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Hamiltonian Analysis of Pre-geometric Gravity

यह शोध पत्र उन प्री-जियोमेट्रिक गेज सिद्धांतों का एक हैमिल्टोनियन विश्लेषण प्रस्तुत करता है जहाँ आइंस्टीन-कार्टन गुरुत्वाकर्षण स्वतःस्फूर्त समरूपता भंग (spontaneous symmetry breaking) के माध्यम से उभरता है, जो इन्फ्रारेड सीमा में कैनोनिकल जनरल रिलेटिविटी की पुनर्प्राप्ति को प्रदर्शित करता है और विस्तारित BF सूत्रीकरणों (extended BF formulations) एवं एक सामान्यीकृत व्हीलर-डीविट समीकरण के माध्यम से यूवी पूर्णता (UV completion) के मार्गों का अन्वेषण करते हुए यूवी डिग्री ऑफ फ्रीडम को अभिलक्षित करता है।

मूल लेखक: Andrea Addazi, Salvatore Capozziello, Antonino Marcianò, Giuseppe Meluccio

प्रकाशित 2026-05-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Andrea Addazi, Salvatore Capozziello, Antonino Marcianò, Giuseppe Meluccio

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक ऐसे मंच (स्टेज) के रूप में नहीं है जिसमें फर्श और दीवारें (स्थान और समय) हों जहाँ अभिनेता प्रदर्शन करते हैं, बल्कि यह कनेक्शन और नियमों के एक विशाल, अदृश्य जाल के रूप में है जो मंच बनने से पहले ही मौजूद होता है। यह आपके द्वारा साझा किए गए शोध पत्र का मूल विचार है: प्री-जियोमेट्रिक ग्रेविटी (Pre-geometric Gravity)।

लेखक, जो भौतिकविदों की एक टीम है, एक बड़े सवाल का जवाब देने की कोशिश कर रहे हैं: आइंस्टीन के गुरुत्वाकर्षण के सुचारू, घुमावदार स्पेस-टाइम (space-time) का उद्भव ब्रह्मांड की शुरुआत में मौजूद एक अराजक, "प्री-जियोमेट्रिक" सूप से कैसे हुआ?

यहाँ उनके कार्य का रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके एक सरल विवरण दिया गया है:

1. "जमा हुआ सूप" बनाम "ठोस बर्फ"

प्रारंभिक ब्रह्मांड को गर्म, उबलते हुए सूप के बर्तन के रूप में सोचें। इस "प्री-जियोमेट्रिक" चरण में, कोई ठोस जमीन नहीं है, कोई ऊपर या नीचे नहीं है, और कोई दूरी नहीं है। यह केवल क्षेत्रों (fields) का एक अराजक मिश्रण (जैसे सूप में सामग्रियां) है जो चारों ओर घूम रहा है।

लेखक प्रस्तावित करते हैं कि हमारा परिचित ब्रह्मांड (गुरुत्वाकर्षण, स्थान और समय के साथ) उस पानी से बर्फ बनने जैसा है।

तंत्र (Mechanism): वे स्पोंटेनियस सिमिट्री ब्रेकिंग (SSB) की एक अवधारणा का उपयोग करते हैं। एक पूरी तरह से संतुलित घूमते हुए लट्टू (spinning top) की कल्पना करें जो एक गोल मेज के बीच में है। जब तक यह तेजी से घूमता है, यह हर कोण से एक जैसा दिखता है (समरूपता/Symmetry)। लेकिन जैसे ही यह धीमा होता है, यह अंततः डगमगाता है और एक तरफ गिर जाता।
परिणाम: जब "सूप" ठंडा होता है (ब्रह्मांड विकसित होता है), तो क्षेत्र (fields) एक विशिष्ट पैटर्न में स्थिर हो जाते हैं। यह "गिरना" पूर्ण समरूपता को तोड़ देता है और अचानक एक ठोस संरचना बना देता है। शोध पत्र में, यह "ठोस संरचना" मीट्रिक (metric) (वह पैमाना जिसका उपयोग हम दूरी मापने के लिए करते हैं) और गुरुत्वाकर्षण स्वयं है।

