज़" (वास्तविक सिमुलेशन) के तहत: जब उन्होंने वास्तविक दुनिया के नाव इंजनों (मापन त्रुटियों और सर्किट टाइमिंग) की जटिलता को जोड़ा, तो लाभ कम हो गया। नए कोड अभी भी बहुत अच्छे हैं, लेकिन गोल्ड स्टैंडर्ड ने अपनी पकड़ बनाए रखी। ऐसा इसलिए है क्योंकि नए कोडों में बड़े, अधिक जटिल "नाव" (स्टेबलाइजर्स) का उपयोग होता है जिन्हें प्रबंधित करना कठिन होता है।

निष्कर्ष (The Bottom Line)

लेखकों ने केवल एक बेहतर नाव नहीं खोजी; उन्होंने त्रुटि-सुधार कोड के "मानचित्र को फिर से आकार देने" का एक तरीका खोजा ताकि यह वास्तविक क्वांटम कंप्यूटरों की विशिष्ट "हवा" के साथ पूरी तरह मेल खा सके।

पहले: हमारे पास एक ऐसा कोड था जो हवा की एक विशिष्ट गति के लिए अच्छा था लेकिन संघर्ष करता था यदि हवा बहुत तेज़ हो जाती।
अब: हमारे पास एक ऐसा कोड है जो हवा के और भी तेज़ होने पर बेहतर होता जाता है (एक बिंदु तक), प्रभावी रूप से एक कमजोरी (बायस्ड नॉइज़) को एक ताकत में बदल देता है।

हालांकि नए कोड इंजीनियरिंग जटिलता के कारण हर वास्तविक-दुनिया के परिदृश्य में वर्तमान चैंपियनों को बदलने के लिए पूरी तरह तैयार नहीं हैं, लेकिन वे यह सिद्ध करते हैं कि सरल गणितीय बदलावों के साथ हमारे कोड को "विकृत" (deform) करके, हम ऐसे क्वांटम कंप्यूटर बना सकते हैं जो उस विशिष्ट प्रकार के शोर के प्रति बहुत अधिक लचीले होते हैं जिसका वे वास्तव में सामना करते हैं।

यहाँ जूली ए. कैम्पोस और केनेथ आर. ब्राउन के शोध पत्र "क्लिफर्ड डिफॉर्मड कंपास कोड्स" (Clifford Deformed Compass Codes) का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

क्वांटम एरर करेक्शन (QEC) फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए आवश्यक है, लेकिन मानक शोर मॉडल (जैसे डिपोलराइजिंग नॉइज़) अक्सर वास्तविक हार्डवेयर की विशिष्ट विशेषताओं को पकड़ने में विफल रहते हैं। कई क्वांटम आर्किटेक्चर (जैसे सुपरकंडक्टिंग कैट क्वबिट्स, ट्रैप्ड आयन) बायस्ड नॉइज़ (biased noise) प्रदर्शित करते हैं, जहाँ डीफेज़िंग ( $Z$ ) त्रुटियाँ बिट-फ्लिप ( $X$ ) या बिट-फेज़-फ्लिप ( $Y$ ) त्रुटियों की तुलना में बहुत अधिक बार होती हैं।

जबकि मौजूदा कोड जैसे कि XZZX सरफेस कोड और एलोंगेटेड कंपास कोड्स (elongated compass codes) ने बायस्ड नॉइज़ के तहत आशाजनक परिणाम दिखाए हैं, उनकी कुछ सीमाएँ हैं:

एलोंगेटेड कंपास कोड्स: ये कोड विशिष्ट बायस स्तरों के लिए प्रदर्शन को अनुकूलित करने के लिए वेट-2 $X$ स्टेबलाइजर्स की संख्या बढ़ाकर काम करते हैं। हालाँकि, इनका प्रदर्शन एक विशिष्ट "इष्टतम बायस" ( $\eta_{opt}$ ) पर चरम पर होता है और जैसे-जैसे बायस और बढ़ता है, $X$ और $Z$ डिकोडिंग क्षमताओं में विषमता के कारण यह कम होने लगता है।
XZZX सरफेस कोड: हालांकि यह बायस्ड नॉइज़ की एक विस्तृत श्रृंखला में मजबूत है, लेकिन यह विशिष्ट उच्च-बायस शासन (high-bias regimes) के लिए एलोंगेटेड कंपास कोड्स के संरचनात्मक लाभों का पूरी तरह से उपयोग नहीं कर पाता है।

