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Towards self-correcting quantum codes for neutral atom arrays

यह शोध पत्र "ZSZ कोड्स" का परिचय देता है, जो न्यूट्रल एटम एरेज़ (neutral atom arrays) के लिए विशेष रूप से तैयार किए गए बाइवेरिएट बाइसिकल कोड्स (bivariate bicycle codes) का एक नॉन-अबेलियन सामान्यीकरण (non-abelian generalization) है, जो मानक डिकोडर्स के साथ प्रतिस्पर्धी प्रदर्शन और स्थानीय स्व-सुधारात्मक डिकोडर्स (local self-correcting decoders) के तहत बेहतर संधारणीय थ्रेशोल्ड (sustainable thresholds) प्रदर्शित करते हैं, जो उन्हें स्केलेबल फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम मेमोरीज के लिए आशाजनक उम्मीदवारों के रूप में स्थापित करता है।

मूल लेखक: Jinkang Guo, Yifan Hong, Adam Kaufman, Andrew Lucas

प्रकाशित 2026-01-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jinkang Guo, Yifan Hong, Adam Kaufman, Andrew Lucas

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप शरारती ग्रेमलिन्स (gremlins) से भरे एक कमरे में एक कीमती रहस्य को सुरक्षित रखने की कोशिश कर रहे हैं। ये ग्रेमलिन्स क्वांटम कंप्यूटर में शोर (noise) का प्रतिनिधित्व करते हैं—वे लगातार स्विच बदलने, मान (values) बदलने और आपकी जानकारी को खराब करने की कोशिश करते हैं। इस लड़ाई में मदद करने के लिए, वैज्ञानिक क्वांटम एरर करेक्शन (QEC) का उपयोग करते हैं। इसे सुरक्षा गार्डों (एक "कोड") की एक टीम के रूप में सोचें जो लगातार कमरे की जांच कर रहे हैं कि कहीं कुछ बदला तो नहीं है। यदि उन्हें कोई गलती मिलती है, तो वे रहस्य खो जाने से पहले उसे ठीक कर देते हैं।

लंबे समय तक, सबसे अच्छे सुरक्षा दल सरफेस कोड्स (Surface Codes) की तरह थे। वे विश्वसनीय हैं, लेकिन वे स्थान के मामले में बहुत "महंगे" हैं। आपको केवल कुछ ही गुप्त सूचनाओं (लॉजिकल क्वबिट्स) की रक्षा करने के लिए बड़ी संख्या में भौतिक गार्डों (क्विबिट्स) की आवश्यकता होती है। यह एक एकल बैंक वॉल्ट की निगरानी के लिए हजार सुरक्षा गार्डों को काम पर रखने जैसा है।

हाल ही में, वैज्ञानिकों ने एक अधिक कुशल टीम की खोज की जिसे बाइवेरिएट बाइसिकल (Bivariate Bicycle - BB) कोड्स कहा जाता है। वे कम गार्डों का उपयोग करने वाले एक अधिक सुव्यवस्थित और तेज़ सुरक्षा दल की तरह हैं, फिर भी वे बेहतरीन काम करते हैं। हालाँकि, उनकी एक कमजोरी है: वे आसानी से "स्वयं-सुधार" (self-correct) नहीं कर सकते। यदि गार्ड भ्रमित हो जाते हैं या शोर बहुत अधिक हो जाता है, तो उन्हें एक केंद्रीय कमांडर (एक जटिल कंप्यूटर) की आवश्यकता होती है जो उन्हें बताए कि क्या करना है। इसमें समय और ऊर्जा लगती है।

यह शोध पत्र एक नया, बेहतर सुरक्षा दल पेश करता है जिसे ZSZ कोड्स कहा जाता है। यहाँ बताया गया है कि वे कैसे काम करते हैं, सरल शब्दों में:

1. "मुड़ा हुआ" लेआउट (The "Twisted" Layout)

पुराने BB कोड एक सपाट, ग्रिड जैसे फर्श के नक्शे पर बने होते हैं जहाँ हर कोई सरल, सीधे नियमों का पालन करता है (जैसे शतरंज का बोर्ड)। नए ZSZ कोड्स एक "मुड़े हुए" (twisted) फर्श के नक्शे पर बने होते हैं।

एक ऐसे होटल की कल्पना करें जहाँ गलियारे केवल सीधे नहीं जाते; वे एक विशेष, गैर-यूक्लिडियन (non-Euclidean) तरीके से घूमते हैं। यदि आप एक गलियारे में चलते हैं और एक कोने पर मुड़ते हैं, तो आप इमारत के उस हिस्से में पहुँच सकते हैं जिसकी आपने अपेक्षा नहीं की थी। यह "मोड़" एक गणितीय युक्ति है जिसे सेमीडायरेक्ट प्रोडक्ट (semidirect product) कहा जाता है। यह सुनने में जटिल लग सकता है, लेकिन इसका परिणाम यह है कि सुरक्षा गार्ड एक बहुत अधिक जटिल, जाल जैसी नेटवर्क संरचना में जुड़े होते हैं।

