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Simulating Bell inequalities with Qibo

यह शोध पत्र शैक्षिक सामग्री और Qibo-आधारित सॉफ्टवेयर टूल प्रस्तुत करता है जिन्हें बढ़ते कठिनाई स्तर के तीन मॉड्यूल में व्यवस्थित किया गया है ताकि छात्रों को बेल असमानता (Bell inequality) के उल्लंघन का अनुकरण करने में मदद मिल सके, जिससे वे एंटैंगलमेंट (entanglement) और गैर-स्थानीयता (non-locality) जैसी मौलिक क्वांटम अवधारणाओं का अन्वेषण करने के साथ-साथ सांख्यिकीय विश्लेषण और हार्डवेयर शोर (hardware noise) के साथ व्यावहारिक अनुभव प्राप्त कर सकें।

मूल लेखक: Isabella Masina, Giuseppe Lo Presti, Matteo Robbiati, Michele Grossi

प्रकाशित 2026-05-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Isabella Masina, Giuseppe Lo Presti, Matteo Robbiati, Michele Grossi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप छात्रों की एक कक्षा को ब्रह्मांड के सबसे अजीब और दिमाग घुमा देने वाले नियमों के बारे में पढ़ा रहे हैं: क्वांटम मैकेनिक्स (Quantum Mechanics)। विशेष रूप से, आप उन्हें यह दिखाना चाहते हैं कि कैसे दो सूक्ष्म कण इतने गहराई से जुड़े हो सकते हैं कि एक के साथ जो होता है, वह तुरंत दूसरे को प्रभावित करता है, भले ही वे आकाशगंगा के विपरीत छोरों पर हों। इसे "एंटैंगलमेंट" (Entanglement) कहा जाता है।

दशकों से, वैज्ञानिक इस बात पर बहस कर रहे हैं कि क्या यह संबंध वास्तविक है या कण केवल "गुप्त निर्देश पुस्तिकाएं" (hidden variables) ले जा रहे हैं जो उन्हें अलग होने से पहले बताती हैं कि उन्हें क्या करना है। 1964 में, जॉन बेल नामक एक भौतिक विज्ञानी ने एक गणितीय परीक्षण पेश किया—नियमों का एक समूह जिसे बेल इनइक्वेलिटीज (Bell Inequalities) कहा जाता है—जो इस बहस को सुलझाने के लिए था। यदि कण "निर्देश पुस्तिका" सिद्धांत का पालन करते हैं, तो उन्हें इन नियमों का पालन करना होगा। यदि वे क्वांटम मैकेनिक्स के अजीब नियमों का पालन करते हैं, तो वे इन्हें तोड़ देंगे।

यह शोध पत्र मूल रूप से एक शिक्षक का टूलकिट है जिसे छात्रों को Qibo नामक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके इन परीक्षणों को स्वयं चलाने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। केवल गणित पढ़ने के बजाय, छात्र एक आभासी प्रयोगशाला बना सकते हैं, सिमुलेशन चला सकते हैं, और अपनी स्क्रीन पर "जादू" होते देख सकते हैं।

यहाँ बताया गया है कि यह पेपर इसे सरल उपमाओं का उपयोग करके कैसे विभाजित करता है:

1. तीन-मॉड्यूल वाला पाठ योजना (The Three-Module Lesson Plan)

लेखकों ने अपनी शिक्षण सामग्री को तीन चरणों में व्यवस्थित किया है, जो वीडियो गेम के स्तरों की तरह कठिन होते जाते हैं।

