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Hilbert Series and Superconformal Indices of the Improved Bifundamentals

यह शोध पत्र इम्प्रूव्ड बाइफंडामेंटल (Improved Bifundamental) SCFTs के मॉड्युली स्पेस को अभिलक्षित करने के लिए हिल्बर्ट सीरीज़ (Hilbert Series) और सुपरकॉन्फॉर्मल इंडिसेस (Superconformal Indices) का उपयोग करता है, जो यह प्रकट करता है कि वे सरल बीजगणितीय किस्मों (algebraic varieties) हैं जिनमें या तो एक एकल जुड़ा हुआ घटक होता है या एक मुख्य शाखा होती है जिसमें विशिष्ट परिवार पर निर्भर करते हुए अतिरिक्त सिंगलेट-जनित शाखाएँ होती हैं।

मूल लेखक: Sergio Benvenuti, Gabriel Pedde Ungureanu

प्रकाशित 2026-09-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Sergio Benvenuti, Gabriel Pedde Ungureanu

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सैद्धांतिक भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, एक ऐसा क्षेत्र मौजूद है जहाँ ब्रह्मांड के मूलभूत निर्माण खंड केवल कण नहीं, बल्कि जटिल ज्यामितीय आकृतियाँ हैं। ये आकृतियाँ, जिन्हें 'मोडुली स्पेस' (moduli spaces) कहा जाता है, किसी सिद्धांत की विश्राम की संभावित अवस्थाओं, या निर्वात (vacua) के लिए एक मानचित्र के रूप में कार्य करती हैं। कल्पना कीजिए कि एक ऐसा परिदृश्य है जहाँ प्रत्येक घाटी ऊर्जा की एक स्थिर विन्यास का प्रतिनिधित्व करती है; मोडुली स्पेस वह संपूर्ण भूभाग है, जो यह दर्शाता है कि वे घाटियाँ कैसे जुड़ती हैं, वे कहाँ मिलती हैं, और एक स्थिर अवस्था तक पहुँचने के कितने अलग-अलग पथ मौजूद हैं। दशकों से, भौतिकविद् 'सुपरकन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज़' (superconformal field theories) नामक सिद्धांतों के एक विशिष्ट वर्ग के लिए इन भूभागों का मानचित्र बनाने के लिए संघर्ष कर रहे हैं। ये अत्यधिक सममित (symmetric) प्रणालियाँ हैं जो पदार्थ और बलों का उनके सबसे मौलिक, स्केल-इनवेरिएंट स्तर पर वर्णन करती हैं। जबकि इनमें से कुछ मानचित्र सरल ज्ञात थे, अन्य खंडित, ऊबड़-खाबड़ परिदृश्य के रूप में दिखाई देते थे जिनमें कई असंबद्ध घाटियाँ थीं जो एक एकीकृत विवरण को चुनौती देती प्रतीत होती थीं। इन स्थानों के वास्तविक आकार को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उन छिपी हुई समरूपताओं और गहरे गणितीय नियमों को प्रकट करता है जो यह निर्धारित करते हैं कि ब्रह्मांड एक स्थिर रूप में कैसे अस्तित्व में रह सकता है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने इन सिद्धांतों के एक हाल ही में खोजे गए परिवार पर एक नया दृष्टिकोण अपनाया है, जिन्हें 'इम्प्रूव्ड बाइफंडामेंटल्स' (Improved Bifundamentals) के रूप में जाना जाता है। ये तीन-आयामी मॉडल हैं जो अधिक जटिल भौतिक प्रणालियों के निर्माण के लिए आवश्यक निर्माण खंड के रूप में कार्य करते हैं, ठीक वैसे ही जैसे विशिष्ट प्रकार की ईंटों का उपयोग जटिल वास्तुशिल्प संरचनाओं को बनाने के लिए किया जाता है। वैज्ञानिकों ने इन सिद्धांतों के निर्वात स्थानों (vacuum spaces) की सटीक ज्यामिति निर्धारित करने का लक्ष्य रखा। 'हिल्बर्ट सीरीज़' (Hilbert series) नामक एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण का उपयोग करते हुए, जो संभावित स्थिर अवस्थाओं को गिनने वाले एक परिष्कृत उपकरण के रूप में कार्य करता है, उन्होंने इस परिदृश्य का मानचित्र तैयार किया। उनका कार्य प्रकट करता है कि इन अपेक्षाओं के विपरीत कि ये स्थान अव्यवस्थित या खंडित हो सकते हैं, वे वास्तव में उल्लेखनीय रूप से सरल और एकीकृत हैं।

