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Topology-Driven Clustering: Enhancing Performance with Betti Number Filtration

यह शोध पत्र BFTC को प्रस्तुत करता है, जो एक नवीन टोपोलॉजिकल क्लस्टरिंग एल्गोरिदम है जो जटिल, नॉनकॉन्वेक्स (nonconvex) और आपस में उलझी हुई डेटा संरचनाओं को प्रभावी ढंग से क्लस्टर करने के लिए स्थानीय वियेटोरिस-रिप्स फिल्ट्रेशन (Vietoris-Rips filtrations) से प्राप्त मल्टीस्केल बेट्टी अनुक्रमों (multiscale Betti sequences) का लाभ उठाकर टोपोलॉजी-जागरूक समानता संरचनाओं का निर्माण करता है, जिससे यह मौजूदा अत्याधुनिक विधियों से बेहतर प्रदर्शन करता है।

मूल लेखक: Arghya Pratihar, Kushal Bose, Swagatam Das

प्रकाशित 2026-07-22

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Arghya Pratihar, Kushal Bose, Swagatam Das

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

आने वाले समय का आकार

कल्पना कीजिए कि आप खिलौनों के एक विशाल ढेर को छाँटने की कोशिश कर रहे हैं। कुछ लाल ब्लॉक हैं, कुछ नीली गेंदें हैं, और कुछ हरी सांप जैसी आकृतियाँ हैं। यदि आप केवल इस आधार पर देखते हैं कि वे फर्श पर एक-दूसरे के कितने करीब हैं, तो आप लाल ब्लॉकों को नीली गेंदों के साथ इसलिए समूह में रख सकते हैं क्योंकि वे संयोग से एक-दूसरे के पास पड़े थे। पारंपरिक कंप्यूटर प्रोग्राम डेटा को छाँटने के लिए इसी तरह काम करते हैं: वे बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा की दूरी को मापते हैं। लेकिन क्या होगा यदि "सांप" वास्तव में लंबी, घुमावदार लूप्स हैं जो "गेंदों" के चारों ओर लिपटी हुई हैं? केवल दूरी यह नहीं बता सकती कि सांप एक एकल, जुड़ी हुई आकृति है; वह केवल बिखरे हुए बिंदुओं का एक समूह देखता है।

इसे हल करने के लिए, वैज्ञानिक 'टोपोलॉजिकल डेटा एनालिसिस' (TDA) नामक क्षेत्र का उपयोग करते हैं। TDA को डेटा को केवल बिंदुओं के बिखराव के रूप में नहीं, बल्कि पहाड़ियों, घाटियों और सुरंगों वाले एक परिदृश्य (landscape) के रूप में देखने के तरीके के रूप में समझें। इस क्षेत्र का एक प्रमुख उपकरण "परसिस्टेंट होमोलॉजी" (persistent homology) है, जो एक कैमरे की तरह काम करता है जो अलग-अलग ज़ूम स्तरों पर डेटा की तस्वीरें लेता है। जैसे-जैसे आप ज़ूम आउट करते हैं, आप देख सकते हैं कि कौन सी विशेषताएं (जैसे डोनट में छेद या सांप में लूप) दिखाई देती रहती हैं और कौन सी केवल रैंडम शोर (noise) हैं। एक अन्य प्रमुख अवधारणा "बेटी नंबर" (Betti number) है, जो सरल शब्दों में इन विशेषताओं की गिनती है: कितने अलग-अलग द्वीप हैं? कितनी सुरंगें हैं? कितने खोखले बुलबुले हैं? इन आकृतियों को गिनकर, कंप्यूटर डेटा की वास्तविक संरचना को समझ सकता है, भले ही वह मुड़ी हुई, उलझी हुई या नॉन-कॉन्वेक्स (यानी जो एक साधारण गेंद या बॉक्स जैसा नहीं दिखता) हो।

