⚛️ नाभिकीय सिद्धांत

Pfaffian and minor formulas in number-conserved pairing theory

यह शोध पत्र सम और विषम प्रणालियों दोनों के लिए संख्या-संरक्षित युग्मन सिद्धांत (number-conserved pairing theory) में नॉर्म्स और डेंसिटी मैट्रिसेस की गणना के लिए क्लोज्ड-फॉर्म पैफ़ियन (Pfaffian) और माइनर सूत्रों को प्रस्तुत करता है, जिन्हें फिर $^{70}$ Ge और $^{69}$ Ge के निम्न-स्तरीय सामूहिक बैंडों की व्याख्या करने के लिए कोणीय-संवेग-प्रक्षेपित BCS गणनाओं में लागू किया गया है।

मूल लेखक: G. J. Fu

प्रकाशित 2026-10-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: G. J. Fu

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परमाणु के हृदय के भीतर, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन केवल एक स्थिर ढेर की तरह नहीं बैठे होते; वे क्वांटम यांत्रिकी के एक जटिल, समन्वित नृत्य में चलते हैं। इन सूक्ष्म कणों के व्यवहार को समझने के लिए, वैज्ञानिक अक्सर ऐसी सिद्धांतों पर भरोसा करते हैं जो उन्हें इस तरह व्यवहार करने के लिए प्रेरित करते हैं जैसे कि वे जोड़े में हों, ठीक वैसे ही जैसे नर्तक हाथ थामकर नाचते हैं। यह युग्मन (पेयरिंग) एक मौलिक बल है जो नाभिक को एक साथ रखने में मदद करता है और इसके आकार को निर्धारित करता है। हालाँकि, इस क्षेत्र में एक बड़ी चुनौती यह रही है कि सबसे सामान्य गणितीय उपकरण, जिनका उपयोग इन जोड़ों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, अक्सर प्रकृति के एक महत्वपूर्ण नियम को तोड़ देते हैं: वे कणों की कुल संख्या में उतार-चढ़ाव की अनुमति देते हैं। जबकि यह अनुमान बहुत बड़ी प्रणालियों के लिए अच्छा काम करता है, यह परमाणु नाभिक जैसे छोटे, परिमित पिंडों के अध्ययन में विफल हो जाता है, जहाँ प्रत्येक कण की गिनती करना सटीकता के लिए आवश्यक है। शोधकर्ताओं को लंबे समय से एक ऐसे तरीके की आवश्यकता थी जो इन युग्मित प्रणालियों का वर्णन कर सके जबकि कणों की संख्या को सख्ती से स्थिर रखे, जो कि इन नाभिकों के कंपन, घूर्णन और आकार बदलने की भविष्यवाणी करने के लिए जटिल गणनाओं के चक्रव्यूह से गुजरने जैसा एक कार्य है।

शंघाई में टोंगजी विश्वविद्यालय के भौतिक विज्ञानी जी. जे. फू द्वारा किया गया एक नया अध्ययन इस विशिष्ट समस्या को हल करने के लिए एक शक्तिशाली नए गणितीय उपकरणों का सेट प्रदान करता है। शोधकर्ता ने सटीक, क्लोज्ड-फॉर्म सूत्र विकसित किए हैं जो वैज्ञानिकों को कणों की संख्या को सख्ती से संरक्षित करते हुए परमाणु नाभिकों के गुणों की गणना करने की अनुमति देते हैं। ये सूत्र एक सेतु (ब्रिज) के रूप में कार्य करते हैं, जो नाभक के विभिन्न सैद्धांतिक अवस्थाओं को जोड़ते हैं और शोधकर्ताओं को वास्तविकता का सबसे सटीक वर्णन खोजने के लिए उन्हें आपस में मिलाने की अनुमति देते हैं। पिछले तरीकों के विपरीत, जो टूटे हुए जोड़ों या विषम संख्या वाले कणों की जटिलता से जूझते थे, यह नया दृष्टिकोण सम और विषम दोनों प्रकार की कण संख्याओं के लिए सहजता से काम करता है। यह उन स्थितियों को भी संभालता है जहाँ जोड़े बरकरार हैं और जहाँ वे टूटे हुए हैं, जो कि एक निश्चित अवस्था में नाभिक को खोजने की संभावना (नॉर्म) और विभिन्न बलों के प्रति नाभिक की प्रतिक्रिया का वर्णन करने वाले मैट्रिक्स तत्वों की गणना करने का एक एकीकृत तरीका प्रदान करता है। इन सूत्रों का उपयोग करके, वैज्ञानिक अब परमाणु नाभिक के कुल स्पिन (spin) को प्रोजेक्ट करने जैसी उन्नत तकनीकों को लागू कर सकते हैं, जिससे कण संरक्षण के महत्वपूर्ण विवरण को खोए बिना इन सूक्ष्म दुनियाओं की वास्तविक संरचना को प्रकट किया जा सके।

