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Electron-molecule scattering via R-matrix variational algorithms on a quantum computer

यह शोध पत्र इलेक्ट्रॉन-अणु प्रकीर्णन (electron-molecule scattering) के लिए R-मैट्रिक्स आंतरिक-क्षेत्र समस्या (R-matrix inner-region problem) का पहला क्वांटम कम्प्यूटेशनल सूत्रीकरण प्रस्तुत करता है, जो हाइड्रोजन अणु के लिए पूर्ण हैमिल्टनियन स्पेक्ट्रम को पुनः प्राप्त करने और सीमा आयामों (boundary amplitudes) को एनकोड करने के लिए वेरिएशनल क्वांटम एल्गोरिदम का उपयोग करने की व्यवहार्यता को प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Dario Picozzi, Jonathan Tennyson, Vincent Graves, Jimena D. Gorfinkiel

प्रकाशित 2026-05-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Dario Picozzi, Jonathan Tennyson, Vincent Graves, Jimena D. Gorfinkiel

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक क्वांटम कंप्यूटर एक "स्कैटरिंग सिम्युलेटर" के रूप में

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या होगा जब एक छोटा बिलियर्ड बॉल (एक इलेक्ट्रॉन) एक जटिल, घूमते हुए टॉप (एक अणु/मॉलिक्यूल) से टकराता है। यह केवल एक साधारण उछाल नहीं है; इलेक्ट्रॉन फंस सकता है, टकराकर वापस आ सकता है, या टॉप के हिस्सों को तोड़ सकता है। वैज्ञानिक इसे इलेक्ट्रॉन-मॉलिक्यूल स्कैटरिंग कहते हैं।

एक सामान्य कंप्यूटर पर इस गणित को हल करना एक विशाल, 3D जिग्सॉ पहेली को हल करने जैसा है जहाँ पहेली के टुकड़े लगातार अपना आकार बदल रहे हैं। जैसे-जैसे अणु बड़े होते जाते हैं, यह पहेली इतनी विशाल हो जाती है कि दुनिया के सबसे तेज़ सुपरकंप्यूटर भी इसे पूरा करने में संघर्ष करते हैं।

यह शोध पत्र एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके इस पहेली को हल करने का एक नया तरीका पेश करता है। लेखकों ने एक विशिष्ट एल्गोरिदम (निर्देशों का एक सेट) बनाया है जो क्वांटम बिट्स (क्यूबिट्स) के अनूठे गुणों का उपयोग करके इन टक्करों को पारंपरिक तरीकों की तुलना में अधिक कुशलता से सिम्युलेट करता है।

मुख्य समस्या: "आंतरिक कमरा" बनाम "बाहरी दुनिया"

उनके समाधान को समझने के लिए, आपको यह समझना होगा कि वैज्ञानिक आमतौर पर इन टक्करों को कैसे देखते हैं। वे समस्या को दो क्षेत्रों में विभाजित करते हैं:

आंतरिक कमरा (The Inner Region): यह अणु के ठीक चारों ओर एक छोटा, भीड़भाड़ वाला गोला है। यहाँ इलेक्ट्रॉन और अणु के अपने इलेक्ट्रॉन आपस में टकरा रहे हैं, स्थान बदल रहे हैं और एक-दूसरे में उलझ रहे हैं। यह अराजक और जटिल है।
बाहरी दुनिया (The Outer Region): एक बार जब इलेक्ट्रॉन काफी दूर चला जाता है, तो वह केवल खाली अंतरिक्ष में उड़ रहा होता है। यह हिस्सा गणना करने में आसान है।

कठिन हिस्सा आंतरिक कमरा है। अतीत में, वैज्ञानिकों ने इस समस्या को हल करने के लिए R-मैट्रिक्स विधि (R-matrix method) नामक एक विधि का उपयोग किया था। R-मैट्रिक्स को एक "बाउंड्री रिपोर्ट कार्ड" के रूप में समझें। आपको यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि इलेक्ट्रॉन कमरे के अंदर हमेशा क्या कर रहा है; आपको बस यह जानने की आवश्यकता है कि जब वह बाहरी दुनिया के दरवाजे (सीमा) से टकराता है, तो उसका व्यवहार कैसा होता है।

