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Interplay of localization and topology in disordered dimerized array of Rydberg atoms

यह शोध पत्र संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित करता है कि रिडबर्ग परमाणुओं की एक अव्यवस्थित, द्विआयामी (dimerized) एक-आयामी सरणी में, स्थितिजन्य अव्यवस्था और द्विआयामीकरण दोनों ही एक अद्वितीय स्थानीयकृत अवस्था (localized phase) को प्रेरित करते हैं जो हिल्बर्ट स्पेस विखंडन (Hilbert space fragmentation) और ऊर्जा स्पेक्ट्रम में सिमिट्री प्रोटेक्टेड टोपोलॉजिकल (SPT) अवस्थाओं के एक विस्तृत अंश द्वारा अभिलक्षित है, जो मानक मेनी-बॉडी लोकलाइजेशन (many-body localization) से भिन्न है।

मूल लेखक: Maksym Prodius, Adith Sai Aramthottil, Jakub Zakrzewski

प्रकाशित 2026-02-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Maksym Prodius, Adith Sai Aramthottil, Jakub Zakrzewski

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक ट्विस्ट के साथ डांस फ्लोर

कल्पना कीजिए कि एक मंच पर नर्तकों (Rydberg परमाणुओं) की एक लंबी कतार है। एक आदर्श दुनिया में, वे एक सीधी, समान रूप से दूरी वाली रेखा में खड़े होते हैं, हाथ थामे हुए और पूरी तरह से तालमेल में नाचते हैं। यह एक "साफ" क्वांटम सिस्टम है।

लेकिन इस प्रयोग में, वैज्ञानिकों ने चीजों को बिगाड़ने के लिए दो काम किए:

उन्होंने फर्श को इधर-उधर कर दिया (Disorder/अव्यवस्था): उन्होंने नर्तकों को बेतरतीब ढंग से थोड़ा बाएँ या दाएँ खिसका दिया, जिससे उनके बीच की दूरी असमान हो गई।
उन्होंने उन्हें जोड़ियों में बाँध दिया (Dimerization/डाइमेराइज़ेशन): उन्होंने नर्तकों को विशिष्ट जोड़ियों में अपने पड़ोसियों के बहुत करीब खड़े होने के लिए मजबूर किया, जिससे कुछ के बीच "मजबूत बंधन" और दूसरों के बीच "कमजोर बंधन" बन गए।

पेपर जो सवाल पूछता है वह यह है: जब आप यादृच्छिक (random) हलचल को जबरदस्ती बनाई गई जोड़ी के साथ मिलाते हैं, तो नृत्य का क्या होता है? क्या पूरी कतार अंततः मूल कोरियोग्राफी को भूल जाती है और बस बेतरतीब ढंग से झूमने लगती है (thermalize), या यह एक जमे हुए, अजीब अवस्था में फंस जाती है?

आश्चर्य: यह सामान्य "जमना" नहीं है

आमतौर पर, जब भौतिक विज्ञानी किसी क्वांटम सिस्टम को बहुत अधिक अव्यवस्था (disorder) के साथ बिगाड़ते हैं, तो वे Many-Body Localization (MBL) की उम्मीद करते हैं। इसे एक ट्रैफिक जाम की तरह समझें जहाँ हर कार अपने स्थान पर फंसी हुई है, और वह अपने बगल वाली कारों को पूरी तरह से अनदेखा कर रही है। सिस्टम जम जाता है, और शुरुआत की जानकारी हमेशा के लिए सुरक्षित रहती है।

लेकिन इस पेपर ने कुछ अधिक विचित्र पाया।

पूरी तरह से ट्रैफिक जाम होने के बजाय, सिस्टम "Hilbert Space Fragmentation" बनाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि डांस फ्लोर एक विशाल पहेली (puzzle) है। एक सामान्य जाम में, हर टुकड़ा फंसा हुआ होता है। इस नई अवस्था में, पहेली अलग-अलग, अलग-थलग द्वीपों में टूट जाती है।
कुछ नर्तक दो-लोगों के छोटे समूह में फंसे हुए हैं। अन्य चार-लोगों के समूह में हैं।
जिस विशिष्ट तरीके से उन्हें जोड़ा और बिखेरा गया है, उसके कारण एक समूह के नर्तक दूसरे समूह के नर्तकों से "बात" नहीं कर सकते। वे अपने ही छोटे बुलबुलों में कैद हैं।
सिस्टम केवल जम नहीं गया है; यह कई छोटे, अलग-थलग कमरों में बिखर (shattered) गया है जहाँ अलग-अलग नियम लागू होते हैं।

