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Quantum Annealing Algorithms for Estimating Ising Partition Functions

यह शोध पत्र एक क्वांटम प्रोटोकॉल प्रस्तुत करता है जो कम तापमान पर आइसिंग विभाजन फलनों (Ising partition functions) का कुशलतापूर्वक अनुमान लगाने के लिए अनुकूलित नॉन-इक्विलिब्रियम प्रारंभिक वितरणों के साथ रिवर्स क्वांटम एनीलिंग को जोड़ता है, जो शास्त्रीय विधियों को सीमित करने वाले सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव को दूर करते हुए और निकट-अवधि क्वांटम उपकरणों के लिए व्यवहार्य रहते हुए कम्प्यूटेशनल स्केलिंग घातांकों को महत्वपूर्ण रूप से कम करता है।

मूल लेखक: Haowei Li, Zhiyuan Yao, Xingze Qiu

प्रकाशित 2026-03-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Haowei Li, Zhiyuan Yao, Xingze Qiu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप ऊन के एक विशाल, उलझे हुए गोले के हर संभव विन्यास (configuration) के कुल "भार" की गणना करने की कोशिश कर रहे हैं। भौतिकी की दुनिया में, ऊन के इस गोले को आइसिंग स्पिन ग्लास (Ising Spin Glass) कहा जाता है। यह एक ऐसा सिस्टम है जहाँ छोटे चुंबक (स्पिन्स) आपस में लड़ रहे हैं, वे अलग-अलग दिशाओं में संकेत देने की कोशिश कर रहे हैं, जिससे एक अराजक और जमी हुई स्थिति पैदा हो रही है।

भौतिकविदों को इस अव्यवस्था के लिए पार्टिशन फंक्शन (Partition Function) नामक चीज़ की गणना करने की आवश्यकता होती है। इस संख्या को आप हर उस तरीके का "कुल स्कोर" मान सकते हैं जिससे चुंबक खुद को व्यवस्थित कर सकते हैं। इस स्कोर को जानना यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि सामग्रियां (materials) कैसे व्यवहार करती हैं, जटिल लॉजिस्टिक्स को कैसे अनुकूलित किया जाए, या AI को कैसे प्रशिक्षित किया जाए।

समस्या: "दुर्लभ घटना" का जाल (The "Rare Event" Trap)
दशकों से, कंप्यूटर इस स्कोर की गणना करने में संघर्ष कर रहे हैं, विशेष रूप से जब सिस्टम ठंडा (कम तापमान) होता है।

शास्त्रीय संघर्ष (The Classical Struggle): कल्पना कीजिए कि आप घने कोहरे से ढकी एक पर्वत श्रृंखला में सबसे गहरी घाटी खोजने की कोशिश कर रहे हैं। मानक कंप्यूटर विधियाँ (जैसे मार्कोव चेन मोंटे कार्लो) एक हाइकर (हाइकर) की तरह हैं जो इधर-उधर भटक रहा है। एक ठंडे और ऊबड़-खाबड़ परिदृश्य में, हाइकर छोटी, उथली घाटियों (metastable states) में फंस जाता है और बाहर नहीं निकल पाता। इसमें बहुत समय लगता है।
"जारज़िंस्की" की विफलता (The "Jarzynski" Failure): जारज़िंस्की के समीकरण (Jarzynski's Equality) नामक एक चतुर गणितीय ट्रिक थी जिसने वादा किया था कि यह इसे हल कर देगी। यह ऐसा है जैसे कहना, "यदि मैं एक मिलियन बार पहाड़ पर निशाना लगाऊं, तो मेरे थ्रो का औसत मुझे ऊंचाई बता देगा।" लेकिन यहाँ एक पेंच है: एक ठंडे सिस्टम में, "औसत" उन दुर्लभ, जंगली थ्रो (rare, wild throws) द्वारा नियंत्रित होता है जो चार्ट से बहुत बाहर चले जाते हैं। ये दुर्लभ घटनाएं इतनी चरम होती हैं कि वे गणित को तोड़ देती हैं, जिससे गणना असंभव हो जाती है।