2. "ब्लूप्रिंट" बनाम "इमारत"

यह पत्र इस बारे में दो अलग-अलग "ब्लूप्रिंट" (सिद्धांतों) का विश्लेषण करता है कि यह बर्फ कैसे बनती है:

विलचेक थ्योरी (Wilczek Theory): नोबेल पुरस्कार विजेता फ्रैंक विलचेक द्वारा प्रस्तावित।
मैकडॉवेल-मैन्सूरी थ्योरी (MacDowell-Mansouri Theory): एक पुराना, संबंधित विचार।

लेखक स्ट्रक्चरल इंजीनियरों की तरह कार्य करते हैं। वे इन ब्लूप्रिंट्स को लेते हैं और एक "हैमिल्टोनियन विश्लेषण" (Hamiltonian Analysis) करते हैं। सरल शब्दों में, यह जाँचने जैसा है कि:

इस इमारत के कितने स्वतंत्र भाग (degrees of freedom) हैं?
क्या गणित तब भी सही रहता है यदि हम इसे बनाने की कोशिश करें?
एक बार जब बर्फ बन जाती है, तो क्या यह उस इमारत से मेल खाती है जिसे हम पहले से जानते हैं (आइंस्टीन का सामान्य सापेक्षता सिद्धांत)?

अच्छी खबर: उन्होंने पाया कि एक बार जब "बर्फ" बन जाती है (समरूपता टूट जाती है), तो दोनों ब्लूप्रिंट आइंस्टीन के गुरुत्वाकर्षण के नियमों को पूरी तरह से पुन: निर्मित करते हैं। गणित बिल्कुल वैसा ही काम करता है जैसा अपेक्षित है।

3. "टाइम गेज" (Time Gauge) का रहस्य

सबसे दिलचस्प निष्कर्षों में से एक समय (Time) के बारे में है।

"गर्म सूप" चरण में (गुरुत्वाकर्षण अस्तित्व में आने से पहले), समय केवल एक अन्य समन्वय (coordinate) है, जैसे कि चलने की एक दिशा।
"ठोस बर्फ" चरण में (हमारा वर्तमान ब्रह्मांड), समय अलग तरह से व्यवहार करता है।

लेखकों ने पाया कि उनके गणित को आइंस्टीन से मिलाने के लिए, उन्हें एक विशिष्ट "दृष्टिकोण" चुनना पड़ा जिसे टाइम गेज (Time Gauge) कहा जाता है।

उपमा: एक घूमते हुए नर्तक की फोटो लेने की कल्पना करें। यदि आप किनारे से फोटो लेते हैं, तो आप स्पिन देखते हैं। यदि आप सीधे ऊपर से लेते हैं, तो स्पिन अलग दिखता है। लेखकों ने पाया कि "प्री-जियोमेट्रिक" सिद्धांत स्वाभाविक रूप से ब्रह्मांड को गुरुत्वाकर्षण उभरने के बाद "किनारे" (टाइम गेज) से फोटो लेने के लिए मजबूर करता है। यह ऐसा है जैसे गुरुत्वाकर्षण के "जमने" के कार्य ने स्वचालित रूप से घड़ी सेट कर दी हो।

4. "नर्तकों" की गिनती (Degrees of Freedom)

भौतिकी में, आपको यह गिनना होता है कि कितनी स्वतंत्र चीजें हिल या डोल सकती हैं।

आइंस्टीन का गुरुत्वाकर्षण: इसमें 2 "नर्तक" होते हैं (गुरुत्वाकर्षण तरंगों के दो ध्रुवीकरण)।
प्री-जियोमेट्रिक थ्योरी: लेखकों ने "सूप" चरण में नर्तकों की गिनती की। उन्होंने 3 नर्तक पाए।
- दो सामान्य गुरुत्वाकर्षण तरंगें हैं।
- तीसरा एक नया "स्केलर फील्ड" (scalar field) है (एक छिपे हुए अतिरिक्त आयाम या एक नए प्रकार के कण की तरह) जो समरूपता को तोड़ने के लिए उपयोग किए गए हिग्स-जैसे क्षेत्र से आता है।

