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Renormalization-Inspired Effective Field Neural Networks for Scalable Modeling of Classical and Quantum Many-Body Systems

यह शोध पत्र इफेक्टिव फील्ड न्यूरल नेटवर्क्स (EFNNs) को प्रस्तुत करता है, जो एक नवीन आर्किटेक्चर है जो शास्त्रीय और क्वांटम मेनी-बॉडी सिस्टम्स को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए रिनॉर्मलाइजेशन थ्योरी से निरंतर फलनों (continued functions) का लाभ उठाता है, जिसमें बड़े लैटिस आकारों के लिए बेहतर सामान्यीकरण और एक्सैक्ट डायगोनलाइजेशन एवं मानक डीप लर्निंग मॉडल्स की तुलना में महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल गति प्राप्त होती है।

मूल लेखक: Xi Liu, Yujun Zhao, Chun Yu Wan, Yang Zhang, Junwei Liu

प्रकाशित 2026-03-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Xi Liu, Yujun Zhao, Chun Yu Wan, Yang Zhang, Junwei Liu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

बड़ी समस्या: "बहुत सारे दोस्तों" वाली पार्टी

कल्पना कीजिए कि आप लोगों की एक विशाल भीड़ (जैसे किसी पदार्थ में परमाणु या इलेक्ट्रॉन) के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं। भौतिकी (Physics) में, इसे "मेनी-बॉडी प्रॉब्लम" (many-body problem) कहा जाता है।

समस्या यह है कि भीड़ में हर कोई दूसरे से बात कर रहा है। यदि आपके पास 10 लोग हैं, तो बातचीत को ट्रैक करना आसान है। लेकिन यदि आपके पास 1,000 लोग हैं, तो संभावित बातचीत की संख्या बहुत ज्यादा बढ़ जाती है। यह एक स्टेडियम में एक साथ होने वाली हर एक बातचीत को सुनने की कोशिश करने जैसा है।

पारंपरिक कंप्यूटर (और मानक AI) यहाँ संघर्ष करते हैं। वे हर एक संभावित बातचीत को याद रखने की कोशिश करते हैं। यह "डायमेंशनलिटी का अभिशाप" (curse of dimensionality) है। यह एक भाषा को हर एक वाक्य को रटकर सीखने की कोशिश करने जैसा है, बजाय इसके कि व्याकरण के नियमों को सीखा जाए। इसमें बहुत समय लगता है, और यदि आप कोई ऐसा नया वाक्य देखते हैं जिसे आपने रटा नहीं है, तो आप असफल हो जाते हैं।

पुराना तरीका: "अनुमान और जाँच" वाला AI

मानक डीप न्यूरल नेटवर्क (वे जो तस्वीरों में बिल्लियों को पहचानने के लिए उपयोग किए जाते हैं) उन छात्रों की तरह हैं जो परीक्षा के उत्तर रटने की कोशिश करते हैं।

समस्या: यदि आप उन्हें एक छोटे टेस्ट (परमाणुओं के एक छोटे सिस्टम) पर प्रशिक्षित करते हैं, तो वे उस विशिष्ट आकार के लिए उत्तर रट लेते हैं।
विफलता: यदि आप उनसे एक बड़े टेस्ट (एक बड़े सिस्टम) के लिए पूछते हैं, तो वे भ्रमित हो जाते हैं। उन्होंने नियम नहीं सीखे हैं; उन्होंने केवल उदाहरणों को रटा है। वे सामान्यीकरण (generalize) नहीं कर पाते।

नया समाधान: "इफेक्टिव फील्ड" (EFNN)

इस शोध पत्र के लेखकों ने एक नए प्रकार का AI बनाया जिसे इफेक्टिव फील्ड न्यूरल नेटवर्क (EFNNs) कहा जाता है। भीड़ की हर बातचीत को रटने के बजाय, उन्होंने AI को भीड़ का व्याकरण सिखाया।

उन्होंने एक प्रसिद्ध भौतिकी अवधारणा से प्रेरणा ली जिसे रेनोर्मलाइजेशन (Renormalization) कहा जाता है।