समाधान: एक क्वांटम शॉर्टकट
लेखकों ने इस समस्या को हल करने के लिए क्वांटम एनीलिंग (Quantum Annealing) (एक प्रकार का क्वांटम कंप्यूटर जो कम-ऊर्जा वाली अवस्थाओं को खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है) का उपयोग करके एक नया तरीका प्रस्तावित किया है। वे अपने इस तरीके को एक "सिनर्जिस्टिक हाइब्रिड एल्गोरिदम" कहते हैं।

यहाँ उनके इस क्रांतिकारी बदलाव के लिए उपमा दी गई है:

1. "रिवर्स" रणनीति

आमतौर पर, क्वांटम एनीलिंग एक सरल, आसानी से समझ आने वाली अवस्था से शुरू होती है और धीरे-धीरे उस जटिल, उलझी हुई समस्या में बदल जाती है जिसे आप हल करना चाहते हैं।

पुराना तरीका: एक खाली कैनवास से शुरू करें और धीरे-धीरे एक उत्कृष्ट कृति (masterpiece) पेंट करें।
नया तरीका (रिवर्स क्वांटम एनीलिंग): एक विशिष्ट, ज्ञात पेंटिंग (समाधान का एक अच्छा अनुमान) से शुरू करें और क्वांटम कंप्यूटर से उसे "परिष्कृत" (refine) करने के लिए कहें। यह एक रफ स्केच लेने और फिर एक मास्टर कलाकार से अंतिम, पूर्ण विवरण जोड़ने के लिए कहने जैसा है। यह बहुत तेज़ और अधिक केंद्रित है।

2. "दुर्लभ घटनाओं" को चकमा देना

इस पेपर की सबसे बड़ी प्रतिभा यह है कि यह उन "दुर्लभ घटनाओं" को कैसे संभालता है जिन्होंने पुराने गणित को तोड़ दिया था।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप किसी देश की औसत आय का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। यदि आप केवल यादृच्छिक (random) लोगों से पूछते हैं, तो आप गलती से एक अरबपति को चुन सकते हैं। वह एक अरबपति अपने औसत को इतना प्रभावित करता है कि आपका परिणाम बेकार हो जाता है।
समाधान: यादृच्छिक नमूनाकरण (random sampling) के बजाय, लेखक एक "स्मार्ट लिस्ट" तैयार करते हैं कि किससे पूछना है। वे जानबूझकर विशिष्ट आय वर्गों (एक "नॉन-इक्विलिब्रियम इनिशियल डिस्ट्रीब्यूशन") से लोगों को चुनते हैं ताकि वह अरबपति परिणाम पर हावी न हो सके।
पेपर में: वे एक शास्त्रीय कंप्यूटर का उपयोग करके शुरुआती बिंदुओं की एक "स्मार्ट लिस्ट" डिजाइन करते हैं जो जंगली, दुर्लभ उतार-चढ़ाव से बचती है। फिर क्वांटम कंप्यूटर इन बिंदुओं के बीच के संबंधों की खोज करने का भारी काम करता है।

3. यह आज के कंप्यूटरों पर क्यों काम करता है

कई क्वांटम एल्गोरिदम के लिए "परफेक्ट" मशीनों की आवश्यकता होती है जो गलतियाँ नहीं करतीं और घंटों तक चल सकती हैं (फॉल्ट-टॉलरेंट क्वांटम कंप्यूटर)। हमारे पास वे अभी नहीं हैं।

लाभ: यह नया तरीका वास्तव में इस बात का लाभ उठाता है कि वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर शोर वाले (noisy) और अल्पकालिक होते हैं। क्योंकि यह विधि तब सबसे अच्छा काम करती है जब प्रक्रिया तेज़ और "नॉन-एडियाबेटिक" (पूरी तरह से धीमी और सुचारू नहीं) हो, इसलिए यह आज के "नॉइजी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम" (NISQ) उपकरणों के साथ पूरी तरह फिट बैठती है, जैसे कि D-Wave या ट्रैप्ड आयन सिस्टम।