समस्या यह है कि जटिल अणुओं के लिए इस "दरवाजे के व्यवहार" की गणना करना सामान्य कंप्यूटरों के लिए अविश्वसनीय रूप से महंगा है।

समाधान: एक क्वांटम "डांस फ्लोर"

लेखकों ने "आंतरिक कमरे" की समस्या को हल करने के लिए एक क्वांटम एल्गोरिदम बनाया है। उन्होंने इसे कैसे किया, यहाँ उपमाओं (analogies) के माध्यम से बताया गया है:

1. "एक सीट" का नियम (नंबर प्रोजेक्शन)

अराजक आंतरिक कमरे में, एक सख्त नियम है: एक समय में केवल एक ही इलेक्ट्रॉन "कंटीनम" (दरवाजे वाले क्षेत्र) में हो सकता है। यदि दो इलेक्ट्रॉन दरवाजे से गुजरने की कोशिश करते हैं, तो भौतिकी टूट जाएगी।

पेपर की ट्रिक: उन्होंने अपने क्वांटम सर्किट में एक विशेष "बाउंसर" बनाया है। यह बाउंसर (जिसे नंबर प्रोजक्शन ऑपरेटर कहा जाता है) क्वांटम अवस्था की जांच करता है और तुरंत किसी भी ऐसी स्थिति को बाहर कर देता है जहाँ दो इलेक्ट्रॉन दरवाजे में घुसने की कोशिश कर रहे हों। यह सुनिश्चित करता है कि सिमुलेशन केवल वैध, भौतिक स्थितियों को ही देखे।

2. "डांस फ्लोर" (द वेरिएशनल सर्किट)

उत्तर खोजने के लिए, क्वांटम कंप्यूटर को अलग-अलग तरीकों को आज़माना होगा कि इलेक्ट्रॉन खुद को कैसे व्यवस्थित कर सकते हैं।

उपमा: कल्पना करें कि एक डांस फ्लोर है जहाँ डांसर (इलेक्ट्रॉन) अपने पार्टनर बदल सकते हैं। क्वांटम कंप्यूटर "रोटेशन" (जैसे एक कोरियोग्राफर डांसरों को अपनी जगह बदलने के लिए कहता है) की एक श्रृंखला का उपयोग करता है ताकि सबसे कम ऊर्जा वाली स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला आदर्श नृत्य गठन (dance formation) पाया जा सके।
नवाचार: केवल एक सबसे अच्छे नृत्य (ग्राउंड स्टेट) को खोजने के बजाय, उन्हें कई अलग-अलग नृत्य संरचनाओं (एक्साइटेड स्टेट्स) को खोजने की आवश्यकता थी क्योंकि स्कैटरिंग में कई संभावनाएं शामिल होती हैं।
"सीक्वेंशियल" रणनीति: उन्होंने सीक्वेंशियल सबस्पेस ऑप्टिमाइज़ेशन (SSO) नामक एक चतुर तकनीक का उपयोग किया। कल्पना कीजिए कि आप डांसरों की एक पंक्ति को उनकी ऊंचाई के अनुसार व्यवस्थित कर रहे हैं। एक साथ सभी को मापने और भ्रमित होने के बजाय, आप सबसे छोटे डांसर को उसकी जगह पर स्थिर करते हैं, फिर अगले सबसे छोटे को ढूंढते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं। यह कंप्यूटर को "बैरन प्लेटो" (एक ऐसी स्थिति जहाँ कंप्यूटर फंस जाता है और सुधार नहीं कर पाता) में खो जाने से रोकता है। यह विधि अतिरिक्त जटिल गणित की आवश्यकता के बिना एक-एक करके सभी आवश्यक ऊर्जा अवस्थाओं को खोज लेती है।

3. "जादुई दरवाजा" (क्लेbsch-गोडन सिमेट्री)

इलेक्ट्रॉनों का एक गुण "स्पिन" (एक छोटे आंतरिक कंपास की तरह) होता है। जब वे टकराते हैं, तो उनके स्पिन को विशिष्ट तरीकों से मेल खाना चाहिए।