मशीन में भूत: स्पिन ग्लास बनाम टोपोलॉजी

वैज्ञानिकों ने देखा कि इस बिखरे हुए डांस फ्लोर पर नियंत्रण पाने के लिए दो प्रतिस्पर्धी ताकतें आपस में लड़ रही हैं:

"ग्लासी" गड़बड़ी (Spin Glass):
चूंकि नर्तकों को बेतरतीब ढंग से बिखेरा गया है, इसलिए कुछ जोड़ियाँ अजीब, कठोर स्थितियों में फंस जाती हैं। वे एक "स्पिन ग्लास" बनाते हैं—एक ऐसी अवस्था जो अव्यवस्थित और जमी हुई है, जैसे पानी का एक गिलास जिसे अत्यधिक ठंडा (supercooled) किया गया हो लेकिन वह बर्फ न बना हो। यह अस्त-व्यस्त और अराजक है।
"टोपोलॉजिकल" रहस्य (SPT Order):
इस गड़बड़ी के बावजूद, वैज्ञानिकों ने पाया कि नर्तकों की एक बड़ी संख्या वास्तव में एक विशेष, गुप्त हाथ मिलाने (handshake) की प्रक्रिया को बनाए हुए है। इसे Symmetry Protected Topological (SPT) order कहा जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि भले ही डांस फ्लोर अस्त-व्यस्त है, लेकिन कतार के बिल्कुल सिरों (edges) पर खड़े नर्तक अभी भी एक विशेष, अटूट तरीके से हाथ थामे हुए हैं जिसे बीच के नर्तक दोहरा नहीं सकते।
आमतौर पर, यदि आपके पास एक "ग्लासी" गड़बड़ी है, तो आप इन विशेष किनारों वाले हैंडशेक को खो देते हैं। लेकिन यहाँ, "बिखरे हुए द्वीप" इन विशेष किनारे वाले हैंडशेक्स को अराजकता के बीच भी जीवित रहने देते हैं।

बड़ी खोज: सिस्टम एक ही समय में दोनों—मेसी, जमी हुई ग्लास अवस्था और विशेष, संरक्षित टोपोलॉजिकल अवस्था—को होस्ट करने में सक्षम है। यह एक ऐसी अराजक पार्टी की तरह है जहाँ, आश्चर्यजनक रूप से, कोने में एक गुप्त क्लब अभी भी मौजूद है।

उन्होंने इसे कैसे साबित किया (The "Disconnect" Test)

आप कैसे जानेंगे कि सिरों पर मौजूद नर्तक वास्तव में गुप्त रूप से हाथ मिला रहे हैं? आप केवल बीच में नहीं देख सकते।

वैज्ञानिकों ने "Disconnected Entropy" नामक एक चतुर गणितीय ट्रिक का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप यह जांचना चाहते हैं कि रेखा के सुदूर बाईं ओर का व्यक्ति सुदूर दाईं ओर के व्यक्ति से जुड़ा है या नहीं। पूरी रेखा को देखने के बजाय, आप रेखा को चार टुकड़ों में काट देते हैं: बायाँ (Left), मध्य-बायाँ (Middle-Left), मध्य-दायाँ (Middle-Right), और दायाँ (Right)।
आप बीच के हिस्से को अनदेखा करते हुए बाएँ और दाएँ टुकड़ों के बीच के "जुड़ाव" को मापते हैं।
यदि जुड़ाव मजबूत है और "क्वांटाइज्ड" (एक पूर्ण संख्या के रूप में आता है) है, तो यह साबित करता है कि सिरों के नर्तक एक गुप्त, टोपोलॉजिकल बंधन साझा कर रहे हैं जो अराजकता में भी जीवित रहता है।

