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Optimal randomized measurements for a family of non-linear quantum properties

यह शोध पत्र ऑब्जर्वेबल-ड्रिवन रैंडमाइज्ड मेजरमेंट (ORM) प्रोटोकॉल प्रस्तुत करता है, जो किसी भी मनमाने ऑब्जर्वेबल के लिए गैर-रेखीय मात्रा ${\rm Tr}(O\rho^2)$ का अनुमान लगाने हेतु इष्टतम सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त करता है, जो क्लासिकल शैडोज़ की तुलना में दक्षता में बेहतर है और एक कुशल क्लिफोर्ड सर्किट कार्यान्वयन तथा कई लो-रैंक ऑब्जर्वेबल्स के लिए एक पूरक ब्रेडिंग प्रोटोकॉल प्रदान करता है।

मूल लेखक: Zhenyu Du, Yifan Tang, Andreas Elben, Ingo Roth, Jens Eisert, Zhenhuan Liu

प्रकाशित 2026-03-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Zhenyu Du, Yifan Tang, Andreas Elben, Ingo Roth, Jens Eisert, Zhenhuan Liu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक रहस्यमय, अदृश्य वस्तु (एक क्वांटम अवस्था) के रहस्यों को सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं। आमतौर पर, जब आप इन वस्तुओं को देखते हैं, तो भौतिकी के नियम बहुत सख्त होते हैं: आप केवल सरल चीजों के बारे में "हाँ/नहीं" वाले सवाल पूछ सकते हैं, जैसे "क्या वस्तु लाल है?" या "क्या यह भारी है?" ये रैखिक (linear) प्रश्न हैं, और हम इनके उत्तर देने में काफी कुशल हैं।

लेकिन कभी-कभी, आपको गैर-रैखिक (non-linear) प्रश्नों की आवश्यकता होती है। ये अधिक पेचीदा होते। इसके बजाय "क्या यह लाल है?" पूछने के बजाय, आपको पूछने की आवश्यकता हो सकती है, "लाल रंग का नीले रंग के साथ कितना परस्पर क्रिया (interact) होता है?" या "वस्तु का रंग कितना 'शुद्ध' है?" क्वांटम दुनिया में, ये प्रश्न क्वांटम कंप्यूटरों में त्रुटियों को ठीक करने या नई सामग्रियों का अनुकरण (simulate) करने जैसी चीजों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

समस्या यह है कि हमारे पास मौजूद मानक उपकरण ऐसे हैं जैसे कॉफी के एक कप का तापमान मापने के लिए एक घूँट लेना, उसे थूक देना और फिर पूरे कप के तापमान का अनुमान लगाने की उम्मीद करना। इसमें बहुत अधिक संख्या में घूँट (नमूने) लेने पड़ते हैं और गणित भी बहुत जटिल हो जाता है।

यह शोध पत्र एक नया, सुपर-स्मार्ट जासूसी उपकरण पेश करता है जिसे ORM (ऑब्जर्वेबल-ड्रिवन रैंडमाइज्ड मेजरमेंट) कहा जाता है। यह कैसे काम करता है, इसके लिए कुछ रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग करते हैं:

1. पुराना तरीका: "आँखों पर पट्टी बांधकर चखने वाला" (क्लासिकल शैडोज़)

कल्पना कीजिए कि आप एक जटिल सूप के स्वाद के प्रोफाइल को जानना चाहते हैं। पुराना तरीका (जिसे "क्लासिकल शैडोज़" कहा जाता है) एक ऐसे व्यक्ति की तरह है जिसकी आँखों पर पट्टी बंधी है, जो एक चम्मच सूप लेता है, उसका स्वाद लेता है, एक सामान्य नोट लिखता है ("नमकीन स्वाद है"), और चम्मच को फेंक देता है। सटीक स्पाइसी बैलेंस (गैर-रैखिक गुण) को समझने के लिए, उन्हें हजारों चम्मच सूप लेना होगा, हजारों नोट्स लिखने होंगे, और फिर एक सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके रेसिपी का अनुमान लगाना होगा। यह सटीक तो है, लेकिन अविश्वसनीय रूप से धीमा और बर्बादी भरा है।

2. नया तरीका: "लक्षित शेफ" (ORM)

लेखकों ने कहा है, "हम अंधे होकर चख क्यों रहे हैं? आइए पहले रेसिपी को देखें!"

उनका नया प्रोटोकॉल, ORM, एक ऐसे शेफ की तरह है जिसे पता है कि वह किस मसाले की तलाश कर रहा है (वह "ऑब्जर्वेबल" है)।

सेटअप: एक रैंडम चम्मच के बजाय, शेफ एक विशेष छलनी (एक रैंडम यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन) सेट करता है जो सूप को उस विशिष्ट मसाले के आधार पर दो कटोरे में अलग करती है जिसकी उन्हें परवाह है।
जादू: यदि शेफ "तीखेपन" की तलाश में है, तो छलनी तीखे हिस्सों को गैर-तीखे हिस्सों से अलग कर देती है। इसके बाद वे केवल तीखे कटोरे और गैर-तीखे कटोरे को अलग-अलग चखते हैं।
परिणाम: क्योंकि वे सूप के सही हिस्सों को देख रहे हैं, उन्हें समान उत्तर प्राप्त करने के लिए बहुत कम चम्मचों की आवश्यकता होती है। वास्तव में, कई सामान्य प्रश्नों के लिए, उन्हें आवश्यक न्यूनतम चम्मचों की संख्या की आवश्यकता होती है। यह घास के ढेर में सुई खोजने जैसा है, जहाँ आपको पूरे ढेर को चम्मच से छानने के बजाय यह पता होता है कि सुई कैसी दिखती है और आप चुंबक का उपयोग करते हैं।

3. "वर्चुअल कूलिंग" का कमाल

एक बहुत ही शानदार अनुप्रयोग जो उन्होंने दिखाया है, वह है वर्चुअल कूलिंग।
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक गर्म कॉफी का कप है (एक शोर वाला, अपूर्ण क्वांटम स्टेट)। आप जानना चाहते हैं कि वह कॉफी कैसी लगती यदि वह बर्फ जैसी ठंडी (एक शुद्ध, आदर्श अवस्था) होती।

सामान्यतः, आपको घंटों तक ठंडा होने का इंतजार करना होगा।
ORM के साथ, आप कॉफी को गणितीय रूप से तुरंत "ठंडा" कर सकते हैं। कॉफी को एक विशिष्ट, चतुर तरीके से मापकर, गणित "गर्मी" (शोर) को हटा देता है और ठंडी कॉफी के स्वाद को प्रकट कर देता है। यह तापमान के लिए टाइम मशीन रखने जैसा है!

4. "ब्रेडिंग" तकनीक (BRM)

यह शोध पत्र BRM नामक एक दूसरा उपकरण भी पेश करता है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब आपको एक साथ बहुत सारे अलग-अलग प्रश्न पूछने हों (जैसे एक ही समय में नमक, काली मिर्च, लहसुन और तुलसी के लिए सूप की जाँच करना)।

इसे अपने बालों को गूंथने (braiding) के रूप में सोचें। हर लट को अलग-अलग कंघी करने के बजाय (जिसमें बहुत समय लगता है), आप उन्हें एक विशिष्ट पैटर्न में एक साथ घुमाते हैं।
यह आपको हर एक प्रश्न के लिए एक अलग "छलनी" की आवश्यकता के बिना, कई गुणों की एक साथ जाँच करने की अनुमति देता है। यह समय और प्रयास की भारी बचत करता है।

यह क्यों मायने रखता है?