इन सूत्रों की शक्ति का परीक्षण करने के लिए, अध्ययन ने जर्मेनियम के दो विशिष्ट आइसोटोप्स पर इसे लागू किया: जर्मेनियम-70 और जर्मेनियम-69। जर्मेनियम-70 एक सम-संख्या वाला नाभिक है, जिसका अर्थ है कि इसमें प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की समान संख्या है जिन्हें जोड़ा जा सकता है। दूसरी ओर, जर्मेनियम-69 में न्यूट्रॉन की विषम संख्या है, जिससे एक कण अकेला रह जाता है। शोधकर्ता ने एक विधि का उपयोग किया जिसे 'एंगुलर-मोमेंटम-प्रोजेक्टेड नंबर-कन्जर्व्ड BCS थ्योरी' कहा जाता है, जो नए सूत्रों को एक ऐसी तकनीक के साथ जोड़ता है जो नाभिक को एक विशिष्ट, सुस्पष्ट स्पिन देने के लिए मजबूर करती है। लक्ष्य यह देखना था कि क्या यह दृष्टिकोण इन नाभिकों के ज्ञात ऊर्जा स्तरों और आकारों, विशेष रूप से उनके सामूहिक बैंडों (collective bands) को सटीक रूप से पुनरुत्पादित कर सकता है, जो उत्तेजित अवस्थाओं के ऐसे क्रम हैं जो एक परिवार की तरह एक साथ चलते हैं।

जर्मेनियम-70 के लिए, गणनाओं से पता चला कि नाभिक का केवल एक सरल आकार नहीं है। इसके बजाय, निम्नतम ऊर्जा अवस्थाएं, जिन्हें ग्राउंड बैंड और गामा बैंड कहा जाता है, मुख्य रूप से एक ट्रिएक्सियल (triaxial) आकार से उत्पन्न होती हैं, जहाँ नाभिक तीन अलग-अलग दिशाओं में खिंचा हुआ होता है, जो एक थोड़े दबे हुए गोले के समान है जो पूरी तरह से गोल नहीं है। इसके विपरीत, एक उच्च-ऊर्जा बीटा बैंड को एक चपटे, अक्षीय सममित (axially symmetric) आकार से प्राप्त होते हुए पाया गया। अध्ययन ने दिखाया कि ग्राउंड स्टेट इन विभिन्न आकारों को आपस में मिलाकर महत्वपूर्ण स्थिरता प्राप्त करता है, एक ऐसी प्रक्रिया जिसे पिछले तरीकों ने शायद छोड़ दिया होता। परिणाम प्रयोगात्मक डेटा के साथ उल्लेखनीय रूप से मेल खाते हैं, जो ऊर्जा स्तरों और उनके बीच के संक्रमणों की ताकत की सही भविष्यवाणी करते हैं। उदाहरण के लिए, मॉडल ने सफलतापूर्वक वर्णन किया कि नाभिक घूमते समय ऊर्जा कैसे उत्सर्जित करता है, विभिन्न प्रकार के रोटेशनल बैंड्स के बीच अंतर करता है, और यह समझाता है कि क्यों कुछ संक्रमण मजबूत होते हैं जबकि अन्य कमजोर।

अध्ययन ने जर्मेनियम-69 पर भी ध्यान केंद्रित किया, जो एक विषम-द्रव्यमान वाला नाभिक है जिसमें एक अकेला कण है। यह मामला अधिक कठिन है क्योंकि अकेला कण जटिल तरीकों से युग्मित कोर के साथ अंतःक्रिया करता है। शोधकर्ता ने एक ऐसा मॉडल बनाया जहाँ अकेले न्यूट्रॉन को जर्मेनियम-68 कोर के दो अलग-अलग अंतर्निहित आकारों के साथ जोड़ा गया था। गणनाओं ने दिखाया कि जर्मेनियम-69 की निम्न-ऊर्जा अवस्थाएं एक एकल आकार द्वारा नहीं, बल्कि इन दो कोर के मिश्रण द्वारा वर्णित हैं। जैसे-जैसे नाभिक का स्पिन बढ़ता है, अवस्था का चरित्र बदल जाता है, जो एक कोर आकार के प्रभुत्व से दूसरे की ओर स्थानांतरित हो जाता है। यह मिश्रण उन पॉजिटिव-पैरिटी अवस्थाओं को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जिनके लिए सटीक वर्णन हेतु दोनों अंतर्निहित संरचनाओं के योगदान की आवश्यकता होती है। मॉडल ने देखे गए ऊर्जा स्तरों और संक्रमण शक्ति का सफलतापूर्वक पुनरुत्पादन किया, जिससे पुष्टि हुई कि नए सूत्र बिना सटीकता खोए, अकेले कणों की अतिरिक्त जटिलता को संभाल सकते हैं।