शोधकर्ताओं ने पाया कि अध्ययन किए गए सिद्धांतों के पाँच में से तीन परिवारों के लिए, संभावित अवस्थाओं का संपूर्ण परिदृश्य एक एकल, निरंतर शाखा (single, continuous branch) से बना है। इसका अर्थ यह है कि सभी स्थिर विन्यास एक ही सुचारू, अटूट संरचना में जुड़े हुए हैं। यह निष्कर्ष महत्वपूर्ण है क्योंकि कई अन्य भौतिक सिद्धांतों के बारे में यह ज्ञात है कि उनके मोडुली स्पेस अलग-अलग, प्रतिच्छेद करने वाली शाखाओं में विभाजित हो जाते हैं, जिससे एक अधिक जटिल और विखंडित चित्र बनता है। इन विशिष्ट 'इम्प्रूव्ड बाइफंडामेंटल्स' के मामले में, संभावनाओं का ब्रह्मांड एक एकल, सुसंगत संपूर्णता है। शोधकर्ता इस एकल शाखा का वर्णन एक विशिष्ट गणितीय सूत्र का उपयोग करके करने में सक्षम थे जो प्रणाली के किसी भी आकार के लिए कार्य करता है, जिससे यह प्रदर्शित होता है कि जैसे-जैसे प्रणाली बड़ी होती है, स्थान की जटिलता एक अनुमानित, द्विघातीय (quadratic) पैटर्न में बढ़ती है।

सिद्धांतों के अन्य दो परिवारों के लिए, चित्र थोड़ा अधिक सूक्ष्म है लेकिन फिर भी एक स्पष्ट पैटर्न का पालन करता है। इन परिदृश्यों में एक मुख्य शाखा होती है, जो एक बड़ा, केंद्रीय घाटी है जिसमें अधिकांश स्थिर अवस्थाएँ समाहित हैं, लेकिन उनमें अतिरिक्त, सरल शाखाएँ भी हैं जो उससे निकलती हैं। ये अतिरिक्त शाखाएँ विशिष्ट, पृथक घटकों द्वारा उत्पन्न होती हैं जो छोटे, स्वतंत्र संरचनाओं के रूप में विकसित होने वाले एकल बीजों की तरह कार्य करते हैं। शोधकर्ताओं ने सटीक रूप से पहचाना कि ये शाखाएँ कैसे जुड़ती हैं और उनके निर्माण को कौन से नियम नियंत्रित करते हैं। उन्होंने पाया कि मुख्य शाखाएँ उन ऑपरेटरों द्वारा उत्पन्न होती हैं जो प्रणाली की विशिष्ट, रैंक-दो प्रतिनिधित्व (rank-two representations) में रूपांतरित होते हैं, जबकि छोटी शाखाएँ सरल, पृथक घटकों से उत्पन्न होती हैं। यह अंतर उन्हें सिद्धांत के जटिल, परस्पर जुड़े कोर को उसके सरल, परिधीय लक्षणों से अलग करने की अनुमति देता है।

जब शोधकर्ताओं ने एक विशिष्ट, छोटे पैमाने पर इन सिद्धांतों का परीक्षण किया, जो कि दो के सिस्टम साइज के अनुरूप है, तो एक उल्लेखनीय खोज सामने आई। इस स्तर पर, सिद्धांत 'सिमेट्री एनहांसमेंट' (symmetry enhancement) नामक एक घटना प्रदर्शित करते हैं। जबकि इन सिद्धांतों में उनके सामान्य रूप में एक निश्चित सेट की समरूपताएँ होती हैं, इस विशिष्ट पैमाने पर, ये समरूपताएँ स्वतः ही बहुत बड़े, अधिक शक्तिशाली समूहों में विस्तारित हो जाती हैं। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि इस पैमाने पर इन स्थानों का गणितीय विवरण ज्ञात, अत्यधिक सममित आकृतियों, जिन्हें 'हर्मिटियन सिमेट्रिक स्पेस' (Hermitian symmetric spaces) कहा जाता है, की ज्यामिति से मेल खाता है। ये उन्नत गणित में दिखाई देने वाले विशेष प्रकार के ज्यामितीय पिंड हैं और उनकी एक कठोर, सुरुचिपूर्ण संरचना होती है। तथ्य यह है कि भौतिक सिद्धांत स्वाभाविक रूप से इन विशिष्ट ज्यामितीय रूपों में बसते हैं, तीन आयामों में भौतिकी के नियमों और इन अमूर्त गणितीय संरचनाओं के बीच एक गहरे और अप्रत्याशित संबंध का सुझाव देता है।