दक्षता (Efficiency): यह काफी कम संसाधनों (कम "स्टेट कॉपीज़" या नमूने) का उपयोग करता है। क्वांटम दुनिया में, हर नमूना महंगा और कठिन होता है।
सरलता: डेटा को प्रोसेस करने के लिए आवश्यक गणित बहुत सरल है। आपको उत्तर का पता लगाने के लिए सुपरकंप्यूटर की आवश्यकता नहीं है; एक साधारण लैपटॉप भी इसे जल्दी से कर सकता है।
बहुमुखी प्रतिभा: यह क्वांटम कंप्यूटरों में त्रुटियों को ठीक करने से लेकर पदार्थ की नई अवस्थाओं का पता लगाने तक, क्वांटम समस्याओं की एक विशाल श्रृंखला के लिए काम करता है।

संक्षेप में:
लेखकों ने अनुमान लगाना बंद करने और लक्ष्य साधना शुरू करने का एक तरीका खोजा है। अपने मापन उपकरणों को उस विशिष्ट प्रश्न के अनुरूप बनाकर जिसे वे उत्तर देना चाहते हैं, वे सरल प्रश्न पूछने जितनी आसानी से क्वांटम प्रणालियों से गहरा, जटिल डेटा निकाल सकते हैं। यह क्वांटम कंप्यूटरों को वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए वास्तव में उपयोगी बनाने की दिशा में एक बड़ी छलांग है।

यहाँ शोध पत्र "Optimal randomized measurements for a family of non-linear quantum properties" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

क्वांटम लर्निंग में क्वांटम अवस्थाओं के गैर-रेखीय गुणों (non-linear properties), जैसे कि स्टेट प्योरिटी $\text{Tr}(\rho^2)$ या किसी भी मनमाने ऑब्जर्वेबल $O$ के लिए गैर-रेखीय प्रत्याशा (expectation value) $\text{Tr}(O\rho^2)$ का अनुमान लगाने में एक मौलिक चुनौती आती है।

रेखीय विधियों की सीमा (The Limitation of Linear Methods): मानक क्वांटम लर्निंग प्रोटोकॉल (जैसे क्लासिकल शैडोज़) रेखीय गुणों ( $\text{Tr}(O\rho)$ ) के लिए अनुकूलित होते हैं। जब इन्हें सिंगल-कॉपी मापन (single-copy measurements) का उपयोग करके गैर-रेखीय गुणों पर लागू किया जाता है, तो उन्हें अक्सर $O(d)$ स्टेट कॉपियों (जहाँ $d$ हिल्बर्ट स्पेस डायमेंशन है) की आवश्यकता होती है, जो उप-इष्टतम (sub-optimal) है।
अंतराल (The Gap): जबकि प्योरिटी अनुमान ( $\text{Tr}(\rho^2)$ ) के लिए रैंडमाइज्ड मेजरमेंट (RM) का उपयोग करके $O(\sqrt{d})$ सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी के साथ इष्टतम प्रोटोकॉल मौजूद हैं, यह एक खुला प्रश्न था कि क्या इस इष्टतमता को बिना क्वांटम मेमोरी या मल्टीपल कॉपियों के एंटैंगल्ड मेजरमेंट के, सामान्य ऑब्जर्वेबल $O$ के लिए विस्तारित किया जा सकता है।
लक्ष्य (The Goal): एक ऐसा सिंगल-कॉपी प्रोटोकॉल विकसित करना जो व्यापक श्रेणी के ऑब्जर्वेबल्स के लिए $O(\sqrt{d})$ की इष्टतम सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी के साथ $\text{Tr}(O\rho^2)$ का अनुमान लगा सके, और साथ ही प्रयोगात्मक व्यवहार्यता (experimental feasibility) को बनाए रख सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक ऑब्जर्वेबल-ड्रिवन रैंडमाइज्ड मेजरमेंट (ORM) प्रोटोकॉल का प्रस्ताव करते हैं, जो लक्षित ऑब्जर्वेबल $O$ के बारे में जानकारी को सीधे मापन रणनीति में एकीकृत करता है।

A. मुख्य अवधारणा: ऑब्जर्वेबल-ड्रिवन रैंडमाइज्ड मेजरमेंट (ORM)

यह प्रोटोकॉल प्योरिटी के लिए RM दृष्टिकोण का सामान्यीकरण करता है और लक्षित ऑब्जर्वेबल के विखंडन (decomposition) के माध्यम से रैंडम यूनिटरी एन्सेम्बल को इसके ढांचे के अनुरूप ढालता है।