2. "स्वयं-सुधार" की महाशक्ति (The "Self-Correcting" Superpower)

ZSZ कोड्स के साथ सबसे बड़ी सफलता स्वयं-सुधार (self-correction) है।

पुराना तरीका (BB कोड्स): यदि कोई गार्ड गलती देखता है, तो उसे एक केंद्रीय कंप्यूटर को चिल्लाकर बताना पड़ता है। कंप्यूटर सुधार की गणना करता है और गार्ड को बताता है कि क्या करना है। इसमें समय लगता है। यदि शोर बहुत अधिक हो जाए, तो सिस्टम क्रैश हो जाता है।
नया तरीका (ZSZ कोड्स): मुड़े हुए लेआउट के कारण, गार्ड इतने आपस में जुड़े हुए हैं कि यदि कोई गार्ड गलती देखता है, तो इमारत के स्थानीय नियम स्वाभाविक रूप से उस त्रुटि को दूर धकेल देते हैं। यह एक गलियारे में लोगों की भीड़ की तरह है: यदि कोई बीच में घुसने की कोशिश करता है, तो भीड़ का प्राकृतिक प्रवाह बिना किसी मैनेजर के हस्तक्षेप के उसे वापस धकेल देता है।

शोध पत्र इसे पैसिव एरर करेक्शन (passive error correction) कहता है। सिस्टम खुद को स्वचालित रूप से ठीक करता है, जैसे एक थर्मोस्टेट कमरे के ठंडा होने पर गर्मी चालू कर देता है, बिना आपके द्वारा डायल को छुए।

3. परिणाम: एक मजबूत ढाल (The Results: A Stronger Shield)

लेखकों ने यह देखने के लिए कंप्यूटर सिमुलेशन चलाए कि ये नए कोड "ग्रेमलिन्स" (शोर) के खिलाफ कितनी अच्छी तरह टिक पाते हैं।

थ्रेशोल्ड (The Threshold): उन्होंने पाया कि ZSZ कोड्स विफल होने से पहले लगभग 0.095% के शोर स्तर को संभाल सकते हैं।
तुलना: यह 4D टॉरिक कोड (4D Toric code) (एक अन्य प्रसिद्ध स्वयं-सुधार करने वाला कोड) की तुलना में काफी बेहतर है, जो लगभग 0.06% पर विफल हो जाता है।
निष्कर्ष: ZZ कोड्स अधिक मजबूत हैं। वे पिछले स्वयं-सुधार करने वाले कोड्स की तुलना में अधिक "शोर वाले" वातावरण में जीवित रह सकते हैं, जो उन्हें एक लंबे समय तक चलने वाली क्वांटम मेमोरी बनाने के लिए एक बेहतर उम्मीदवार बनाता है।

4. इसे कैसे बनाएँ: "फर्नीचर हिलाने" का उदाहरण (The "Moving Furniture" Analogy)

आप सोच सकते हैं, "आप वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर में मुड़ा हुआ, गैर-सपाट फर्श का नक्शा कैसे बना सकते हैं?"

शोध पत्र न्यूट्रल एटम एरेज़ (neutral atom arrays) का उपयोग करने का सुझाव देता है। व्यक्तिगत परमाणुओं (क्विबिट्स) को पकड़ने वाले छोटे ट्रैप के ग्रिड की कल्पना करें। आमतौर पर, ये परमाणु अपनी जगह पर स्थिर होते हैं। लेकिन इस सेटअप में, वैज्ञानिक ऑप्टिकल ट्वीज़र्स (optical tweezers) (लेज़र जो अदृश्य उंगलियों की तरह काम करते हैं) का उपयोग करके परमाणुओं को उठाने और उन्हें इधर-उधर घुमाने के लिए करते हैं।

"सुरक्षा जाँच" (सिंड्रोम निष्कर्षण) करने के लिए, शोधकर्ता एक डांस रूटीन का प्रस्ताव करते हैं:

वे परमाणुओं की पंक्तियों और स्तंभों को चुनते हैं।
वे उन्हें एक "रिफल शफल" (ताश के पत्तों को फेंटने की तरह) में इधर-उधर खिसकाते हैं।
वे त्रुटियों की जाँच करने के लिए उन्हें एक साथ लाते हैं।
वे उन्हें वापस उनके मूल स्थानों पर खिसका देते हैं।