परिणाम: एक विशाल गति वृद्धि (Massive Speedup)

लेखकों ने इसका परीक्षण दो अत्यंत कठिन समस्याओं पर किया:

शेरिंगटन-कर्कट्रिक स्पिन ग्लास (Sherrington-Kirkpatrick Spin Glass): एक क्लासिक भौतिकी दुःस्वप्न।
3-SAT: एक लॉजिक पहेली जिसका उपयोग कंप्यूटर की शक्ति का परीक्षण करने के लिए किया जाता है।

परिणाम:

पुरानी विधियाँ: जैसे-जैसे समस्या बड़ी होती है, इसे हल करने के लिए आवश्यक समय तेजी से (exponentially) बढ़ता है (जैसे 1 सेकंड से बढ़कर 1 मिलियन साल हो जाना)।
नई विधि: समय अभी भी बढ़ता है, लेकिन बहुत धीरे। उन्होंने "ग्रोथ रेट" को 10 गुना से अधिक कम कर दिया है।
- उपमा: यदि पुराना तरीका एक पहाड़ पर चढ़ते हुए घोंघे की तरह था, और समस्या का आकार दोगुना हो गया, तो घोंघे को 1,000 गुना अधिक समय लगता। इस नए तरीके के साथ, समस्या का आकार दोगुना होने पर भी इसे केवल लगभग 1.4 गुना अधिक समय लगेगा।

सारांश

यह पेपर एक क्वांटम-क्लासिकल टीम-अप पेश करता है जो एक ऐसी समस्या को हल करता है जिसने दशकों से भौतिकविदों को उलझा रखा है। एक "स्मार्ट स्टार्टिंग लिस्ट" का उपयोग करके गणितीय जाल से बचने और उत्तर को परिष्कृत करने के लिए एक "रिवर्स" क्वांटम प्रक्रिया का उपयोग करके, वे जटिल, जमी हुई प्रणालियों के गुणों की पहले की तुलना में बहुत तेज़ी से गणना कर सकते हैं।

यह महसूस करने जैसा है कि पूरी पर्वत श्रृंखला में सबसे निचला बिंदु खोजने के लिए हर पहाड़ पर चढ़ने के बजाय, आप सबसे अच्छे शुरुआती स्थानों का पता लगाने के लिए ड्रोन का उपयोग कर सकते हैं और फिर सीधे नीचे जा सकते हैं, जिससे आप उन थकाऊ, धुंधले रास्तों को छोड़ सकते हैं जिनमें हर कोई फंस जाता है। यह उन क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग करके सामग्री विज्ञान, दवा की खोज और आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस के वास्तविक अनुप्रयोगों के द्वार खोलता है जिन्हें हम आज बना सकते हैं।

यहाँ ली, याओ और क्यू द्वारा लिखित शोध पत्र "Quantum Annealing Algorithms for Estimating Ising Partition Functions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

स्पिन ग्लास जैसे जटिल प्रणालियों के लिए इज़िंग पार्टिशन फंक्शन (Ising Partition Function - IPF) का अनुमान लगाना सांख्यिकीय भौतिकी, कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइज़ेशन और मशीन लर्निंग में एक मौलिक चुनौती है।