लेखक ऐसे QEC कोड डिजाइन करने का लक्ष्य रखते हैं जो एलोंगेटेड कंपास कोड्स के संरचनात्मक लाभों को बनाए रखें और साथ ही व्यापक स्पेक्ट्रम वाले उच्च-बायस शोर मॉडलों में थ्रेशोल्ड और लॉजिकल एरर रेट्स को बेहतर बनाने के लिए समरूपता (symmetries) पेश करें।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

शोर मॉडल (Noise Model)

लेखक एकल-क्विबिट पाउली नॉइज़ चैनल का उपयोग करते हैं जहाँ त्रुटियाँ $p_x, p_y, p_z$ प्रायिकता के साथ होती हैं। शोर डीफेज़िंग ( $Z$ त्रुटियों) की ओर झुका हुआ है, जिसे बायस पैरामीटर $\eta = p_z / (p_x + p_y)$ द्वारा मापा जाता है। वे $\eta = 0.5$ (अनबायस्ड/डिपोलराइजिंग) से लेकर $100$ तक के बायस के लिए कोड का मूल्यांकन करते हैं।

कोड कैपेसिटी मॉडल (Code Capacity Model): यह पूर्ण सिंड्रोम निष्कर्षण (perfect syndrome extraction) मानता है; त्रुटियाँ केवल डेटा क्विबिट्स पर होती हैं।
फेनोमेनोलॉजिकल मॉडल (Phenomenological Model): इसमें मेजरमेंट एरर शामिल हैं। महत्वपूर्ण रूप से, एलोंगेटेड कंपास कोड्स में आवश्यक गहरे सर्किट को ध्यान में रखते हुए, मेजरमेंट एरर दरों को स्टेबलाइजर वेट ( $w$ ) के आधार पर भारित (weighted) किया जाता है।

कोड निर्माण: क्लिफर्ड डिफॉर्मेशन (Code Construction: Clifford Deformations)

मुख्य कार्यप्रणाली में एलोंगेटेड कंपास कोड्स पर क्लिफर्ड डिफॉर्मेशन (Clifford deformations) लागू करना शामिल है। एक क्लिफर्ड डिफॉर्मेशन सिंगल-क्विबिट क्लिफर्ड ऑपरेटर्स (विशेष रूप से हैडामार्ड गेट्स) के माध्यम से स्टेबलाइजर्स को संशोधित करता है, बिना कोड की दूरी या सपोर्ट क्विबिट्स को बदले।

लक्ष्य: एलोंगेटेड कंपास कोड्स के साथ $\ell$ एलोंगेशन पैरामीटर (जहाँ $\ell=2$ रोटेटेड सरफेस कोड है)।
रणनीति: लेखक दो विशिष्ट डिफॉर्मेशन पेश करते हैं जो वेट-2 $X$ $X$ स्टेबलाइजर्स (जो $Z$ $Z$ त्रुटियों का पता लगाने के लिए महत्वपूर्ण हैं) को सुरक्षित रखने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, जबकि डिफेक्ट प्रसार (defect propagation) को प्रतिबंधित करने के लिए समरूपता पेश करते हैं:
1. $XZZX_{\square}$ डिफॉर्मेशन: वेट-4 $X$ स्टेबलाइजर्स के टॉप-राइट और बॉटम-लेफ्ट क्विबिट्स पर हैडामार्ड गेट्स लागू करता है। यह उन्हें $XZZX$ रूप में बदल देता है।
2. $ZXXZ_{\square}$ डिफॉर्मेशन: वेट-4 $X$ स्टेबलाइजर्स के टॉप-लेफ्ट और बॉटम-राइट क्विबिट्स पर हैडामार्ड गेट्स लागू करता है। यह केवल कोड की टॉप और बॉटम पंक्तियों को प्रभावित करता है।