उन्होंने पाया कि कई "बिखरे हुए द्वीपों" के लिए, यह गुप्त बंधन वास्तव में वहां मौजूद था।

भविष्य: नृत्य को देखना

अंत में, पेपर बताता है कि इसे वास्तविक जीवन में कैसे देखा जा सकता है (Rydberg परमाणुओं का ऑप्टिकल ट्वीज़र्स का उपयोग करके)।

प्रयोग: यदि आप नर्तकों को एक विशिष्ट पैटर्न में शुरू करते हैं और उन्हें समय के साथ देखते हैं, तो आपको रेखा के सिरों पर मौजूद नर्तकों को एक बहुत ही विशिष्ट लय में झूलते (oscillating) हुए देखना चाहिए।
परिणाम: उनके झूलने का समय रेखा की लंबाई पर एक बहुत ही विशिष्ट तरीके से निर्भर करता है (आकार की क्यूब या छठी घात के साथ स्केलिंग)। यह साबित करता है कि "गुप्त हैंडशेक" वास्तविक है और सिस्टम इन विशेष टोपोलॉजिकल नियमों द्वारा संचालित है, न कि केवल यादृच्छिक शोर (random noise) द्वारा।

एक वाक्य में सारांश

क्वांटम नर्तकों की एक कतार को बिखेरकर और उन्हें जोड़ियों में मजबूर करके, वैज्ञानिकों ने खोजा कि सिस्टम केवल जमता नहीं है; यह अलग-थलग द्वीपों में बिखर जाता है जहाँ सिरों के बीच एक विशेष, गुप्त "टोपोलॉजिकल" संबंध एक अराजक, ग्लास मलबे के बीच भी जीवित रहता है।

यहाँ प्रोडियस, अरमथोटिल और ज़कज़ेव्स्की के शोध पत्र "Interplay of localization and topology in disordered dimerized array of Rydberg atoms" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र रिडबर्ग परमाणुओं (Rydberg atoms) की एक एक-आयामी (1D) व्यवस्था में स्थानिक विकार (positional disorder) और डाइमेराइजेशन (dimerization) के बीच परस्पर क्रिया की जांच करता है। विशेष रूप से, यह इस बात पर ध्यान केंद्रित करता है कि ये कारक लंबी दूरी के अंतःक्रिया वाले स्पिन-1/2 सिस्टम में उत्तेजित अवस्थाओं (excited states) के लोकलाइजेशन गुणों और टोपोलॉजिकल ऑर्डर को कैसे प्रभावित करते हैं।

संदर्भ: जबकि 'मेनी-बॉडी लोकलाइजेशन' (MBL) एक सुप्रसिद्ध तंत्र है जो मजबूत विकार (disorder) द्वारा संचालित एर्गोडिसिटी ब्रेकिंग (ergodicity breaking) के लिए जिम्मेदार है, हालिया शोध ने अन्य गैर-एर्गोडिक चरणों की पहचान की है, जैसे कि हिलबर्ट स्पेस फ्रैगमेंटेशन (HSF) से उत्पन्न होने वाले चरण।
अंतराल (Gap): यह स्पष्ट नहीं है कि टोपोलॉजिकल चरण, विशेष रूप से 'सिमेट्री प्रोटेक्टेड टोपोलॉजिकल' (SPT) ऑर्डर, उन लोकलाइजेशन तंत्रों के साथ कैसे जीवित रहते हैं या सह-अस्तित्व में रहते हैं जो मानक MBL नहीं हैं, विशेष रूप से लंबी दूरी की अंतःक्रियाओं और स्थानिक विकार वाले सिस्टम में।
लक्ष्य: एक विस्कृत (disordered), डाइमेराइज्ड XY मॉडल (जो रिडबर्ग ट्वीज़र एरे द्वारा निर्मित है) के फेज डायग्राम को लक्षणित करना, और यह निर्धारित करना कि क्या यह सिस्टम मानक MML प्रदर्शित करता है, HSF प्रदर्शित करता है, और क्या गैर-तुच्छ (non-trivial) SPT अवस्थाएं ऊर्जा स्पेक्ट्रम में बनी रहती हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