उपमा: "ज़ूम आउट" करने वाला कैमरा

कल्पना कीजिए कि आप एक कैमरे के माध्यम से एक जंगल को देख रहे हैं।

ज़ूम इन (Zoomed In): आप व्यक्तिगत पत्तियों, टहनियों और कीड़ों को देखते हैं। यह अराजक और अव्यवस्थित है।
ज़ूम आउट (Zoom Out): व्यक्तिगत पत्तियाँ धुंधली हो जाती हैं। आप "पत्ती A" और "पत्ती B" को देखना बंद कर देते हैं। इसके बजाय, आप एक "हरी छतरी" (green canopy) देखते हैं। व्यक्तिगत पत्तियों के जटिल विवरण एक एकल, सुचारू अवधारणा में बदल जाते हैं: "हरियाली"।
ज़ूम आउट और अधिक: वह छतरी एक "पेड़" बन जाती है। पेड़ एक "जंगल" बन जाता है।

रेनोर्मलाइजेशन वह गणितीय उपकरण है जो भौतिकविदों को यह करने की अनुमति देता है कि वे महत्वपूर्ण भौतिकी को खोए बिना इस तरह "ज़ूम आउट" कर सकें। यह विवरणों की एक अव्यवस्थित, अनंत सूची को एक साफ, प्रबंधनीय सारांश में बदल देता है।

लेखकों ने महसूस किया कि न्यूरल नेटवर्क को यह "ज़ूम आउट" स्वचालित रूप से करने के लिए बनाया जा सकता है।

EFNN कैसे काम करता है: भौतिकी का "रशियन डॉल" (Russian Doll)

EFNN का असली रहस्य एक गणितीय संरचना है जिसे कंटीन्यूड फंक्शन (Continued Function) कहा जाता है।

मानक AI: डोमिनोज़ की एक सीधी रेखा की तरह है। डोमिनो 1 डोमिनो 2 को गिराता है, जो डोमिनो 3 को गिराता है। एक बार जब डोमिनो 1 गिर जाता है, तो वह खत्म हो जाता है। बाद के डोमिनोज़ भूल जाते हैं कि वे कहाँ से शुरू हुए थे।
EFNN: रूसी गुड़िया (Russian Nesting Dolls) या एक ज़ूमिंग कैमरे के सेट की तरह है।
- AI कच्चे डेटा (व्यक्तिगत स्पिन) को देखता है।
- यह एक "सारांश" (एक प्रभावी क्षेत्र/effective field) बनाता है।
- महत्वपूर्ण: यह मूल डेटा को अपने सारांश के अंदर रखता है।
- फिर, यह पहले वाले सारांश के आधार पर एक नया सारांश बनाता है, लेकिन यह अभी भी मूल डेटा को याद रखता है।
- यह इस प्रक्रिया को, परत-दर-परत दोहराता है।

इसे एक कहानी सुनाने जैसा समझें।

मानक AI: "राजा बाज़ार गया। फिर उसने ब्रेड खरीदी। फिर वह घर गया।" (अंत तक वह राजा के मूल व्यक्तित्व को भूल जाता है)।
EFNN: "राजा (जो बहादुर है) बाज़ार गया। बहादुर राजा ने ब्रेड खरीदी। बहादुर राजा जिसने ब्रेड खरीदी, वह घर गया।"
- हर चरण मूल "राजा" (कच्चा डेटा) को याद रखता है और समझ की नई परतें जोड़ता है।

यह संरचना AI को सीमित मेमोरी का उपयोग करके अनंत जटिलता को पकड़ने की अनुमति देती है। यह केवल डेटा को फिट नहीं करता; यह अंतर्निहित भौतिकी को सीखता है।

जादुई परिणाम: "छोटे से बड़ा" बनाने की सुपरपावर

शोधकर्ताओं ने इसका परीक्षण तीन अलग-अलग सिस्टमों (जैसे स्पिन का एक सरल खेल, एक जटिल चुंबकीय प्रणाली, और एक क्वांटम इलेक्ट्रॉन सिस्टम) पर किया।

परिणाम चौंकाने वाला था:

प्रशिक्षण (Training): उन्होंने AI को एक छोटे ग्रिड (10x10 परमाणु) पर प्रशिक्षित किया।
परीक्षण (Testing): उन्होंने AI से एक विशाल ग्रिड (40x40 परमाणु) के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए कहा।
परिणाम:
- पुराना AI (ResNet, DenseNet): बुरी तरह विफल रहा। वे उन छात्रों की तरह थे जिन्होंने 5वीं कक्षा के गणित के टेस्ट के लिए पढ़ाई की और पीएचडी की परीक्षा देने की कोशिश की।
- EFNN: इसने इसे सफलतापूर्वक पूरा किया। इसने अविश्वसनीय सटीकता के साथ विशाल सिस्टम की भविष्यवाणी की।
- विरोधाभास: जैसे-जैसे सिस्टम बड़ा होता गया, AI उतना ही अधिक सटीक होता गया!

क्यों? क्योंकि AI ने केवल बोर्ड का आकार नहीं, बल्कि खेल के नियम (रेनोर्मलाइजेशन) सीख लिए थे। उसने महसूस किया कि एक छोटे जंगल की भौतिकी एक विशाल जंगल की भौतिकी के समान ही है, बस उसका पैमाना बड़ा है।

गति में वृद्धि (Speed Boost)

अंत में, गति की बात है।

पारंपरिक तरीकों (Exact Diagonalization) का उपयोग करके 40x40 क्वांटम सिस्टम की ऊर्जा की गणना करना समुद्र तट पर रेत के हर कण को हाथ से गिनने जैसा है। इसमें घंटों या दिन लग जाते हैं।
EFNN इसे एक सेकंड के एक अंश में कर देता है।
गति में सुधार: बड़े सिस्टमों के लिए यह पारंपरिक विधि से 1,000 गुना तेज़ है।

सारांश

लेखकों ने एक नया AI बनाया जो केवल डेटा को याद नहीं करता है। यह एक गणितीय ट्रिक (कंटीन्यूड फंक्शन्स) का उपयोग करता है जो इस बात से प्रेरित है कि भौतिक विज्ञानी जटिल प्रणालियों को समझने के लिए कैसे "ज़ूम आउट" करते हैं।

पुराना AI: उत्तर कुंजी (answer key) रटता है। नए प्रश्नों पर विफल हो जाता है।
EFNN: ब्रह्मांड के व्याकरण को सीखता है। उन समस्याओं को हल कर सकता है जिन्हें उसने पहले कभी नहीं देखा, भले ही वे प्रशिक्षण के आकार से बहुत बड़ी क्यों न हों।

यह क्वांटम कणों की अव्यवस्थित दुनिया और डीप लर्निंग की स्वच्छ दुनिया के बीच एक सेतु है, जो यह साबित करता है कि यदि आप सही भौतिक अंतर्ज्ञान (physical intuition) के साथ AI बनाते हैं, तो यह विज्ञान के लिए एक सुपरपावर बन सकता है।

यहाँ शोध पत्र "Renormalization-Inspired Effective Field Neural Networks for Scalable Modeling of Classical and Quantum Many-Body Systems" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

कंडेंस्ड मैटर फिजिक्स में अनेक-निकाय प्रणालियाँ (many-body systems), जिनमें स्पिन, अणु और परमाणु शामिल हैं, "डायमेंशनलिटी के अभिशाप" (curse of dimensionality) से ग्रस्त हैं। पारंपरिक गणनात्मक विधियों को महत्वपूर्ण बाधाओं का सामना करना पड़ता है:

एक्जैक्ट डायगोनलाइजेशन (ED): घातांकीय स्केलिंग (जैसे, क्वांटम मॉडल के लिए $O(N^6)$ या उससे अधिक) के कारण बड़े सिस्टम के लिए यह गणनात्मक रूप से अत्यधिक कठिन है।
परटर्बेटिव एक्सपेंशन (Perturbative Expansions): हालांकि ये उपयोगी हैं, लेकिन उच्च क्रमों पर ये अक्सर अपसारी (diverge) हो जाते हैं या गैर-परटर्बेटिव भौतिकी को पकड़ने में विफल रहते हैं। उन्हें बीच में ही रोकना (truncation) गलत परिणामों की ओर ले जाता है।
मानक डीप न्यूरल नेटवर्क (DNNs): हालांकि ये शक्तिशाली हैं, मानक आर्किटेक्चर (DenseNet, ResNet, vanilla DNNs) में अंतर्निहित भौतिक संरचना का अभाव होता है। वे अक्सर अपने प्रशिक्षण सेट से बड़े सिस्टम के आकार तक सामान्यीकरण (generalize) करने में विफल रहते हैं और जटिल अनेक-निकाय अंतःक्रियाओं (many-body interactions) को अनुमानित करने के लिए भारी पैरामीटर संख्या की आवश्यकता होती है।

मुख्य चुनौती एक ऐसा मशीन लर्निंग आर्किटेक्चर विकसित करने की है जो केवल डेटा को फिट करने के बजाय अंतर्निहित भौतिकी (विशेष रूप से रेनोर्मलाइजेशन सिद्धांतों) को पकड़ सके, जिससे छोटे पैमाने के डेटा पर प्रशिक्षित होकर बड़े पैमाने के सिस्टम पर सटीक भविष्यवाणियां की जा सकें।

2. कार्यप्रणाली: इफेक्टिव फील्ड न्यूरल नेटवर्क (EFNN)

लेखक इफेक्टिव फील्ड न्यूरल नेटवर्क (EFNNs) का प्रस्ताव करते हैं, जो रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप (RG) सिद्धांत और कंटीन्यूड फंक्शन्स (continued functions) से प्रेरित एक आर्किटेक्चर है।

मुख्य अवधारणा: कंटिन्यूड फंक्शन्स (Continued Functions)

फील्ड थ्योरी में, अपसारी परटर्बेटिव श्रृंखलाओं को संभालने के लिए कंटिन्यूड फंक्शन्स (जो कंटिन्यूड फ्रैक्शंस का सामान्यीकरण हैं) का उपयोग किया जाता है। EFNNs इन गणितीय सिद्धांतों को सीधे न्यूरल नेटवर्क संरचना के भीतर लागू करते हैं।

रिकर्सिव सेल्फ-रिफाइनिंग (Recursive Self-Refining): मानक DNNs के विपरीत, जहाँ परतें केवल पिछली परत पर निर्भर करती हैं, EFNNs प्रत्येक परत में प्रारंभिक इनपुट फीचर्स ( $S_0$ ) को शामिल करते हैं।
फील्ड-पार्टिकल डिकंपोजिशन (Field-Particle Decomposition): नेटवर्क अनेक-निकाय अंतःक्रियाओं को निम्नलिखित में विभाजित करता है:
1. इफेक्टिव फील्ड ( $F_i$ ): एक कण पर कार्य करने वाले वातावरण का प्रतिनिधित्व।
2. क्वासी-पार्टिकल ( $S_i$ ): प्रभावी क्षेत्र द्वारा संशोधित कण।
गणितीय सूत्रीकरण:
नेटवर्क FP (Field-Particle) परतों से बना है जो पुनरावर्ती रूप से परिभाषित हैं:
$F_i = f_{i-1}(S_{i-1})$
$S_i = g_i(S_0) \odot F_i$
$E = q(S_n)$
जहाँ $\odot$ तत्व-वार गुणन (element-wise multiplication) को दर्शाता है। फलन $f$ और $g$ नॉन-लीनियर ( $\tanh$ का उपयोग करके) हैं, जो परिमित मान सुनिश्चित करते हैं और नेटवर्क को रेनोर्मलाइजेशन में पाई जाने वाली अनंत-क्रम की अंतःक्रियाओं को अनुमानित करने में सक्षम बनाते हैं।

