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On the principal eigenvectors of random Markov matrices

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि यादृच्छिक रूप से भारित पूर्ण दिग्ग्रaphों (complete digraphs) पर रैंडम वॉक के अपरिवर्तनीय वितरण (invariant distributions), किनारे के भार की क्षणों की शर्तों (moment conditions) के आधार पर, या तो शीर्ष भार द्वारा निर्धारित वितरणों में अनंतिम रूप से अभिसरित होते हैं या एकसमान हो जाते हैं, जिससे इन रैंडम मार्कोव मैट्रिसेस के प्रमुख बाएँ आइजनवेक्टर्स (principal left eigenvectors) का लक्षण वर्णन होता है।

मूल लेखक: Jacob Calvert, Frank den Hollander, Dana Randall

प्रकाशित 2026-02-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jacob Calvert, Frank den Hollander, Dana Randall

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ा चित्र: यादृच्छिक सड़कों का एक शहर (A City of Random Roads)

एक विशाल शहर की कल्पना करें जिसमें $n$ चौराहे हैं (इन्हें हम "नोड्स" कहेंगे)। प्रत्येक जोड़ी चौराहों के बीच, एक एकतरफा सड़क है। हालाँकि, यह कोई सामान्य शहर नहीं है; यह एक यादृच्छिक (random) शहर है।

सड़कें (एज वेट्स - Edge Weights): हर सड़क का एक "ट्रैफिक फ्लो" या "वजन" है। कुछ सड़कें चौड़े हाईवे (उच्च वजन) हैं, और कुछ संकरी कच्ची राहें (कम वजन) हैं। इस शोध पत्र में, लेखक मानते हैं कि इन सड़क की चौड़ाई को यादृच्छिक रूप से चुना गया है, जैसे शहर की हर एक सड़क के लिए पासा (dice) फेंका गया हो।
चौराहे (वर्टेक्स वेट्स - Vertex Weights): प्रत्येक चौराहे का एक "चुंबकत्व" या "आकर्षण" (वर्टेक्स वेट) भी होता है। कुछ चौराहे एक हलचल भरे डाउनटाउन के बीच में हैं (उच्च आकर्षण), जबकि कुछ शांत रेगिस्तान में हैं (कम आकर्षण)।
पथिक (The Walker): एक व्यक्ति (एक "रैंडम वॉकर") की कल्पना करें जो इस शहर में घूम रहा है। किसी भी चौराहे पर, वह बाहर जाने वाली सभी सड़कों को देखता है और उनमें से एक को चुनने के लिए एक रास्ता चुनता है। सड़क जितनी चौड़ी होगी, उसके द्वारा चुनी जाने के चांस उतने ही अधिक होंगे।

प्रश्न: यदि यह पथिक बहुत लंबे समय तक घूमता रहता है, तो वह अपना समय कहाँ बिताएगा? वह किन चौराहों पर सबसे अधिक बार जाएगा?

गणित के शब्दों में, "वह अपना समय कहाँ बिताएगा" को इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन (invariant distribution) या "प्रिंसिपल लेफ्ट आइगेनवेक्टर" कहा जाता है। यह शोध पत्र पूछता है: क्या हम पूरे वॉक (walk) का अनुकरण (simulation) किए बिना, केवल सड़कों की चौड़ाई और चौराहों के आकर्षण को देखकर इस वितरण का अनुमान लगा सकते हैं?

दो मुख्य पात्र

यह शोध पत्र पथिक के चलने के दो थोड़े अलग तरीकों का अध्ययन करता है:

"सतत" पथिक (जेनरेटर $Q$ - The Continuous Walker): यह पथिक लगातार चलता है। वे केवल एक चौराहे से दूसरे चौराहे पर कूदते नहीं हैं; वे प्रवाहित होते हैं। वे एक चौराहे पर कितना समय बिताते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे वहां से कितनी तेजी से बाहर निकलते हैं। यदि किसी चौराहे से कई चौड़ी सड़कें बाहर निकलती हैं, तो पथिक जल्दी निकल जाता है और वहां कम समय बिताता है।
- अंतर्ज्ञान (Intuition): किसी स्थान पर बिताया गया समय मोटे तौर पर इस बात के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होता है कि आप वहां से कितनी तेजी से बाहर निकल सकते हैं। (यदि आपके पास एक तेज़ निकास है, तो आप वहां ज्यादा देर नहीं रुकेंगे)।
"डिस्क्रीट" पथिक (कर्नेल $P$ - The Discrete Walker): यह पथिक कूदता है। हर कदम पर, वह उस चौराहे से निकलने वाली कुल चौड़ाई के सापेक्ष सड़क की चौड़ाई के आधार पर एक सड़क चुनता है।
- अंतर्ज्ञान: यह संयोग के खेल जैसा है जहाँ किसी पड़ोसी तक जाने की संभावना केवल उस स्थान की कुल सड़क चौड़ाई के मुकाबले सड़क की चौड़ाई है।

बड़ी खोजें

लेखकों ने पाया कि ये पथिक अंततः कहाँ पहुँचते हैं, इसके बारे में कुछ आश्चर्यजनक बातें सामने आईं।

1. "एग्जिट रेट" नियम (सतत पथिक के लिए)

निष्कर्ष: यदि सड़कों की चौड़ाई बहुत ज्यादा अजीब नहीं है (गणितीय रूप से, उन्हें एक "फाइनाइट फोर्थ मोमेंट" की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि कोई भी एक सड़क बाकी सड़कों की तुलना में अनंत रूप से चौड़ी नहीं होनी चाहिए), तो पथिक का स्थान लगभग पूरी तरह से इस बात से निर्धारित होता है कि वह प्रत्येक चौराहे से कितनी तेजी से बाहर निकल सकता है।

उपमा: एक पार्टी की कल्पना करें।

यदि आप एक ऐसी पार्टी में हैं जहाँ बाहर जाने का दरवाजा चौड़ा खुला है और बाहर निकलने के कई रास्ते हैं, तो आप जल्दी निकल जाएंगे। आप वहां ज्यादा देर नहीं रुकेंगे।
यदि आप एक ऐसी पार्टी में हैं जहाँ निकास एक बहुत ही छोटी, संकरी दरार है, तो आप वहां "फँस" गए हैं। आप वहां लंबे समय तक रहेंगे।
परिणाम: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि पथिक एक स्थान पर बिताया गया समय मोटे तौर पर 1 / (निकास गति) के समानुपाती होता है।
भले ही चौराहों का "चुंबकत्व" (वर्टेक्स वेट) यादृच्छिक और अराजक हो, पथिक का अंतिम स्थान मानचित्र लगभग ठीक वैसा ही दिखता है जैसा कि "यहाँ से निकलना कितना कठिन है" का मानचित्र।

2. "एकरूपता" का आश्चर्य (डिस्क्रीट पथिक के लिए)

निष्कर्ष: कूदने वाले पथिक के लिए, यदि सड़कों की चौड़ाई का केवल "फाइनाइट सेकंड मोमेंट" है (जो ऊपर दी गई स्थिति से थोड़ी कमजोर शर्त है), तो पथिक हर चौराहे पर समान रूप से जाता है।

उपमा: एक विशाल लॉटरी की कल्पना करें।

भले ही कुछ सड़कें हाईवे हैं और कुछ कच्ची राहें हैं, और भले ही कुछ चौराहे शहर के केंद्र में हों और कुछ रेगिस्तान में, यादृच्छिकता (randomness) पूरी तरह से औसत (average) हो जाती है।
लंबे समय के बाद, पथिक के चौराहे नंबर 1 पर होने की संभावना उतनी ही है जितनी कि चौराहे नंबर 10,000 पर। वितरण यूनिफॉर्म (uniform/समान) हो जाता है।
यह क्षेत्र के एक बड़े सवाल का जवाब देता है: "क्या यादृच्छिक सड़कों का बिखराव (chaos) कोई पक्षपात पैदा करता है?" उत्तर है: नहीं, कूदने वाले पथिक के लिए नहीं। अराजकता खुद को रद्द कर देती है।

यह क्यों मायने रखता है?