मॉडल सिस्टम

लेखक एक लंबी दूरी के XY हैमिल्टोनियन द्वारा वर्णित 1D स्पिन-1/2 श्रृंखला का अध्ययन करते हैं:
$H = J \sum_{i>j} \frac{1}{r_{ij}^3} (s_i^x s_j^x + s_i^y s_j^y)$
जहाँ $r_{ij}$ स्पिनों के बीच की दूरी है। इस सिस्टम में $U(1)$ सममिति (कुल चुंबकत्व का संरक्षण) और एक एंटी-यूनिटरी सममिति $S = (\prod s_i^x) \circ K$ है, जो SPT ऑर्डर की रक्षा करती है।

विकार और डाइमेराइजेशन:
स्थानिक यादृच्छिकता (positional randomness) के माध्यम से विकार पेश किया जाता है। स्पिन स्थितियों $r_i$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$r_i = \left( i + \delta(-1)^{i+1} - \frac{1}{2} \right)a + i D_{rb} + W_i$

$\delta$ (डाइमेराइजेशन): पेयरिंग पैटर्न को नियंत्रित करता है। $\delta < 0$ एक गैर-तुच्छ टोपोलॉजिकल चरण (SSH-जैसा) बनाता है, जबकि $\delta > 0$ एक तुच्छ (trivial) चरण बनाता है।
$W$ (विकार की शक्ति): $W_i$ यादृच्छिक बदलाव, जो यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन $[-W, W]$ से लिए गए हैं।
सीमाएँ (Constraints): ज्यामिति $W$ और $\delta$ के बीच एक त्रिकोणीय पैरामीटर स्पेस बाधा लागू करती है ताकि स्पिन ओवरलैप न हो सके।

संख्यात्मक तकनीकें (Numerical Techniques)

एक्सैक्ट डायगोनलाइजेशन (ED): $L=16$ तक के सिस्टम साइज (और विशिष्ट सांख्यिकीय औसत के लिए $L=18$ तक) के लिए पूर्ण स्पेक्ट्रा की गणना करने के लिए उपयोग किया गया।
पॉलिनोमियलली फिल्टर्ड एक्सैक्ट डायगोनलाइजेशन (POLFED): बड़े सिस्टम साइज ( $L > 16$ ) तक पहुँचने के लिए उपयोग किया गया।
एक्साइटेड स्टेट्स के लिए रियल-स्पेस रिनॉर्मलाइजेशन ग्रुप (RSRG-X): एक सैद्धांतिक ढांचा जिसका उपयोग स्थानीयकृत क्षेत्र में आइजनस्टेट्स (eigenstates) की संरचना को विश्लेषणात्मक रूप से समझने के लिए किया गया, जो प्रभावी डाइमर और एज मोड के निर्माण की भविष्यवाणी करता है।

अवलोकन योग्य (Observables)

सांख्यिकीय गुण: माध्य गैप अनुपात ( $\langle r_n \rangle$ ) और हाफ-चेन एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी ( $S_{ent}$ ), जो एर्गोडिक (GOE) से लोकलाइज्ड (Poissonian/Sub-Poissonian) चरणों के बीच अंतर करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
स्पिन-ग्लास ऑर्डर: एडवर्ड्स-एंडरसन ऑर्डर पैरामीटर ( $m_{EA}$ ) जो लंबी दूरी के आइसिंग सहसंबंधों (correlations) का पता लगाने के लिए उपयोग किया जाता है।
टोपोलॉजिकल ऑर्डर:
- मानक एंटैंगलमेंट स्पेक्ट्रम ("कैट स्टेट्स" के कारण विफल रहा)।
- डिस्कनेक्टेड एंट्रॉपी ( $S_D$ ): विशेष रूप से $S_D^2$ , जिसे एज स्टेट्स के बीच लंबी दूरी के एंटैंगलमेंट का पता लगाने के लिए एक विशिष्ट विभाजन के माध्यम से परिभाषित किया गया है।
- समय गतिशीलता (Time Dynamics): विशिष्ट प्रारंभिक अवस्थाओं के क्वेंच डायनेमिक्स (quench dynamics) के माध्यम से एज ऑसिलेशन का अवलोकन करना।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. लोकलाइजेशन फेज डायग्राम (गैर-मानक MBL)