पेपर की ट्रिक: उन्होंने अपने सर्किट में एक निश्चित "गियर" (एक क्लेbsch-गोडन ब्लॉक) बनाया है जो स्वचालित रूप से इलेक्ट्रॉनों को सही ढंग से स्पिन करने के लिए मजबूर करता है। यह एक पूर्व-निर्धारित डांस मूव की तरह है जो सुनिश्चित करता है कि डांसर एक-दूसरे के पैरों पर न पड़ें। यह गणना की शक्ति को बहुत बचाता है क्योंकि कंप्यूटर को स्पिन नियमों का अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं होती; यह बस गियर का पालन करता है।

परिणाम: उन्होंने क्या हासिल किया?

टीम ने एक सरल अणु: हाइड्रोजन (H₂) पर अपने तरीके का परीक्षण किया।

परीक्षण: उन्होंने एक "नॉइज़लेस" क्लासिकल सिम्युलेटर (एक आदर्श कंप्यूटर जो वास्तविक दुनिया की त्रुटियों के बिना एक क्वांटम मशीन की नकल करता है) पर सिमुलेशन चलाया।
परिणाम: वे टक्कर का वर्णन करने के लिए आवश्यक सभी ऊर्जा अवस्थाओं को सफलतापूर्वक खोज पाए।
बोनस: सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि उनके क्वांटम "डांस फ्लोर" की अंतिम सेटिंग्स (रोटेशन के कोण) ने उन्हें सीधे "दरवाजे का रिपोर्ट कार्ड" (R-मैट्रिक्स बाउंड्री एम्प्लीट्यूड) बता दिया।
- यह क्यों मायने रखता है: आमतौर पर, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए आपको अतिरिक्त काम करना पड़ता है। यहाँ, उत्तर समाधान के भीतर ही समाहित है। एक बार जब क्वांटम कंप्यूटर अपना नृत्य समाप्त कर लेता है, तो आप बस कोणों को पढ़ते हैं, और आपके पास वास्तविक दुनिया में इलेक्ट्रॉन कैसे बिखरेगा, इसका अनुमान लगाने के लिए आवश्यक डेटा होता है।

सारांश

यह शोध पत्र पहली बार है जब किसी ने सफलतापूर्वक इलेक्ट्रॉन-मॉलिक्यूल टकराव के "आंतरिक कमरे" को क्वांटम कंप्यूटर पर मैप किया है।

उन्होंने केवल टकराव का अनुकरण नहीं किया; उन्होंने एक विशेष क्वांटम टूल बनाया जो:

इस नियम को लागू करता है कि केवल एक ही इलेक्ट्रॉन "दरवाजे" में हो सकता है।
एक साथ कई ऊर्जा अवस्थाओं को बिना फंसे खोजता है।
इलेक्ट्रॉनों के जटिल "स्पिन" नियमों को स्वचालित रूप से संभालता है।
सीधे वह विशिष्ट डेटा आउटपुट करता है जिसकी वैज्ञानिकों को वास्तविक दुनिया के टकरावों की भविष्यवाणी करने के लिए आवश्यकता होती है।

यह एक 'प्रूफ-ऑफ-कॉन्सेप्ट' है जो दिखाता है कि क्वांटम कंप्यूटर एक दिन प्लाज्मा प्रोसेसिंग और रासायनिक प्रतिक्रियाओं की उन "असंभव" गणितीय समस्याओं को हल कर सकते हैं जो आज के सुपरकंप्यूटरों के लिए बहुत कठिन हैं।

तकनीकी सारांश: क्वांटम कंप्यूटर पर R-मैट्रिक्स वेरिएशनल एल्गोरिदम के माध्यम से इलेक्ट्रॉन-अणु प्रकीर्णन