आप सोच सकते हैं, "एक नकली शहर में एक रैंडम वॉकर की परवाह कौन करता है?"

पेजरैंक (PageRank): गूगल का मूल एल्गोरिदम (PageRank) अनिवार्य रूप से इंटरनेट पर एक रैंडम वॉकर है। "सड़कें" वेबसाइटों के बीच के लिंक हैं। यह शोध पत्र हमें समझने में मदद करता है कि लिंक की संरचना कैसे तय करती है कि कौन सी वेबसाइट सबसे ऊपर रैंक करेगी, भले ही वेब अव्यवस्थित और यादृच्छिक हो।
भौतिकी और रसायन विज्ञान: ये मॉडल जटिल ऊर्जा परिदृश्यों (जैसे प्रोटीन फोल्डिंग या रासायनिक प्रतिक्रियाओं) के माध्यम से कणों की गति का वर्णन करते हैं। यह जानना कि "कण" (वॉकर) कहाँ फंस जाते हैं, वैज्ञानिकों को यह समझने में मदद करता है कि प्रतिक्रियाएं कितनी तेजी से होती हैं।
अनुमान लगाने की क्षमता (Predictability): यह शोध पत्र दिखाता है कि लाखों यादृच्छिक चरों (variables) वाले सिस्टम में भी, परिणाम आश्चर्यजनक रूप से सरल और अनुमानित होता है। आपको हर एक कदम के सटीक पथ को जानने की आवश्यकता नहीं है; आपको बस "एग्जिट रेट" या सड़कों की सामान्य सुगमता को जानने की आवश्यकता है।

एक वाक्य में सारांश

एक अराजक, यादृच्छिक रूप से भारित नेटवर्क में भी, एक पथिक का दीर्घकालिक व्यवहार आश्चर्यजनक रूप से सरल है: यदि वे निरंतर चलते हैं, तो वे "मुश्किल से निकलने वाले" स्थानों पर फंस जाते हैं; यदि वे कूदते हैं, तो वे अंततः अराजकता के बावजूद हर स्थान पर समान रूप से पहुँचते हैं।

यहाँ जैकब कलवर्ट, फ्रैंक डेन होलैंडर और डाना रैंडल के शोध पत्र "On the Principal Eigenvectors of Random Markov Matrices" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण और संदर्भ

यह शोध पत्र यादृच्छिक (random) मार्कोव मैट्रिसेस के मुख्य बाएँ आइगनवेक्टर्स (principal left eigenvectors/invariant distributions) की जांच करता है, जो विशेष रूप से यादृच्छिक भारित पूर्ण निर्देशित ग्राफों (randomly weighted complete directed graphs) पर परिभाषित निरंतर-समय जनरेटर ( $Q$ ) और असतत-समय कर्नेल ( $P$ ) पर केंद्रित है।