यह महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका मतलब है कि इस सिद्धांत में "घोस्ट्स" (गणितीय त्रुटियां जो सिद्धांत को अस्थिर बनाती हैं) नहीं हैं और यह इस विचार के साथ फिट बैठता है कि गुरुत्वाकर्षण एक "स्केलर-टेंसर" सिद्धांत (गुरुत्वाकर्षण प्लस एक अतिरिक्त क्षेत्र) हो सकता है।

5. "टोपोलॉजिकल" उत्पत्ति (BF थ्योरी)

यह पत्र इसे BF थ्योरी नामक चीज़ से भी जोड़ता है।

उपमा: BF थ्योरी को एक गांठ (knot) के रूप में सोचें। एक गांठ का कोई स्थानीय भाग नहीं होता; यह केवल एक वैश्विक आकार है। यह "टोपोलॉजिकल" है।
लेखक सुझाव देते हैं कि प्री-जियोमेट्रिक ब्रह्मांड एक पूर्ण, विशेषताहीन गांठ (topological) के रूप में शुरू होता है।
"हिग्स-जैसा क्षेत्र" कैंची की तरह कार्य करता है जो गांठ को काटता है।
एक बार कट जाने के बाद, गांठ स्थानीय भागों वाली संरचना में खुल जाती है (गुरुत्वाकर्षण, स्थान, समय)।
यह सुझाव देता है कि उच्चतम ऊर्जाओं (प्लांक स्केल) पर, गुरुत्वाकर्षण "तुच्छ" (trivial) हो सकता है (केवल एक गांठ जिसमें कोई स्थानीय नियम नहीं हैं), और समरूपता टूटने के बाद ही यह "वास्तविक" गुरुत्वाकर्षण बनता है।

6. "प्री-जियोमेट्रिक क्लॉक" (Pre-Geometric Clock)

अंत में, वे व्हीलर-डीविट समीकरण (Wheeler-DeWitt equation) (पूरे ब्रह्मांड के लिए "श्रोडिंगर समीकरण") के बारे में एक आकर्षक विचार प्रस्तावित करते हैं।

मानक क्वांटम ग्रेविटी में, "समय" समीकरणों से गायब हो जाता है, जो एक बड़ी पहेली है ("समय की समस्या" या Problem of Time)।
इस प्री-जियोमेट्रिक दृष्टिकोण में, "हिग्स-जैसा क्षेत्र" एक घड़ी (clock) के रूप में कार्य करता है।
समरूपता टूटने से पहले, यह क्षेत्र तापमान के साथ विकसित होता है (जैसे ठंडा होता सूप)। यह स्थान-समय के अस्तित्व में आने से पहले भी "समय" को मापने का एक तरीका प्रदान करता है।
एक बार जब ब्रह्मांड ठंडा हो जाता है और गुरुत्वाकर्षण उभर आता है, तो यह घड़ी सामान्य अर्थों में "रुक" जाती है, जो यह समझाता है कि वर्तमान ब्रह्मांड में समय का व्यवहार शुरुआत के मुकाबले अलग क्यों है।

सारांश

यह शोध पत्र एक गणितीय प्रमाण-अवधारणा (proof-of-concept) है। यह कहता है:

हम एक ऐसे ब्रह्मांड से शुरू कर सकते हैं जिसमें कोई स्थान या समय नहीं है, केवल क्षेत्र (fields) हैं।
इन क्षेत्रों को ठंडा होने और "समरूपता तोड़ने" (जैसे पानी जमना) देकर, आइंस्टीन का गुरुत्वाकर्षण स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है।
गणित पूरी तरह से काम करता है, जो चलते हुए भागों की सही संख्या गिनता है।
यह ढांचा "समय की समस्या" को हल कर सकता है, यह मानकर कि प्रारंभिक ब्रह्मांड एक टोपोलॉजिकल गांठ था जो केवल तभी एक भौतिक ब्रह्मांड बनता है जब एक विशिष्ट क्षेत्र (हिग्स-जैसा क्षेत्र) परिवर्तन को ट्रिगर करता है।

