Sequential Elimination and Union Shapley Value for Group Assessment in Coalitional Games

तकनीकी सारांश: समूह मूल्यांकन के लिए क्रमिक निष्कासन और यूनियन शापली मान (Union Shapley Value)

समस्या विवरण
सहकारी गेम थ्योरी (cooperative game theory) और नेटवर्क केंद्रीयता (network centrality) एवं मशीन लर्निंग डेटा मूल्यांकन जैसे संबंधित क्षेत्रों में, एक मौलिक चुनौती व्यक्तिगत खिलाड़ियों के मूल्यांकन को समूहों तक विस्तारित करने की है। मौजूदा विधियाँ आमतौर पर दो सरल दृष्टिकोणों पर निर्भर करती हैं:

1. योग (Summation): व्यक्तिगत मूल्यों का संकलन (जैसे, शापली मानों का योग)। यह खिलाड़ियों के बीच सहयोग की अंतर्निहित संरचना और निर्भरता की अनदेखी करता है।
2. विलय (Merging): समूह को एक एकल विलयित तत्व के रूप में मानना और उसका मूल्यांकन करना (जैसे, मर्ज शापली मान)। यह खेल की संरचना को बदल देता है और स्वतंत्र तथा अत्यधिक निर्भर खिलाड़ियों के बीच अंतर करने में विफल रहता है।

दोनों दृष्टिकोण समूहों के भीतर निर्भरता को सटीक रूप से पकड़ने में अक्सर विफल रहते हैं। उदाहरण के लिए, एक ऐसे खेल में जहाँ खिलाड़ियों के दो विलगित जोड़े स्वतंत्र रूप से मूल्य उत्पन्न करते हैं, व्यक्तिगत मूल्यों का योग करना या समूहों को विलय करना गलत तरीके से सहक्रियात्मक खिलाड़ियों के जोड़े और स्वतंत्र खिलाड़ियों के जोड़े को समान महत्व दे सकता है, जिससे उनके प्रणालीगत प्रभाव में विषमता को दर्शाने में विफलता होती है।

कार्यप्रणाली
लेखक क्रमिक निष्कासन (sequential elimination) पर आधारित एक तीसरे दृष्टिकोण का प्रस्ताव और विश्लेषण करते हैं। इस ढांचे में, एक समूह के तत्वों को एक-एक करके हटाया जाता है, और परिणामी कम किए गए खेलों में उनके मूल्यांकन को संकलित किया जाता है। मुख्य परिकल्पना यह है कि यह विधि ओवरलैपिंग प्रभावों को कम करके और समूह की अनुपस्थिति से होने वाले नुकसान पर ध्यान केंद्रित करके समूह के शुद्ध योगदान को स्वाभाविक रूप से मापती है।

यह अध्ययन गठबंधन खेलों (coalitional games) में समूह मूल्यों के व्यापक अभिलेखीय विश्लेषण (axiomatic analysis) पर आधारित है। कार्यप्रणाली में शामिल हैं:

• अभिलेखीय वर्गों को परिभाषित करना: लेखक समूह (weak consistent) अर्ध-मानों (semivalues) का एक वर्ग प्रस्तुत करते हैं। ये वे समूह मान हैं जो रैखिकता (Linearity), समरूपता (Symmetry), दुर्बल एकदिष्टता (Weak Monotonicity), नल प्लेयर आउट (Null Player Out) और डमी प्लेयर (Dummy Player) अभिलेख को संतुष्ट करते हैं। वे एक संगत सिनर्जी अर्ध-मान (synergy semivalues) का भी परिभाषित करते हैं, जो डमी प्लेयर अभिलेख के स्थान पर डमीफाइंग प्लेयर (Dummifying Player) अभिचार (Grabisch और Roubens द्वारा प्रस्तुत) का उपयोग करते हैं।
• क्रमिक विस्तार (Sequential Extension): शोध पत्र यह स्थापित करता है कि एक खिलाड़ी का मान क्रमिक विस्तार को तभी स्वीकार करता है जब वह संतुलित योगदान (Balanced Contributions) गुण को संतुष्ट करता है। यह सिद्ध किया गया है कि प्रत्येक सुसंगत अर्ध-मान (जो Null Player Out को संतुष्ट करता है) एक अद्वितीय क्रमिक विस्तार को स्वीकार करता है।
• संभाव्यता फलन (Potential Function): लेखक शापली मान के क्रमिक विस्तार को लक्षणबद्ध करने के लिए हार्ट और मास-कोलेल द्वारा प्रस्तुत संभाव्यता फलन का उपयोग करते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. यूनियन शापली मान (The Union Shapley Value):
   लेखक यूनियन शापली मान को शापली मान के अद्वितीय क्रमिक विस्तार के रूप में प्रस्तुत करते हैं। इसे मूल खेल के संभाव्यता (potential) और समूह को हटाने के बाद के खेल की संभाव्यता के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:
   $$US_S(N, v) = P(N, v) - P(N \setminus S, v) = \sum_{T \subseteq N, S \cap T \neq \emptyset} \frac{\Delta v(T)}{|T|}$$
   जहाँ $\Delta v(T)$ हर्षानी डिविडेंड्स (Harsanyi dividends) हैं।

• व्याख्या: यह मान खेल पर समूह के जाने से होने वाले "नुकसान" को मापता है। यह योगदानों को इस तरह संकलित करता है कि प्रत्येक गठबंधन का डिविडेंड अधिकतम एक बार गिना जाता है, भले ही समूह में उस गठबंधन के कई सदस्य हों।
• अभिलेखीय लक्षण वर्णन: यूनियन शापली मान को संभाव्यता (Potential) (या संतुलित योगदान) और दक्षता (Efficiency) के अभिलेखों द्वारा अद्वितीय रूप से वर्णित किया गया है। इसे समूह समानता (Group Equality) (सभी यूनैनिमिटी गेम में समूह समान रूप से महत्वपूर्ण हैं) द्वारा समूह अर्ध-मानों के बीच भी अद्वितीय रूप से वर्णित किया गया है।

2. समूह मूल्यों का अभिलेखीय वर्गीकरण:
   शोध पत्र समूह मूल्यांकन के दो वेरिएंट्स के बीच अंतर करता है:

• कुल मूल्य (Total Worth): वे मान जो एक समूह के कुल मूल्य का आकलन करते हैं (जैसे, योग विस्तार, मर्ज शापली, यूनियन शापली)। इन्हें समूह अर्ध-मानों (group semivalues) द्वारा पकड़ा जाता है।
• सिनर्जी (Synergy): वे मान जो एक समूह की सिनर्जी को मापते हैं (जैसे, इंटरैक्शन इंडेक्स)। इन्हें सिनर्जी अर्ध-मानों (synergy semivalues) द्वारा पकड़ा जाता है।
  लेखक इन दोनों वर्गों के बीच एक कार्यात्मक पत्राचार प्रदान करते हैं। विशेष रूप से, वे दिखाते हैं कि मर्ज शापली मान इंटरैक्शन इंडेक्स (एक सिनर्जिस्टिक समकक्ष) के अनुरूप है, और यूनियन शापली मान एक नए सिनर्जिस्टिक मान के अनुरूप है जिसे इंटरसेक्शन शापली मान (Intersection Shapley Value) कहा जाता है।

3. इंटरसेक्शन शापली मान (The Intersection Shapley Value):
   इसे उन गठबंधनों के डिविडेंड के योग के रूप में परिभाषित किया गया है जिनमें पूरा समूह शामिल है:
   $$IS_S(N, v) = \sum_{S \subseteq T \subseteq N} \frac{\Delta v(T)}{|T|}$$
   यह मान योगदानों के प्रतिच्छेदन (intersection) को मापता है। दो आकार के समूह के लिए, यूनियन शापली मान और इंटरसेक्शन शापली मान का योग व्यक्तिगत शापली मानों के योग के बराबर होता है:
   $$US_{\{i,j\}}(N, v) + IS_{\{i,j\}}(N, v) = SV_i(N, v) + SV_j(N, v)$$
   यह अपघटन एक समूह के संयुक्त मूल्य को उसके "यूनियन" भाग (योगदानों को एक बार गिनना) और "इंटरसेक्शन" भाग (सिनर्जी) में विभाजित करने की अनुमति देता है।

4. मौजूदा कार्य के साथ तुलना:
   विश्लेषण प्रस्तावित मूल्यों और मौजूदा साहित्य के बीच संबंधों को स्पष्ट करता है:

• मर्ज शापली मान (मैरिचल आदि) को डमी कोलिशन (Dummy Coalition) अभिलेख को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय समूह अर्ध-मान के रूप में दिखाया गया है।
• इंटरैक्शन इंडेक्स (ग्राबिश और रूबेंस) को एक सिनर्जी अर्ध-मान के रूप में पहचाना गया है, जो मानक डमी प्लेयर अभिलेख के उल्लंघन के कारण समूह अर्ध-मानों से भिन्न है क्योंकि यह डमीफाइंग प्लेयर अभिलेख का पालन करता है।
• शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि क्रमिक विस्तार दृष्टिकोण सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ है, क्योंकि यह सभी सुसंगत अर्ध-मानों पर लागू होता है और मजबूत अभिलेखीय गुणों वाले मान प्रदान करता है।

महत्व
शोध पत्र का दावा है कि क्रमिक विस्तार दृष्टिकोण, और विशेष रूप से यूनियन शापली मान, गठबंधन खेलों में खिलाड़ी मूल्यों के सबसे स्वाभाविक और सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ विस्तारों में से एक है। कुल मूल्य का आकलन करने और सिनर्जी को मापने के बीच अंतर करके, लेखक मौजूदा साहित्य में मौजूद अवधारणाओं के अंतर को स्पष्ट करने के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करते हैं। यूनियन और इंटरसेक्शन शापली मानों का परिचय अंतःक्रियाओं के विश्लेषण के लिए नए उपकरण प्रदान करता है, विशेष रूप से उन परिदृश्यों में जहाँ योगदानों के ओवरलैप को कम करने (यूनियन) या जहाँ शुद्ध सिनर्जी को अलग करने (इंटरसेक्शन) की आवश्यकता होती है। यह कार्य स्थापित करता है कि ये मान मनमाने अनुमान नहीं हैं बल्कि संतुलित योगदान, संभाव्यता और समूह समानता जैसे मौलिक अभिलेखों द्वारा अद्वितीय रूप से निर्धारित हैं।