यह सिस्टम मानक 'मेनी-बॉडी लोकलाइजेशन' प्रदर्शित नहीं करता है। इसके बजाय, यह हिलबर्ट स्पेस फ्रैगमेंटेशन (HSF) द्वारा संचालित एक लोकलाइज्ड चरण में प्रवेश करता है।

गैप अनुपात व्यवहार:
- बड़े विकार ( $W$ ) और कम डाइमेराइजेशन ( $\delta \approx 0$ ) वाले क्षेत्र में, गैप अनुपात पॉइसोनियन मान ( $r_{Poi} \approx 0.389$ ) से थोड़ा ऊपर होता है, जो अवशिष्ट लेवल रिपल्शन (residual level repulsion) को दर्शाता है।
- मजबूत डाइमेराइजेशन ( $|\delta| \to 1$ ) वाले क्षेत्र में, गैप अनुपात दृढ़ रूप से सब-पॉइसोनियन (sub-Poissonian) हो जाता है। यह HSF का एक संकेत है, जहाँ हिलबर्ट स्पेस डिस्कनेक्टेड सेक्टर्स में टूट जाता है, जिससे "लेवल अट्रैक्शन" और निकटतम ऊर्जा युग्म (energy pairs) बनते हैं।
एंटैंगलमेंट: लोकलाइज्ड चरण एक मल्टीमॉडल एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी वितरण प्रदर्शित करता है, जिसमें पूर्णांक मानों ( $S_{ent} \approx 1, 2$ ) पर शिखर होते हैं, जो मानक MBL के शून्य-एंट्रॉपी के बजाय "कैट स्टेट्स" या जमे हुए डोमेन (frozen domains) के अनुरूप हैं।

B. स्पिन-ग्लास ऑर्डर

स्पष्ट $ZZ$ इंटरैक्शन की अनुपस्थिति के बावजूद, लोकलाइज्ड क्षेत्र में एक आंशिक स्पिन-ग्लास ऑर्डर दिखाई देता है।

एडवर्ड्स-एंडरसन पैरामीटर ( $m_{EA}$ ) लोकलाइज्ड चरण के लिए थर्मोडायनामिक लिमिट में एक गैर-शून्य मान की ओर बढ़ता है।
यह ग्लास ऑर्डर समानांतर स्पिन के डोमेन (RSRG-X प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न केमिकल पोटेंशियल-जैसे पदों) के निर्माण से प्रेरित है।

C. टोपोलॉजी और लोकलाइजेशन का सह-अस्तित्व

एक प्रमुख निष्कर्ष यह है कि गैर-तुच्छ SPT अवस्थाएं ऊर्जा स्पेक्ट्रम के एक महत्वपूर्ण हिस्से में स्पिन-ग्लास ऑर्डर के साथ सह-अस्तित्व में रहती हैं।

SPT की पहचान: डिस्कनेक्टेड एंट्रॉपी $S_D^2$ $S_{D}^{2}$ का उपयोग करते हुए, लेखक क्वांटाइज्ड मानों ( $S_D^2 = 1, 2$ $S_{D}^{2} = 1, 2$ ) वाली अवस्थाओं की पहचान करते हैं।
- $S_D^2 = 2$ : अधिकतम सहसंबंधित एज स्टेट्स (टोपोलॉजिकली गैर-तुच्छ) के अनुरूप है।
- $S_D^2 = 1$ : बल्क में डोमेन वॉल के अनुरूप है।
थर्मोडायनामिक लिमिट: एक्सट्रपलेशन सुझाव देता है कि इन टोपोलॉजिकल अवस्थाओं का एक परिमित अंश (finite fraction) विकार और ग्लास ऑर्डर की उपस्थिति में भी थर्मोडायनामिक लिमिट में जीवित रहता है।
अंतर: टोपोलॉजिकल अवस्थाएं शेष स्पेक्ट्रम की तुलना में काफी कमजोर $ZZ$ सहसंबंध प्रदर्शित करती हैं, जिसका अर्थ है कि वे वैश्विक स्पिन-ग्लास ऑर्डर पैरामीटर में नगण्य योगदान देती हैं। इस प्रकार, सिस्टम एक "ग्लासी" बैकग्राउंड में स्थित "टोपोलॉजिकल" द्वीपों का घर है।