यह एक अराजक, विशेषताहीन शुरुआत और आज के संरचित, गुरुत्वाकर्षण वाले ब्रह्मांड के बीच का एक सेतु है।

तकनीकी सारांश: प्री-जियोमेट्रिक ग्रेविटी का हैमिल्टोनियन विश्लेषण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक ऐसे प्री-जियोमेट्रिक ढांचे से उत्पन्न होने वाले क्वांटम ग्रेविटी के सिद्धांत को तैयार करने की चुनौती को संबोधित करता है, जहाँ स्पेसटाइम मेट्रिक संरचनाएं मौलिक नहीं हैं, बल्कि एक उच्च-आयामी गेज सिमेट्री के स्वतःस्फूर्त समरूपता भंग (Spontaneous Symmetry Breaking - SSB) के माध्यम से उभरती हैं। विशेष रूप से, लेखक विल्चेक (Wilczek) और मैकडॉवेल-मैकडॉवेल (MacDowell–Mansouri) मॉडलों पर ध्यान केंद्रित करते हुए, इन प्री-जियोमेट्रिक गेज सिद्धांतों के हैमिल्टोनियन सूत्रीकरण की जांच करते हैं। केंद्रीय समस्या यह निर्धारित करना है कि क्या ये प्री-जियोमेट्रिक गेज सिद्धांत—जो $SO(1,4) $या$ SO(3,2)$ जैसे समूहों पर आधारित हैं—इन्फ्रारेड (IR) सीमा में जनरल रिलेटिविटी (GR) की कैनोनिकल संरचना को सही ढंग से पुनरुत्पादित करते हैं, और बिना किसी बैकग्राउंड मेट्रिक पर निर्भर हुए, अनब्रोकन (unbroken) अल्ट्रावॉयलेट (UV) चरण में इनके स्वतंत्रता की कोटियों (degrees of freedom) और बाधा बीजगणित (constraint algebras) का विश्लेषण करते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक डिरैक के 'कंस्ट्रेंड सिस्टम्स' (constrained systems) एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए एक बैकग्राउंड-स्वतंत्र हैमिल्टोनियन विश्लेषण नियोजित करते हैं। कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

कैनोनिकल विश्लेषण: वे विल्चेक सिद्धांत (और परिशिष्ट में अलग से मैकडॉवेल-मैकडॉवेल सिद्धांत) के लिए लैग्रेंजियन घनत्वों को परिभाषित करते हैं, जिनमें एक गेज फील्ड $A^{AB}_\mu$ और एक हिग्स-जैसे स्केलर फील्ड $\phi^A$ शामिल हैं। वे इन क्षेत्रों के लिए संयुग्मी संवेगों (conjugate momenta) की गणना करते हैं।
बाधा पहचान (Constraint Identification): डिरैक के एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, वे लैग्रेंजियन की विसंगति (degeneracy) से उत्पन्न प्राथमिक और द्वितीयक बाधाओं की पहचान करते हैं। वे गेज सिमेट्री और भौतिक स्वतंत्रता की कोटियों को निर्धारित करने के लिए इन बाधाओं को फर्स्ट-क्लास और सेकंड-क्लास सेटों में वर्गीकृत करते हैं।
सिमेट्री ब्रेकिंग सीमा: वे SSB तंत्र लागू करते हैं जहाँ स्केलर फील्ड एक वैक्यूम एक्सपेक्टेशन वैल्यू (v.e.v.) प्राप्त करता है, जिससे गेज समूह घटकर लोरेंत्ज़ समूह $SO(1,3) $रह जाता है। इस सीमा में, वे प्री-जियोमेट्रिक वेरिएबल्स को स्पिन कनेक्शन$ \omega^{ab}_\mu$ और टेट्राड्स (tetrads) $e^a_\mu$ में मैप करते हैं।
ADM फॉर्मलिज्म के साथ तुलना: वे परिणामी टूटे हुए चरण (broken phase) के हैमिल्टोनियन की तुलना अर्नोविट-डेसर-मिसर (ADM) फॉर्मलिज्म के आइंस्टीन-कार्टन ग्रेविटी के साथ करते हैं। वे विशेष रूप से उन स्थितियों की जांच करते हैं जिनके तहत दोनों फॉर्मुलेशन मेल खाते हैं, जिसमें गेज चयनों पर ध्यान केंद्रित किया गया है।
BF थ्योरी विस्तार: वे प्री-जियोमेट्रिक सिद्धांत को एक विस्तारित टोपोलॉजिकल BF फ्रेमवर्क के भीतर पुनर्गठित करते हैं, जिसमें एक "प्री-जियोमेट्रिक सिम्प्लिसिटी कंस्ट्रेंट" (pre-geometric simplicity constraint) पेश किया गया है ताकि एक टोपोलॉजिकल सिद्धांत से डायनेमिकल सिद्धांत को पुनः प्राप्त किया जा सके।