पेपर का बड़ा विचार: BFTC

इस शोध पत्र में, लेखक एक नई विधि पेश करते हैं जिसे बेटी नंबर फिल्ट्रेशन-आधारित टोपोलॉजिकल क्लस्टरिंग (Betti Number Filtration-based Topological Clustering), या संक्षेप में BFTC कहा जाता है। उनका तर्क है कि जबकि पिछले तरीकों ने इन टोपोलॉजिकल विचारों का उपयोग करने की कोशिश की, वे अक्सर चूक गए क्योंकि उन्होंने पूरे डेटासेट को एक साथ देखा या केवल सरलतम विशेषताओं (जैसे केवल द्वीपों को गिनना) को गिना। BFTC एक स्मार्ट दृष्टिकोण का सुझाव देता है: डेटा को स्थानीय रूप से देखें, जैसे एक जासूस एक विशिष्ट पड़ोस की जांच करता है, और हर पैमाने पर जटिल आकृतियों को गिनें।

यहाँ यह जादू कैसे होता है, चरण-दर-चरण:

पड़ोस की निगरानी (The Neighborhood Watch): सबसे पहले, एल्गोरिदम एक बिंदु चुनता है और उसके तत्काल पड़ोसियों को देखता है (या तो $k$ सबसे करीबी दोस्त या एक निश्चित त्रिज्या के भीतर सभी लोग)।
ज़ूम लेंस (फिल्ट्रेशन): अपने पड़ोस को केवल एक बार देखने के बजाय, BFTC एक "फिल्ट्रेशन" बनाता है। कल्पना कीजिए कि आप अपने पड़ोस के चारों ओर एक गुब्बारे को धीरे-धीरे फुला रहे हैं। जैसे-जैसे गुब्बारा बढ़ता है, यह उन बिंदुओं को जोड़ता है जो दूर थे। इस फुलाव के हर चरण में, एल्गोरिदम एक अस्थायी आकृति (जिसे वियरेटोर-रिप्स कॉम्प्लेक्स कहा जाता है) बनाता है और छेदों तथा लूपों को गिनता है।
टोपोलॉजिकल फिंगरप्रिंट: जैसे-जैसे गुब्बारा छोटे से बड़े आकार की ओर बढ़ता है, छेदों की संख्या बदलती जाती है। एक छोटा गुब्बारा 10 अलग-अलग द्वीप देख सकता है। एक मध्यम वाला उन्हें 2 द्वीपों और 1 सुरंग में मिलते हुए देख सकता है। एक बड़ा वाला सब कुछ 1 विशाल द्वीप में बदलते हुए देख सकता है। संख्याओं का यह क्रम एक बेटी सीक्वेंस (Betti sequence) कहलाता है। यह उस विशिष्ट पड़ोस के लिए एक अद्वितीय फिंगरप्रिंट की तरह है, जो बताता है कि ज़ूम आउट करने पर उसकी आकृति कैसे विकसित होती है।
फिंगरप्रिंट का मिलान: इसके बाद एल्गोरिदम पड़ोसी बिंदुओं के बेटी सीक्वेंस की तुलना करता है। यदि दो बिंदुओं के सीक्वेंस समान हैं (जिसका अर्थ है कि ज़ूम आउट करने पर उनके पड़ोस का विकास एक ही तरह से होता है), तो उन्हें "टोपोलॉजिकल रूप से समान" माना जाता है, भले ही वे भौतिक रूप से सबसे करीब न हों।
सफाई करना: एल्गोरिदम इन समानताओं का उपयोग करके मानचित्र को साफ करने के लिए उपयोग करता है। यह "आउटलेयर्स" (outliers) या उन पड़ोसियों को हटा देता है जो टोपोलॉजिकल पैटर्न में फिट नहीं बैठते, जिससे डेटा की वास्तविक संरचना का एक स्वच्छ, अधिक सटीक मानचित्र बनता है।
अंतिम छंटनी: अंत में, यह इस नए, टोपोलॉजी-जागरूक मानचित्र पर एक मानक गणितीय तकनीक (स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग) का उपयोग करके डेटा को समूहों (clusters) में विभाजित करता है।