विखंडन (Decomposition): किसी भी ऑब्जर्वेबल $O$ को डाइकोटोमिक ऑब्जर्वेबल्स (ऐसे ऑब्जर्वेबल्स जिनके आइगेनवैल्यू $\pm 1$ होते हैं) के योग में विभाजित किया जाता है। सामान्य ऑब्जर्वेबल्स के लिए, यह एक बाइनरी एक्सपेंशन (Lemma 3) के माध्यम से प्राप्त किया जाता है।
ब्लॉक-डायगोनल यूनिटरीज (Block-Diagonal Unitaries): एक डाइकोटोमिक ऑब्जर्वेबल $O$ $O$ के लिए जिसके आइगेनस्पेस $\Pi_+$ $Π_{+}$ और $\Pi_-$ $Π_{-}$ हैं, प्रोटोकॉल ब्लॉक-डायगोनल रैंडम यूनिटरीज $U = \tilde{U}_+ \oplus \tilde{U}_-$ $U = \tilde{U}_{+} \oplus \tilde{U}_{-}$ का उपयोग करता है।
- $\tilde{U}_+$ सबस्पेस $\Pi_+$ पर रैंडमली कार्य करता है।
- $\tilde{U}_-$ सबस्पेस $\Pi_-$ पर रैंडमली कार्य करता है।
अनुमान रणनीति (Estimation Strategy):
- अवस्था (state) को $O$ के आइगेन-बेसिस में रोटेट किया जाता है।
- ब्लॉक-डायगोनल यूनिटरीज लागू की जाती हैं।
- कंप्यूटेशनल बेसिस में मेजरमेंट किए जाते हैं।
- पोस्ट-प्रोसेसिंग (Post-processing): मेजरमेंट परिणामों को इस आधार पर वर्गीकृत किया जाता है कि वे किस आइगेनस्पेस से संबंधित हैं। प्रोटोकॉल प्रत्येक सबस्पेस के भीतर प्रोजेक्टेड प्योरिटी ( $\text{Tr}(\tilde{\rho}_+^2)$ और $\text{Tr}(\tilde{\rho}_-^2)$ ) का अनुमान लगाता है और $\text{Tr}(O\rho^2)$ का अनुमान लगाने के लिए उनके भारित अंतर (weighted difference) की गणना करता है।
सैद्धांतिक इष्टतमता (Theoretical Optimality): लेखक सिद्ध करते हैं कि बड़े ट्रेस नॉर्म ( $\|O\|_1 = \Omega(d)$ ) वाले ऑब्जर्वेबल्स के लिए, जिनमें सभी पाउली और लोकल ऑब्जर्वेबल्स शामिल हैं, सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी $O(\sqrt{d})$ है। यह सिंगल-कॉपी स्कीम्स के लिए मौलिक निचली सीमा (lower bound) से मेल खाता है, जिससे सैद्धांतिक सीमाओं और प्राप्त करने योग्य प्रोटोकॉल के बीच का अंतराल समाप्त हो जाता है।

B. कुशल सर्किट कार्यान्वयन (Efficient Circuit Implementations)

मनमाने ब्लॉक-डायगोनल यूनिटरीज को लागू करने की व्यावहारिक कठिनाई को दूर करने के लिए, पेपर कई अनुकूलन पेश करता है:

पाउली ऑब्जर्वेबल्स (Pauli Observables): पाउली ऑपरेटर्स के लिए, डायगोनलाइजेशन सर्किट एक सरल क्लिफोर्ड (Clifford) सर्किट है। ब्लॉक-डायगोनल यूनिटरीज को $n-1$ क्वबिट्स पर स्वतंत्र रैंडम यूनिटरीज, या यहाँ तक कि स्थानीय सिंगल-क्वबिट यूनिटरीज के टेंसर प्रोडक्ट के रूप में लागू किया जा सकता है।
क्लिफोर्ड सर्किट्स (Clifford Circuits): प्रोटोकॉल को सटीक 4-डिज़ाइन के बजाय रैंडम क्लिफोर्ड यूनिटरीज (जो कि 3-डिज़ाइन बनाते हैं) का उपयोग करके लागू किया जा सकता है, जो प्रिसिजन डिपेंडेंस में केवल एक स्थिरांक कारक ओवरहेड के साथ $O(\sqrt{d})$ स्केलिंग को बनाए रखता है।
पाउली सैंपलिंग (Pauli Sampling): सामान्य भौतिक ऑब्जर्वेबल्स (जैसे स्थानीय हैमिल्टोनियन) के लिए, लेखक एक पाउली सैंपलिंग योजना प्रस्तावित करते हैं। ऑब्जर्वेबल को पाउली स्ट्रिंग्स में विभाजित किया जाता है, और प्रोटोकॉल इन स्ट्रिंग्स को उनके गुणांकों (importance sampling) के अनुसार सैंपल करता है। यह $O(\sqrt{d})$ कॉम्प्लेक्सिटी के साथ स्थानीय हैमिल्टोनियन और स्टेबलाइजर फिडेलिटीज के लिए $\text{Tr}(O\rho^2)$ का अनुमान लगाने की अनुमति देता है।

C. ब्रेडिंग रैंडमाइज्ड मेजरमेंट (BRM)

लो-रैंक ऑब्जर्वेबल्स (जहाँ रैंक स्थिर या कम है) के लिए, लेखक ब्रेडिंग रैंडमाइज्ड मेजरमेंट (BRM) प्रोटोकॉल पेश करते हैं।

हाइब्रिड दृष्टिकोण (Hybrid Approach): BRM मानक RM (ग्लोबल रैंडम यूनिटरीज) के डेटा अधिग्रहण को क्लासिकल शैडोज़ के पोस्ट-प्रोसेसिंग लॉजिक के साथ जोड़ता है।
तंत्र (Mechanism): यह एस्टीमेटर में अवस्था के एक इंस्टेंस को ऑब्जर्वेबल $O$ (क्लासिकल रूप से गणना किया गया) से बदलकर वर्चुअली उच्च-क्रम के परम्यूटेशन ऑपरेटर्स (जैसे $\text{Tr}(\rho^3)$ के लिए तीसरा क्रम) को लागू करता है।
लाभ (Advantage): BRM लो-रैंक ऑब्जर्वेबल्स के लिए ORM के समान $O(\sqrt{d})$ सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त करता है, लेकिन इसके लिए केवल ग्लोबल रैंडम यूनिटरीज (ब्लॉक-डायगोनल की तुलना में सरल) की आवश्यकता होती है और कई ऑब्जर्वेबल्स का एक साथ अनुमान लगाने के मामले में क्लासिकल शैडोज़ की तुलना में काफी कम मेजरमेंट बेस की आवश्यकता होती है।

3. मुख्य परिणाम (Key Results)

इष्टतम सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी (Optimal Sample Complexity): ORM प्रोटोकॉल किसी भी ऑब्जर्वेबल के लिए $\text{Tr}(O\rho^2)$ का अनुमान लगाने के लिए $O(\sqrt{d})$ सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त करता है जिसका बाउंडेड ऑपरेटर नॉर्म और बड़ा ट्रेस नॉर्म है। यह सिंगल-कॉपी स्कीम्स के लिए प्रमाणित रूप से इष्टतम है।
क्लासिकल शैडोज़ के साथ तुलना (Comparison with Classical Shadows):
- क्लासिकल शैडोज़ को सामान्य ऑब्जर्वेबल्स के लिए $O(d)$ सैंपल की आवश्यकता होती है और विशिष्ट मामलों के लिए केवल $O(\sqrt{d})$ की, लेकिन अक्सर उन्हें $O(\sqrt{d})$ अलग-अलग मेजरमेंट बेस की आवश्यकता होती है।
- ORM को सिस्टम साइज की परवाह किए बिना केवल $O(1)$ मेजरमेंट बेस (स्थिर संख्या सेटिंग्स) की आवश्यकता होती है, जो प्रयोगात्मक ओवरहेड को काफी कम कर देता है।
संख्यात्मक सत्यापन (Numerical Validation):
- वर्चुअल कूलिंग (Virtual Cooling): 6-क्वबिट हाइजेनबर्ग XX मॉडल पर सिमुलेशन दिखाते हैं कि ORM, क्लासिकल शैडोज़ की तुलना में बहुत कम स्टेट कॉपियों के साथ $\text{Tr}(O\rho^2)/\text{Tr}(\rho^2)$ (जो वर्चुअल कूलिंग के बराबर है) का सटीक अनुमान लगाता है।
- स्केलेबिलिटी (Scalability): जैसे-जैसे सिस्टम साइज $L$ बढ़ता है, क्लासिकल शैडोज़ के लिए आवश्यक कॉपियों की संख्या तेजी से बढ़ती है, जबकि ORM लगभग स्थिर रहता है ( $\sqrt{d}$ के रूप में स्केल करता है)।
लो-रैंक दक्षता (Low-Rank Efficiency): BRM प्रोटोकॉल प्रदर्शित करता है कि लो-रैंक ऑब्जर्वेबल्स के लिए, आप ऑब्जर्वेबल-डिपेंडेंट यूनिटरीज के बिना इष्टतम स्केलिंग प्राप्त कर सकते हैं, जो RM और क्लासिकल शैडोज़ के बीच के अंतर को पाटता है।