डिकोडिंग (Decoding)

लेखक मिनिमम-वेट परफेक्ट मैचिंग (MWPM) डिकोडर का उपयोग करते हैं।

चूंकि डिफॉर्मड कोड अब CSS (Calderderbank-Shor-Steane) कोड नहीं हैं, इसलिए $X$ और $Z$ सिंड्रोम को मानक तरीके से स्वतंत्र रूप से डिकोड नहीं किया जा सकता है।
समाधान: लेखक बायस्ड नॉइज़ के तहत डिफॉर्मड कोड के डिकोडिंग समस्या को एक इनहोमोजिनियस नॉइज़ मॉडल के तहत अनडिफॉर्मड CSS कोड की समकक्ष डिकोडिंग समस्या में मैप करते हैं। हैडामार्ड ट्रांसफॉर्मेशन से गुजरे क्विबिट्स के आधार पर डिकोडर ग्राफ में एज वेट्स (edge weights) को समायोजित करके, वे डिफॉर्मड सिंड्रोम्स को डिकोड करने के लिए मानक CSS डिकोडर ग्राफ का उपयोग कर सकते हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

नवीन कोड परिवार: $XZZX_{\square}$ और $ZXXZ_{\square}$ डिफॉर्मड एलोंगेटेड कंपास कोड्स का परिचय। ये कोड्स मूल कंपास कोड्स के हाई-वेट $X$ स्टेबलाइजर्स को बनाए रखते हैं जबकि डिफेक्ट के प्रसार को सीमित करने वाली समरूपता पेश करते हैं।
डिकोडर ग्राफ विश्लेषण: यह विश्लेषण कि ये डिफॉर्मेशन डिकोडर ग्राफ को कैसे बदलते हैं।
- $XZZX_{\square}$ डिफॉर्मेशन लो-वेट ग्राफ को विलगित क्षेत्रों (disjoint regions) में विभाजित करता है, जिससे उच्च-दर त्रुटि प्रसार सीमित होता है, लेकिन हाई-वेट ग्राफ में हाई-डिग्री वर्टिक्सस बनाता है।
- $ZXXZ_{\square}$ डिफॉर्मेशन लो-वेट ग्राफ में विलगित स्ट्रिंग्स (disjoint strings) बनाता है और हाई-वेट ग्राफ को विभाजित करता है, जो मध्यम बायस के लिए एक संतुलित संरचना प्रदान करता है।
परफॉरमेंस बेंचमार्किंग: कोड कैपेसिटी और फेनोमेनोलॉजिकल नॉइज़ मॉडल दोनों के तहत मानक CSS एलोंगेटेड कंपास कोड और XZZX सरफेस कोड के विरुद्ध व्यापक मोंटे कार्लो सिमुलेशन।

4. परिणाम (Results)

कोड कैपेसिटी नॉइज़ (आदर्श सिंड्रोम निष्कर्षण)

थ्रेशोल्ड रुझान (Threshold Trends):
- मानक CSS एलोंगेटेड कंपास कोड एक विशिष्ट इष्टतम बायस ( $\eta_{opt}$ ) पर अधिकतम थ्रेशोल्ड तक पहुँचते हैं और बायस बढ़ने पर स्थिर हो जाते हैं।
- $XZZX_{\square}$ कोड बायस के साथ बढ़ते हुए थ्रेशोल्ड दिखाते हैं, लेकिन बहुत उच्च बायस पर उच्च एलोंगेशन ( $\ell$ ) का लाभ कम हो जाता है।
- $ZXXZ_{\square}$ कोड सबसे महत्वपूर्ण सुधार प्रदर्शित करते हैं। उनके थ्रेशोल्ड बायस के साथ तेजी से बढ़ते हैं और मध्यम से उच्च बायस ( $10 < \eta \le 100$ ) के लिए XZZX सरफेस कोड थ्रेशोल्ड को भी पार कर जाते हैं।
लॉजिकल एरर रेट्स:
- भौतिक एरर रेट $p=0.05$ और $p=0.10$ पर, $ZXXZ_{\square}$ डिफॉर्मड कोड $\eta \ge 10$ के लिए सभी परीक्षण किए गए कोडों में सबसे कम लॉजिकल एरर रेट प्राप्त करते हैं।
- विशेष रूप से, कुछ बायस पर, $ZXXZ_{\square}$ कोड लॉजिकल एरर रेट सप्रेशन में XZZX सरफेस कोड से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।