उन्होंने क्या पाया

लेखकों ने विभिन्न कठिन डेटासेट्स पर BFTC का परीक्षण किया, जिनमें कृत्रिम (synthetic) डेटासेट्स भी शामिल थे जिन्हें अन्य एल्गोरिदम को चकमा देने के लिए डिज़ाइन किया गया था। इनमें शामिल थे:

लिंक्ड टोरी (Linked Tori): दो डोनट (tori) जो एक चेन की तरह एक-दूसरे में फंसे हुए हैं।
टेढ़ी-मेढ़ी आकृतियाँ (Twisted Shapes): डेटा जो स्पाइरल, सर्कल और स्फेयर के मिश्रण के रूप में बनता है।
वास्तविक दुनिया का डेटा: "ज़ू" (जानवरों का वर्गीकरण), "ईकोली" (बैक्टीरिया), और "MNIST" (हस्तलिखित अंक) जैसे डेटासेट्स।

परिणाम काफी उत्साहजनक थे। सिमुलेशन में, BFTC ने ToMATo, TPCC और TKM जैसे पुराने टोपोलॉजिकल तरीकों सहित अन्य अत्याधुनिक तरीकों को लगातार पछाड़ दिया। उदाहरण के लिए, "लिंक्ड टोरी" डेटासेट पर (जहाँ दो डोनट आपस में उलझे हुए हैं), BFTC ने लगभग पूर्ण स्कोर (ARI 1.00 और NMI 1.00) प्राप्त किया, जबकि अन्य तरीकों को इन दो आपस में जुड़े हुए आकारों को अलग करने में संघर्ष करना पड़ा। यहाँ तक कि जब शोधकर्ताओं ने डेटा में शोर (रैंडम स्टैटिक) जोड़ा, तब भी BFTC मजबूत रहा, जो बताता है कि यह अव्यवस्थित, वास्तविक दुनिया की जानकारी को अच्छी तरह से संभाल सकता है।

पेपर ने यह भी पता लगाया कि विभिन्न सेटिंग्स परिणामों को कैसे प्रभावित करती हैं। उन्होंने पाया कि कोसाइन सिमिलरिटी (बेटी सीक्वेंस के आकार के बजाय उनकी दिशा की तुलना करना) मानक दूरी मापों की तुलना में बेहतर काम करता है। उन्होंने यह भी खोजा कि "पड़ोस" का आकार मायने रखता है: यदि पड़ोस बहुत छोटा है, तो यह बड़ी तस्वीर को मिस कर देता है; यदि बहुत बड़ा है, तो यह असंबंधित आकृतियों को जोड़ देता है। हालाँकि, इन सेटिंग्स को ट्यून करके, BFTC ने उन जटिल संरचनाओं की सफलतापूर्वक पहचान की जिन्हें अन्य एल्गोरिदम मिस कर गए।

यह क्या नहीं करता (अभी तक)

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि पेपर क्या दावा नहीं करता है। लेखक यह नहीं कहते कि यह विधि हर समस्या के लिए एक जादुई समाधान है। वे स्पष्ट रूप से बताते हैं कि उनकी विधि 'बेटी नंबर' की गणना करने पर निर्भर करती है, जो बहुत महंगा (computationally expensive) हो सकता है यदि आप बहुत उच्च-आयामी (high-dimensional) छेदों (जैसे 4D या 5D छेद) को गिनने की कोशिश करते हैं। वे सुझाव देते हैं कि बहुत उच्च आयामों के लिए, कम आयामों (जैसे 0, 1, या 2) पर टिके रहना बेहतर है जहाँ गणित प्रबंधनीय है।