कंप्यूटेशनल जटिलता (Computational Complexity): IPF की गणना करना सबसे खराब स्थिति में #P-hard है, जिससे सिस्टम के आकार बढ़ने पर यह क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए अव्यवहार्य (intractable) हो जाता है।
क्लासिकल सीमाएँ (Classical Limitations):
- जारज़िंस्की समानता (Jarzynski's Equality - JE): हालांकि JE सैद्धांतिक रूप से फ्री एनर्जी अंतर को नॉन-इक्विलिब्रियम वर्क से जोड़ता है, लेकिन कम तापमान पर इसका व्यावहारिक अनुप्रयोग विफल हो जाता है। एक्सपोनेंशियल औसत दुर्लभ, विचलनशील सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव (statistical fluctuations) द्वारा हावी होता है, जिससे एक एस्टिमेटर वेरिएंस (estimator variance) सिस्टम के आकार के साथ तेजी से बढ़ता है।
- मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (MCMC): क्लासिकल सैंपलिंग विधियाँ अत्यंत लंबे इक्विलिब्रिएशन समय से जूझती हैं और ऊबड़-खाबड़, कम तापमान वाले परिदृश्यों (ग्लासी रिजीम) में मेटास्टेबल एनर्जी बेसिनों में फंस जाती हैं।
- उन्नत क्वांटम एल्गोरिदम (Advanced Quantum Algorithms): QPE या DQC1 जैसे प्रस्तावित एल्गोरिदम के लिए फॉल्ट-टॉलेंट हार्डवेयर और गहरे सर्किट्स की आवश्यकता होती है, जो वर्तमान नोइज़ी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) उपकरणों के लिए अव्यवहार्य है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल प्रोटोकॉल प्रस्तावित करते हैं जो रिवर्स क्वांटम एनीलिंग (RQA) को अनुकूलित नॉन-इक्विलिब्रियम इनिशियल डिस्ट्रीब्यूशन के साथ जोड़ता है।

A. रिवर्स क्वांटम एनीलिंग (RQA) फ्रेमवर्क

मानक क्वांटम एनीलिंग (जो एक ट्रिवियल ग्राउंड स्टेट से शुरू होता है) के विपरीत, RQA एक विशिष्ट क्लासिकल स्टेट से शुरू होता है और उसे वापस लक्षित हैमिल्टोनियन (target Hamiltonian) की ओर विकसित करता है।

हैमिल्टोनियन इवोल्यूशन (Hamiltonian Evolution): सिस्टम एक समय-निर्भर हैमिल्टोनियन $H(t)$ $H (t)$ के तहत विकसित होता है:
$H(t) = s(t)H_1 + [1 - s(t)]\lambda(t)H_x + [1 - s(t)][1 - \lambda(t)]H_0$
- $H_0$ : ट्रिवियल फ्री मॉडल (कंप्यूटेशनल बेसिस स्टेट्स)।
- $H_1$ : टारगेट इज़िंग स्पिन ग्लास हैमिल्टोनियन।
- $H_x$ : ड्राइवर हैमिल्टोनियन (ट्रांसवर्स फील्ड) जो ट्रांजिशन को सक्षम बनाता है।
प्रक्रिया (Process): सिस्टम को एक वितरण $P_m$ से सैंपल किए गए स्टेट $|\psi_0^m\rangle$ में इनिशियलाइज़ किया जाता है। यह $|\psi(\tau)\rangle$ तक एक नॉन-एडियाबेटिक इवोल्यूशन $U(\tau)$ से गुजरता है, और उसके बाद $H_1$ के आइगन-बेसिस में एक प्रोजेक्टिव मेजरमेंट किया जाता है।

B. अनुकूलित सैंपलिंग फंक्शन ( $P_m$ )

इनोवेशन का मुख्य केंद्र $P_m$ का डिज़ाइन है।

वेरिएंस की समस्या (The Variance Problem): पार्टिशन फंक्शन $Z_1(\beta)$ के लिए एस्टिमेटर $Z_{est} = \frac{1}{M_s} \sum \frac{e^{-\beta E_n}}{P_m}$ है। वेरिएंस तब न्यूनतम होता है जब $P_m \propto \sqrt{\mu_m(\beta)}$ हो, जहाँ $\mu_m(\beta)$ ट्रांजिशन प्रोबेबिलिटीज पर निर्भर करता है।
समाधान (The Solution): मानक गिब्स डिस्ट्रीब्यूशन ( $P_m \propto e^{-\beta E_0}$ ) का उपयोग करने के बजाय, लेखक एक ऑप्टिमल नॉन-इक्विलिब्रियम डिस्ट्रीब्यूशन निकालते हैं जो वेरिएंस को कम करता है।
एप्रोक्सिमेशन स्कीम (Approximation Scheme): चूंकि सटीक $P_m$ $P_{m}$ की गणना करना कठिन है, वे $P_m^{(n_e)}(\beta)$ $P_{m}^{(n_{e})} (β)$ के एक परिवार का प्रस्ताव देते हैं:
1. प्री-सैंपलिंग (Presampling): ट्रांजिशन वेट्स का अनुमान लगाने के लिए लो-एनर्जी स्टेट्स ( $E_0 \le n_e$ ) को सीधे सिम्युलेट करना।
2. एक्सट्रपलेशन (Extrapolation): हाई-एनर्जी स्टेट्स के लिए वेट्स को एक्सट्रपलेट करने के लिए हैमिंग डिस्टेंस और एक प्रभावी इनवर्स टेम्परेचर $\alpha$ पर आधारित एक रिकर्सिव रिलेशन का उपयोग करना।
3. सेल्फ-कंसिस्टेंसी (Self-Consistency): वेरिएंस या कुलबैक-लीब्लर डाइवर्जेंस को मिनिमाइज करके पैरामीटर $\alpha$ को निर्धारित करना।