चूंकि परमाणु हिल सकते हैं, इसलिए वे आवश्यक कनेक्शन बनाने के लिए जटिल, मुड़े हुए संबंध बना सकते हैं, भले ही भौतिक हार्डवेयर लेज़र का एक सपाट ग्रिड हो।

सारांश

यह शोध पत्र एक नए प्रकार के क्वांटम एरर-करेक्टिंग कोड का प्रस्ताव करता है जिसे ZSZ कोड्स कहा जाता है।

यह क्या है: मौजूदा कुशल कोड्स का एक गणितीय रूप से "मुड़ा हुआ" संस्करण।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: यह क्वांटम कंप्यूटर को निरंतर बाहरी हस्तक्षेप के बिना त्रुटियों को स्वचालित रूप से स्वयं-सुधारने (self-correct) की अनुमति देता है।
प्रमाण: सिमुलेशन दिखाते हैं कि इसमें पिछले स्वयं-सुधार करने वाले कोड्स की तुलना में उच्च "उत्तरजीविता थ्रेशोल्ड" (अधिक शोर को संभालने की क्षमता) है।
हार्डवेयर: इसे न्यूट्रल एटम्स का उपयोग करके बनाया जा सकता है जिन्हें आवश्यक कनेक्शन बनाने के लिए लेज़र द्वारा भौतिक रूप से इधर-उधर घुमाया जाता है।

संक्षेप में, लेखकों ने क्वांटम मेमोरी को अधिक मजबूत और आत्मनिर्भर बनाने का एक तरीका खोजा है, जो संभावित रूप से ऐसे क्वांटम कंप्यूटरों के निर्माण का मार्ग प्रशस्त करता है जो क्रैश हुए बिना लंबे समय तक चल सकते हैं।

तकनीकी सारांश: न्यूट्रल एटम एरेज़ के लिए सेल्फ-करेक्टिंग क्वांटम कोड्स की ओर

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटेशन के विकास के लिए लो-ओवरहेड क्वांटम एरर-करेक्टिंग कोड्स (QECCs) की आवश्यकता है। जबकि सरफेस कोड का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, वे उच्च भौतिक क्वबिट ओवरहेड से ग्रस्त हैं। बाइवैरियेट बाइसिकल (BB) कोड एक आशाजनक विकल्प के रूप में उभरे हैं, जो नॉन-लोकल कनेक्टिविटी का उपयोग करके काफी कम भौतिक क्वबिट्स के साथ प्रतिस्पर्धी प्रदर्शन प्रदान करते हैं। हालांकि, BB कोड्स सीमित-आयामी यूक्लिडियन एम्बेडिंग द्वारा बाधित हैं, जो उनके अंतिम स्केलिंग गुणों को सीमित करते हैं।

क्वांटम मेमोरी में एक महत्वपूर्ण चुनौती "पैसिव" या "सेल्फ-करेक्टिंग" एरर करेक्शन का कार्यान्वयन है। पारंपरिक सक्रिय डिकोडिंग के लिए मिड-सर्किट मेजरमेंट्स और फीडबैक की आवश्यकता होती है, जिससे लेटेंसी और जटिलता आती है। पैसिव डिकोडिंग, जो सेल्फ-करेक्टिंग मेमोरीज से प्रेरित है, त्रुटियों को निरंतर दबाने के लिए स्थानीय, कांस्टेंट-डेप्थ सर्किट्स (अक्सर मेजरमेंट-फ्री) का उपयोग करती है। जबकि 4D टॉरिक कोड्स सेल्फ-करेक्शन प्रदर्शित करते हैं, उन्हें उच्च-आयामी कनेक्टिविटी की आवश्यकता होती है जिसे भौतिक रूप से साकार करना कठिन है। लेखक यह जांचते हैं कि क्या ऐसे क्वांटम लो-डेंसिटी पैरिटी-चेक (LDPC) कोड मौजूद हैं जो BB कोड्स के लो-ओवरहेड को सेल्फ-करेक्शन की क्षमता के साथ जोड़ सकें, जो विशेष रूप से लॉन्ग-रेंज कनेक्टिविटी के सक्षम न्यूट्रल एटम प्लेटफॉर्म्स के लिए तैयार किए गए हों।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

2.1. कोड निर्माण: ZSZ कोड्स

लेखक ZSZ कोड्स पेश करते हैं, जो क्वांटम LDPC कोड्स का एक परिवार है जिसे BB कोड्स का एक नॉन-अबेलियन जनरलाइजेशन (non-abelian generalization) के रूप में परिभाषित किया गया है।