आर्किटेक्चरल नवाचार

सिमेट्राइजेशन लेयर्स (Symmetrization Layers): स्पिन सिस्टम में भौतिक समरूपता (विशेष रूप से $O(3)$ रोटेशनल सिमेट्री) को संभालने के लिए, लेखक एक सिमेट्राइजेशन लेयर $T_j(S_0)$ पेश करते हैं। इसमें स्पिन चैनलों को कनवॉल्व करना, चैनलों के भीतर तत्व-वार गुणन करना और उन्हें जोड़ना शामिल है। यह सुनिश्चित करता है कि नेटवर्क का आउटपुट $O(3)$ रूपांतरणों के तहत अपरिवर्तनीय (invariant) रहे।
सेल्फ-सिमिलर स्ट्रक्चर (Self-Similar Structure): यह आर्किटेक्चर एक सेल्फ-सिमिलर एप्रोक्सिमेशन को लागू करता है, जो एक गणितीय ढांचा है जहाँ एक पैमाने पर समाधान दूसरे पैमाने पर समाधान से संबंधित होता है। यह RG समीकरणों से प्राप्त किया गया है।
डिफरेंशिएबिलिटी (Differentiability): पारंपरिक पाडे एप्रोक्सिमेंट्स (Padé approximants) में उपयोग किए जाने वाले व्युत्क्रम (inversion) ऑपरेशन को $\tanh$ एक्टिवेशन फंक्शन से बदलकर, नेटवर्क मानक बैकप्रोपैगेशन के माध्यम से डिफरेंशिएबल और ट्रेन करने योग्य बना रहता है, जिससे ग्रेडिएंट सिंगुलैरिटी से बचा जा सकता है।

3. प्रमुख योगदान

नया आर्किटेक्चर: EFNN का परिचय, जो अनेक-विषयक भौतिकी के लिए कंटिन्यूड फंक्शन्स और रेनोर्मलाइजेशन सिद्धांतों को स्पष्ट रूप से लागू करने के लिए डिज़ाइन किया गया पहला न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर है।
सैद्धांतिक आधार: एक कठोर व्युत्पत्ति जो दर्शाती है कि EFNNs गणितीय रूप से RG समीकरणों से प्राप्त 'सेल्फ-सिमिलर एप्रोक्सिमेशंस' के समान हैं, जो इन्हें ResNet या DenseNet जैसे ह्यूरिस्टिक आर्किटेक्चर से अलग करती है।
श्रेष्ठ सामान्यीकरण (Superior Generalization): यह प्रदर्शित करना कि $10 \times 10$ के छोटे लैटिस पर प्रशिक्षण लेने के बाद भी, यह बिना पुनः प्रशिक्षण के $40 \times 40$ जैसे बड़े सिस्टम के लिए सटीक भविष्यवाणी कर सकता है।
कंप्यूटेशनल दक्षता: सटीक डायगोनलाइजेशन (ED) की तुलना में उच्च सटीकता बनाए रखते हुए भारी गति वृद्धि (speedup) प्राप्त करना, जो DQMC सिमुलेशन की बाधा को हल करता है।

4. परिणाम

लेखकों ने तीन अलग-अलग प्रणालियों पर EFNN का सत्यापन किया:

A. क्लासिकल 3-स्पिन इन्फिनिट-रेंज मॉडल (1D)

कार्य: 15 साइट्स और 3-बॉडी इंटरैक्शन वाले सिस्टम की ऊर्जा का अनुमान लगाना।
परिणाम: EFNNs ने DenseNet, ResNet और मानक DNNs को काफी पीछे छोड़ दिया। 2-3 परतों और $\ge 10^5$ न्यूरॉन्स के साथ, EFNN ने सापेक्ष त्रुटि (relative error) $< 5 \times 10^{-3}$ प्राप्त की, जबकि अन्य नेटवर्क अधिक पैरामीटर्स के बावजूद इस सटीकता तक पहुँचने के लिए संघर्ष कर रहे थे।

B. क्लासिकल हाइजेनबर्ग स्पिन सिस्टम (Continuous)

कार्य: 3-बॉडी इंटरैक्शन के साथ निरंतर स्पिन $s_i \in [-1, 1]$ के लिए ऊर्जा का अनुमान लगाना।
परिणाम: EFNNs ने निरंतर कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में श्रेष्ठ प्रदर्शन बनाए रखा, और एक 3-लेयर, 150-न्यूरॉन नेटवर्क के साथ कुल ऊर्जा त्रुटि $4 \times 10^{-2}$ प्राप्त की। इसने निरंतर चर और जटिल अंतःक्रियाओं को संभालने की क्षमता की पुष्टि की।