स्तर 1: बेल-विग्नर इनइक्वैलिटी (द "मोज़े" की उपमा)
कल्पना कीजिए कि आपके पास मोजों की एक जोड़ी है। यदि आप एक बायां मोजा एक बॉक्स में और एक दायां मोजा दूसरे बॉक्स में रखते हैं, और आप उन्हें अलग-अलग शहरों में भेज देते हैं, तो एक बॉक्स खोलने पर आप जानते हैं कि दूसरे में क्या है। यह "लोकल हिडन वेरिएबल" का विचार है: मोजे हमेशा बाएं या दाएं थे; आपको बस अभी तक पता नहीं था।
यह पेपर यहाँ से शुरू होता है क्योंकि गणित सरल है। यह पूछता है: "यदि कण इन पूर्व-निर्धारित मोजों की तरह हैं, तो उनके विशिष्ट तरीकों में मेल खाने की क्या संभावना है?" सिमुलेशन दिखाता है कि यदि कण केवल "मोजे" होते, तो वे एक सख्त नियम का पालन करते। लेकिन जब छात्र क्वांटम कणों के साथ सिमुलेशन चलाते हैं, तो कण नियम को तोड़ देते हैं। वे इस तरह व्यवहार करते हैं जैसे वे आपस में तुरंत बात कर रहे हों, न कि केवल एक पूर्व-लिखित सूची का पालन कर रहे हों।
स्तर 2: मूल बेल इनइक्वैलिटी (द "परफेक्ट मिरर")
यह स्तर थोड़ा अधिक जटिल है। यह देखता है कि कण कैसे सह-संबंधित (correlate) होते हैं। कल्पना कीजिए कि दो नर्तक एक-दूसरे के पूर्ण दर्पण हैं। यदि एक बाईं ओर घूमता है, तो दूसरा दाईं ओर घूमता है।
पेपर समझाता है कि एक "सामान्य" दुनिया में, विभिन्न कोणों पर वे एक-दूसरे को कितनी पूर्णता से प्रतिबिंबित कर सकते हैं, इसकी एक सीमा होती है। लेकिन क्वांटम दुनिया में, नर्तक इतने पूर्ण रूप से सिंक्रोनाइज़ होते हैं कि वे इस सीमा से ऊपर निकल जाते हैं। सिमुलेशन छात्रों को "डांस फ्लोर" के कोणों को बदलने और संख्याओं को सीमा के ऊपर कूदते हुए देखने की अनुमति देता है, जो यह साबित करता है कि "दर्पण" केवल एक पूर्व-निर्धारित योजना का प्रतिबिंब नहीं है, बल्कि कुछ अधिक गतिशील है।
स्तर 3: CHSH इनइक्वेलिटी (द "चार-दिशा" चुनौती)
यह परीक्षण का सबसे प्रसिद्ध और मजबूत संस्करण है। कल्पना कीजिए कि नर्तकों को अब चार अलग-अलग दिशाओं में खड़े चार अलग-अलग न्यायाधीशों द्वारा देखा जा रहा है। न्यायाधीश नर्तकों को इस आधार पर विशिष्ट चालें करने के लिए कहते हैं कि वे किस दिशा में खड़े हैं।
पेपर दिखाता है कि यदि नर्तक एक "स्क्रिप्ट" (हिडन वेरिएबल्स) का पालन कर रहे हैं, तो उनका संयुक्त स्कोर कभी भी एक निश्चित संख्या (2) से अधिक नहीं हो सकता। लेकिन जब छात्र क्वांटम सिमुलेशन चलाते हैं, तो स्कोर 2.82 ( $2\sqrt{2}$ ) तक कूद जाता है। यह "स्मोकिंग गन" है जो साबित करता है कि ब्रह्मांड स्थानीय (local) नहीं है; कण वास्तव में इस तरह से जुड़े हुए हैं जो हमारी रोजमर्रा की तर्कशक्ति को चुनौती देता है।

2. वर्चुअल लैब (Qibo)

पेपर इस बात पर जोर देता है कि आपको यह देखने के लिए लेजर और वैक्यूम चैंबरों वाली वास्तविक भौतिक प्रयोगशाला की आवश्यकता नहीं है। लेखकों ने Qibo का उपयोग किया है, जो क्वांटम कंप्यूटरों के लिए एक "फ्लाइट सिम्युलेटर" की तरह है।

कोड: वे पायथन कोड (एक प्रकार की कंप्यूटर भाषा) प्रदान करते हैं जिसे छात्र कॉपी और पेस्ट कर सकते हैं।
प्रक्रिया: कोड दो "क्यूबिट्स" (क्वांटम बिट्स, जो सुपर-पावर्ड सिक्कों की तरह हैं जो हेड, टेल या दोनों एक साथ हो सकते हैं) बनाता है। यह उन्हें एंटैंगल करता है, उन्हें अलग-अलग दिशाओं में घुमाता है (मापन का अनुकरण करता है), और परिणामों को गिनता है।
परिणाम: छात्र ऐसे ग्राफ देखते हैं जहाँ क्वांटम परिणाम स्पष्ट रूप से "क्लासिकल" सीमाओं का उल्लंघन करते हैं।