टीम ने इस बात का भी अन्वेषण किया कि क्या होता है जब वे कुछ घटकों को 'फ्लिप' करके (flipping) इन सिद्धांतों को संशोधित करते हैं, जो कि एक ऐसी प्रक्रिया है जो प्रणाली के भीतर अंतःक्रिया के नियमों को बदल देती है। ऐसा करके, वे उन सिद्धांतों को बदलने में सक्षम हुए जो मूल रूप से कई शाखाओं वाले थे, उन्हें एक एकल, एकीकृत शाखा वाले सिद्धांतों में बदल दिया। इस हेरफेर ने प्रभावी रूप से परिदृश्य के अतिरिक्त, असंबद्ध भागों को काट दिया, जिससे पीछे एक स्वच्छ, एकल-घाटी संरचना बच गई। यह पुष्टि करता है कि मोडुली स्पेस की जटिलता एक अपरिवर्तनीय विशेषता नहीं है, बल्कि सिद्धांत के अंतर्निहित मापदंडों को समायोजित करके इसे नियंत्रित और सरल बनाया जा सकता है। शोधकर्ताओं ने अपने परिणामों की तुलना 'सुपरकन्फॉर्मल इंडेक्स' (superconformal index) से करके, जो प्रणाली की अवस्थाओं को गिनने वाला एक अलग गणितीय परिमाण है, अपने निष्कर्षों को सत्यापित किया और पाया कि दोनों विधियाँ पूरी तरह से सहमत थीं, जिससे उनके निष्कर्षों की विश्वसनीयता सुदृढ़ हुई।

अंततः, यह कार्य भौतिक सिद्धांतों के एक पूरे नए वर्ग के निर्वात स्थानों का एक स्पष्ट और विस्तृत मानचित्र प्रदान करता है। यह प्रदर्शित करता है कि इन प्रणालियों की स्पष्ट जटिलता के बावजूद, उनकी अंतर्निहित ज्यामिति अक्सर सरल, जुड़ी हुई और सुरुचिपूर्ण गणितीय सिद्धांतों द्वारा शासित होती है। शोधकर्ताओं ने स्थापित किया है कि ये 'इम्प्रूव्ड बाइफंडामेंटल्स' अराजक या खंडित नहीं हैं, बल्कि इनमें एक संरचित, एकीकृत प्रकृति है जिसे सटीकता के साथ वर्णित किया जा सकता है। यह समझ इन निर्माण खंडों को अधिक जटिल सिद्धांत बनाने के लिए संयोजित करने के तरीकों की आगे की जांच के द्वार खोलती है, जो संभावित रूप से ब्रह्मांड की मौलिक वास्तुकला पर प्रकाश डाल सकती है। परिणाम बताते हैं कि ब्रह्मांड, अपने सबसे अमूर्त सैद्धांतिक रूपों में भी, विखंडन और अराजकता के बजाय सरलता और एकता को प्राथमिकता देता है।

तकनीकी सारांश: इम्प्रूव्ड बाइफंडामेंटल्स का हिल्बर्ट सीरीज़ और सुपरकॉन्फॉर्मल इंडेक्स