C. क्वांटम डबल एक्सचेंज मॉडल (Finite Temperature)

कार्य: DQMC में महंगी ED गणनाओं को बदलने के लिए $N \times N$ लैटिस के लिए मोंटे कार्लो ऊर्जा $E_{MC}(S)$ का अनुमान लगाना।
प्रदर्शन ( $N=10$ पर): EFNNs ने $10^{-3}$ के क्रम में सापेक्ष त्रुटि प्राप्त की, जो सबसे अच्छे प्रभावी मॉडल (परटर्बेटिव एक्सपेंशन) और मानक DNNs से लगभग 6 गुना बेहतर थी, और इसके लिए बहुत कम पैरामीटर्स का उपयोग किया गया।
सामान्यीकरण ( $N=10 \to N=40$ ):
- $10 \times 10$ लैटिस पर प्रशिक्षित होकर, 3-लेयर EFNN ने $40 \times 40$ लैटिस पर $\approx 4 \times 10^{-4}$ की सापेक्ष त्रुटि प्राप्त की।
- महत्वपूर्ण रूप से, सिस्टम का आकार बढ़ने के साथ त्रुटि घटती गई, जो वास्तविक स्केल-इनवेरिएंस और रेनोर्मलाइजेशन क्षमता को प्रदर्शित करती है।
- मानक DNNs, ResNets, और DenseNets विफल रहे, क्योंकि बड़े सिस्टम के लिए उनकी त्रुटियां बढ़ गईं या उच्च बनी रहीं।
गति-वृद्धि (Speed-up): $40 \times 40$ लैटिस के लिए, EFNN इंफरेंस में $\approx 7.6 \times 10^{-3}$ सेकंड लगे, जबकि ED के लिए $\approx 7.76$ सेकंड लगे। यह $10^3$ (1000x) की गति वृद्धि है, जो बड़े पैमाने पर मोंटे कार्लो सैंपलिंग को संभव बनाता है।

5. महत्व

फिजिक्स-इंफॉर्म्ड AI: यह पेपर "ब्लैक बॉक्स" मशीन लर्निंग से आगे बढ़कर मौलिक भौतिक सिद्धांतों (रेनोर्मलाइजेशन) को सीधे नेटवर्क टोपोलॉजी में समाहित करता है।
स्केलेबिलिटी: EFNNs मशीन लर्निंग में आम "एक्सट्रपलेशन समस्या" (extrapolation problem) को हल करते हैं। वे छोटे, कम गणनात्मक लागत वाले सिस्टम से प्रभावी प्रतिनिधित्व सीख सकते हैं और उन्हें बड़े, कठिन सिस्टम पर लागू कर सकते हैं।
व्यापक अनुप्रयोग: यह फ्रेमवर्क केवल स्पिन सिस्टम तक सीमित नहीं है; यह किसी भी ऐसे क्षेत्र में लागू होता है जहाँ रेनोर्मलाइजेशन विचार प्रासंगिक हैं, जैसे उच्च-ऊर्जा भौतिकी, क्वांटम फील्ड थ्योरी और अनुप्रयुक्त गणित।
दक्षता: 'सेल्फ-सिमिलर एप्रोक्सिमेशंस' के लिए आवश्यक उबाऊ मैन्युअल गणनाओं को स्वचालित करके, EFNNs उच्च-क्रम की अनेक-निकाय समस्याओं को हल करने के लिए एक व्यावहारिक, प्रशिक्षित उपकरण प्रदान करते हैं जो पहले गणनात्मक रूप से असंभव थे।

निष्कर्षतः, EFNNs वैज्ञानिक मशीन लर्निंग में एक प्रतिमान परिवर्तन (paradigm shift) का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो यह सिद्ध करते हैं कि गणितीय भौतिकी पर आधारित आर्किटेक्चर सटीकता, सामान्यीकरण और कम्प्यूटेशनल दक्षता में मानक डीप लर्निंग और पारंपरिक परटर्बेटिव विधियों दोनों से बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं।