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Witnessing nonlocality in quantum network of continuous-variable systems by generalized quasiprobability functions

यह शोधपत्र निरंतर-चर प्रणालियों (continuous-variable systems) में नेटवर्क गैर-स्थानीयता (network nonlocality) को प्रभावी ढंग से प्रमाणित करने के लिए गैर-गॉसियन मापन (non-Gaussian measurements) और गैर-रेखीय बेल-प्रकार की असमानताओं (nonlinear Bell-type inequalities) का उपयोग करते हुए एक सामान्यीकृत अर्ध-संभाव्यता-आधारित विधि (generalized quasiprobability-based method) प्रस्तावित करता है, जो एंटैंगलमेंट स्वैपिंग सहित विभिन्न नेटवर्क टोपोलॉजी के लिए गॉसियन मापन की सीमाओं को दूर करता है।

मूल लेखक: Taotao Yan, Jinchuan Hou, Xiaofei Qi, Kan He

प्रकाशित 2026-03-31

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Taotao Yan, Jinchuan Hou, Xiaofei Qi, Kan He

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए एक ऐसी दुनिया की जहाँ सूचना केवल बिट्स (0 और 1) नहीं बल्कि निरंतर तरंगें (continuous waves) हैं, जैसे किसी नदी का सुचारू प्रवाह या गिटार के तार का कंपन। क्वांटम दुनिया में, इसे कंटीन्यूअस-वेरिएबल (CV) सिस्टम कहा जाता है। वैज्ञानिक इन प्रणालियों को पसंद करते हैं क्योंकि उन्हें उनके "टुकड़ों वाले" (discrete) समकक्षों की तुलना में लैब में बनाना आसान होता है। वे गौसियन अवस्थाओं (Gaussian states) का उपयोग करते हैं, जो तालाब पर उठने वाली बिल्कुल चिकनी और अनुमानित लहरों की तरह होती हैं।

हालाँकि, इसमें एक पेंच है। ये चिकनी लहरें इतनी सुव्यवस्थित होती हैं कि वे अपने वास्तविक स्वरूप को "छिपा" सकती हैं। यदि आप मानक उपकरणों (गौसियन माप) के साथ उन्हें देखने की कोशिश करते हैं, तो वे केवल सामान्य, स्थानीय नियमों का पालन करती हुई प्रतीत होती हैं। वे साधारण होने का ढोंग करती हैं। लेकिन गहराई में, वे एंटैंगल्ड (entangled) हो सकती हैं—यानी आपस में जुड़ी हो सकती हैं, एक ऐसे रहस्यमयी तरीके से जिसे आइंस्टीन ने "स्पूकी एक्शन एट अ डिस्टेंस" (दूरी पर रहस्यमयी क्रिया) कहा था।

यह शोध पत्र इन "ढोंगी" अवस्थाओं को पकड़ने और यह सिद्ध करने के एक नए, चतुर तरीके के बारे में है कि वे वास्तव में कुछ जादुई कर रही हैं।

समस्या: "अदृश्य" भूत

एक गौसियन अवस्था को एक गिरगिट के रूप में सोचें। यदि आप उसे एक मानक कैमरे (गौसियन माप) से देखते हैं, तो वह एक सामान्य हरी पत्ती की तरह दिखता है। आप यह नहीं बता सकते कि वह वास्तव में एक गिरगिट है जो अपना रहस्य छिपा रहा है। गिरगिट को देखने के लिए, आपको एक विशेष फिल्टर या एक अलग प्रकार की रोशनी की आवश्यकता होगी।

अतीत में, वैज्ञानिकों को पता था कि यदि वे एक विशेष "गैर-गौसियन" फिल्टर का उपयोग करते हैं, तो वे कभी-कभी गिरगिट को देख सकते थे। लेकिन जब आप इन गिरगिटों को एक जटिल नेटवर्क (जैसे दोस्तों की एक श्रृंखला जो नोट्स पास कर रहे हों, या एक स्टार-शेप ग्रुप चैट) में डालते हैं, तो गणित अविश्वसनीय रूप से जटिल हो जाता था। कोई सरल नियम पुस्तिका (inequality) नहीं थी जो यह बता सके कि पूरा नेटवर्क "रहस्यमयी" व्यवहार कर रहा है या केवल सामान्य।

समाधान: "सुप्रिमम स्ट्रैटेजी" (Supremum Strategy)

इस शोध पत्र के लेखकों ने एक नई नियम पुस्तिका (एक नॉनलीनियर बेल-टाइप इनइक्वेलिटी) का आविष्कार किया है। उन्होंने इसे सरल उपमाओं का उपयोग करके कैसे किया, यहाँ दिया गया है:

विशेष फिल्टर (सामान्यीकृत क्वैसीप्रोबेबिलिटी फंक्शन्स):
लहरों को केवल देखने के बजाय, उन्होंने एक विशेष "लेंस" बनाया जिसे सामान्यीकृत क्वैसीप्रोबेबिलिटी फंक्शन कहा जाता है। इस लेंस की कल्पना उन चश्मों के रूप में करें जो तरंग के "नकारात्मक" (negative) हिस्सों को देख सकते हैं (जो शास्त्रीय भौतिकी में असंभव हैं लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में सामान्य हैं)। जब आप इन चश्मों के माध्यम से देखते हैं, तो "गिरगिट" (गौसियन अवस्था) अब छिप नहीं पाता। यह अपने वास्तविक, एंटैंगल्ड रंगों को प्रकट करता है।
"सुप्रिमम स्ट्रैटेजी" (सर्वोच्च रणनीति):
लेखकों ने महसूस किया कि केवल एक बार देखना पर्याप्त नहीं है। आपको हर संभव कोण से देखना होगा ताकि यह देखा जा सके कि गिरगिट कहीं फिसल तो नहीं गया। वे इसे सुप्रिमम स्ट्रैटेजी कहते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक भूलभुलैया में छिपे खजाने को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। केवल एक रास्ता चुनने के बजाय, आप उस परम सर्वोत्तम रास्ते की गणना करते हैं जो आप खजाना खोजने के लिए ले सकते हैं। यदि सबसे अच्छा संभावित रास्ता भी खजाना खोजने में विफल रहता है, तो आप निश्चित रूप से जानते हैं कि खजाना वहाँ नहीं है।
उनके गणित में, वे उस "अधिकतम संभव स्कोर" की गणना करते हैं जो एक नेटवर्क प्राप्त कर सकता था यदि वह सामान्य व्यवहार कर रहा होता। यदि वास्तविक प्रयोग इस अधिकतम से अधिक स्कोर करता है, तो नेटवर्क निश्चित रूप से "नॉन-लोकल" (रहस्यमयी) है।

नेटवर्क परीक्षण:
उन्होंने इस नियम पुस्तिका का विभिन्न नेटवर्क आकृतियों पर परीक्षण किया:

चेन नेटवर्क (Chain Networks): जैसे लोगों की एक पंक्ति जो एक गुप्त संदेश पास कर रहे हों।
स्टार नेटवर्क (Star Networks): जैसे एक केंद्रीय केंद्र जो कई उपग्रहों को जोड़ता है।
ट्री नेटवर्क (Tree Networks): जैसे एक पारिवारिक वृक्ष जो शाखाओं में बँटा हुआ है।
साइक्लिक नेटवर्क (Cyclic Networks): जैसे हाथ पकड़े हुए दोस्तों का एक घेरा।

परिणाम: रहस्यमयी क्रिया को पकड़ना

यह शोध पत्र दिखाता है कि यह नया तरीका खूबसूरती से काम करता है।

शुद्ध अवस्थाएँ (Pure States): यदि नेटवर्क "शुद्ध" गौसियन अवस्थाओं (बिल्कुल चिकनी लहरों) का उपयोग करता है, तो एक विशिष्ट सेटिंग (पैरामीटर $s = -1$ ) के साथ विशेष चश्मा हमेशा यह सिद्ध कर सकता है कि वे एंटैंगल्ड हैं। यह एक सार्वभौमिक कुंजी की तरह है जो हर दरवाजा खोल देती है।
मिश्रित अवस्थाएँ (Mixed States): यदि अवस्थाएँ "शोरयुक्त" (noisy) या मिश्रित हैं (जैसे हवा से विचलित लहरें), तो यह कठिन होता है। लेकिन लेखकों ने पाया कि यदि शोर बहुत अधिक नहीं है, तो भी यह तरीका काम करता है। उन्होंने सटीक रूप से मानचित्रित किया कि सिस्टम कितना शोर सहन कर सकता है इससे पहले कि "रहस्यमयता" गायब हो जाए।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह केवल अमूर्त गणित नहीं है। यह भविष्य के लिए एक रेसिपी है।

वास्तविक प्रयोगशालाएँ: लेखक बताते हैं कि इस "विशेष लेंस" के लिए विज्ञान-कथा जैसी तकनीक की आवश्यकता नहीं है। इसे मानक लैब उपकरणों के साथ बनाया जा सकता है: एक बीम स्प्लिटर (जो प्रकाश को विभाजित करता है) और एक फोटोडिटेक्टर (जो फोटॉन गिनता है)।
क्वांटम इंटरनेट: जैसे-जैसे हम एक भविष्य के क्वांटम इंटरनेट का निर्माण कर रहे हैं, हम संभवतः इन कंटीन्यूअस-वेरिएबल प्रणालियों का उपयोग करेंगे क्योंकि वे कुशल हैं। यह शोध पत्र इंजीनियरों को यह सत्यापित करने का एक तरीका देता है कि उनके क्वांटम नेटवर्क वास्तव में इच्छित रूप से काम कर रहे हैं या केवल शास्त्रीय व्यवहार की नकल कर रहे हैं।

संक्षेप में

लेखकों ने एक कठिन समस्या (यह सिद्ध करना कि चिकनी, निरंतर क्वांटम तरंगें वास्तव में रहस्यमयी तरीके से जुड़ी हुई हैं) को हल किया और ऐसा करके किया:

छिपे हुए क्वांटम गुणों को देखने के लिए एक विशेष "लेंस" का आविष्कार किया।
नेटवर्क द्वारा धोखाधड़ी करने की जाँच करने के लिए एक "अधिकतम स्कोर" का नियम बनाया।
यह सिद्ध किया कि यह चेन से लेकर स्टार तक, सभी प्रकार के नेटवर्क आकृतियों के लिए काम करता है।

उन्होंने अनिवार्य रूप से एक क्वांटम झूठ पकड़ने वाला यंत्र (lie detector) दिया है जो भविष्य के क्वांटम इंटरनेट की चिकनी, निरंतर तरंगों पर काम करता है।

यहाँ शोध पत्र "Witnessing nonlocality in quantum network of continuous-variable systems by generalized quasiprobability functions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र कंटीन्यूअस-वैरिएबल (CV) प्रणालियों के भीतर क्वांटम नेटवर्क नॉनलोकैलिटी (nonlocality) के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण अंतराल को संबोधित करता है।

गौसियन मापन की सीमा (The Limitation of Gaussian Measurements): जबकि गौसियन अवस्थाएँ (Gaussian states) अपने निर्माण और हेरफेर की सुगमता के कारण CV क्वांटम सूचना में मानक संसाधन हैं, उनमें एक धनात्मक-निश्चित (positive-definite) विग्नर फंक्शन होता है। फलस्वरूप, वे मानक गौसियन मापन का उपयोग करके बेल नॉनलोकैलिटी (Bell nonlocality) प्रदर्शित नहीं कर सकतीं।
चुनौती (The Challenge): CV प्रणालियों में नेटवर्क नॉनलोकैलिटी का पता लगाने के लिए नॉन-गौसियन मापन की आवश्यकता होती है। हालाँकि, नेटवर्क नॉनलोकैलिटी (जैसे चेन, स्टार, साइक्लिक नेटवर्क) पर मौजूदा साहित्य मुख्य रूप से परिमित-आयामी (Discrete Variable) प्रणालियों या विशिष्ट दो-इनपुट/दो-आउटपुट परिदृश्यों पर केंद्रित रहा है। मनमाने आउटकम्स वाले अनंत-आयामी CV नेटवर्क के लिए सामान्य, नॉन-लीनियर बेल-प्रकार के असमिकाओं (inequalities) का अभाव है।
लक्ष्य (The Goal): एक सामान्य ढांचा और विशिष्ट असमिकाएँ विकसित करना जो उन CV नेटवर्क में नेटवर्क नॉनलोकैलिटी को प्रमाणित कर सकें जहाँ स्रोत अवस्थाएँ मनमाने मल्टीपार्टाइट मल्टीमोड गौसियन स्टेट्स हों, और इसके लिए व्यवहार्य नॉन-गौसियन मापन योजनाओं का उपयोग किया जा सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक सामान्यीकृत क्वैसीप्रोबेबिलिटी फंक्शन्स (generalized quasiprobability functions) पर आधारित एक विशिष्ट मापन रणनीति के साथ सैद्धांतिक असमिका व्युत्पत्ति को जोड़कर एक व्यापक दृष्टिकोण प्रस्तावित करते हैं।

अ. सामान्य नॉन-लीनियर बेल-प्रकार की असमिका (Theorem 2.1)

लेखक एक नई नॉन-लीनियर बेल-प्रकार की असमिका व्युत्पन्न करते हैं जो किसी भी परिमित-आकार के क्वांटम नेटवर्क (परिमित और अनंत दोनों आयामी) पर लागू होती है।

सेटअप (Setup): $y$ पार्टियों और $z$ स्वतंत्र स्रोतों वाला एक नेटवर्क।
प्रतिबंध (Constraints): सभी पार्टियों के पास दो इनपुट (डाइकोटॉमिक) हैं, लेकिन मापन के आउटपुट की संख्या अप्रतिबंधित (संभावित रूपतः अनंत) है।
स्वतंत्रता (Independence): असमिका $k$ पर निर्भर करती है, जो स्वतंत्र पार्टियों (ऐसे नोड्स जो साझा स्रोत साझा नहीं करते) की संख्या है।
असमिका (The Inequality): एक नेटवर्क-लोकल परिदृश्य के लिए, निम्नलिखित सत्य होना चाहिए:
$B = |I|^{1/k} + |J|^{1/k} \leq 1$
जहाँ $I$ और $J$ मापन ऑपरेटरों के प्रत्याशा मानों (expectation values) से निर्मित सहसंबंध पद (correlation terms) हैं। इस असमिका का उल्लंघन ( $B > 1$ ) नेटवर्क नॉनलोकैलिटी को प्रमाणित करता है।

ब. सुप्रीमम रणनीति (The Supremum Strategy - Theorem 3.1)

गौसियन स्रोतों के लिए इसे CV प्रणालियों में लागू करने के लिए, लेखक सामान्यीकृत क्वैसीप्रोबेबिलिटी फंक्शन्स ( $Q(\alpha; s)$ ) पर आधारित एक सुप्रीमम रणनीति पेश करते हैं।

मापन योजना (Measurement Scheme): वे सामान्यीकृत क्वैकीप्रोबेबिलिटी फंक्शन्स ( $Q(\alpha; s)$ $Q (α; s)$ ) पर आधारित नॉन-गौसियन मापन का उपयोग करते हैं। ये फलन एक वास्तविक संख्या $s \leq 0$ $s \leq 0$ द्वारा पैरामीटराइज्ड हैं।
- मापन ऑपरेटरों का निर्माण de generalized quasiprobability operators $\hat{\Pi}(\alpha; s)$ से किया जाता है।
- महत्वपूर्ण रूप से, ये मापन प्रायोगिक रूप से व्यवहार्य (experimentally feasible) हैं, जिनमें केवल बीम स्प्लिटर और फोटॉन डिटेक्टरों (विशेष रूप से $s = -1$ के लिए वैक्यूम और नॉन-वैक्यूम अवस्थाओं के बीच अंतर करने की आवश्यकता) की आवश्यकता होती है।
रूपांतरण (Transformation): नॉन-लीनियर असमिका पदों ( $I$ और $J$ ) को गौसियन स्रोत अवस्थाओं के क्वैसीप्रोबेबिलिटी फंक्शन्स से संबंधित अभिव्यक्तियों में परिवर्तित किया जाता है।
अनुकूलन (Optimization): चूंकि असमिका को किसी भी लोकल हिडन वेरिएबल मॉडल के लिए सत्य होना चाहिए, इसलिए लेखक एक सुप्रीमम फंक्शन परिभाषित करते हैं:
$B_{\Xi}(s, \rho) = \sup_{\alpha_0, \alpha_1} B_{\Xi}^{\rho}(\alpha_0, \alpha_1; s)$
यदि किसी भी $s \leq 0$ के लिए $B_{\Xi}(s, \rho) > 1$ है, तो नेटवर्क को नॉनलोकल सिद्ध किया जाता है।