समस्या विवरण
यह शोध पत्र हाल ही में पेश की गई "इम्प्रूव्ड बाइफंडामेंटल्स" (Improved Bifundamentals) नामक तीन-आयामी $\mathcal{N}=2$ सुपरकॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज (SCFTs) के एक वर्ग के वैक्यूम के मॉडुलि स्पेस (moduli space of vacua) की संरचना की जांच करता है। इन सिद्धांतों को $FT_N$ , $FM_N$ , $FEN$ , $FC_N$ , और $FH_N$ द्वारा दर्शाया गया है, जो विभिन्न प्रकार के 3d मिरर सिमेट्री, 6d $E$ -स्ट्रिंग्स के कॉम्पैक्टिफिकेशन, और हनानी-विटन (Hanany–Witten) ब्रैन सेटअपों के लिए मौलिक निर्माण खंड (building blocks) के रूप में कार्य करते हैं। जबकि ये सिद्धांत दिलचस्प द्वैतता (dualities) और सिमेट्री एन्हांसमेंट प्रदर्शित करते हैं, उनके मॉडुलि स्पेस की सटीक बीजगणितीय ज्यामिति—विशेष रूप से उनके चिरल रिंग (chiral rings) की संरचना, संबंधों की प्रकृति, और कई शाखाओं (branches) की उपस्थिति—को अभी भी पूरी तरह से स्पष्ट किया जाना बाकी है। 3d $\mathcal{N}=2$ सिद्धांतों में एक केंद्रीय चुनौती सुपरकॉन्फॉर्मल इंडेक्स (SCI) का हिल्बर्ट सीरीज़ (HS) की गणना करना है, जो स्थानीय मोनोपोल ऑपरेटरों की जटिलताओं और बोसोनिक तथा फर्मिओनिक योगदानों के बीच संभावित रद्दीकरण (cancellations) के कारण कठिन होता है।

कार्यप्रणाली
लेखक मॉडुलि स्पेस को लक्षणित करने के लिए प्राथमिक गणितीय उपकरण के रूप में हिल्बर्ट सीरीज़ (HS) का उपयोग करते हैं। HS की गणना SCI (जो $S^2 \times S^1$ पर स्थित सिद्धांत का पार्टिशन फंक्शन है) के एक विशिष्ट सीमा (limit) से निकाली जाती है। इसका तर्क इस तथ्य पर आधारित है कि मॉडुलि स्पेस का कोऑर्डिनेट रिंग 1/2-BPS गेज-इनवेरिएंट चिरल ऑपरेटरों (जिसमें बेयर और ड्रेस्ड मोनोपोन शामिल हैं) द्वारा परिमित रूप से जनरेट (finitely generated) होता है, जिन्हें इंडेक्स द्वारा गिना जाता है।

विश्लेषण दो मुख्य श्रेणियों में आगे बढ़ता है:

जेनेरिक $N$ : लेखक गैर-एबेलियन फ्युगासिटीज (fugacities) को अनरिफाइन (unrefine) करके और वैश्विक समरूपताओं (global symmetries) से जुड़ी एबेलियन फ फ्यूगासिटीज को बनाए रखते हुए जेनेरिक रैंक $N$ के लिए HS की गणना करते हैं। वे परिणामी सीरीज़ का "यूलर फॉर्म" (एक परिमेय फलन जिसका अंश एक बहुपद है और हर $(1-t)^{\dim \mathcal{M}}$ के रूप में है) में विश्लेषण करते हैं ताकि मॉडुलि स्पेस के जटिल आयाम (complex dimension), जनरेटरों की संख्या और अंश के डिग्री को निर्धारित किया जा सके। वे जनरेटरों और संबंधों (syzygies) की पहचान करने के लिए प्लेथिस्टिक लोगारिदम (Plethystic Logarithm - PL) का उपयोग करते हैं।
विशेष मामला $N=2$ : यह पहचानते हुए कि $N=2$ सिद्धांत अक्सर उन्नत IR वैश्विक समरूपताओं को प्रदर्शित करते हैं, लेखक $N=2$ मामलों के लिए SCI के विस्तृत पुनर्समन (resummation) को करते हैं। वे HS को उन्नत सिमेट्री समूहों (जैसे $SU(4)$ , $SU(5)$ , $SO(10)$ , $SU(6)$ , $E_6$ ) के कैरेक्टर्स के योग के रूप में व्यक्त करते हैं। यह उन्हें मॉडुलि स्पेस को इर्रेड्यूसिबल हर्मिटियन सिमेट्रिक स्पेस (HSS) के कॉम्प्लेक्स कोन्स (complex cones) के रूप में पहचानने की अनुमति देता है।