C. नॉन-एडियाबेटिक ऑपरेशन (Non-Adiabatic Operation)

महत्वपूर्ण रूप से, प्रोटोकॉल को नॉन-एडियाबेटिक रिजीम में संचालित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इसके लिए अन्य क्वांटम एल्गोरिदम द्वारा मांगी गई धीमी, परफेक्ट एडियाबेटिक इवोल्यूशन की आवश्यकता नहीं है। यह वर्तमान NISK हार्डवेयर (सुपरकंडक्टिंग क्वबिट्स, ट्रैप्ड आयन, रिडबर्ग एटम्स) की सीमित कोहेरेंस टाइम के साथ पूरी तरह मेल खाता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

वेरिएंस सप्रेशन (Variance Suppression): यह प्रोटोकॉल जारज़िंस्की समानता के "रेयर-इवेंट" बॉटलनेक को पूरी तरह से दरकिनार करता है। कम तापमान पर, एस्टिमेटर वेरिएंस एक्सपोनेंशियल रूप से बढ़ने के बजाय सैचुरेट (सैटुरेट) हो जाता है।
कम हुआ स्केलिंग एक्सपोनेंट (Reduced Scaling Exponent): न्यूमेरिकल बेंचमार्क्स कम्प्यूटेशनल स्केलिंग एक्सपोनेंट ( $\gamma$ $γ$ ) में एक क्रम से अधिक की कमी दिखाते हैं।
- शेरिंगटन-किर्कपैट्रिक (SK) मॉडल: $\gamma$ लगभग $6.99$ (JE) से घटकर $\sim 0.45$ हो गया।
- 3-SAT समस्या: $\gamma$ लगभग $8.45$ (JE) से घटकर $\sim 0.50$ हो गया।
- नोट: हालांकि समस्या अभी भी एक्सपोनेंशियल रूप से कठिन ( $\sim 2^{\gamma N}$ ) बनी हुई है, लेकिन $\gamma$ को $\sim 8.5$ से $\sim 0.5$ तक कम करना एक विशाल व्यावहारिक सुधार है।
NISQ व्यवहार्यता (NISQ Feasibility): यह एल्गोरिदम हार्डवेयर-नेटिव है, जिसमें केवल रिवर्स एनीलिंग क्षमताओं और प्रोजेक्टिव मेजरमेंट्स की आवश्यकता होती है, जिससे इसे बिना एरर करेक्शन के वर्तमान क्वांटम डिवाइसेस पर लागू किया जा सकता है।
सामान्यीकरण (Generalizability): अनुकूलित नॉन-इक्विलिब्रियम इनिशियल स्टेट्स और नॉन-एडियाबेटिक क्वांटम डायनेमिक्स को संयोजित करने की यह रणनीति स्पिन ग्लास से परे अन्य क्लासिकली कठिन थर्मोडायनामिक समस्याओं पर भी लागू होती है।

4. परिणाम (Results)