मुख्य योगदान और परिणाम

जनरल रिलेटिविटी की प्राप्ति: विश्लेषण यह प्रदर्शित करता है कि स्पोंटेनियसली टूटे हुए चरण में, प्री-जियोमेट्रिक विल्चेक सिद्धांत का हैमिल्टोनियन आइंस्टीन-कार्टन ग्रेविटी (कॉस्मोलॉजिकल कॉन्स्टेंट टर्म सहित) के कैनोनिकल हैमिल्टोनियन को सही ढंग से पुनरुत्पादित करता है। यह रिकवरी सटीक रूप से तभी होती है जब ADM फॉर्मलिज्म में "टाइम गेज" (जहाँ स्थानिक हाइपरसरफेस का अभिलंब आंतरिक समय दिशा के साथ संरेखित होता है, $n^0=1$ ) चुना जाता है। यह सुझाव देता है कि SSB तंत्र बिना किसी स्पष्ट स्पेसटाइम फोलिएशन की आवश्यकता के स्वाभाविक रूप से टाइम गेज को फिक्स कर देता है।
स्वतंत्रता की कोटियों की गणना: अनब्रोकन चरण में डिरैक के एल्गोरिदम को लागू करते हुए, लेखक भौतिक स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या की गणना करते हैं। सिद्धांत में 90 डायनेमिकल वेरिएबल्स हैं। गेज चयनों, फर्स्ट-क्लास बाधाओं (10), और सेकंड-क्लास बाधाओं (44) को ध्यान में रखने के बाद, सिस्टम तीन स्वतंत्रता की कोटियाँ प्रदान करता है।
- ये तीन स्वतंत्रता की कोटियाँ एक मासलेस स्पिन-2 ग्रेविटॉन के दो पोलराइजेशन और एक मैसिव स्केलर फील्ड (हिग्स-जैसे फील्ड $\phi^5$ का उत्तेजन) के अनुरूप हैं।
- यह परिणाम बताता है कि प्री-जियोमेट्रिक सिद्धांत IR सीमा में स्केलर-टेन्सर मेट्रिक ग्रेविटी में बदल जाते हैं।
कंस्ट्रेंट अल्जेब्रा और स्थिरता: विश्लेषण प्रकट करता है कि हैमिल्टोनियन दोनों टूटे हुए और अनब्रोकन चरणों में क्षेत्रों और संवेगों में पॉलिनोमियल (polynomial) है। लेखक तर्क देते हैं कि बाधाएं संभावित टेचियोनिक अस्थिरताओं (tachyonic instabilities) और नेगेटिव-नॉर्म स्टेट्स (जो गैर-कॉम्पैक्ट गेज समूहों के कारण अपेक्षित हो सकते हैं) को दबा देती हैं, जो यह सुझाव देता है कि सिद्धांत यूनिटैरिटी (unitarity) को बनाए रखता है।
प्री-जियोमेट्रिक व्हीलर-डीविट समीकरण: लेखक प्री-जियोमेट्रिक सुपर्सपेस के लिए एक सामान्यीकृत व्हीलर-डीविट समीकरण व्युत्पन्न करते हैं, जहाँ वेव फंक्शनल गेज फील्ड्स $A^{AB}_\mu$ और स्केलर्स $\phi^A$ पर निर्भर करता है, न कि स्थानिक मेट्रिक पर। वे नोट करते हैं कि इस प्री-जियोमेट्रिक प्रतिनिधित्व में, समय निर्देशांक प्रासंगिक बना रहता है, जो मानक मेट्रिक-आधारित क्वांटम ग्रेविटी में पाई जाने वाली "समय की समस्या" (problem of time) का समाधान प्रदान कर सकता है।
BF फॉर्मुलेशन और UV पूर्णता: शोध पत्र सिद्धांत को एक विस्तारित टोपोलॉजिकल BF थ्योरी के रूप में प्रस्तुत करता है। वे प्रस्तावित करते हैं कि हिग्स-जैसा फील्ड एक "प्री-जियोमेट्रिक क्लॉक" के रूप में कार्य करता है, जहाँ प्रभावी क्षमता (effective potential) का विकास (तापमान द्वारा संचालित) चरण संक्रमण (phase transition) को निर्धारित करता है।
- UV सीमा (टोपोलॉजिकल चरण): क्रिटिकल तापमान के ऊपर (प्लांक स्केल के पास), सिम्प्लिसिटी कंस्ट्रेंट लुप्त हो जाता है, सिद्धांत टोपोलॉजिकल हो जाता है, और स्थानीय स्वतंत्रता की कोटियाँ समाप्त हो जाती हैं।
- IR सीमा (जियोमेट्रिक चरण): क्रिटिकल तापमान के नीचे, SSB होता है, कंस्ट्रेंट सक्रिय होता है, और सिद्धांत मेट्रिक ग्रेविटी में बदल जाता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह हैमिल्टोनियन विश्लेषण प्री-जियोमेट्रिक ग्रेविटी के लिए एक कठोर, बैकग्राउंड-स्वतंत्र आधार प्रदान करता है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