पृष्ठभूमि: जबकि यादृच्छिक मार्कोव मैट्रिसेस के स्पेक्ट्रल गुणों (eigenvalues) का व्यापक अध्ययन किया गया है, उनके मुख्य आइगनवेक्टर्स (स्थिर वितरण $\pi_Q$ और $\pi_P$ ) के व्यवहार को अभी भी कम समझा गया है। ये आइगनवेक्टर पेज रैंक (PageRank) और भौतिक प्रणालियों (जैसे ग्लास सिस्टम, इलेक्ट्रिकल नेटवर्क) के मॉडलिंग जैसे अनुप्रयोगों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
चुनौती: सममित (symmetric) मैट्रिसेस के विपरीत, जहाँ स्थिर वितरण अक्सर पंक्ति योग (row sums) के समानुपाती होता है, सामान्य गैर-सममित यादृच्छिक मार्कोव मैट्रिसेस "नाजुक यादृच्छिक वस्तुएं" (delicate random objects) उत्पन्न करते हैं जिनका कोई स्पष्ट क्लोज्ड-फॉर्म व्यंजक नहीं होता। आइगनवेक्टर $\pi_M$ को स्पैनिंग ट्रीज़ के एक जटिल योग (मार्कोव चेन ट्री थ्योरम) द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे प्रत्यक्ष विश्लेषण कठिन हो जाता है।
मॉडल: लेखक एक $n \times n$ $n \times n$ यादृच्छिक भारित एडजेसेंसी मैट्रिक्स $A$ $A$ पर विचार करते हैं जिसके प्रविष्टियाँ (entries) हैं:
$A_{i,j} = \theta_i X_{i,j}$
जहाँ:
- $\theta_i$ वर्टेक्स वेट्स (vertex weights) हैं (निर्धारित या यादृच्छिक)।
- $X_{i,j}$ i.i.d. एज वेट्स (edge weights) हैं जिनका एक गैर-डीजेनरेट नियम $L$ है जो $[0, \infty)$ पर समर्थित है।
- निरंतर-समय जनरेटर $Q = A - D$ है (जहाँ $D$ पंक्ति योग का विकर्ण है)।
- असतत-समय कर्नेल $P = D^{-1}A$ है।
- एक सहायक कर्नेल $\tilde{Q} = \tilde{D}^{-1}\tilde{A}$ पेश किया गया है, जहाँ $A$ से सेल्फ-लूप्स को हटा दिया गया है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक इन इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशनों को अनुमानित करने के लिए संभाव्यता सांद्रता असमानताओं (probabilistic concentration inequalities) और स्पेक्ट्रल विश्लेषण तकनीकों के संयोजन का उपयोग करते हैं।

विघटन रणनीति (Decomposition Strategy): मुख्य अंतर्दृष्टि यह है कि निरंतर-समय श्रृंखला का इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन $\pi_Q$ , एम्बेडेड असतत-समय श्रृंखला (जो $\tilde{Q}$ से जुड़ी है) के इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन के समानुपाती होता है, जिसे एग्जिट रेट्स (exit rates, $q_i = |Q_{i,i}|$ ) के व्युत्क्रम (inverse) द्वारा स्केल किया जाता है। विशेष रूप से, $\pi_Q(i) \propto \pi_{\tilde{Q}}(i) / q_i$ ।
मापन की सांद्रता (Concentration of Measure): प्रमाण मुख्य रूप से स्ट्रॉन्ग लॉ ऑफ लार्ज नंबर्स (SLLN) और बर्नस्टीन की असमानता (Bernstein's inequality) पर निर्भर करते हैं, ताकि यह दिखाया जा सके कि जैसे-जैसे $n \to \infty$ $n \to \infty$ होता है, पंक्ति योग और वर्ग प्रविष्टियों के योग अपने माध्य के इर्द-गिर्द केंद्रित होते हैं।
- लेम्मा 2.1 (Bai-Yin): पंक्ति योगों के अधिकतम विचलन को सीमित करने के लिए उपयोग किया गया है।
- लेम्मा 2.2: गैर-ऋणात्मक चरों के योग के लिए घातांकीय लोअर-टेल बाउंड प्रदान करता है, जो यह स्थापित करने के लिए महत्वपूर्ण है कि ट्रांजिशन प्रोबेबिलिटीज शून्य नहीं होती हैं।
दो-चरणीय संक्रमण विश्लेषण (Two-Step Transition Analysis): स्थिर वितरण और यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन के बीच की दूरी का अनुमान लगाने के लिए, लेखक दो-चरणीय ट्रांजिशन मैट्रिसेस ( $\tilde{Q}^2$ और $P^2$ ) का विश्लेषण करते हैं। वे दिखाते हैं कि विशिष्ट मोमेंट कंडीशंस के तहत ये मैट्रिसेस "लगभग यूनिफॉर्म" (सभी प्रविष्टियाँ $1/n$ के करीब) हो जाते हैं।
मोमेंट कंडीशंस (Moment Conditions): विश्लेषण उन परिणामों के बीच अंतर करता है जिनमें एक परिमित $p$ -वाम मोमेंट ( $p > 4$ ) की आवश्यकता होती है बनाम वे जिनमें केवल एक परिमित द्वितीय मोमेंट की आवश्यकता होती है।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम

थ्योरम 1.2: एग्जिट रेट्स और वर्टेक्स वेट्स द्वारा सन्निकटन (Approximation)

शर्त: एज वेट्स $X_{i,j}$ में एक परिमित $p$ -वाम मोमेंट है जहाँ $p > 4$ ।
परिणाम: वास्तविक इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन $\pi_Q$ $π_{Q}$ और एक सरल सन्निकटन $\nu$ $ν$ के बीच टोटल वेरिएशन (TV) दूरी $n \to \infty$ $n \to \infty$ होने पर लगभग निश्चित रूप से (almost surely - a.s.) शून्य की ओर अभिसरित होती है।
- सन्निकटन $\nu$ या तो एग्जिट रेट्स ( $\nu_q(i) \propto 1/q_i$ ) के व्युत्क्रम के समानुपाती है या वर्टेक्स वेट्स ( $\nu_\theta(i) \propto 1/\theta_i$ ) के व्युत्क्रम के समानुपाती है।
- अभिसरण की दर (Rate of Convergence): $\|\pi_Q - \nu\|_{TV} = O(n^{-a})$ किसी भी $a < \min\{1/2, 1 - 4/p\}$ के लिए।
महत्व: यह परिणाम तब भी मान्य है जब वर्टेिक्स वेट्स $\theta_i$ हेवी-टेल्ड (heavy-tailed) हों। यह दर्शाता है कि $\pi_Q$ "ट्रैप" अवस्थाओं (उन वर्टिसेस के पास जहाँ एग्जिट रेट्स या वर्टेक्स वेट्स बहुत कम हैं) पर केंद्रित होता है। यह पिछले परिणामों का सामान्यीकरण करता है जो केवल सममित या संतुलित ग्राफ तक सीमित थे।

थ्योरम 1.4: स्पर्शोन्मुख एकरूपता (Asymptotic Uniformity)

शर्त: एज वेट्स $X_{i,j}$ में एक परिमित द्वितीय मोमेंट ( $E[X^2] < \infty$ ) है।
परिणाम: असतत-समय कर्नेल के इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन $\pi_P$ $π_{P}$ और $\pi_{\tilde{Q}}$ $π_{\tilde{Q}}$ स्पर्शोन्मुख रूप से यूनिफॉर्म (asymptotically uniform) हैं a.s.।
- $\|\pi_P - u\|_{TV} = o(1)$ और $\|\pi_{\tilde{Q}} - u\|_{TV} = o(1)$ , जहाँ $u = (1/n, \dots, 1/n)$ ।
- यदि वर्टेक्स वेट्स स्थिर हैं ( $\theta \equiv c$ ), तो $\pi_Q$ भी स्पर्शोन्मुख रूप से यूनिफॉर्म है।
महत्व: यह बॉर्डरनेव, कैपूटो और चाफ़ाई (BCC12) द्वारा उठाए गए एक विशिष्ट खुले प्रश्न का उत्तर देता है कि क्या डिरिचलेट मार्कोव एनसेंबल (जहाँ पंक्तियाँ स्वतंत्र डिरिचलेट वेरिएबल्स हैं) के इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन स्पर्शोन्मुख रूप से यूनिफॉर्म हैं। यह सत्यापित करता है कि मैट्रिक्स प्रविष्टियों में निर्भरता के बावजूद, यदि एज वेट्स में परिमित विचरण (variance) है, तो स्थिर वितरण यूनिफॉर्म हो जाता है।