समस्या विवरण
इलेक्ट्रॉन-अणु टकराव प्राकृतिक प्रक्रियाओं और प्लाज्मा प्रसंस्करण जैसी प्रौद्योगिकियों के लिए मौलिक हैं। जबकि R-मैट्रिक्स विधि इन समस्याओं के लिए एक मानक कम्प्यूटेशनल रणनीति है, जटिल प्रणालियों पर लागू होने पर यह महत्वपूर्ण स्केलिंग चुनौतियों का सामना करती है। 'इनर-रीजन' (आंतरिक क्षेत्र) की समस्या, जिसमें एक सीमित आयतन के भीतर इलेक्ट्रॉन सहसंबंध (correlation) और विनिमय (exchange) को पकड़ने के लिए कई-इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन को हल किया जाता है, इलेक्ट्रॉनों की संख्या और आधार सेट (basis set) के आकार के साथ खराब रूप से स्केल करती है। पारंपरिक दृष्टिकोण अक्सर अनुमानित विधियों पर निर्भर करते हैं या उच्च-सटीक समाधानों के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से निषेधात्मक हो जाते हैं। इसके अलावा, मानक क्वांटम केमिस्ट्री वेरिएशनल एल्गोरिदम आमतौर पर ग्राउंड स्टेट को लक्षित करते हैं, जबकि R-matrix प्रकीर्णन के लिए एक विशिष्ट समरूपता क्षेत्र (symmetry sector) के भीतर कई आइजनस्टेट्स (जैसे उत्तेजित छद्म अवस्थाएं और निरंतरता-प्रकार की अवस्थाएं) का एक साथ निर्धारण करना आवश्यक होता है ताकि प्रकीर्णन सीमा स्थितियों (scattering boundary conditions) को परिभाषित किया जा सके।

कार्यप्रणाली
लेखक एक क्वांटम कम्प्यूटेशनल ढांचे का प्रस्ताव करते हैं जो Variational Quantum Eigensolver (VQE) और इसके विविध रूपों का उपयोग करके R-मैट्रिक्स इनर-रीजन समस्या को क्वबिट हैमिल्टनियन पर मैप करता है। इस दृष्टिकोण में कई प्रमुख घटक शामिल हैं:

हैमिल्टनियन मैपिंग और बाधाएं: इनर-रीजन के $(N+1)$ -इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन को जॉर्डन-विग्नर ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से क्वबिट्स पर मैप किया गया है। एक महत्वपूर्ण भौतिक बाधा लागू की गई है: किसी भी निरंतरता कक्षिका (continuum orbital) में अधिकतम एक इलेक्ट्रॉन ही रह सकता है। इसे संख्या-प्रोजेक्शन ऑपरेटर फॉर्मूलेशन के माध्यम से वेरिएशनल एंसेटल (ansatz) के भीतर संरचनात्मक रूप से लागू किया गया है, जो यह सुनिश्चित करता है कि तैयार अवस्था $|\psi(\theta)\rangle$ इस शर्त को पूरा करती है कि $P|\psi(\theta)\rangle = |\psi(\theta)\rangle$ , जहाँ $P$ वैध अधिभोग विन्यास (occupancy configurations) पर प्रोजेक्ट करता है।
सर्किट आर्किटेक्चर: यह एल्गोरिदम एक तीन-रजिस्टर प्रणाली का उपयोग करता है: एक टार्गेट रजिस्टर ( $t$ $t$ ), एक निरंतरता रजिस्टर ( $c$ $c$ ), और एक सेलेक्टर रजिस्टर ( $a$ $a$ )। सर्किट ऐसे परीक्षण अवस्थाओं को तैयार करता है जो एंटीसिमेट्राइज्ड चैनल फंक्शन्स और बाउंड ( $L^2$ $L^{2}$ ) विन्यासों के एक ट्रंकेटेड आधार (truncated basis) में फैली होती हैं।
- स्पिन समरूपता (Spin Symmetry): एंसेटल कुल स्पिन समरूपता ( $S, M$ ) को लागू करने के लिए फिक्स्ड क्लेबश-गोर्डन (CG) रोटेशन (जिसे दो-क्वबिट गिवेंस रोटेशन के रूप में लागू किया गया है) का उपयोग करता है, जो आने वाले इलेक्ट्रॉन स्पिन के साथ लक्ष्य स्पिन को जोड़ता है।
- सीक्वेंशियल सबस्पेस ऑप्टिमाइजेशन (SSO): पूर्ण स्पेक्ट्रम आइजनस्टेट्स को प्राप्त करने के लिए, बिना सबस्पेस डायगोनलाइजेशन या पेनल्टी टर्म्स के ओवरहेड के, लेखक एक SSO प्रोटोकॉल का उपयोग करते हैं। इसमें $SO(k) $रोटेशन को दो-क्वबिट गिवेंस रोटेशन के कैस्केड में विघटित करना शामिल है। अनुकूलन क्रमिक रूप से होता है: सबसे पहले निम्नतम आइजनस्टेट को अनुकूलित किया जाता है, और उसके पैरामीटर्स को स्थिर कर दिया जाता है। इसके बाद के राउंड्स अगले आइजनस्टेट को उसके ऑर्थोगोनल कॉम्प्लीमेंट के भीतर अनुकूलित करते हैं, जो प्रभावी रूप से हैमिल्टनियन को एक-एक करके ब्लॉक-डायगोनलाइज करता है। यह एक सरल हैमिल्टनियन एक्सपेक्टेशन वैल्यू$ \langle H \rangle $के उपयोग की अनुमति देता है, जिससे$ H^2$ जैसे वर्गाकार हैमिल्टनियन या ओवरलैप मापन की आवश्यकता नहीं होती।
रीडआउट और बाउंड्री एम्प्लीट्यूड: सिस्टम रजिस्टर पर एक्सपेक्टेशन वैल्यूज का अनुमान लगाने के लिए एक कोहेरेंट समेशन प्रोटोकॉल पेश किया गया है, जो सेलेक्टर रजिस्टर को पोस्ट-सेलेक्ट करके अलग-अलग एक्सपेक्टेशन वैल्यूज की संख्या को कम करता है। महत्वपूर्ण रूप से, इष्टतम सर्किट पैरामीटर्स वेवफंक्शन के विस्तार गुणांकों ( $a_{ijk}$ ) को सीधे एनकोड करते हैं। इन गुणांकों का उपयोग R-मैट्रिक्स बाउंड्री एम्प्लीट्यूड ( $w_{ik}(a)$ ) की गणना करने के लिए किया जाता है, जो बाहरी क्षेत्र प्रकीर्णन गणना के लिए मिलान की स्थितियां (matching conditions) प्रदान करते हैं।