3. वास्तविक दुनिया की अव्यवस्था (शोर और सांख्यिकी)

पेपर एक बहुत ही व्यावहारिक सबक भी सिखाता है: वास्तविक जीवन अव्यवस्थित होता है।
एक आदर्श कंप्यूटर सिमुलेशन में, परिणाम सुचारू होते हैं। लेकिन यदि आप इसे एक वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर (जैसे CERN या प्रयोगशालाओं में) पर चलाते हैं, तो परिणाम "शोरपूर्ण" (noisy) हो जाते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक शांत कमरे में फुसफुसाहट सुनने की कोशिश कर रहे हैं (परफेक्ट सिमुलेशन) बनाम एक रॉक कॉन्सर्ट में फुसफुसाहट सुनने की कोशिश कर रहे हैं (रियल हार्डवेयर)। हार्डवेयर से आने वाला "शोर" सिग्नल को छिपा सकता है।
सबक: लेखक छात्रों को यह गणना करने में मदद करते हैं कि उन्हें स्पष्ट उत्तर प्राप्त करने के लिए प्रयोग को कितनी बार चलाने (shots) की आवश्यकता है। यदि वे इसे बहुत कम बार चलाते हैं, तो रैंडम "स्टैटिक" इसे ऐसा दिखा सकता है जैसे नियम टूटा नहीं है। यदि वे इसे पर्याप्त बार चलाते हैं, तो वास्तविक क्वांटम प्रकृति उभर कर आती है।

4. शिक्षा के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है

लेखक तर्क देते हैं कि यह उपकरण शिक्षा के लिए एक गेम-चेंजर है।

भौतिकी के छात्रों के लिए: यह अमूर्त, डरावने गणित को ऐसी चीज़ में बदल देता है जिसे वे छू सकते हैं और देख सकते हैं। वे कोणों के साथ "खेल" सकते हैं और वास्तविक समय में उल्लंघन होते देख सकते हैं।
कंप्यूटर विज्ञान के छात्रों के लिए: यह उन्हें बिना किसी पीएचडी के गहरे भौतिकी अवधारणाओं को सीखने का अवसर देता है। वे कोड और तर्क पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं।

सारांश

संक्षेप में, यह पेपर एक डिजिटल प्लेग्राउंड प्रस्तुत करता है जहाँ छात्र यह साबित कर सकते हैं कि ब्रह्मांड हमारी सोच से कहीं अधिक अजीब है। Qibo सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके, वे प्रसिद्ध बेल परीक्षणों का अनुकरण कर सकते हैं, "क्लासिकल नियमों" के टूटने को देख सकते हैं, और समझ सकते हैं कि क्वांटम एंटैंगलमेंट एक वास्तविक, मापने योग्य घटना है—केवल एक सिद्धांत नहीं। यह "जादू के बारे में पढ़ने" और कंप्यूटर स्क्रीन पर "जादू के करतब दिखाने" के बीच के अंतर को पाटता है।

तकनीकी सारांश: Qibo के साथ बेल असमानताओं (Bell Inequalities) का अनुकरण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक शैक्षणिक चुनौती को संबोधित करता है: स्नातक और स्नातकोत्तर छात्रों को जटिल क्वांटम यांत्रिक अवधारणाओं—विशेष रूप से एंटैंगलमेंट (entanglement), स्पिन सहसंबंध (spin correlations), छिपे हुए चर (hidden variables), और गैर-स्थानीयता (non-locality)—से परिचित कराना। हालांकि बेल असमानताओं के संबंध में सैद्धांतिक तर्क गणितीय और वैचारिक रूप से कठिन हैं, लेकिन ऐसे व्यावहारिक शैक्षिक उपकरणों की आवश्यकता है जो छात्रों को इन घटनाओं को विज़ुअलाइज़ करने और सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव एवं हार्डवेयर शोर (noise) के प्रभाव को समझने में सक्षम बना सकें। यद्यपि विभिन्न क्वांटम कंप्यूटिंग फ्रेमवर्क (जैसे, Qiskit, Cirq) मौजूद हैं, लेखक बेल-विग्नर असमानता (Bell-Wigner inequality) और मूल बेल असमानता (original Bell inequality) के अनुकरण के लिए शैक्षिक उपकरणों की कमी को रेखांकित करते हैं, क्योंकि मौजूदा संसाधन अक्सर केवल अधिक जटिल CHSH-प्रकार की असमानताओं पर केंद्रित होते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखकों ने तीन पायथन-आधारित जुपिटर नोटबुक (Jupyter notebooks) से युक्त एक मॉड्यूलर शैक्षिक पैकेज विकसित किया है, जिसे Qibo द्वारा कार्यान्वित किया गया है। Qibo एक ओपन-सोर्स क्वांटम कंप्यूटिंग फ्रेमवर्क है जो क्लासिकल सिम्युलेटर्स और वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर दोनों के साथ इंटरफेस करने में सक्षम है। यह सामग्री तीन मॉड्यूल में संरचित है जिनकी कठिनाई बढ़ती जाती है:

मॉड्यूल 1: बेल-विग्नर असमानता: यह मॉड्यूल स्थानीय छिपे हुए (LH) चर सिद्धांतों और आठ विशिष्ट कण समूहों के संबंध में विग्नर के तर्क पर आधारित सैद्धांतिक ढांचे को प्रस्तुत करता है। यह तीन कोप्लेनर दिशाओं ( $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ ) के लिए प्रायिकताओं $P(\hat{a}+, \hat{b}+)$ , $P(\hat{a}+, \hat{c}+)$ , और $P(\hat{c}+, \hat{b}+)$ को मापने के लिए क्वांटम सर्किट का निर्माण करता है। सर्किट सिंगलेट बेल अवस्था $|\Psi^-\rangle$ उत्पन्न करने के लिए हैडामार्ड (Hadamard) और CNOT गेट्स का उपयोग करते हैं, जिसके बाद मापन अक्षों को संरेखित करने के लिए रोटेशन गेट्स ( $R_z, R_y$ ) का उपयोग किया जाता है।
मॉड्यूल 2: मूल बेल असमानता: यह खंड स्पिन सहसंबंधों $C(\hat{a}, \hat{b})$ पर ध्यान केंद्रित करते हुए प्रायिकताओं से हटकर कार्य करता है। यह मॉड्यूल 1 के समान क्वांटम सर्किटों को लागू करता है लेकिन सभी चार संभावित मापन परिणामों ($00, 01, 10, 11 $) की आवृत्तियों का उपयोग करके सहसंबंध फलन$ C = \langle \alpha \beta \rangle $की गणना करता है। यह मॉड्यूल असमानता$ |C(\hat{a}, \hat{b}) - C(\hat{a}, \hat{c})| \leq 1 + C(\hat{c}, \hat{b})$ का परीक्षण करता है।
मॉड्यूल 3: CHSH असमानता: अंतिम मॉड्यूल क्लॉसर-होरन-शिमोन-होल्ट (CHSH) असमानता को संबोधित करता है, जो मूल बेल असमानता के लिए आवश्यक पूर्ण प्रति-सहसंबंध (perfect anti-correlation) की सख्त धारणा से बचता है। यह चार दिशाओं ( $\hat{a}, \hat{b}$ ऐलिस के लिए; $\hat{c}, \hat{d}$ बॉब के लिए) के अनुमापन का अनुकरण करता है ताकि मात्रा $S = |C(\hat{a}, \hat{c}) - C(\hat{a}, \hat{d}) + C(\hat{b}, \hat{c}) + C(\hat{b}, \hat{d})|$ की गणना की जा सके।

सिमुलेशन एक फ्रीक्वेंटिस्ट दृष्टिकोण (frequentist approach) का उपयोग करते हैं, जो प्रायिकता वितरणों को पुनर्गठित करने और प्रासंगिक असमानता मात्राओं ( $Q_W, Q_B, Q_S$ ) की गणना करने के लिए निर्दिष्ट शॉट्स ( $N_{shots}$ ) के लिए सर्किट चलाता है। कोड को विभिन्न ज्यामितीय विन्यासों का पता लगाने के लिए कोणीय मापदंडों ( $\theta_{ab}, \theta_{ac}, \phi$ ) के परिवर्तन की अनुमति देता है।

मुख्य परिणाम
सिमुलेशन क्वांटम यांत्रिकी के सैद्धांतिक अनुमानों को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित करते हैं, और विशिष्ट ज्यामितीय विन्यासों के तहत असमानताओं का उल्लंघन प्रदर्शित करते हैं:

बेल-विग्नर: मात्रा $Q_W$ धनात्मक हो जाती है (LH सीमा $\leq 0$ का उल्लंघन करती है) जब मापन दिशाएं विशिष्ट कोणीय पृथक्करण (जैसे, $\theta_{ab} = \pi/2, \theta_{ac} = \pi/4, \phi=0$ ) के साथ कोप्लेनर होती हैं।
मूल बेल: मात्रा $Q_B$ शास्त्रीय सीमा 1 से अधिक हो जाती है, जिसमें $\theta_{ab} = \pi/2$ के लिए $\theta_{ac} = \pi/4$ पर अधिकतम उल्लंघन होता है।
CHSH: मात्रा $Q_S$ शास्त्रीय सीमा 2 से अधिक हो जाती है, जो इष्टतम कोप्लेनर विन्यास में क्वांटम मैकेनिकल अधिकतम $2\sqrt{2}$ तक पहुँचती है।

शोध पत्र सांख्यिकी और शोर (noise) के प्रभाव का भी विश्लेषण करता है। यह शॉट्स की संख्या और सांख्यिकीय त्रुटि ( $\sigma_{stat} \propto 1/\sqrt{N_{shots}}$ ) के बीच संबंध को व्युत्पन्न करता है और इसकी तुलना अंतर्निहित हार्डवेयर शोर ( $\sigma_{noise}$ ) से करता है, जो शॉट गणना से स्वतंत्र है। लेखक यह अनुमान लगाने के लिए एक विधि प्रदान करते हैं कि सांख्यिकीय त्रुटि को डिवाइस शोर के तुल्य बनाने के लिए कितने शॉट्स की आवश्यकता है।

महत्व और दावे
लेखक इस कार्य को एक नए भौतिक खोज के बजाय मुख्य रूप से एक शैक्षिक उपकरण के रूप में प्रस्तुत करते हैं। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

सिद्धांत और व्यवहार के बीच सेतु बनाना: मॉड्यूल छात्रों को अमूर्त सैद्धांतिक व्युत्पत्तियों से ठोस कार्यान्वयन की ओर बढ़ने, और शास्त्रीय (स्थानीय छिपे हुए चर) और क्वांटम शासन के बीच संक्रमण को विज़ुअलाइज़ करने की अनुमति देते हैं।
शैक्षिक अंतराल को संबोधित करना: बेल-विग्नर और मूल बेल असमानताओं को शामिल करके, सामग्री केवल CHSH असमानता की तुलना में छात्रों के लिए एक अधिक सुलभ प्रवेश बिंदु प्रदान करती है।
व्यावहारिक जागरूकता: सांख्यिकीय विश्लेषण और शोर मॉडलिंग का समावेश छात्रों को वर्तमान क्वांटम हार्डवेयर (NISQ युग) की वास्तविकताओं के लिए तैयार करता है, जहाँ अपूर्ण अवस्था तैयारी (state preparation) और रीडआउट त्रुटियां परिणामों को प्रभावित करती हैं।
सुगमता: Qibo और मानक पायथन नोटबुक का उपयोग इस सामग्री को भौतिकी के छात्रों (सैद्धांतिक अवधारणाओं पर ध्यान केंद्रित करने वाले) और कंप्यूटर विज्ञान के छात्रों (एल्गोरिदम कार्यान्वयन पर ध्यान केंद्रित करने वाले) दोनों के लिए लचीला बनाता है।

लेखक नोट करते हैं कि इस सामग्री का परीक्षण फर्ारा विश्वविद्यालय (University of Ferrara) में एक मास्टर स्तर के क्वांटम कंप्यूटिंग पाठ्यक्रम में किया गया है, जिसे विविध पृष्ठभूमि वाले छात्रों से सकारात्मक प्रतिक्रिया मिली है। वे इस बात पर जोर देते हैं कि यह उपकरण गैर-स्थानीयता और स्थानीय यथार्थवाद (local realism) जैसे मौलिक मुद्दों पर कक्षा की चर्चा को सुविधाजनक बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है, न कि क्वांटम आधारों की खुली समस्याओं को हल करने या उनके शैक्षिक दायरे से परे नए प्रयोगात्मक सेटअप प्रस्तावित करने के लिए।

1. तीन-मॉड्यूल वाला पाठ योजना (The Three-Module Lesson Plan)

2. वर्चुअल लैब (Qibo)

3. वास्तविक दुनिया की अव्यवस्था (शोर और सांख्यिकी)

4. शिक्षा के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है

सारांश

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