स. विशिष्ट टोपोलॉजी का अनुप्रयोग (Application to Specific Topologies)

लेखक चार विशिष्ट नेटवर्क कॉन्फ़िगरेशन पर इस ढांचे को लागू करते हैं, जहाँ स्रोत अवस्थाएँ $(1+1)$ -मोड गौसियन अवस्थाएँ (EPR अवस्थाएँ या स्क्वीज्ड थर्मल स्टेट्स) हैं:

चेन नेटवर्क ($Cha(y)$)
स्टार नेटवर्क ( $S(y)$ )
ट्री-शेप्ड नेटवर्क ( $T(m, f)$ )
साइक्लिक नेटवर्क ($Cyc(y)$)

प्रत्येक टोपोलॉजी के लिए, वे नेटवर्क की स्वतंत्रता संरचना के अनुरूप विशिष्ट नॉन-लीनियर बेल-प्रकार की असमिकाएँ (Theorems 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 7.2) व्युत्पन्न करते हैं।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

CV प्रणालियों के लिए सामान्य असमिका: एक ऐसी नॉन-लीनियर बेल-प्रकार की असमिका का व्युत्पन्न, जो मनमाने आउटपुट कार्डिनैलिटी के साथ अनंत-आयामी प्रणालियों के लिए मान्य है, जो पूर्ववर्ती DV-केंद्रित दृष्टिकोणों की सीमाओं को पार करती है।
सुप्रीमम रणनीति: क्वैसीप्रोबेबिलिटी फंक्शन्स के मापदंडों को अनुकूलित करके गौसियन नेटवर्क में नेटवर्क नॉनलोकैलिटी का पता लगाने का एक नवीन, सामान्य तरीका।
प्रायोगिक व्यवहार्यता: यह प्रस्ताव वर्तमान ऑप्टिकल प्रयोगशालाओं (बीम स्प्लिटर + फोटॉन डिटेक्टर) में कार्यान्वित किए जा सकने वाले मापन पर निर्भर करता है, विशेष रूप से $s = -1$ (जो वैक्यूम/नॉन-वैक्यूम भेदभाव के अनुरूप है) के मामले को उजागर करता है।
व्यापक टोपोलॉजिकल विश्लेषण: यह शोध पत्र चेन, स्टार, ट्री और साइक्लिक नेटवर्क के लिए स्पष्ट असमिकाएँ और संख्यात्मक सत्यापन प्रदान करता है, जो CV नेटवर्क नॉनलोकैलिटी के संबंध में साहित्य के रिक्त स्थान को भरता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

लेखकों ने विशिष्ट उदाहरणों पर संख्यात्मक सिमुलेशन के माध्यम से अपने तरीके को सत्यापित किया:

एंटैंगलमेंट स्वैपिंग (Chain $y=3$ ):
- शुद्ध अवस्थाएँ (Pure States): यदि स्रोत समान एंटैंगल्ड EPR अवस्थाएँ उत्सर्जित करते हैं, तो $s = -1$ होने पर सभी स्क्वीजिंग पैरामीटर $r > 0$ के लिए नेटवर्क नॉनलोकल है।
- मिश्रित अवस्थाएँ (Symmetric STS): मिश्रित स्क्वीज्ड थर्मल स्टेट्स के लिए, नॉनलोकैलिटी का पता चलता है, बशर्ते $s = -1$ हो।
- संवेदनशीलता (Sensitivity): विभिन्न परिदृश्यों में नॉनलोकैलिटी को प्रमाणित करने के लिए $s = -1$ सबसे प्रभावी पैरामीटर पाया गया।
चेन नेटवर्क ( $y > 3$ ):
- समान एंटैंगल्ड गौसियन शुद्ध अवस्थाओं वाली चेनों के लिए, उपयुक्त $s$ (विशेष रूप से बड़े $r$ के लिए $s = -1$ , और छोटे $r$ के लिए $s \in (-1, 0]$ ) का उपयोग करके असमिका का उल्लंघन होता है।
- मिश्रित अवस्थाओं के लिए, पर्याप्त बड़े स्क्वीजिंग पैरामीटर के लिए नॉनलोकैलिटी देखी जाती है।
स्टार और ट्री नेटवर्क:
- चेनों के समान, समान एंटैंगल्ड प्योर गौसियन स्रोतों वाले नेटवर्क $s = -1$ के लिए सभी $r > 0$ हेतु नॉनलोकैलिटी प्रदर्शित करते हैं।
- मिश्रित स्रोतों के लिए, विशिष्ट स्क्वीजिंग पैरामीटर थ्रेशोल्ड के ऊपर नॉनलोकैलिटी का पता लगाया जाता है।
साइक्लिक नेटवर्क:
- विधि ने शुद्ध और मिश्रित गौसियन स्रोतों दोनों के लिए साइक्लिक टोपोलॉजी (जैसे $y=5$ ) में सफलतापूर्वक नॉनलोकैलिटी का पता लगाया, जो क्लोज्ड-लूप नेटवर्क संरचनाओं में भी इस दृष्टिकोण की मजबूती को दर्शाता है।

परिणामों से सामान्य निष्कर्ष: यदि सभी स्रोत एक ही प्रकार की एंटैंगल्ड गौसियन प्योर स्टेट्स उत्सर्जित करते हैं, तो नेटवर्क स्वाभाविक रूप से नॉनलोकल होता है, और इसे प्रस्तावित सामान्यीकृत क्वैसीप्रोबेबिलिटी मापन का उपयोग करके प्रमाणित किया जा सकता है।

5. महत्व (Significance)

सिद्धांत और प्रयोग के बीच सेतु: यह कार्य प्रायोगिक वैज्ञानिकों को CV प्रणालियों में नेटवर्क नॉनलोकैलिटी को सत्यापित करने के लिए एक "रेसिपी" प्रदान करता है, जो भविष्य के क्वांटम संचार नेटवर्क (जैसे क्वांटम इंटरनेट) की रीढ़ हैं।
गौसियन सीमाओं को पार करना: यह निश्चित रूप से दिखाता है कि जबकि गौसियन अवस्थाएँ गौसियन मापन के तहत "लोकल" होती हैं, उनमें एक अंतर्निहित नेटवर्क नॉनलोकैलिटी होती है जिसे विशिष्ट नॉन-गौसियन मापन के माध्यम से अनलॉक किया जा सकता है।
स्केलेबिलिटी: यह ढांचा केवल सरल दो-पार्टी परिदृश्यों तक सीमित नहीं है बल्कि जटिल, मल्टी-नोड नेटवर्क (चेन, ट्री, साइकिल) तक स्केल करता है, जो वितरित क्वांटम कंप्यूटिंग और सेंसिंग के लिए आवश्यक है।
हाइब्रिड नेटवर्क क्षमता: लेखक उल्लेख करते हैं कि उनकी योजना डिस्क्रीट वेरिएबल (DV) और कंटीन्यूअस वेरिएबल (CV) प्रणालियों को मिलाने वाले "हाइब्रिड" नेटवर्क के लिए अनुकूलनीय है, जो अगली पीढ़ी के क्वांटम आर्किटेक्चर के लिए व्यापक अनुप्रयोग का सुझाव देती है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र बेल नॉनलोकैलिटी और CV क्वांटम नेटवर्क के बीच एक मौलिक संबंध स्थापित करता है, जो गौसियन-आधारित क्वांटम नेटवर्क में नॉनलोकैलिटी का पता लगाने के लिए एक व्यावहारिक, गणितीय रूप से कठोर और प्रायोगिक रूप से व्यवहार्य तरीका प्रदान करता है।