प्रमुख योगदान

R-मैट्रिक्स इनर रीजन का प्रथम क्वांटम फॉर्मूलेशन: लेखकों की जानकारी के अनुसार, यह इलेक्ट्रॉन-अणु प्रकीर्णन के लिए क्वांटम एल्गोरिदम का पहला अनुप्रयोग है और क्वांटम कंप्यूटर पर R-मैट्रिक्स इनर-रीजन समस्या का पहला फॉर्मूलेशन है।
समरूपता-प्रवर्तक सर्किट (Symmetry-Enforcing Circuit): यह कार्य एक वेरिएशनल स्कैटरिंग एंसेटल के भीतर पहले क्लेबश-गोर्डन समरूपता-प्रवर्तक सर्किट के उपयोग को प्रस्तुत करता है, जो स्पिन समरूपता बनाए रखने के लिए फिक्स्ड गिवेंस ब्लॉक्स का उपयोग करता है।
कुशल मल्टी-स्टेट ऑप्टिमाइजेशन: प्रस्तावित SSO प्रोटोकॉल मौजूदा विधियों जैसे SSVQE और MCVQE से भिन्न है क्योंकि यह पेनल्टी टर्म्स या ओवरलैप मापन के बजाय सर्किट संरचना के माध्यम से ऑर्थोगोनैलिटी लागू करता है। यह ऑफ-डायगोनल हैमिल्टनियन तत्वों के मापन या क्लासिकल सबस्पेस डायगोनलाइजेशन की आवश्यकता को समाप्त करता है, जिससे कॉस्ट फंक्शन सरल $\langle H \rangle$ मूल्यांकन तक सीमित हो जाता है।
प्रकीर्णन डेटा का सीधा निष्कर्षण: विधि प्रदर्शित करती है कि इष्टतम वेरिएशनल पैरामीटर्स सीधे R-मैट्रिक्स बाउंड्री एम्प्लीट्यूड प्रदान करते हैं, जिससे प्रकीर्णन अवलोकनीय (observables) निकालने के लिए अतिरिक्त पोस्ट-प्रोसेसिंग की आवश्यकता नहीं होती।

