⚛️ high-energy theory

5-Dimensional Gravitational Raman Scattering: Scalar Wave Perturbations in Schwarzschild-Tangherlini Spacetime

यह शोध पत्र नेकरासोव-शातशविली फलन का उपयोग करके 5D श्वारज़चाइल्ड-टैन्गेरलिनी ब्लैक होल स्केलर वेव स्कैटरिंग के लिए एक बंद सूत्र व्युत्पन्न करता है और यूवी (UV) समाधानों के साथ प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत (EFT) को मिलान करके $O(G^2)$ तक गैर-शून्य, पुनर्सामान्यीकरण समूह रनिंग टाइडल लव नंबरों की गणना करता है।

मूल लेखक: Samim Akhtar, Yilber Fabian Bautista, Cristoforo Iossa, Zihan Zhou

प्रकाशित 2026-04-08

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Samim Akhtar, Yilber Fabian Bautista, Cristoforo Iossa, Zihan Zhou

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, अदृश्य महासागर है। इस महासागर में, ब्लैक होल जैसी विशाल वस्तुएं गहरे भंवर बनाती हैं। जब लहरें (तरंगें) इस महासागर के माध्यम से यात्रा करती हैं और किसी भंवर से टकराती हैं, तो वे दीवार से टकराने वाली गेंद की तरह केवल वापस नहीं उछलतीं; वे जटिल तरीकों से विकृत, अवशोषित या बिखरी (scattered) जाती हैं। यह परस्पर क्रिया जिसे भौतिक विज्ञानी स्कैटरिंग (scattering) कहते हैं।

यह शोध पत्र इन लहरों के लिए एक परिष्कृत "मौसम रिपोर्ट" है, लेकिन एक मोड़ के साथ: यह एक 5-आयामी ब्लैक होल (दो अतिरिक्त छिपे हुए दिशाओं वाले ब्रह्मांड में एक भंवर) को देखता है और यह देखने के लिए एक बिल्कुल नए गणितीय टूलकिट का उपयोग करता है कि लहरें वास्तव में कैसे व्यवहार करती हैं।

यहाँ उनकी खोज का सरल उपमाओं का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. परिवेश: एक 5-आयामी ब्लैक होल

हम में से अधिकांश लोग 4-आयामी दुनिया (3 स्थान के आयाम + 1 समय) में रहते हैं। लेखक एक 5-आयामी ब्रह्मांड में एक सैद्धांतिक ब्लैक होल का अध्ययन कर रहे हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक मानक ब्लैक होल ट्रैम्पोलिन में एक गहरा गड्ढा है। एक 5D ब्लैक होल एक ऐसे ट्रैम्पोलिन में गड्ढे की तरह है जो एक अति-जटिल, अदृश्य कमरे के भीतर मौजूद है जिसमें अतिरिक्त आयाम हैं जिन्हें हम देख नहीं सकते। यहाँ गणित बहुत कठिन हो जाता है क्योंकि "गुरुत्वाकर्षण" अलग तरह से फैलता है।

2. समस्या: "हून" (Heun) समीकरण

इस ब्लैक होल के चारों ओर लहरें कैसे चलती हैं, यह जानने के लिए, भौतिक विज्ञानियों को एक बहुत ही कठिन गणितीय समस्या को हल करना पड़ता है जिसे डिफरेंशियल इक्वेशन (differential equation) कहा जाता है। दशकों से, इन लहरों के लिए समीकरण एक राक्षस जैसा था जिसे हून समीकरण (Heun equation) के रूप में जाना जाता है। यह एक पहेली को हल करने की कोशिश करने जैसा है जहाँ टुकड़े अपना आकार बदलते रहते हैं।

महत्वपूर्ण सफलता: लेखकों ने महसूस किया कि इस विशिष्ट 5D ब्लैक होल के लिए, वह राक्षस समीकरण एक थोड़े अधिक प्रबंधनीय संस्करण में सरल हो जाता है जिसे रिड्यूस्ड कॉन्फ्लुएंट हून समीकरण (Reduced Confluent Heun Equation) कहा जाता है।
जादुई कुंजी: उन्होंने इसे केवल हल नहीं किया; उन्होंने इसे एक "गुप्त कुंजी" का उपयोग करके अनलॉक किया जिसे नेक्रासोव-शाताश्वली (Nekrasov-Shatashvili - NS) फंक्शन कहा जाता है।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि एक ऐसी तिजोरी खोलने की कोशिश कर रहे हैं जिसमें दस लाख टंबलर (tumblers) हैं। वर्षों तक, लोगों ने ज़बरदस्ती (brute force) करने की कोशिश की। इन लेखकों ने महसूस किया कि वह वास्तव में एक विशिष्ट लॉक था जिसे गणित के बिल्कुल अलग क्षेत्र (सुपरसिमेट्रिक गेज थ्योरीज) के लिए डिज़ाइन किए गए एक सुंदर मास्टर की (NS फंक्शन) से खोला जा सकता है।

3. खोज: गुरुत्वाकर्षण "रमन स्कैटरिंग" (Gravitational "Raman Scattering")

भौतिकी में, "स्कैटरिंग" का अर्थ है कणों या तरंगों का एक-दूसरे से टकराकर बिखरना। "रमन स्कैटरिंग" आमतौर पर प्रकाश के रंग में बदलाव को संदर्भित करता है जब वह किसी अणु से टकराता है। यहाँ, वे गुरुत्वाकर्षण रमन स्कैटरिंग की बात कर रहे हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक धुंधली खिड़की पर टॉर्च की रोशनी डाल रहे हैं। कुछ प्रकाश वापस उछलता है, कुछ आर-पार जाता है, और कुछ अजीब दिशाओं में बिखर जाता है। लेखकों ने गणना की कि कैसे एक 5D ब्लैक होल इन गुरुत्वाकर्षण "प्रकाश किरणों" को बिखेरता है।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: उन्होंने एक "क्लोज्ड फॉर्मूला" (closed formula) निकाला। इसका मतलब है कि उन्हें केवल एक अनुमान नहीं मिला; उन्हें एक सटीक, पूर्ण रेसिपी मिली जो तरंग की किसी भी आवृत्ति (frequency) के लिए काम करती है, न कि केवल धीमी तरंगों के लिए।

4. मोड़: ब्लैक होल में "लोच" (Elasticity) होती है (लव नंबर्स)

यह सबसे आश्चर्यजनक हिस्सा है।

पुरानी धारणा: लंबे समय तक, भौतिक विज्ञानियों ने सोचा कि ब्लैक होल पूरी तरह से कठोर (rigid) होते हैं। यदि आप उन पर दबाव डालते हैं (एक गुरुत्वाकर्षण तरंग के साथ), तो वे बिल्कुल भी पिचकेंगे या खिंचेंगे नहीं। उनके "लव नंबर्स" (एक वस्तु के दबाव के तहत विकृत होने की माप) को शून्य माना जाता था।
- उपमा: ब्लैक होल को एक पूर्ण, अटूट स्टील की गेंद के रूप में सोचें। यदि आप इसे मारते हैं, तो यह डेंट नहीं होती।
नई खोज: 5D में, और यहाँ तक कि 4D में भी जब आप गतिशील (चलती हुई) तरंगों को देखते हैं, ब्लैक होल वास्तव में विकृत होते हैं। उनमें एक "लचीलापन" (squishiness) होता है।
- उपमा: पता चलता है कि स्टील की गेंद वास्तव में जेली से बनी है। जब एक लहर इससे टकराती है, तो जेली डगमगाती है।
"रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप रनिंग" (Renormalization Group Running): शोध पत्र दिखाता है कि यह "लचीलापन" एक स्थिर संख्या नहीं है। यह उस तरंग की ऊर्जा के आधार पर बदलता है जो इसे हिट करती है।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि जेली सख्त या नरम हो जाती है, यह इस पर निर्भर करता है कि आप इसे कितनी ज़ोर से छूते हैं। लेखकों ने गणना की कि तरंग की आवृत्ति बदलने पर यह "कठोरता" कैसे बदलती है।

5. विधि: "माइक्रो" और "मैक्रो" का मिलान करना

इसे सिद्ध करने के लिए, लेखों ने इफेक्टिव फील्ड थ्योरी (Effective Field Theory - EFT) नामक तकनीक का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप कार के इंजन को समझने की कोशिश कर रहे हैं।
- UV (अल्ट्रावॉयलेट) दृश्य: यह इंजन को व्यक्तिगत परमाणुओं और पिस्टन के सूक्ष्म स्तर तक देखना है (ब्लैक होल का पूर्ण, जटिल गणित)।
- IR (इन्फ्रारेड) दृश्य: यह कार को दूर से देखना है और उसे कुछ स्प्रिंग्स से जुड़ी एक सरल बिंदु कण (point particle) के रूप में मानना है (एक सरल मॉडल)।
मिलान: लेखकों ने अपने जटिल, सूक्ष्म समाधान (NS फंक्शन) को अपने सरल मॉडल के साथ पूरी तरह से मिलाया। यह देखकर कि दोनों मॉडल कहाँ सहमत होते हैं और कहाँ असहमत होते हैं, वे "लव नंबर्स" (स्प्रिंग्स की कठोरता) को निकाल सके।

"बड़ी तस्वीर" का सारांश

नया गणित: उन्होंने 5D ब्लैक होल के आसपास की लहरों के बारे में एक पुराने, उलझे हुए सवाल को हल करने के लिए एक शानदार, आधुनिक गणितीय उपकरण (NS फंक्शन्स) का उपयोग किया।
नई भौतिकी: उन्होंने साबित किया कि 5D ब्लैक होल पूरी तरह से कठोर नहीं होते हैं; उनमें एक "लचीलापन" (लव नंबर्स) होता है जो तरंग की आवृत्ति के आधार पर बदलता है।
सार्वभौमिक अनुप्रयोग: भले ही उन्होंने 5D ब्लैक होल का अध्ययन किया, लेकिन उनके द्वारा विकसित गणित हमें यह समझने में मदद करता है कि कोई भी ब्लैक होल (यहाँ तक कि वे भी जिन्हें हम LIGO के साथ पहचान सकते हैं) गुरुत्वाकर्षण तरंगों के साथ कैसे संपर्क करता है।

संक्षेप में: उन्होंने एक मास्टर की (master key) खोज ली है जो यह उजागर करती है कि 5D ब्लैक होल गुरुत्वाकर्षण तरंगों से टकराने पर कैसे "डगमगाते" हैं, यह साबित करते हुए कि ब्रह्मांड की सबसे चरम वस्तुओं में भी थोड़ा लचीलापन होता है, और उन्होंने इसे मापने के लिए सटीक फॉर्मूला भी दिया है।

यहाँ शोध पत्र "5-Dimensional Gravitational Raman Scattering: Scalar Wave Perturbations in Schwarzschild-Tangherlini Spacetime" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र उच्च-आयामी ब्लैक होल्स (BHs), विशेष रूप से 5D श्वाज़शिल्ड-टैंगरलिनी ब्लैक होल (STBH) में गुरुत्वाकर्षण तरंग विक्षोभ (gravitational wave perturbations) के लिए व्यवस्थित विश्लेषणात्मक समाधानों की कमी को संबोधित करता है।

संदर्भ: जबकि 4D सामान्य सापेक्षता (GR) ने प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत (EFT) और आधुनिक ब्लैक होल विक्षोभ सिद्धांत (BHPT) के माध्यम से टाइडल लव नंबर्स (TLNs) और गुरुत्वाकर्षण रमन स्कैटरिंग को समझने में महत्वपूर्ण प्रगति की है, उच्च-आयामी मामलों में यह क्षेत्र काफी हद तक अनछुआ रहा है।
चुनौती: 4D में, BHs के लिए स्थिर (static) TLNs स्वतः शून्य हो जाते हैं, जबकि गतिशील (dynamical) TLNs रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप (RG) रनिंग प्रदर्शित करते हैं। इसे 5D तक विस्तारित करना कठिन है क्योंकि सामान्य आवृत्तियों के लिए रेडियल विक्षोभ समीकरण मानक हाइपरजियोमेट्रिक समीकरणों में नहीं, बल्कि अधिक जटिल रूपों में परिवर्तित हो जाते हैं।
लक्ष्य: एक 5D STBH से होने वाले स्केलर वेव स्कैटरिंग के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म समाधान प्राप्त करना, गुरुत्वाकर्षण रमन स्कैटरिंग आयाम (amplitude) की गणना करना, और इसे EFT विवरण के साथ मैच करना ताकि 5D टाइडल लव नंबर्स (दोनों स्थिर और गतिशील) और उनके RG व्यवहार को निर्धारित किया जा सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक आधुनिक गणितीय भौतिकी तकनीकों और प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत (EFT) के संयोजन से एक हाइब्रिड दृष्टिकोण अपनाते हैं:

A. विश्लेषणात्मक समाधान (UV विवरण)

समीकरण न्यूनीकरण (Equation Reduction): लेखक 5D STBH बैकग्राउंड पर मासलेस स्केलर वेव समीकरण का विश्लेषण करते हैं। एक विशिष्ट चर परिवर्तन ( $z = (r/r_{s,5})^2$ ) पेश करके, वे प्रदर्शित करते हैं कि रेडियल विक्षोभ समीकरण रिड्यूस्ड कॉन्फ्लुएंट ह्यून समीकरण (RCHE) में परिवर्तित हो जाता है।
नेक्रासोव-शाताशविल (NS) फलन: वे आधुनिक BHPT का उपयोग करते हुए, RCHE के कनेक्शन गुणांकों को नेक्रासोव-शाताशविल (NS) फलनों के रूप में व्यक्त करते हैं। ये फलन, जो मूल रूप से 4D $\mathcal{N}=2$ सुपरसिमेट्रिक गेज थ्योरी और 2D CFTs (AGT पत्राचार के माध्यम से) से उत्पन्न हुए हैं, स्कैटरिंग आयामों के सटीक मूल्यांकन की अनुमति देते हैं।
सीमा शर्तें (Boundary Conditions): अध्ययन क्षितिज (horizon) पर एक व्यापक वर्ग के सेमी-रिफ्लेक्टिव बाउंड्री कंडीशंस (s-rbcs) पर विचार करता है, जो केवल शुद्ध अंतर्वाह (ingoing) स्थितियों के बजाय, इनकमिंग और आउटगोंग मोड्स ( $A$ और $B$ ) के सुपरपोजिशन द्वारा परिभाषित हैं। यह दोनों इलास्टिक फेज शिफ्ट और विसरणात्मक (dissipative) मापदंडों को निकालने की अनुमति देता है।
पोस्ट-मिन्कोव्स्कियन (PM) विस्तार: स्कैटरिंग आयाम को $(r_{s,5}\omega)$ की घातों में विस्तारित किया जाता है, जहाँ $r_{s,5}$ श्वाज़शिल्ड त्रिज्या है और $\omega$ आवृत्ति है।

B. प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत (IR विवरण)

वर्ल्डलाइन EFT: लेखक STBH के लिए एक वर्ल्डलाइन EFT का निर्माण करते हैं, जिसमें ब्लैक होल को मल्टीपोल मोमेंट्स वाले एक बिंदु कण के रूप में माना जाता है।
ऑपरेटर: वे एक्शन में टाइडल ऑपरेटरों को पेश करते हैं:
- स्थिर $\ell=1$ ऑपरेटर ( $c_{\phi,1}$ )।
- गतिशील $\ell=0$ ऑपरेटर ( $c_{\omega^2\phi,0}$ )।
- विसरणात्मक (dissipative) $\ell=0$ ऑपरेटर ( $c_{\omega\phi,0}$ )।
मैचिंग: वे $O(G^2)$ तक EFT में वन-लूप स्कैटरिंग आयाम की गणना करते हैं और इसे NS फलनों से प्राप्त UV गुरुत्वाकर्षण रमन आयाम के साथ मैच करते हैं। यह मैचिंग टाइडल ऑपरेटरों के बेयर (bare) गुणांकों को निर्धारित करती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

5D स्कैटरिंग के लिए प्रथम क्लोज्ड फॉर्मूला: यह शोध पत्र 5D पार्शियल वेव गुरुत्वाकर्षण रमन स्कैटरिंग आयाम के लिए पहला सटीक, क्लोज्ड-फॉर्म सूत्र व्युत्पन्न करता है जो सामान्य बाउंडरी कंडीशंस के लिए लागू होता है। यह पूरी तरह से रिड्यूस्ड कॉन्फ्लुएंट ह्यून समस्या के लिए NS फलन के रूप में व्यक्त किया गया है।
RCHE की पहचान: यह 5D स्केलर विक्षोभ और RCHE के बीच संबंध स्थापित करता है, जो भौतिक मापदंडों (आवृत्ति, कोणीय संवेग) और ह्यून समीकरण के गणितीय मापदंडों के बीच एक डिक्शनरी प्रदान करता है।
फैक्टरिज़ेशन (Factorization): व्युत्पन्न कनेक्शन फॉर्मूला "नियर-ज़ोन" (ब्लैक होल के निकट) और "फार-ज़ोन" (एसिम्प्टोटिक) भौतिकी के बीच एक स्पष्ट फैक्टरिज़ेशन प्रदर्शित करता है, जो 4D परिणामों के समान है, लेकिन 5D में न्यूटोनियन IR डाइवर्जेंस की अनुपस्थिति के कारण इसमें विशिष्ट सरलीकरण है।
पूर्ण लव नंबर मैचिंग: यह 5D टाइडल लव नंबर्स की पहली पूर्ण मैचिंग करता है:
- डायनामिकल $\ell=0$ ( $O(G^2)$ पर)।
- स्टैटिक $\ell=1$ ( $O(G^2)$ पर)।
- डिसिपेटिव $\ell=0$ ( $O(G^{3/2})$ पर)।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

A. स्कैटरिंग आयाम और फेज शिफ्ट

गुरुत्वाकर्षण रमन आयाम एसिम्प्टोटिक गुणांकों के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\eta_{5,\ell} e^{2i\delta_{5,\ell}} = e^{i\pi(2a+\ell+1)} \times \frac{1 + e^{-2i\pi a}K_5}{1 + e^{2i\pi \alpha}K_5} \left[ \dots \text{बाउंडरी कंडीशन टर्म्स} \dots \right]$
जहाँ $K_5$ गामा फंक्शन्स और NS फलन $F$ वाला 5D टाइडल रिस्पॉन्स फंक्शन है, और $a$ एक फ्लोकेट एक्सपोनेंट (रेनॉर्मलाइज्ड कोणीय संवेग के समान) है।

B. टाइडल लव नंबर्स (TLNs)

शून्य स्टैटिक इवन- $\ell$ : 4D और अन्य 5D स्टैटिक गणनाओं के अनुरूप, इवन- $\ell$ हार्मोनिक्स के लिए स्टैटिक लव नंबर्स शून्य होते हैं।
गैर-शून्य स्टैटिक ऑड- $\ell$ : स्टैटिक $\ell=1$ लव नंबर शून्य नहीं होता है।
रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप (RG) रनिंग: मैच किए गए लव नंबर्स स्थिरांक नहीं हैं; वे RG रनिंग व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। बेयर गुणांकों में UV डाइवर्जेंस ( $1/\epsilon_5$ $1/ ϵ_{5}$ ) होते हैं जिन्हें अवशोषित किया जाता है, जिससे परिमित (finite) रेनॉर्मलाइज्ड लव नंबर्स प्राप्त होते हैं जो रेनॉर्मलाइजेशन स्केल $\mu$ $μ$ पर निर्भर करते हैं।
- बीटा फंक्शन्स:
  $\mu \frac{d c_{\omega^2\phi,0}}{d\mu} = -2\pi^2 r_{s,5}^4$
  $\mu \frac{d c_{\phi,1}}{d\mu} = -\frac{1}{8}\pi^2 r_{s,5}^4$
- यह पुष्टि करता है कि उच्च आयामों में (और 4D में डायनामिकल) स्टैटिक लव नंबर्स भी स्केल-डिपेंडेंट होते हैं, जिसके लिए रेनॉर्मलाइजेशन प्रक्रिया की आवश्यकता होती है।

C. विसरणात्मक प्रभाव (Dissipative Effects)

विसर्णात्मक लव नंबर (अवशोषण से संबंधित) क्षितिज पर बाउंड्री कंडीशंस ( $A$ और $B$ ) के चयन पर स्पष्ट रूप से निर्भर करता है, जबकि अग्रणी-क्रम (leading-order) इलास्टिक लव नंबर्स एक प्रकार की सार्वभौमिकता (universality) दिखाते हैं।

D. आइकल (Eikonal) सीमा

उच्च-ऊर्जा सीमा ( $r_{s,5}\omega \gg 1, \ell \gg 1$ ) में, फ्लोकेट एक्सपोनेंट $a$ सरल हो जाता है, और स्कैटरिंग फेज शिफ्ट इम्पैक्ट पैरामीटर और 5D BH शैडो ( $b = 2r_{s,5}$ ) से संबंधित होता है।

5. महत्व (Significance)

सैद्धांतिक प्रगति: यह कार्य उच्च-ऊर्जा सैद्धांतिक भौतिकी (NS फलन, AGT पत्राचार) और उच्च-आयामी गुरुत्वाकर्षण घटना विज्ञान (phenomenology) के बीच के अंतर को पाटता है। यह 5D BHPT के लिए एक कठोर विश्लेषणात्मक ढांचा प्रदान करता है जो पहले अनुपलब्ध था।
TLNs की सार्वभौमिकता: यह इस धारणा को चुनौती देता है कि ब्लैक होल के लव नंबर्स हमेशा शून्य या तुच्छ होते हैं। यह सिद्ध करके कि 5D स्टैटिक $\ell=1$ लव नंबर्स गैर-शून्य हैं और ऊर्जा स्केल के साथ चलते हैं, यह सुझाव देता है कि टाइडल डिफॉर्मेबिलिटी उच्च-आयामी ब्लैक होल्स का एक मौलिक, स्केल-डिपेंडेंट गुण है।
भावी अनुप्रयोग: इस कार्यप्रणाली को अन्य स्पिन विक्षोभों ( $s=1, 2$ ) और जेनेरिक स्पेसटाइम आयामों तक विस्तारित किया जा सकता है। इसके परिणाम उच्च-आयामी गुरुत्वाकर्षण परिदृश्यों (जैसे स्ट्रिंग थ्योरी या ब्रानeworld मॉडल में) से संभावित संकेतों की व्याख्या करने और स्ट्रॉन्ग ग्रेविटी में टाइडल रिस्पॉन्स की सार्वभौमिकता को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं।
EFT सत्यापन: UV (सटीक BHPT) और IR (EFT) विवरणों का सफल मिलान उच्च-आयामी ब्लैक होल्स के लिए वर्ल्डलाइन EFT के उपयोग को मान्य करता है और उच्च-क्रम PM सुधारों की गणना के लिए एक टेम्पलेट प्रदान करता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र इस बात की समझ में एक बड़ी सफलता प्रदान करता है कि 5D ब्लैक होल बाहरी विक्षोभों के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करते हैं, जो गैर-तुच्छ, स्केल-डिपेंडेंट टाइडल गुणों को प्रकट करता है जो 4D GR में ज्ञात स्टैटिक शून्य परिणामों से मौलिक रूप से भिन्न हैं।