D. समय गतिशीलता सत्यापन (Time Dynamics Verification)

लेखक क्वेंच डायनेमिक्स के माध्यम से प्रयोगात्मक सत्यापन का प्रस्ताव करते हैं:

एज ऑसिलेशन: जमे हुए एज स्पिन और डाइमेराइज्ड बल्क के साथ एक अवस्था तैयार करने से एज स्टेट्स के बीच सुसंगत दोलन (coherent oscillations) उत्पन्न होते हैं।
स्केलिंग: दोलन का काल (period) $T$ , सरल एज मोड के लिए $L^3$ और अधिक जटिल एक्सचेंज प्रक्रियाओं के लिए $L^6$ के रूप में स्केल करता है, जो लॉन्ग-रेंज टनलिंग हैमिल्टोनियन और RSRG-X सिद्धांत की भविष्यवाणियों से मेल खाता है।

4. महत्व (Significance)

मानक MBL से परे: यह शोध पत्र एक ठोस उदाहरण प्रदान करता है जो मानक MBL से भिन्न है। यह प्रदर्शित करता है कि स्थानिक विकार और डाइमेराइजेशन द्वारा प्रेरित हिलबर्ट स्पेस फ्रैगमेंटेशन (HSF) सब-पॉइसोनियन सांख्यिकी और मल्टीमॉडल एंटैंगलमेंट की ओर ले जा सकता है, जो MBL प्रतिमान की सार्वभौमिकता को चुनौती देता है।
टोपोलॉजी की मजबूती: यह एक सैद्धांतिक तनाव को हल करता है कि क्या ग्लास, विस्कृत प्रणालियों में SPT ऑर्डर मौजूद हो सकता है। परिणाम दिखाते हैं कि टोपोलॉजिकल ऑर्डर उत्तेजित अवस्थाओं में भी अस्तित्व में रह सकता है, भले ही सिस्टम में ग्लास-जैसे गुण हों, बशर्ते कि विशिष्ट आइजनस्टेट द्वारा सममिति (symmetry) स्वतः भंग न हो।
प्रयोगात्मक प्रासंगिकता: यह मॉडल वर्तमान रिडबर्ग एटम ट्वीज़र एरे के साथ सीधे तौर पर साकार करने योग्य है। अनुमानित दोलन काल ( $L^3$ और $L^6$ ) विभिन्न टोपोलॉजिकल और लोकलाइजेशन तंत्रों के बीच अंतर करने के लिए एक स्पष्ट प्रयोगात्मक संकेत प्रदान करता है।
पद्धतिगत प्रगति: लंबी दूरी की अंतःक्रिया वाले सिस्टम के लिए RSRG-X का सफल अनुप्रयोग और "कैट स्टेट्स" की उपस्थिति में टोपोलॉजी का पता लगाने के लिए डिस्कनेक्टेड एंट्रॉपी ( $S_D^2$ ) का उपयोग जटिल क्वांटम चरणों के विश्लेषण के लिए नए उपकरण प्रदान करता है।

निष्कर्ष

यह अध्ययन एक समृद्ध फेज डायग्राम प्रकट करता है जहाँ स्थानिक विकार और डाइमेराइजेशन एक सिस्टम को गैर-एर्गोडिक, हिलबर्ट-स्पेस फ्रैगमेंटेड चरण में धकेल देते है। यह चरण एक आंशिक स्पिन-ग्लास ऑर्डर को धारण करता है और साथ ही पूरे ऊर्जा स्पेक्ट्रम में एक मजबूत सिमेट्री प्रोटेक्टेड टोपोलॉजिकल (SPT) अवस्थाओं का समर्थन करता है। निष्कर्ष बताते हैं कि टोपोलॉजिकल सुरक्षा उल्लेखनीय रूप से लचीली है, जो ग्लास डायनेमिक्स और मजबूत विकार की उपस्थिति में भी बनी रहती है, जो क्वांटम पदार्थ में लोकलाइजेशन और टोपोलॉजी के बीच परस्पर क्रिया के अध्ययन के लिए एक नया मंच प्रदान करती है।