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Stability Analysis of Four $f(Q)$ Gravity Models : A Cosmological Review in the Background of Bianchi-I Anisotropy

यह शोध पत्र एक बियान्की-I (Bianchi-I) अनिसोट्रोपिक ब्रह्मांड के भीतर चार $f(Q)$ गुरुत्वाकर्षण मॉडलों का स्थिरता विश्लेषण करता है, जो विभिन्न कॉस्मोलॉजिकल फिक्स्ड पॉइंट्स की पहचान करता है जो प्रारंभिक मुद्रास्फीति से देर-रात के त्वरण (late-time acceleration) में संक्रमण की व्याख्या करते हैं और उन परिदृश्यों की भविष्यवाणी करते हैं जहाँ प्रारंभिक अनिसोट्रॉपी एक सजातीय, समदैशिक भविष्य में क्षय हो जाती है।

मूल लेखक: Subhajit Pal, Atanu Mukherjee, Ritabrata Biswas, Farook Rahaman

प्रकाशित 2026-02-03

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CC0 1.0

मूल लेखक: Subhajit Pal, Atanu Mukherjee, Ritabrata Biswas, Farook Rahaman

मूल पेपर CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) के तहत सार्वजनिक डोमेन को समर्पित है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, फैलता हुआ गुब्बारा है। दशकों से, वैज्ञानिक यह मानकर चल रहे हैं कि यह गुब्बारा पूरी तरह से गोल और चिकना है, जो हर दिशा में एक ही दर से फैल रहा है। यह हमारे ब्रह्मांड की मानक "रेसिपी" है, जिसे $\Lambda$ CDM मॉडल के रूप में जाना जाता है।

हालाँकि, हालिया मापों ने इस रेसिपी में दरारें दिखाई हैं। ब्रह्मांड अलग-अलग तरीकों से मापने पर अलग-अलग गति से फैलता हुआ प्रतीत होता है (जिसे "हबल टेंशन" कहा जाता है), और कॉस्मिक बैकग्राउंड रेडिएशन उत्तरी और दक्षिणी आकाशों के बीच अजीब तापमान अंतर दिखाता है। ऐसा लग रहा है जैसे गुब्बारा पूरी तरह से गोल नहीं है; शायद यह थोड़ा अंडे के आकार का है या इसमें कोई "पसंदीदा" दिशा है।

यह शोध पत्र इस रेसिपी को ठीक करने का एक नया तरीका तलाशता है। यह मानते हुए कि ब्रह्मांड पूरी तरह से चिकना था, लेखक पूछते हैं: क्या होगा यदि ब्रह्मांड शुरुआत में ऊबड़-खाबड़ और असमान रूप से फैला हुआ था, लेकिन गुरुत्वाकर्षण ने समय के साथ इसे चिकना कर दिया?

वे इस विचार का परीक्षण $f(Q)$ ग्रेविटी नामक एक सिद्धांत का उपयोग करके करते हैं। $f(Q)$ ग्रेविटी को समझने के लिए, गुरुत्वाकर्षण को केवल अंतरिक्ष के झुकने (जैसे ट्रैम्पोलिन पर बॉलिंग बॉल) के रूप में नहीं, बल्कि "नॉन-मेट्रिकिटी" (non-metricity) नामक एक गुण के रूप में सोचें। कल्पना करें कि अंतरिक्ष एक ग्रिड से बना है। मानक गुरुत्वाकर्षण में, ग्रिड खिंचता तो है लेकिन वर्गाकार रहता है। $f(Q)$ ग्रेविटी में, ग्रिड अधिक जटिल तरीकों से अपना आकार और आकार बदल सकता है, और यही परिवर्तन ब्रह्मांड के विस्तार को संचालित करता है।

लेखक इस विचार का परीक्षण करने के लिए इस सिद्धांत के चार अलग-अलग "फ्लेवर्स" का उपयोग करते हैं ताकि यह देखा जा सके कि एक ऊबड़-खाबड़, खिंचा हुआ ब्रह्मांड (जिसे बियांकी-I (Bianchi-I) ब्रह्मांड कहा जाता है) आज के चिकने, त्वरित ब्रह्मांड में कैसे विकसित हो सकता है।

यहाँ उनके चार "फ्लेवर्स" का विवरण और उनके निष्कर्ष दिए गए हैं:

1. पावर-लॉ मॉडल ( $f(Q) = mQ^n$ )

उपमा: इसे इस तरह सोचें कि गुरुत्वाकर्षण की "खिंचाव शक्ति" एक सरल घातांक (exponent) पर निर्भर करती है, जैसे $Q^2$ या $Q^{0.5}$ ।
उन्होंने क्या पाया:
- यदि घातांक बिल्कुल सही है (1 के करीब), तो यह मॉडल आइंस्टीन के जनरल रिलेटिविटी की तरह काम करता है।
- यदि घातांक अलग है, तो यह प्रारंभिक "इन्फ्लेशन" (ब्रह्मांड का तेजी से फूलना) और देर के समय के त्वरण (अब ब्रह्मांड का तेज होना) की व्याख्या कर सकता है।
- चुनौती: एक प्रसिद्ध प्रयोग (GW170817) ने सिद्ध किया कि गुरुत्वाकर्षण तरंगें प्रकाश की गति से चलती हैं। यह मॉडल केवल तभी काम करता है जब घातांक अत्यधिक 1 के करीब हो। यदि यह थोड़ा भी अलग है, तो गणित विफल हो जाता है या गलत गति से चलने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की भविष्यवाणी करता है।

2. एक्सपोनेंशियल मॉडल ( $f(Q) = e^{nQ}$ )

उपमा: यह एक ऐसी रेसिपी की तरह है जहाँ खिंचाव की शक्ति चक्रवृद्धि ब्याज की तरह तेजी से बढ़ती है।
उन्होंने क्या पाया:
- यह पेपर का सबसे सफल मॉडल है।
- यह स्वाभाविक रूप से एक ऊबड़-खाबड़, अनिसोट्रोपिक (विषमदैशिक) ब्रह्मांड से शुरू होता है लेकिन इसमें एक अंतर्निहित "स्मूथिंग मैकेनिज्म" (चिकना करने की प्रक्रिया) है। जैसे-जैसे ब्रह्मांड फैलता है, "ऊबड़-खाबड़पन" (शीयर) खत्म हो जाता है, और ब्रह्मांड पूरी तरह से गोल और चिकना हो जाता है।
- यह किसी रहस्यमय "डार्क एनर्जी" तरल की आवश्यकता के बिना वर्तमान त्वरण की व्याख्या करता है। अंतरिक्ष की ज्यामिति स्वयं यह कार्य करती है।
- यह सभी सुरक्षा जांचों (कोई "घोस्ट्स" या अस्थिरता नहीं) को पास करता है और बिना किसी विशेष समायोजन के गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए प्रकाश की गति की बाधा को पूरा करता है।

3. लॉगरिदमिक मॉडल ( $f(Q) = \alpha Q^2 + vQ^2 \log(Q)$ )

उपमा: यह रेसिपी एक "लॉगरिदमिक सुधार" जोड़ती है, जो एक विशेष मसाले की तरह है जो केवल तभी सक्रिय होता है जब ब्रह्मांड बहुत गर्म और सघन (प्रारंभिक समय) या बहुत ठंडा (देर का समय) होता है।
उन्होंने क्या पाया:
- यह मॉडल जटिल है और ब्रह्मांड के कई अलग-अलग संभावित पथ बनाता है। इसके कई अलग-अलग "स्थिर" अंत हो सकते हैं।
- यह प्रारंभिक इन्फ्लेशन और देर के त्वरण दोनों की व्याख्या कर सकता है।
- हालाँकि, यह बहुत संवेदनशील है। "मसाले" (पैरामीटर्स) में छोटे बदलाव अराजक परिणाम या अस्थिर ब्रह्मांड की ओर ले जा सकते हैं। इसे काम करने के लिए बहुत विशिष्ट स्थितियों की आवश्यकता होती है।

4. स्क्वायर-रूट लॉग मॉडल ( $f(Q) = \eta \sqrt{Q} \log(\dots)$ )

उपमा: यह एक हाइब्रिड रेसिपी है जो स्क्वायर रूट और लॉगरिदम को मिलाती है।
उन्होंने क्या पाया:
- एक्सपोनेंशियल मॉडल की तरह, यह भी बहुत अच्छा है जो ब्रह्मांड को चिकना करने में सक्षम है।
- यह भविष्यवाणी करता है कि ब्रह्मांड के "ऊबड़-खाबड़पन" (lumps) बहुत तेज़ी से (अत्यधिक कुशलता से) कम हो जाते हैं, जिससे पीछे एक पूरी तरह से चिकना, त्वरित ब्रह्मांड बचता है।
- यह एक अव्यवहारिक बिग बैंग से आज के चिकने ब्रह्मांड तक पहुँचने के तरीके को समझाने के लिए एक मजबूत दावेदार है।

बड़ी तस्वीर: इसका क्या अर्थ है?

लेखकों ने प्रत्येक चार मॉडलों के लिए ब्रह्मांड की "जीवन कहानी" को मैप करने के लिए डायनेमिकल सिस्टम्स (Dynamical Systems) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग किया। उन्होंने फिक्स्ड पॉइंट्स (Fixed Points) की तलाश की—ये वे "गंतव्य" हैं जहाँ ब्रह्मांड स्थिर हो जाता है।

अस्थिर बिंदु (Unstable Points): ये एक पहाड़ी की चोटी की तरह हैं। यदि ब्रह्मांड यहाँ से शुरू होता है, तो यह तेजी से नीचे लुढ़क जाता है। यह बिग बैंग या इन्फ्लेशन की शुरुआत का प्रतिनिधित्व करता है।
सैडल पॉइंट्स (Saddle Points): ये पहाड़ों के दर्रों की तरह हैं। ब्रह्मांड इनसे गुजर सकता है, जो मैटर-डोमिनेटेड एरा (जब गैलेक्सियाँ बनीं) का प्रतिनिधित्व करता है।
स्थिर बिंदु (Stable Points): ये एक घाटी के निचले हिस्से की तरह हैं। एक बार जब ब्रह्मांड यहाँ पहुँच जाता है, तो यह यहीं रहता है। यह हमारे वर्तमान त्वरित ब्रह्मांड का प्रतिनिधित्व करता है।

निष्कर्ष:
यह शोध पत्र तर्क देता है कि ब्रह्मांड को शुरुआत से ही पूरी तरह से चिकना होने की आवश्यकता नहीं है। यह ऊबड़-खाबड़ और खिंचा हुआ (अनिसोट्रोपिक) हो सकता है। $f(Q)$ ग्रेविटी का "जादू" (विशेष रूप से एक्सपोनेंशियल और स्क्वायर-रूट लॉग मॉडल) एक ब्रह्मांडीय प्रेस (cosmic iron) की तरह काम करता है, जो अरबों वर्षों में उन झुर्रियों को चिकना कर देता है जब तक कि ब्रह्मांड हर दिशा में एक जैसा न दिखने लगे।

परीक्षण किए गए चार मॉडलों में से, एक्सपोनेंशियल मॉडल ( $f(Q) = e^{nQ}$ ) विजेता है। यह सबसे मजबूत है, इसमें "फाइन-ट्यूनिंग" (बटन को बिल्कुल सही सेट करना) की कम आवश्यकता है, और यह स्वाभाविक रूप से समझाता है कि कैसे एक ऊबड़-खाबड़ प्रारंभिक ब्रह्मांड आज के चिकने, त्वरित ब्रह्मांड में बदल गया जिसमें हम रहते हैं।

तकनीकी सारांश: एक बिआन्की-I (Bianchi-I) अनिसोट्रोपिक ब्रह्मांड में चार $f(Q)$ गुरुत्वाकर्षण मॉडलों का स्थिरता विश्लेषण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र आधुनिक ब्रह्मांड विज्ञान के बढ़ते तनावों, विशेष रूप से हबल तनाव (Hubble tension) और कॉस्मिक माइक्रोवेव बैकग्राउंड (CMB) की विसंगतियों जैसे कि डिपोल मॉड्यूलेशन और क्वाड्रुपोल सप्रेशन को संबोधित करता है। ये अवलोकन संकेत देते हैं कि मानक $\Lambda$ CDM मॉडल, जो सामान्य सापेक्षता (GR) और कॉस्मोलॉजिकल प्रिंसिपल (समांगता और समदैशिकता) पर निर्भर है, अधूरा हो सकता है। लेखक उन संशोधित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों की जांच करने का प्रस्ताव करते हैं जो प्रारंभिक ब्रह्मांड में विषमता (anisotropy) की धारणा को शिथिल करते हैं। वे $f(Q)$ गुरुत्वाकर्षण पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जो एक सिमेट्रिक टेलीपैरल थ्योरी है जहाँ गुरुत्वाकर्षण वक्रता (curvature) या टॉर्सन (torsion) के बजाय नॉन-मेट्रिसिटी स्केलर $Q$ द्वारा संचालित होता है। विशिष्ट चुनौती यह निर्धारित करना है कि क्या $f(Q)$ मॉडल बिना किसी फाइन-ट्यूनिंग या विलक्षण तरल पदार्थों (exotic fluids) की आवश्यकता के, एक प्रारंभिक अनिसोट्रोपिक चरण (बिआन्की-I ब्रह्मांड) से देर-समय के आइसोट्रोपिक, त्वरित विस्तार की ओर संक्रमण को स्वाभाविक रूप से समझा सकते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक एक बिआन्की-I मेट्रिक (एक स्थानिक रूप से समांग लेकिन अनिसोट्रोपिक स्पेसटाइम) के भीतर चार विशिष्ट $f(Q)$ गुरुत्वाकर्षण मॉडलों के ब्रह्मांडीय विकास का अध्ययन करने के लिए डायनेमिकल सिस्टम विश्लेषण का उपयोग करते हैं।

ढांचा (Framework): अध्ययन मेट्रिक-एफ़ाइन ज्यामिति के भीतर $\Gamma_1$ कनेक्शन क्लास का उपयोग करता है जहाँ वक्रता और टॉर्सन शून्य होते हैं। नॉन-मेट्रिसिटी स्केलर को $Q = 6H^2 - \sigma^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $H$ औसत हबल पैरामीटर है और $\sigma$ शियर स्केलर है।
विमेशीय चर (Dimensionless Variables): फील्ड समीकरणों को विमेशीय चरों का उपयोग करके एक स्वायत्त डायनेमिकल सिस्टम में पुनर्गठित किया गया है:
- $x$ : पदार्थ का योगदान।
- $y$ : प्रभावी ज्यामितीय योगदान (जो डार्क एनर्जी के रूप में कार्य करता है)।
- $z$ : शियर योगदान (अनिसोट्रॉपी को मापने के लिए)।
  ये चर इस प्रतिबंध को पूरा करते हैं: $x + y + z = 1$ ।
विश्लेषित मॉडल: चार विशिष्ट कार्यात्मक रूपों का परीक्षण किया गया है:
- मॉडल I: पावर-लॉ, $f(Q) = mQ^n$ ।
- मॉडल II: एक्सपोनेंशियल, $f(Q) = \exp\{nQ\}$ ।
- मॉडल III: लॉगरिदमिक सुधार, $f(Q) = \alpha Q^2 + vQ^2 \log(Q)$ ।
- मॉडल IV: लॉगरिदमिक सुधार के साथ फ्रैक्शनल पावर, $f(Q) = \eta Q_0 \sqrt{\frac{Q}{Q_0}} \log\left(\frac{\lambda Q_0}{Q}\right)$ ।
स्थिरता और विचलन विश्लेषण (Stability and Perturbation Analysis): लेखक डायनेमिकल सिस्टम के क्रिटिकल पॉइंट्स (फिक्स्ड पॉइंट्स) की पहचान करते हैं, स्थिरता (स्टेबल नोड्स, सैडल पॉइंट्स, अनस्टेबल नोड्स) निर्धारित करने के लिए उनके आइगेनवैल्यू की गणना करते हैं, और नॉन-हाइपरबोलिक पॉइंट्स के लिए सेंटर मैनिफोल्ड थ्योरी लागू करते हैं। इसके अतिरिक्त, वे घोस्ट इंस्टेबिलिटी (ghost instabilities) की जांच करने के लिए एक पर्टर्बेटिव विश्लेषण करते हैं और स्केलर ( $c_s^2$ ) और टेंसर ( $c_T^2$ ) मोड की प्रसार गति की गणना करते हैं, और टेंसर गति की तुलना GW170817 बाधा ( $c_T \approx 1$ ) से करते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

डायनेमिकल सिस्टम फॉर्मूलेशन: शोध पत्र बिआन्की-I कॉस्मोलॉजी के लिए $f(Q)$ गुरुत्वाकर्षण के स्वायत्त डायनेमिकल समीकरणों को व्युत्पन्न करता है, जो मौजूदा फॉर्मूलेशन (जैसे मुर्तज़ा और चक्रवर्ती) के साथ निरंतरता की पुष्टि करता है जबकि विशिष्ट मॉडलों तक विस्तार करता है।
फिक्स्ड पॉइंट विश्लेषण:
- मॉडल I ( $mQ^n$ ): हाइपरबोलिक स्टेबल डी सिटर पॉइंट्स (देर-समय त्वरण) और पदार्थ-प्रधान युगों का प्रतिनिधित्व करने वाले सैडल पॉइंट्स की पहचान करता है। नॉन-हाइपरबोलिक पॉइंट्स अल्ट्रा-स्लो रोल इन्फ्लेशन का सुझाव देते हैं। स्थिरता के लिए $n > 1/2$ और ग्रेविटेशनल वेव बाधाओं को संतुष्ट करने के लिए $n \approx 1$ आवश्यक है।
- मॉडल II ( $\exp\{nQ\}$ ): स्थिर डी सिटर अट्रैक्टर्स प्रदर्शित करता है जहाँ ब्रह्मांड स्वाभाविक रूप से आइसोट्रोपाइज होता है ( $z \to 0$ )। इसमें एक पूर्णतः डिजेनरेट फिक्स्ड पॉइंट और एक सेंटर मैनिफोल्ड है, जो बाइफरकेशन थ्रेशोल्ड के पास नाजुक विकास का सुझाव देता है।
- मॉडल III ( $\alpha Q^2 + vQ^2 \log Q$ ): कई स्थिर नोड्स प्रकट करता है, जिसमें प्रारंभिक इन्फ्लेशन जैसी क्वासी-डी सिटर अवस्थाएं और देर-समय के डार्क एनर्जी प्रधान चरण शामिल हैं। विश्लेषण बाइफरकेशन-जैसे लक्षणों को दर्शाता है जहाँ मापदंडों में छोटे परिवर्तन फेज-स्पेस व्यवहार को बदल देते हैं।
- मॉडल IV (लॉगरिदमिक/फ्रैक्शनल): "सुपर-एफिशिएंट" आइसोट्रोपाइजेशन प्रदर्शित करता है। शियर $\sigma \propto a^{-4.5}$ के रूप में घटता है, जो मानक GR क्षय ( $a^{-3}$ ) की तुलना में काफी तेज है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि ब्रह्मांड वर्तमान समय तक अत्यधिक आइसोट्रोपिक हो जाता है, जो CMB बाधाओं के अनुरूप है।
पर्टर्बेटिव व्यवहार्यता (Perturbative Viability): अध्ययन भौतिक निरंतरता के लिए आवश्यक शर्तें स्थापित करता है:
- नो-घोस्ट स्थिति (No-Ghost Condition): $f_Q$ और संबंधित पदों के विशिष्ट चिन्हों की आवश्यकता होती है।
- टेंसर गति ( $c_T^2$ ): मॉडल I के लिए, $c_T^2 = 1/(2n-1)$ है, जिसका अर्थ है कि GW170817 सीमाओं को संतुष्ट करने के लिए $n$ को 1 के अत्यंत करीब होना चाहिए। मॉडल IV के लिए $c_T^2 \approx 1$ सुनिश्चित करने के लिए $\lambda$ की फाइन-ट्यूनिंग आवश्यक है।
- स्केलर गति ( $c_s^2$ ): $c_s^2 > 0$ और $c_s^2 \leq 1$ सुनिश्चित करने के लिए शर्तें व्युत्पन्न की गई हैं।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह एक अनिसोट्रोपिक बैकग्राउंड में विशिष्ट $f(Q)$ मॉडलों का व्यवस्थित तुलनात्मक विश्लेषण प्रदान करता है, जो मानक FLRW धारणा से आगे जाता है। इसका प्राथमिक महत्व यह प्रदर्शित करने में है कि:

स्वाभाविक आइसोट्रोपाइजेशन: $f(Q)$ गुरुत्वाकर्षण विलक्षण डार्क एनर्जी तरल पदार्थों को आमंत्रित किए बिना, एक अनिसोट्रोपिक बिआन्की-I ब्रह्मांड को देर के समय एक आइसोट्रोपिक, त्वरित डी सिटर अवस्था की ओर स्वाभाविक रूप से ले जा सकता है।
प्रारंभिक ब्रह्मांड गतिशीलता: ये मॉडल फिक्स्ड पॉइंट्स की गतिशीलता के माध्यम से प्रारंभिक इन्फ्लेशनरी चरणों (अल्ट्रा-स्लो रोल परिदृश्यों सहित) और पदार्थ-प्रधान युगों को समायोजित कर सकते हैं।
सैद्धांतिक व्यवहार्यता: विश्लेषण उन प्रतिबंधित मापदंड क्षेत्रों (parameter spaces) की पहचान करता है जहाँ मॉडल सैद्धांतिक रूप से व्यवहार्य (घोस्ट-फ्री, स्थिर और ग्रेविटेशनल वेव गति के अनुरूप) हैं। चारों में से, एक्सपोनेंशियल मॉडल (मॉडल II) को सबसे व्यापक अनुमत मापदंड स्थान के साथ सबसे मजबूत सैद्धांतिक व्यवहार के रूप में उजागर किया गया है।

संभावित सीमाएँ (Modest Caveats)
लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि उनका पर्टर्बेटिव विश्लेषण अन्वेषणात्मक है। वे विश्लेषण को प्रबंधनीय रखने के लिए एक आइसोट्रोपाइज्ड एंसेट ( $\psi_1 = \psi_2 = \psi_3$ ) का उपयोग करके स्केलर पर्टर्बेशन्स का उपचार करते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि बिआन्की-I स्पेसटाइम में पूर्णतः कठोर अनिसोट्रोपिक स्केलर पर्टर्बेशन्स का उपचार इस कार्य के दायरे से बाहर है। फलस्वरूप, व्युत्पन्न स्थिरता स्थितियाँ पूर्ण भौतिक निरंतरता के लिए आवश्यक तो हैं लेकिन पर्याप्त नहीं मानी जा सकतीं। यह अध्ययन जेनेरिक डायनेमिकल सिस्टम फॉर्मूलेशन और भविष्य के अधिक विस्तृत फेनोमेनोलॉजिकल या अवलोकनात्मक विश्लेषणों के बीच एक सेतु के रूप में कार्य करता है।

1. पावर-लॉ मॉडल (f(Q)=mQnf(Q) = mQ^nf(Q)=mQn)

2. एक्सपोनेंशियल मॉडल (f(Q)=enQf(Q) = e^{nQ}f(Q)=enQ)

3. लॉगरिदमिक मॉडल (f(Q)=αQ2+vQ2log⁡(Q)f(Q) = \alpha Q^2 + vQ^2 \log(Q)f(Q)=αQ2+vQ2log(Q))

4. स्क्वायर-रूट लॉग मॉडल (f(Q)=ηQlog⁡(… )f(Q) = \eta \sqrt{Q} \log(\dots)f(Q)=ηQ​log(…))

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