अध्ययन में सिंगल-ब्रांच मॉडुलि स्पेस बनाने के लिए IR स्पेक्ट्रम में विशिष्ट सिंगलेट ऑपरेटरों को "फ्लिप" करने में भी शामिल है, जिससे प्राप्त सिद्धांतों की ज्ञात द्वैतताओं और 4d अपलिफ्ट्स के साथ तुलना की जाती है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

मॉडुलि स्पेस की संरचना: लेखक स्थापित करते हैं कि इम्प्रूव्ड बाइफंडामेंटल्स के मॉडुलि स्पेस परिवार के आधार पर अलग-अलग संरचनाएं प्रदर्शित करते हैं।
- $FT_N$ , $FC_N$ , और $FH_N$ परिवारों के लिए, मॉडुलि स्पेस में एक सिंगल कनेक्टेड ब्रांच होती है जो IR नॉन-एबेलियन ग्लोबल सिमेट्री के रैंक-2 रिप्रेजेंटेशन में ऑपरेटरों द्वारा जनरेट होती है।
- $FM_N$ और $FEN$ परिवारों के लिए, मॉडुलि स्पेस में एक मुख्य ब्रांच (रैंक-2 ऑपरेटरों द्वारा जनरेट) के साथ-साथ अतिरिक्त सरल शाखाएं होती हैं, जो नॉन-एबेलियन ग्लोबल सिमेट्री के अंतर्गत सिंगलेट ऑपरेटरों ( $B_{ij}$ ) के वैक्यूम एक्सपेक्टेशन वैल्यूज द्वारा जनरेट होती हैं।
कम्प्लीट इंटरसेक्शन बनाम नॉन-कम्प्लीट इंटरसेक्शन:
- $FT_N$ सिद्धांत को एकमात्र ऐसा परिवार पहचाना गया है जहाँ मॉडुलि स्पेस एक कम्प्लीट इंटरसेक्शन है। इसका HS एक सरल सूत्र द्वारा दिया गया है जो $T(SU(N))$ के हिग्स ब्रांच के समान है, जिसमें अंश ज्यामितीय श्रृंखलाओं (geometric series) का एक उत्पाद है।
- अन्य सभी परिवारों ( $FC_N$ , $FH_N$ , $FM_N$ , $FEN$ ) के लिए, मॉडुलि स्पेस नॉन-कम्प्लीट इंटरसेक्शन हैं। प्लेथिस्टिक लोगारिदम उच्च-क्रम के सिज़िगिस (संबंधों के बीच संबंध) की उपस्थिति का संकेत देते हुए अनंत श्रृंखला (infinite series) प्रदान करता है।
स्पष्ट सूत्र और एक्सट्रपलेशन:
- शोध पत्र $N=1, 2, 3$ के लिए स्पष्ट अनरिफाइंड हिल्बर्ट सीरीज़ प्रदान करता है और जेनेरिक $N$ के लिए जटिल आयाम, जनरेटरों की संख्या और अंश की डिग्री का एक्सट्रपलेशन करता है। उदाहरण के लिए, $FT_N$ के लिए मॉडुलि स्पेस का आयाम $2N^2 - N - 1$ है, जबकि $FEN$ के लिए यह $4N^2$ है।
- अंश बहुपदों (numerator polynomials) के गुणांकों को विशिष्ट पैटर्न (जैसे $FT_N$ के लिए महोनियन नंबर्स) का पालन करते हुए दिखाया गया है और वे सीरीज़ की पैलिंड्रोमिक प्रकृति से प्राप्त नियमों का पालन करते हैं (जो कैलबी-याउ गुणों को दर्शाता है)।
$N=2$ पर सिमेट्री एन्हांसमेंट:
- $N=2$ पर, सिद्धांत जेनेरिक $N$ की अपेक्षाओं से परे महत्वपूर्ण IR सिमेट्री एन्हांसमेंट प्रदर्शित करते हैं।
- $N=2$ $N = 2$ के सिद्धांतों के मॉडुलि स्पेस (विशेष रूप से $FT_2$ $F T_{2}$ , $FC_2$ $F C_{2}$ , $FH_2$ $F H_{2}$ , $\tilde{FM}_2$ $\tilde{F M}_{2}$ , और $\tilde{FE}_2$ $\tilde{F E}_{2}$ ) को विशिष्ट हर्मिटियन सिमेट्रिक स्पेस के कॉम्प्लेक्स कोन्स के रूप में पहचाना गया है:
  - $FT_2$ : $Gr(2,4) \cong SU(4)/S(U(2)\times U(2))$ के ऊपर कोन।
  - $FC_2$ : $Gr(2,5) \cong SU(5)/S(U(3)\times U(2))$ के ऊपर कोन।
  - $FH_2$ : $OG(5,10) \cong SO(10)/U(5)$ के ऊपर कोन।
  - $\tilde{FM}_2$ : $Gr(2,6) \cong SU(6)/S(U(4)\times U(2))$ के ऊपर कोन।
  - $\tilde{FE}_2$ : अपवादिय स्थान $E_6/SO(10)\times U(1)$ के ऊपर कोन।
- लेखक इन मामलों के लिए उन्नत सिमेट्री समूहों के कैरेक्टर्स के योग के रूप में सटीक हिल्बर्ट सीरीज़ सूत्र प्रदान करते हैं।
फ्लिप्ड थ्योरीज और सिंगल ब्रांचेस: सिंगलेट ऑपरेटरों को फ्लिप करके (जैसे $\tilde{FM}_2$ और $\tilde{FE}_2$ में), लेखक सिंगल-ब्रांच मॉडुलि स्पेस वाले सिद्धांत निर्मित करते हैं। वे "डबली फ्लिप्ड" सिद्धांत ( $FFM_2$ , $FFE_2$ ) भी निर्मित करते हैं जिनमें सिंगल-ब्रांच मॉडुलि स्पेस होता है, जो प्रभावी रूप से सिंगलेट्स द्वारा जनरेट होने वाली अतिरिक्त शाखाओं को हटा देता है।
4d/3d तुलना: $FE_2$ के 3d इंडेक्स और इसके अपलिफ्ट के 4d इंडेक्स के बीच तुलना से पता चलता है कि हालांकि पूर्ण इंडेक्स भिन्न होते हैं (4d में नॉन-चिरल योगदान के कारण), हिल्बर्ट सीरीज़ समान हैं। यह सुझाव देता है कि 3d और 4d सिद्धांतों के चिरल रिंग्स के बीच एक आइसोमोर्फिज्म (isomorphism) है।