इस कार्य के निहितार्थ केवल इन दो आइसोटोप्स तक ही सीमित नहीं हैं। सम और विषम दोनों प्रकार के कणों के लिए, और बरकरार एवं टूटे हुए दोनों प्रकार के जोड़ों के लिए एक कठोर गणितीय ढांचा प्रदान करके, यह अध्ययन व्यापक श्रेणी के परमाणु घटनाओं के अधिक सटीक सिमुलेशन के द्वार खोलता है। यह शोधकर्ताओं को क्वांटम फेज ट्रांजिशन और परमाणु आकारों के विकास को उस स्तर के विवरण के साथ तलाशने की अनुमति देता है जो पहले प्राप्त करना कठिन था। ये सूत्र 'जेनरेटर कोऑर्डिनेट मेथड' के लिए एक बहुमुखी उपकरण के रूप में कार्य करते हैं, जो वास्तविक ग्राउंड स्टेट खोजने के लिए विभिन्न परमाणु विन्यासों को मिलाने की एक तकनीक है। संक्षेप में, यह शोध परमाणु नाभिक को देखने के जिस लेंस का उपयोग करते हैं, उसे परिष्कृत करता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि कण संरक्षण का मौलिक नियम कभी भी भंग न हो, भले ही वे पदार्थ के सबसे जटिल और सामूहिक व्यवहारों की खोज कर रहे हों। निष्कर्ष बताते हैं कि विभिन्न आकारों का परस्पर प्रभाव और अकेले कणों की उपस्थिति इन क्वांटम प्रणालियों के पूर्ण व्यवहार को अनलॉक करने की कुंजी है, जो ब्रह्मांड के निर्माण खंडों को समझने के लिए एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करती है।

तकनीकी सारांश: संख्या-संरक्षित युग्मन सिद्धांत (Number-Conserved Pairing Theory) में पफ़ियन और माइनर सूत्र

समस्या विवरण
युग्मन सिद्धांत, विशेष रूप से बार्डन-कूपर-श्रिफर (BCS) और हार्ट्री-फॉक-बोगोलीबोव (HFB) दृष्टिकोण, क्वांटम अनेक-निकाय प्रणालियों के मॉडलिंग के लिए मानक उपकरण हैं। हालांकि, ये विधियाँ स्वाभाविक रूप से U(1) गेज समरूपता (gauge symmetry) को तोड़ती हैं, जिससे कण-संख्या का उल्लंघन होता है। जबकि यह उल्लंघन ग्रैंड कैनोनिकल एन्सेम्बल के भीतर उपचारित बड़े तंत्रों में नगण्य होता है, यह परमाणु नाभिक जैसे परिमित-आकार के तंत्रों के लिए महत्वपूर्ण है, जहाँ सटीक विवरण के लिए सख्त कण-संख्या संरक्षण की आवश्यकता होती है।

कण संख्या को बहाल करने के मौजूदा दृष्टिकोण, जैसे कि गेज कोणों पर संख्यात्मक एकीकरण के माध्यम से कण संख्या प्रक्षेपण (particle number projection), गणनात्मक रूप से कठिन हो सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, वे विधियाँ जो सीधे कण संख्या को संरक्षित करती हैं, जैसे कि संख्या-संरक्षित युग्म संघनित (number-conserved pair condensates), एक अधिक प्रत्यक्ष ढांचा प्रदान करती हैं। हालांकि, इन अवस्थाओं के लिए नॉर्म (norm) और मैट्रिक्स तत्वों की गणना करना—विशेष रूप से टूटे हुए युग्म विन्यास (odd particle numbers) या जनरेटर कोऑर्डिनेट मेथड (GCM) में विभिन्न कैनोनिकल आधारों के मिश्रण के मामले में—जटिल बना रहता है। इसके अलावा, जब अंतर्निहित तरंग फलन (wave functions) में अच्छा कोणीय संवेग नहीं होता है, तो कोणीय संवेग प्रक्षेपण की आवश्यकता होती है, जिसके लिए ओवरलैप और हैमिल्टोनियन मैट्रिसेस के कुशल मूल्यांकन की आवश्यकता होती है।