इसके अलावा, जबकि पेपर गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि एल्गोरिदम स्थिर (stable) है (यानी डेटा में छोटे बदलावों से परिणाम पूरी तरह खराब नहीं होते), ये अनुमानों पर आधारित सैद्धांतिक प्रमाण हैं। पेपर में दिखाए गए वास्तविक "जीत" विशिष्ट डेटासेट्स पर सिमुलेशन और प्रयोगों पर आधारित हैं, न कि ब्रह्मांड के सभी संभावित डेटा के लिए सार्वभौमिक गारंटी पर। लेखक सुझाव देते हैं कि भविष्य के कार्य बड़े पैमाने के डेटासेट्स के लिए विधि को तेज़ बनाने और बिना मानवीय सहायता के सर्वोत्तम सेटिंग्स को स्वचालित रूप से चुनने की दिशा में केंद्रित हो सकते हैं।

संक्षेप में, BFTC यह सुझाव देता है कि डेटा के "आकार" को उसके विकसित होते छेदों और लूपों के माध्यम से सुनकर, हम केवल यह मापने की तुलना में बहुत बेहतर ढंग से जटिल, उलझी हुई जानकारी को छाँट सकते हैं कि बिंदु एक-दूसरे के कितने करीब हैं।

तकनीकी सारांश: बेट्टी नंबर फिल्ट्रेशन-आधारित टोपोलॉजिकल क्लस्टरिंग (BFTC)

1. समस्या विवरण

पारंपरिक क्लस्टरिंग एल्गोरिदम (जैसे k-Means, DBS DBSCAN, स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग) मुख्य रूप से यूक्लिडियन या कर्नेल-आधारित समानता मापों पर निर्भर करते हैं। हालांकि कई अनुप्रयोगों के लिए ये प्रभावी हैं, लेकिन ये जटिल ज्यामितीय संरचनाओं वाले डेटासेट, जैसे कि नॉन-कॉन्वेक्स आकृतियों, बहु-पैमानों (multiple scales), या परस्पर गुंथे हुए मैनिफोल्ड्स (intertwined manifolds) के साथ संघर्ष करते हैं। वे अक्सर लूप्स (loops), वॉइड्स (voids), और उच्च-आयामी कनेक्टिविटी जैसे अंतर्निहित टोपोलॉजिकल फीचर्स को पकड़ने में विफल रहते हैं।

मौजूदा टोपोलॉजिकल डेटा एनालिसिस (TDA) दृष्टिकोण इस अंतर को पाटने का प्रयास करते हैं लेकिन विशिष्ट सीमाओं का सामना करते हैं:

ToMATo: यह 0-आयामी होमोलॉजी (कनेक्टेड कंपोनेंट्स) और डेंसिटी लैंडस्केप पर निर्भर करता है, जो उच्च-आयामी टोपोलॉजिकल जानकारी को शामिल करने की क्षमता को सीमित करता है।
TPCC: यह सिम्पलीशियल कॉम्प्लेक्स और हॉज लैपलेशियन (Hodge Laplacians) का उपयोग करता है, लेकिन विभिन्न फिल्ट्रेशन स्केल्स पर टोपोलॉजिकल फीचर्स के उभरने वाले क्षेत्रों के बीच अंतर करने में संघर्ष कर सकता है।
Topological k-Means (TKM): यह रिप्रोडसिंग कर्नेल हिल्बर्ट स्पेस (RKHS) में पर्सिस्टेंस डायग्राम को एम्बेड करता है, लेकिन वैश्विक टोपोलॉजिकल सारांशों के बजाय स्थानीयकृत, मल्टीस्केल टोपोलॉजी पर ध्यान केंद्रित करता है।

यह कार्य जिस मुख्य चुनौती का समाधान करता है वह एक ऐसा क्लस्टरिंग एल्गोरिदम विकसित करने की आवश्यकता है जो स्थानीय ज्यामितीय निकटता (local geometric proximity) और उच्च-आयामी टोपोलॉजिकल संरचनाओं को एक मल्टीस्केल तरीके से एक साथ कैप्चर कर सके, बिना केवल वैश्विक पर्सिस्टेंस सारांशों या निश्चित टोपोलॉजिकल स्केल्स पर निर्भर रहे।