परिणाम
एल्गोरिदम का प्रदर्शन हाइड्रोजन अणु ( $H_2$ ) से इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन की एक मॉडल समस्या पर एक नॉइलेस क्लासिकल सिम्युलेटर का उपयोग करके किया गया।

सिस्टम सेटअप: सिमुलेशन ने एक मिनिमल बेसिस (STO-3G) के साथ $N=2$ टार्गेट इलेक्ट्रॉन्स का उपयोग किया, जिसके परिणामस्वरूप $S=1/1, M=-1/2, B_{1u}$ समरूपता क्षेत्र के भीतर $k=5$ का ट्रायल स्पेस प्राप्त हुआ।
प्रदर्शन: SSO दृष्टिकोण ने $10^{-7}$ Hartree के ऊर्जा त्रुटि के भीतर पांच आइजनस्टेट्स के पूर्ण स्पेक्ट्रम को सफलतापूर्वक प्राप्त किया।
संसाधन दक्षता: SSO विधि के लिए 92 पाउली टर्म्स वाले 573 कॉस्ट फंक्शन इवैल्यूएशन की आवश्यकता थी। इसके विपरीत, एक साथ अनुकूलन (जो वेरिएंस के योग को कम करता है) के लिए 1,080 पाउली टर्म्स के 13,345 इवैल्यूएशन की आवश्यकता थी, और एक सिंगल-स्टेट फोल्डेड-हैमिल्टनियन दृष्टिकोण के लिए 1,397 इवैल्यूएशन की आवश्यकता थी।
सर्किट डेप्थ: इस मिनिमल उदाहरण के लिए अनऑप्टिमाइज्ड सर्किट ने 7 क्वबिट्स, 217 CNOT गेट्स और 314 की डेप्थ का उपयोग किया।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र इलेक्ट्रॉन-अणु प्रकीर्णन के लिए क्वांटम हार्डवेयर लागू करने हेतु एक ठोस मार्ग प्रदान करने का दावा करता है, जो विशेष रूप से R-मैट्रिक्स विधि की 'इनर-रीजन' बाधा को संबोधित करता है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका दृष्टिकोण:

बड़े हैमिल्टनियन मैट्रिसेस को स्टोर करने के बजाय क्वबिट्स पर ट्रायल स्टेट्स का प्रतिनिधित्व करके भंडारण की समस्या से बचता है।
अनुक्रमिक अनुकूलन और वर्गाकार-हैमिल्टनियन अवलोकनीयों से बचकर मापन ओवरहेड को कम करता है।
एक "प्रॉब्लम-नेटिव" आउटपुट प्रदान करता है जहाँ सर्किट पैरामीटर्स सीधे भौतिक प्रकीर्णन मात्राओं (बाउंड्री एम्प्लीट्यूड) से मैप होते हैं।

लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि वे वर्तमान में सर्वोत्तम क्लासिकल इटरेटिव विधियों पर सिद्ध 'एसिम्प्टोटिक क्वांटम एडवांटेज' का दावा नहीं करते हैं, फिर भी यह विधि एक व्यवहार्य हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल प्रतिमान (paradigm) प्रदान करती है। वे इस बात पर प्रकाश डालते हैं कि यह दृष्टिकोण विशेष रूप से तब आशाजनक है जब ट्रायल-स्पेस का आयाम बढ़ता है, जहाँ क्लासिकल डायगोनलाइजेशन $O(k^3)$ के रूप में स्केल करता है, जबकि क्वांटम दृष्टिकोण पैरामीटर काउंट और डेप्थ को $O(k^2)$ के रूप में स्केल करता है। यह कार्य भविष्य में बड़े लक्ष्यों और अधिक परिष्कृत निरंतरता (continuum) निरूपणों के विस्तार के लिए आधार तैयार करता है, जो संभावित रूप से स्थापित प्रकीर्णन कोड जैसे UKRmol+ में क्वांटम प्रोसेसर को एकीकृत कर सकता है।