फेनोमेनोलॉजिकल नॉइज़ (यथार्थवादी सिंड्रोम निष्कर्षण)

जब स्टेबलाइजर साइज द्वारा भारित मेजरमेंट एरर को शामिल किया जाता है, तो प्रदर्शन का परिदृश्य बदल जाता है।
$ZXXZ_{\square}$ कोड अभी भी बायस के साथ बढ़ते हुए थ्रेशोल्ड दिखाते हैं।
हालाँकि, XZZX सरफेस कोड इस शासन में उच्चतम पूर्ण थ्रेशोल्ड प्राप्त करता है। एलोंगेटेड कंपास कोड्स के बढ़े हुए स्टेबलाइजर वेट के कारण अधिक मेजरमेंट एरर होते हैं, जो कोड कैपेसिटी मॉडल में देखे गए सैद्धांतिक थ्रेशोल्ड लाभों को निष्प्रभावी कर देते हैं।
इसके बावजूद, डिफॉर्मड कोड सफलतापूर्वक बायस के साथ बढ़ते थ्रेशोल्ड प्राप्त करने का लक्ष्य हासिल करते हैं, जो मानक CSS कोड के विपरीत है।

5. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

बायस्ड हार्डवेयर के लिए अनुकूलन: यह कार्य यह प्रदर्शित करता है कि विशिष्ट हार्डवेयर नॉइज़ बायस के लिए क्लिफर्ड डिफॉर्मेशन को अनुकूलित करके, हम ऐसे कोड बना सकते हैं जो कोड कैपेसिटी लिमिट में वर्तमान अत्याधुनिक (XZZX सरफेस कोड) से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।
ट्रेड-ऑफ प्रबंधन: यह अध्ययन एलोंगेटेड कोड्स के सैद्धांतिक लाभों (बेहतर $Z$ एरर डिटेक्शन) और उच्च-वेट स्टेबलाइजर्स की व्यावहारिक लागतों (बढ़े हुए मेजरमेंट एरर) के बीच के ट्रेड-ऑफ को उजागर करता है।
भविष्य की दिशाएं: लेखक सुझाव देते हैं कि जबकि फेनोमेनोलॉजिकल परिणाम XZZX सरफेस कोड के पक्ष में हैं, डिफॉर्मड कंपास कोड्स बेहतर हो सकते हैं यदि उन्हें सर्किट-लेवल नॉइज़ मॉडल के साथ लागू किया जाए जो बायस-प्रिजर्विंग गेट्स और अनुकूलित सिंड्रोम निष्कर्षण शेड्यूल्स का उपयोग करते हैं।
व्यापक प्रभाव: क्लिफर्ड डिफॉर्मेशन को गैर-सरफेस कोड (जैसे कंपास कोड) पर लागू करने की कार्यप्रणाली, विशिष्ट डिकोडर ग्राफ संरचनाओं को इंजीनियर करने के लिए विविध क्वांटम आर्किटेक्चर (जिसमें मेजरमेंट-बेस्ड और फ्यूजन-बेस्ड क्वांटम कंप्यूटिंग शामिल है) के लिए QEC कोड डिजाइन करने हेतु एक सामान्य ढांचा प्रदान करती है।

संक्षेप में, यह पेपर सफलतापूर्वक लक्षित क्लिफर्ड डिफॉर्मेशन को लागू करके एलोंगेटेड कंपास कोड्स की उपयोगिता का विस्तार करता है, जिसके परिणामस्वरूप $ZXXZ_{\square}$ कोड प्राप्त होता है, जो उच्च-बायस स्थितियों में (सर्किट-लेवल ओवरहेड की अनुपस्थिति में) XZZX सरफेस कोड की तुलना में बेहतर लॉजिकल एरर रेट और थ्रेशोल्ड प्रदान करता है।