2. कार्यप्रणाली: BFTC एल्गोरिदम

प्रस्तावित विधि, बेट्टी नंबर फिल्ट्रेशन-आधारित टोपोलॉजिकल क्लस्टरिंग (BFTC), निम्नलिखित चरणों के माध्यम से एक टोपोलॉजी-जागरूक समानता संरचना का निर्माण करती है:

A. नेबरहुड ग्राफ निर्माण

एल्गोरिदम डेटासेट $X$ के लिए एक स्थानीय नेबरहुड ग्राफ बनाकर शुरू होता है। यह दो वेरिएंट्स का समर्थन करता है:

k-NN BFTC: यूनिफॉर्म कार्डिनैलिटी और नियंत्रित स्पर्सिटी सुनिश्चित करने के लिए k-निकटतम पड़ोसी (k-nearest-neighbor) ग्राफ का उपयोग करता है।
$\epsilon$ -BFTC: एक निश्चित ज्यामितीय त्रिज्या पर आधारित $\epsilon$ -नेबरहुड ग्राफ का उपयोग करता है, जो मेट्रिक-थ्रेशोल्ड कंस्ट्रक्शन के साथ स्वाभाविक रूप से संरेखित होता है।

B. स्थानीय विएटोरिस-रिप्स (Vietoris-Rips) फिल्ट्रेशन और बेट्टी सीक्वेंस

प्रत्येक डेटा बिंदु $x_i$ के लिए, एल्गोरिदम इसके स्थानीय नेबरहुड $N(x_i) \cup \{x_i\}$ पर एक श्रृंखला क्रमबद्ध विएटोरिस-रिप्स (VR) कॉम्प्लेक्स का निर्माण करता है।

एक फिल्ट्रेशन स्केल को थ्रेशोल्ड्स की एक श्रृंखला $\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_L$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
प्रत्येक स्केल के लिए, VR कॉम्प्लेक्स $VR(x_i, \epsilon_l)$ बनाया जाता है।
बेट्टी संख्याएँ (Betti Numbers): एल्गोरिदम एक उपयोगकर्ता-निर्दिष्ट अधिकतम आयाम $M$ तक बेट्टी संख्या $\beta_m$ की गणना करता है (जहाँ $M$ अंतर्निहित टोपोलॉजिकल जटिलता को दर्शाता है, न कि आवश्यक रूप से एम्बिएंट फीचर डायमेंशन को)।
बेट्टी सीक्वेंस (Betti Sequences): प्रत्येक आयाम $m \in [0, M]$ के लिए, फिल्ट्रेशन स्केल्स के माध्यम से बेट्टी संख्याओं की श्रृंखला एक बेट्टी सीक्वेंस $\beta^{(i)}_m = (\beta^{(i)}_{1m}, \dots, \beta^{(i)}_{Lm})$ बनाती है। ये सीक्वेंस स्थानीय नेबरहुड के मल्टीस्केल टोपोलॉजिकल सिग्नेचर के रूप में कार्य करते हैं।

C. टोपोलॉजी-जागरूक समानता और ग्राफ रिफाइनमेंट

एल्गोरिदम पड़ोसी बिंदुओं के बीच बेट्टी सीक्वेंस की तुलना करके उनके टोपोलॉजिकल साम्य (similarity) को मापता है।