4. तकनीकी अंतर्दृष्टि और प्रमाण

थ्योरम 1.2 का प्रमाण: लेखक बर्नस्टीन की असमानता का उपयोग करके यह दिखाते हैं कि एम्बेडेड श्रृंखला $\tilde{Q}$ तेजी से यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन की ओर अभिसरित होती है ( $\|\pi_{\tilde{Q}} - u\|_\infty = O(n^{-(1+a)})$ )। चूंकि $\pi_Q$ अनिवार्य रूप से $1/q_i$ द्वारा पुन: भारित (re-weighted) $\pi_{\tilde{Q}}$ है, और $q_i$ , $\theta_i n E[X]$ के आसपास केंद्रित होता है, इसलिए $\pi_Q$ इन भारों के व्युत्क्रम द्वारा संचालित होता है।
थ्योरम 1.4 का प्रमाण: कमजोर धारणा (द्वितीय मोमेंट) के तहत, लेखक प्रविष्टियों के अधिकतम विचलन को उतनी सटीकता से सीमित नहीं कर सकते। इसके बजाय, वे प्रविष्टियों के योग के लोअर-टेल (lower tail) के घातांकीय सांद्रता (exponential concentration) का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए करते हैं कि वर्ग ट्रांजिशन मैट्रिक्स $K^2$ की न्यूनतम (minimum) प्रविष्टि $1/n$ के करीब है। यह निचला स्तर (lower bound) यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि यूनिफॉर्मिटी से $\ell_1$ दूरी शून्य हो जाती है।

5. महत्व और निहितार्थ

खुले प्रश्नों का समाधान: यह शोध पत्र इस प्रश्न को हल करता है कि क्या आश्रित प्रविष्टियों (विशेष रूप से डिरिचलेट एनसेंबल) वाले यादृच्छिक मार्कोव मैट्रिसेस का इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन स्पर्शोन्मुख रूप से यूनिफॉर्म है। उत्तर, परिमित विचरण की मानक धारणा के तहत, सकारात्मक है।
हेवी-टेल्ड व्यवहार (Heavy-Tailed Behavior): यह कार्य हेवी-टेल्ड वितरण के तहत इन प्रणालियों के व्यवहार को स्पष्ट करता है। यह दर्शाता है कि भले ही वितरण यूनिफॉर्म न हो, लेकिन यह संरचनात्मक रूप से पूर्वानुमेय (predictable) है: यह उन नोड्स पर केंद्रित होता है जिनकी "कंडक्टेंस" (conductance) कम होती है (कम एग्जिट रेट्स या कम वर्टेक्स वेट्स)।
कार्यप्रणाली में प्रगति: यह शोध पत्र गैर-सममित यादृच्छिक मैट्रिसेस के मुख्य आइगनवेक्टर्स के विश्लेषण के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है, जो समस्या को पंक्ति योगों (एग्जिट रेट्स) और एम्बेडेड श्रृंखला की यूनिफॉर्मिटी के विश्लेषण में अलग (decouple) कर देता है।
अनुप्रयोग: निष्कर्ष निम्नलिखित के लिए प्रासंगिक हैं:
- नेटवर्क साइंस: विषम भार वाले यादृच्छिक नेटवर्क में पेज रैंक और सेंट्रलिटी उपायों को समझना।
- सांख्यिकीय भौतिकी (Statistical Physics): ग्लास सिस्टम में रिलैक्सेशन और इलेक्ट्रिकल नेटवर्क में रेजोनेंस को मॉडल करना जहाँ ट्रांजिशन रेट्स यादृच्छिक होते हैं।
- एल्गोरिदम डिज़ाइन: बड़े, भारित ग्राफों पर रैंडम वॉक-आधारित एल्गोरिदम के लिए सैद्धांतिक गारंटी प्रदान करना।

संक्षेप में, यह शोध पत्र स्थापित करता है कि यादृच्छिक मार्कोव मैट्रिसेस के एक व्यापक वर्ग के लिए, जटिल इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन को ग्राफ के स्थानीय भारों (एग्जिट रेट्स और वर्टेक्स वेट्स) के सरल फलनों द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है, बशर्ते कि एज वेट्स में पर्याप्त मोमेंट कंडीशंस हों। यह ज्ञात स्पेक्ट्रल गुणों और पहले के अज्ञात व्यवहार (principal eigenvectors) के बीच के अंतर को पाटता है।