4. महत्व और अनुप्रयोग (Significance and Applications)

एरर मिटिगेशन (Virtual Distillation): $\text{Tr}(O\rho^2)$ का कुशलतापूर्वक अनुमान लगाने की क्षमता वर्चुअल कूलिंग और एरर मिटिगेशन के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। दूसरे-क्रम के मोमेंट का अनुमान लगाकर, प्रोटोकॉल मिश्रित अवस्थाओं (mixed states) से शोर को दबा देता है, जिससे भौतिक कूलिंग के बिना कम तापमान पर एक "स्वच्छ" अवस्था के गुणों तक पहुँचना संभव होता है।
मिक्स्ड-स्टेट फेज डिटेक्शन (Mixed-State Phase Detection): यह प्रोटोकॉल गैर-रेखीय कोरिलेटर्स का उपयोग करके मिश्रित अवस्थाओं (जैसे कि सिमेट्री-प्रोटेक्टेड टोपोलॉजिकल फेजेस) में क्वांटम फेजेस का पता लगाने में सक्षम बनाता है, जो रेखीय कोरिलेशन फंक्शन्स की तुलना में डिकोहेरेंस के प्रति अधिक मजबूत होते हैं।
एन्ट्रोपिक मात्राएँ (Entropic Quantities): यह विधि रेनी एंट्रॉपी (Renyi entropies) और क्वांटम फिशर इंफॉर्मेशन के अनुमान की सुविधा प्रदान करती है, जो क्वांटम रिसोर्सेज और थर्मोडायनामिक्स को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं।
प्रयोगात्मक व्यवहार्यता (Experimental Feasibility): स्थिर संख्या में मेजरमेंट बेस की आवश्यकता को कम करके और क्लिफोर्ड सर्किट्स (जो वर्तमान NISQ डिवाइसेस के अनुकूल हैं) का उपयोग करके, यह प्रोटोकॉल गैर-रेखीय गुणों के अनुमान को निकट-अवधि (near-term) क्वांटम हार्डवेयर के लिए व्यावहारिक बनाता है।

5. निष्कर्ष (Conclusion)

यह कार्य यह प्रदर्शित करके क्वांटम लर्निंग की एक प्रमुख समस्या को हल करता है कि ऑब्जर्वेबल जानकारी का उपयोग गैर-रेखीय गुण अनुमान के लिए इष्टतम सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। प्रस्तावित ORM और BRM प्रोटोकॉल $\text{Tr}(O\rho^2)$ के अनुमान के लिए एक एकीकृत, कुशल और प्रयोगात्मक रूप से व्यवहार्य ढांचा प्रदान करते हैं, जो सैंपल दक्षता और मेजरमेंट ओवरहेड दोनों में क्लासिकल शैडोज़ जैसे मौजूदा तरीकों से बेहतर प्रदर्शन करते हैं। यह प्रगति शोर वाले क्वांटम सिस्टम के स्केलेबल सत्यापन और लक्षण वर्णन की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है।