समानता मीट्रिक (Similarity Metric): प्रत्येक आयाम $m$ के लिए, आसन्न बिंदुओं $x_i$ और $x_j$ के बेट्टी सीक्वेंस के बीच कोसाइन समानता (Cosine similarity) की गणना की जाती है:
$(d_{ij})_m = \frac{\langle \beta^{(i)}_m, \beta^{(j)}_m \rangle}{\|\beta^{(i)}_m\| \|\beta^{(j)}_m\|}$
आउटलियर हटाना (Outlier Removal): थ्रेशोल्ड $\alpha_0, \dots, \alpha_M$ लागू किए जाते हैं। एक पड़ोसी $x_j$ को रिफाइंड नेबरहुड $N'(x_i)$ में केवल तभी रखा जाता है जब सभी आयामों $m$ के लिए $(d_{ij})_m \geq \alpha_m$ हो। यह चरण टोपोलॉजिकल रूप से असमान पड़ोसियों और आउटलियर्स को हटा देता है, जिससे एक अधिक स्पार्स और सूचनात्मक ग्राफ प्राप्त होता है।

D. स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग

रिफाइंड ग्राफ से एक सिमेट्रिक वेटेड एडजेसेंसी मैट्रिक्स $A'$ को गाऊसी कर्नेल (Gaussian kernel) का उपयोग करके बनाया जाता है। लैपलेशियन मैट्रिक्स $L' = D' - A'$ की गणना की जाती है, और अंतिम क्लस्टर्स प्राप्त करने के लिए सबसे छोटे $p$ आइजनवैल्यू के आइजनवेक्टर्स पर स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग (k-Means के माध्यम से) लागू की जाती है।

3. प्रमुख योगदान

पेपर तीन प्राथमिक योगदानों को रेखांकित करता है:

नया एल्गोरिदम (BFTC): एक कुशल क्लस्टरिंग एल्गोरिदम जो स्थानीय नेबरहुड्स पर विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स का निर्माण करता है और निर्धारित आयाम तक बेट्टी नंबरों का मूल्यांकन करता है। यह सरल कनेक्टिविटी ( $\beta_0$ ) से आगे बढ़कर उच्च-आयामी फीचर्स को कैप्चर करने के लिए बेट्टी सीक्वेंस का उपयोग करता है।
जटिल संरचनाओं पर प्रभावशीलता: यह विधि विशेष रूप से जटिल, परस्पर गुंथे हुए आकार और संरचनाओं वाले डेटासेट्स को संभालने के लिए डिज़ाइन की गई है, जो कई स्केल्स पर अंतर्निहित टोपोलॉजिकल विशेषताओं का लाभ उठाती है।
सैद्धांतिक विश्लेषण: पेपर BFTC के अभिसरण (convergence) और स्थिरता (stability) के संबंध में व्यापक सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है। यह स्थापित करता है कि उचित ज्यामितीय और स्पेक्ट्रल सेपरेशन स्थितियों के तहत, एल्गोरिदम संरचनात्मक रूप से स्थिर है; इनपुट डेटा में छोटे परिवर्तन (लेबल परम्यूटेशन को छोड़कर) परिणामी क्लस्टरिंग को नहीं बदलते हैं।

4. प्रयोगात्मक परिणाम

लेखकों ने सिंथेटिक और वास्तविक दुनिया के डेटासेट्स पर (k-Means, Spectral, DBSCAN, ToMATo, TPCC, TKM, आदि जैसे) स्टेट-ऑफ-द-आर्ट बेसलाइन्स के विरुद्ध BFTC (दोनों k-NN और $\epsilon$ वेरिएंट) का मूल्यांकन किया।