कार्यप्रणाली
यह कार्य सटीक कण संख्या वाली तरंग फलनों के बीच कई-निकाय ऑपरेटरों के नॉर्म और मैट्रिक्स तत्वों के लिए बंद-रूप (closed-form) विश्लेषणात्मक सूत्र व्युत्पन्न करता है। यह औपचारिकता सम (even) और विषम (odd) कण-संख्या प्रणालियों दोनों को संबोधित करती है और टूटे हुए युग्मों (seniority $\nu > 0$ ) वाली विन्यासों को भी समाहित करती है।

कार्यप्रणाली का मुख्य भाग निम्नलिखित है:

सामान्यीकृत टूटे हुए युग्म अवस्थाएँ (Generalized Broken-Pair States): औपचारिकता मानक $N$ -युग्म संघनित $|c\rangle = (\hat{P}^\dagger)^N |0\rangle$ को टूटे हुए युग्म अवस्थाओं $|\alpha\rangle = (\hat{P}^\dagger)^N \hat{c}^\dagger_{\alpha_1} \cdots \hat{c}^\dagger_{\alpha_\nu} |0\rangle$ तक विस्तारित करती है, जहाँ $\nu$ अनपेयर्ड (unpaired) कणों की संख्या को दर्शाता है।
बीजगणितीय व्युत्पत्ति (Algebraic Derivation): सामान्यीकृत क्रोनेकर डेल्टा और कैनोनिकल आधारों के बीच यूनिटरी रूपांतरण के गुणों का उपयोग करते हुए, ओवरलैप $\langle \alpha | \hat{R} | \beta' \rangle$ (जहाँ $\hat{R}$ एक रोटेशन ऑपरेटर है) को युग्म सूचकांकों के संयोजनों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।
पफ़ियन और माइनर औपचारिकता (Pfaffian and Minor Formulations): व्युत्पन्न अभिव्यक्तियों को दो समकक्ष रूपों में प्रस्तुत किया गया है:
- माइनर-आधारित: नॉर्म को रूपांतरण मैट्रिसेस $X = U^* W'^\top$ द्वारा निर्मित उप-मैट्रिसेस के डिटरमिनेंट्स (minors) के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- पफ़ियन-आधारित: कूपर युग्म निर्माण ऑपरेटर को एक मैट्रिक्स $P$ के रूप में पुनर्गठित करके, ओवरलैप को $P$ और $Q$ (घूर्णित युग्म मैट्रिक्स) के उप-मैट्रिसेस के पफ़ियन्स (Pfaffians) के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिन्हें एकल-कण रूपांतरण मैट्रिसेस के डिटरमिनेंट्स द्वारा गुणा किया जाता है।
ऑपरेटर मैट्रिक्स तत्व (Operator Matrix Elements): इस औपचारिकता को $m$ -बॉडी ऑपरेटरों के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जो विभिन्न टूटे हुए युग्म अवस्थाओं और विभिन्न कैनोनिकल आधारों के बीच मैट्रिक्स तत्वों के लिए संक्षिप्त अभिव्यक्तियाँ प्रदान करता है। ये सूत्र GCM में कॉन्फ़िगरेशन मिक्सिंग के लिए लागू करने योग्य हैं।

मुख्य योगदान

बंद-रूप सूत्र (Closed-Form Formulas): शोध पत्र स्पष्ट, बंद-रूप अभिव्यक्तियाँ प्रदान करता है जो सम और विषम दोनों कण संख्याओं और टूटे हुए युग्मों वाली अवस्थाओं के लिए मान्य हैं।
एकीकृत ढांचा (Unified Framework): व्युत्पन्न सूत्र युग्म संघनित के साथ-साथ अनपेयर्ड कणों वाली विन्यासों पर भी लागू होते हैं, जो विषम-द्रव्यमान वाले नाभिकों के लिए सम-सम नाभिकों के समान ही एक ही सैद्धांतिक ढांचे के भीतर उपचार को सुगम बनाते हैं।
गणनात्मक दक्षता (Computational Efficiency): ओवरलैप और मैट्रिक्स तत्वों को पफ़ियन्स और माइनर्स के रूप में व्यक्त करके, यह कार्य गेज कोणों पर संख्यात्मक एकीकरण पर निर्भर किए बिना, विशेष रूप से कोणीय संवेग प्रक्षेपण जैसी समरूपता बहाली तकनीकों के लिए एक गणनात्मक रूप से सुलभ मार्ग प्रदान करता है।