लेखकों ने अपने प्रोटोकॉल का शेरिंगटन-किर्कपैट्रिक (SK) स्पिन ग्लास मॉडल और रैंडम 3-SAT इंस्टेंस के विरुद्ध बेंचमार्किंग किया:

लो-टेम्परेचर परफॉरमेंस: लो-टेम्परेचर रिजीम ( $\beta = 10$ ) में, JE-आधारित दृष्टिकोण ने वेरिएंस में एक्सपोनेंशियल डाइवर्जेंस दिखाया, जबकि प्रस्तावित प्रोटोकॉल ने सैचुरेशन प्राप्त किया।
स्केलिंग एनालिसिस: रिलेटिव वेरिएंस $\sigma^2/Z^2 \sim 2^{\gamma N}$ $σ^{2} / Z^{2} \sim 2^{γ N}$ के रूप में स्केल करता है।
- JE बेसलाइन: $\gamma \approx 7.0$ (SK) और $\approx 8.5$ (3-SAT)।
- प्रस्तावित प्रोटोकॉल: $\gamma \approx 0.45$ (SK) और $\approx 0.50$ (3-SAT)।
रिसोर्स एफिशिएंसी: कुल रिसोर्स कॉस्ट (सैंपल्स $\times$ टाइम) एक परिमित, इष्टतम इवोल्यूशन टाइम $\tau$ पर न्यूनतम होती है, जो पुष्टि करती है कि नॉन-एडियाबेटिक ऑपरेशन इस विशिष्ट कार्य के लिए बेहतर है।
एप्रोक्सिमेशन रोबस्टनेस: भले ही एक लो-ऑर्डर एप्रोक्सिमेशन ( $n_e=1$ , जिसका अर्थ है कि केवल ग्राउंड स्टेट और फर्स्ट एक्साइटेड शेल को सीधे सैंपल किया गया है) का उपयोग किया जाए, प्रोटोकॉल लगभग-इष्टतम स्केलिंग प्राप्त करता है, जो सिस्टम साइज ग्रोथ के प्रति इसकी मजबूती को दर्शाता है।

5. महत्व (Significance)

यह कार्य क्लासिकली कठिन थर्मोडायनामिक समस्याओं को हल करने के लिए निकट-अवधि (near-term) क्वांटम प्रोसेसर का लाभ उठाने के लिए एक व्यावहारिक ब्लूप्रिंट प्रदान करता है।

थ्योरी और प्रैक्टिस के बीच सेतु: यह फॉल्ट-टॉलेंट की आवश्यकता वाले सैद्धांतिक प्रस्तावों से आगे बढ़कर, एक ऐसी विधि प्रदान करता है जो वर्तमान शोर वाले (noisy) हार्डवेयर की सीमाओं के भीतर काम करती है।
QA के लिए नया प्रतिमान (Paradigm): यह क्वांटम एनीलिंग की उपयोगिता को केवल ग्राउंड-स्टेट सर्च (ऑप्टिमाइज़ेशन) से बढ़ाकर थर्मोडायनामिक एस्टीमेशन (पार्टिशन फंक्शन और फ्री एनर्जी की गणना) तक विस्तारित करता है।
प्रभाव: पार्टिशन फंक्शन को कुशलतापूर्वक अनुमान लगाने की क्षमता डिसऑर्डर्ड सिस्टम्स, प्रोटीन फोल्डिंग और मशीन लर्निंग मॉडल्स (जैसे बोल्ट्ज़मैन मशीन) की बेहतर मॉडलिंग को सक्षम बनाती है, जहाँ क्लासिकल विधियाँ लो-टेम्परेचर बैरियर के कारण विफल हो जाती हैं।

संक्षेप में, यह पेपर प्रदर्शित करता है कि अनुकूलित इनिशियल स्टेट डिस्ट्रीब्यूशन को डिजाइन करके और नॉन-एडियाबेटिक रिवर्स एनीलिंग का उपयोग करके, क्वांटम डिवाइस इज़िंग पार्टिशन फंक्शन के अनुमान के लिए क्लासिकल विधियों की मौलिक सांख्यिकीय सीमाओं को पार कर सकते हैं।