सिंथेटिक डेटासेट्स: नॉन-कॉन्वेक्स और इंटरट्वाइन्ड संरचनाओं (जैसे Linked Tori, 3MC, Smile1, Torus Sphere Line) वाले डेटासेट्स पर, BFTC ने लगातार बेहतर एडजस्टेड रैंड इंडेक्स (ARI) और नॉर्मलाइज्ड म्यूचुअल इंफॉर्मेशन (NMI) स्कोर प्राप्त किया। उदाहरण के लिए, शोर ( $\rho=0.3$ ) वाले Linked Tori डेटासेट पर, k-NN BFTC ने 0.49 का ARI और 0.56 का NMI प्राप्त किया, जो DBSCAN (0.01 ARI) और ToMATo (0.17 ARI) जैसे प्रतिस्पर्धियों से काफी बेहतर प्रदर्शन करता है।
वास्तविक दुनिया के डेटासेट्स: UCI डेटासेट्स (Zoo, Ecoli, Wisconsin B.C., Glass, ORHD, MNIST, Phishing URL) पर प्रयोगों ने दिखाया कि BFTC लगभग सभी प्रतिस्पर्धियों से बेहतर रहा।
मजबूती (Robustness): विधि ने गाऊसी शोर (Gaussian noise) गड़बड़ी के खिलाफ स्थिरता दिखाई।
एब्लेशन स्टडीज (Ablation Studies):
- नेबरहुड कंस्ट्रक्शन: दोनों k-NN और $\epsilon$ -नेबरहुड प्रभावी साबित हुए, हालांकि अत्यधिक इंटरट्वाइन्ड मैनिफोल्ड्स के लिए k-NN अधिक सुचारू स्पेक्ट्रल व्यवहार प्रदान करता है।
- डिस्टेंस मेट्रिक्स: बेट्टी सीक्वेंस के बीच कोसाइन समानता को टोपोलॉजिकल संबंधों को कैप्चर करने के लिए यूक्लिडियन दूरी की तुलना में काफी अधिक प्रभावी पाया गया।
- कर्नेल फंक्शंस: अनवेटेड ग्राफ की तुलना में एडजेसेंसी मैट्रिक्स में गाऊसी कर्नेल के समावेश ने प्रदर्शन में सुधार किया।

5. महत्व और दावे

पेपर दावा करता है कि BFTC मल्टीस्केल टोपोलॉजिकल जानकारी को सीधे क्लस्टरिंग प्रक्रिया में एकीकृत करके एक महत्वपूर्ण प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है। वैश्विक पर्सिस्टेंस सारांशों या निश्चित स्केल्स पर निर्भर रहने वाले पिछले तरीकों के विपरीत, BFTC बेट्टी सीक्वेंस के माध्यम से स्थानीयकृत मल्टीस्केल टोपोलॉजी को कैप्चर करता है।

लेखक दावा करते हैं कि यह दृष्टिकोण एल्गोरिदम को निम्नलिखित अनुमति देता है:

एक मैनिफोल्ड के उन क्षेत्रों के बीच अंतर करना जहाँ टोपोलॉजिकल फीचर्स अलग-अलग फिल्ट्रेशन स्केल्स पर उभरते हैं।
ज्यामितीय निकटता और उच्च-आयामी टोपोलॉजिकल संरचनाओं (लूप्स, वॉइड्स) को एक साथ कैप्चर करना।
उन जटिल, नॉन-कॉन्वेक्स और इंटरट्वाइन्ड संरचनाओं वाले डेटासेट्स के लिए एक मजबूत समाधान प्रदान करना जहाँ पारंपरिक यूक्लिडियन-आधारित विधियाँ विफल हो जाती हैं।

सैद्धांतिक विश्लेषण इन प्रयोगात्मक परिणामों का समर्थन करता है, यह दावा करता है कि BFTC न केवल कम्प्यूटेशनल रूप से परिमित है, बल्कि संरचनात्मक रूप से स्थिर (structurally stable) भी है, जो यह सुनिश्चित करता है कि क्लस्टरिंग पाइपलाइन इनपुट डेटा में छोटे परिवर्तनों के प्रति स्थानीय रूप से अपरिवर्तनीय है। कार्य इस निष्कर्ष के साथ समाप्त होता है कि जटिल ओवरलैपिंग संरचनाओं वाले बड़े पैमाने के डेटासेट्स के लिए टोपोलॉजिकल पहलुओं का अन्वेषण करना भविष्य के अनुसंधान के लिए एक आशाजनक दिशा बनी हुई है।