संगति (Consistency): यह सिद्ध करना कि बिना किसी एड-हॉक धारणा के, एक प्री-ज적인 गेज सिद्धांत से कैनोनिकल GR को सही ढंग से प्राप्त किया जा सकता है, बशर्ते कि टाइम गेज चुना गया हो।
UV पूर्णता का मार्ग: यह सुझाव देना कि टोपोलॉजिकल BF चरण, ग्रेविटी के UV पूर्णता के लिए एक उम्मीदवार प्रदान करता है। इस शासन (regime) में, ग्रेविटी 'ट्रिवियल' (टोपोलॉजिकल) हो जाती है जिसमें कोई स्थानीय स्वतंत्रता की कोटि नहीं होती है, जो एक टोपोलॉजिकल ढांचे के भीतर एसिम्प्टोटिक सेफ्टी में एक ट्रिवियल UV फिक्स्ड पॉइंट के समान है।
क्वांटाइजेशन क्षमता: प्री-जियोमेट्रिक वेरिएबल्स में हैमिल्टोनियन की पॉलिनोमियल प्रकृति को क्वांटाइजेशन के लिए एक आशाजनक विशेषता के रूप में रेखांकित किया गया है, जो मानक ADM फॉर्मलिज्म की नॉन-पॉलिनोमियल कठिनाइयों के विपरीत है।
थर्मल हिस्ट्री कनेक्शन: लेखक प्रारंभिक ब्रह्मांड के थर्मल इतिहास और स्पेसटाइम ज्योमेट्री के उद्भव के बीच एक गुणात्मक संबंध प्रस्तावित करते हैं, जहाँ हिग्स-जैसा फील्ड एक टोपोलॉजिकल प्री-जियोमेट्रिक चरण से जियोमेट्रिक ग्रेविटेशनल चरण में संक्रमण को संचालित करता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि जबकि वर्तमान कार्य शास्त्रीय हैमिल्टोनियन संरचना और स्वतंत्रता की कोटियों की गणना स्थापित करता है, स्केलर मल्टीप्लेट की गतिशीलता के लिए एक विस्तृत तंत्र और एक पूर्ण क्वांटाइजेशन स्कीम भविष्य के अध्ययनों का विषय होगी।