परिणाम और अनुप्रयोग
लेखक कोणीय संवेग-प्रक्षेपित संख्या-संरक्षित BCS (PNBCS) सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए $1p1/2, 1p3/2, 0f5/2, 0g9/2$ शेल मॉडल स्पेस में JUN45 प्रभावी इंटरेक्शन का उपयोग करके $^{70}\text{Ge}$ और $^{69}\text{Ge}$ नाभिकों का विश्लेषण करने के लिए व्युत्पन्न औपचारिकता को लागू करता है।

$^{70}\text{Ge}$ (Even-Even):
- यह दो अंतर्निहित हार्ट्री-फॉक (HF) विन्यासों को मिलाता है: एक त्रिकक्षीय (triaxial) समाधान $(\beta, \gamma) = (0.25, 36^\circ)$ और एक अक्षीय सममित ओब्लेट (oblate) समाधान $(\beta, \gamma) = (0.13, 60^\circ)$ ।
- परिणाम निम्न-स्तरीय सामूहिक बैंडों (ग्राउंड, $\gamma$ , और $\beta$ ) को पुनरुत्पादित करते हैं। ग्राउंड और $\gamma$ बैंड मुख्य रूप से त्रिकक्षीय विन्यास से उत्पन्न होते हैं, जबकि $\beta$ बैंड ओब्लेट विन्यास से जुड़ा हुआ है।
- गणना किए गए $B(E2)$ संक्रमण सामर्थ्य और उत्तेजना ऊर्जा प्रायोगिक डेटा और पूर्ण-विन्यास-अंतःक्रिया (FCI) शेल-मॉडल गणनाओं के साथ अच्छा तालमेल दिखाते हैं।
- यह अध्ययन कोणीय संवेग प्रक्षेपण और विन्यास मिश्रण से होने वाले ऊर्जा लाभ को रेखांकित करता है, जो यह समझाता है कि प्रक्षेपण से पहले ओब्लेट HF समाधान कम ऊर्जा वाला होने के बावजूद, ग्राउंड-बैंड $0^+$ अवस्था $\beta$ -बैंड $0^+$ अवस्था की तुलना में कम ऊर्जा पर क्यों है।
$^{69}\text{Ge}$ (Odd-Mass):
- अनेक-निकाय आधार को $^{68}\text{Ge}$ के दो युग्म संघनितों (जो आकार सह-अस्तित्व का प्रतिनिधित्व करते हैं) के साथ एक एकल अनपेयर्ड न्यूट्रॉन को जोड़कर बनाया गया है।
- PNBCS गणनाएँ छह निम्न-स्तरीय सामूहिक बैंडों ( $5/2^-, 3/2^-, 1/2^-, 11/2^+$ और दो $9/2^+$ बैंड) का सफलतापूर्वक वर्णन करती हैं।
- कोर ओवरलैप्स ( $W_i$ ) का विश्लेषण तरंग फलन की संरचना के स्पिन-निर्भर विकास को प्रकट करता है। ऋणात्मक-पैरिटी बैंड के लिए, चरित्र निम्न स्पिन पर एक अंतर्निहित कोर से उच्च स्पिन पर दूसरे की ओर स्थानांतरित होता है।
- धनात्मक-पैरिटी बैंडहेड्स (bandheads) दोनों कोर विन्यासों के बीच महत्वपूर्ण मिश्रण दिखाते हैं, जो इंगित करता है कि इन अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए एक एकल अंतर्निहित संरचना अपर्याप्त है।

महत्व
पत्र का दावा है कि प्रस्तुत औपचारिकता संख्या-संरक्षित युग्मन सिद्धांत में समरूपता-बहाली गणनाओं को करने के लिए एक कठोर और कुशल उपकरण प्रदान करती है। टूटे हुए युग्मों और विभिन्न कैनोनिकल आधारों वाले नॉर्म और मैट्रिक्स तत्वों के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र प्रदान करके, यह कार्य जनरेटर कोऑर्डिनेट मेथड और कोणीय संवेग प्रक्षेपण को सम और विषम दोनों प्रणालियों के लिए लागू करना सुगम बनाता है। $^{70}\text{Ge}$ और $^{69}\text{Ge}$ पर सफल अनुप्रयोग सामूहिक संरचनाओं और आकार सह-अस्तित्व (shape coexistence) का वर्णन करने की इसकी क्षमता को प्रदर्शित करता है, जो मध्यम-द्रव्यमान वाले नाभिकों के लिए मानक समरूपता-भंग दृष्टिकोणों या गणनात्मक रूप से गहन FCI विधियों के लिए एक व्यवहार्य विकल्प पेश करता है।

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