महत्व और दावे

शोध पत्र दावा करता है कि वह इम्प्रूव्ड बाइफंडामेंटल्स के मॉडुलि स्पेस का व्यापक संरचनात्मक विश्लेषण प्रदान करता है, जो उनकी अपरिवर्तनीयता (irreducibility) और उनके परिभाषित संबंधों की प्रकृति से संबंधित प्रश्नोंों को हल करता है। यह प्रदर्शित करते हुए कि ये स्पेस अक्सर हर्मिटियन सिमेट्रिक स्पेस के कोन्स हैं (विशेष रूप से $N=2$ पर), यह कार्य 3d SCFTs को बीजगणितीय ज्यामिति और प्रतिनिधित्व सिद्धांत (representation theory) की सुस्थापित वस्तुओं से जोड़ता है।

लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि उन्होंने यूलर फॉर्म और चिरल रिंग की सामान्य संरचना स्थापित कर ली है, लेकिन नॉन-कम्प्लीट इंटरसेक्शन मामलों में अंश के गुणांकों के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्ति खोजना अभी भी एक खुला प्रश्न है। वे यह भी रेखांकित करते हैं कि मॉडुलि स्पेस की ज्यामिति और चिरल रिंग ऑपरेटरों द्वारा संतुष्ट विशिष्ट क्वांटम संबंधों के बीच का संबंध आगे के अन्वेषण की मांग करता है। ये परिणाम एसिमेट्रिक बाइफंडामेंटल्स, ब्रेड ड्यूलिटीज (braid dualities), और इन सिद्धांतों के 2d तक कॉम्पैक्टिफिकेशन से जुड़े भविष्य के अध्ययनों के लिए एक आधार के रूप में कार्य करते हैं।

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