बीजगणितीय आधार (Algebraic Foundation): इन कोड्स का निर्माण टू-ब्लॉक ग्रुप अलजेब्रा (2BGA) फ्रेमवर्क का उपयोग करके किया गया है। वे सेमिडायरेक्ट प्रोडक्ट ग्रुप $G = \mathbb{Z}_\ell \rtimes_q \mathbb{Z}_m$ का उपयोग करते हैं, जो प्रेजेंटेशन $\langle x, y \mid x^\ell = y^m = yxy^{-1}x^{-q} = 1 \rangle$ द्वारा परिभाषित है, जहाँ $qm \equiv 1 \pmod \ell$ है।
ट्विस्ट मैकेनिज्म (Twist Mechanism): BB कोड्स (जो अबेलियन केस $q=1$ के अनुरूप हैं) के विपरीत, ZSZ कोड्स एक "ट्विस्ट" (सेमिडायरेक्ट प्रोडक्ट) का उपयोग करते हैं जहाँ $x$ पर $y$ की क्रिया गैर-तुच्छ (non-trivial) है ( $yxy^{-1} = x^q$ )। यह क्वबिट्स और पैरिटी चेक्स के बीच सूक्ष्म कनेक्शन नियमों को संशोधित करता है।
संरचना: ये CSS कोड्स हैं जहाँ प्रत्येक पैरिटी चेक में छह क्वबिट्स शामिल होते हैं, और प्रत्येक क्वबिट छह चेक्स (तीन X-टाइप, तीन Z-टाइप) में भाग लेता है। पैरिटी चेक मैट्रिसेस $H_X$ और $H_Z$ का निर्माण ग्रुप अलजेब्रा तत्वों $a, b \in \mathbb{F}_2[G]$ के लेफ्ट-रेगुलर और राइट-रेगुलर रिप्रेजेंटेशन से किया जाता है।
ज्यामिति (Geometry): ये कोड्स एक 2D आयताकार एम्बेडिंग को स्वीकार करते हैं जहाँ क्वबिट्स एक $\ell \times m$ लैटिस के लिंक्स पर स्थित होते हैं जिसमें पीरियोडिक बाउंड्रीज़ होती हैं। नॉन-अबेलियन ट्विस्ट कनेक्टिविटी को बदल देता है, प्रभावी रूप से एक केली ग्राफ (Cayley graph) संरचना बनाता है जो BB कोड्स के मानक आयताकार लैटिस से भिन्न है।

2.2. संख्यात्मक सिमुलेशन (Numerical Simulations)

लेखकों ने दो अलग-अलग डिकोडिंग रणनीतियों का उपयोग करके कोड प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए सर्किट-लेवल डिपोलराइजिंग नॉइज़ मॉडल के तहत व्यापक संख्यात्मक सिमुलेशन किए:

ग्लोबल डिकोडिंग (सक्रिय): $d$ राउंड्स के सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन के बाद ग्लोबल बिलीफ-प्रोपैगेशन और ऑर्डर्ड-सांख्यिकी डिकोडर (BP+OSD) का अनुकरण।
पैसिव डिकोडिंग (सेल्फ-करेक्टिंग): $\ge 100$ राउंड्स के सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन का उपयोग करके एक स्थानीय, सिंगल-शॉट "ग्रीडी" डिकोडर का अनुकरण। यह डिकोडर एक ज़ीरो-टेम्परेचर गिब्स सैंपलर के रूप में कार्य करता है, जो मिड-सर्किट मेजरमेंट्स के बिना सिंड्रोम वेट को कम करने के लिए स्थानीय सुधार लागू करता है।

2.3. हार्डवेयर कार्यान्वयन प्रस्ताव

पेपर न्यूट्रल एटम एरेज़ (जो मूवेबल ट्वीज़र एरेज़ में ट्रैप्ड हैं) पर ZSZ कोड्स के लिए एक विशिष्ट कार्यान्वयन रणनीति प्रस्तावित करता है।

सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन: एक सिंगल-एनसाइल (single-ancilla) सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन प्रोटोकॉल डिज़ाइन किया गया है जहाँ एक सिंड्रोम क्वबिट को ऑप्टिकल ट्वीज़र्स के माध्यम से डेटा क्वबिट्स के साथ जोड़ा जाता है।
रूटिंग (Routing): लेखक एटम्स को मूव करने के लिए एकोस्टो-ऑप्टिक डिफलेक्टर्स (AODs) का उपयोग करने वाले एक रूटिंग प्रोटोकॉल का विवरण देते हैं। इसकी जटिलता हॉरिजॉन्टल सेक्टर (लेफ्ट केली ग्राफ रूटिंग) के लिए $O(\log \ell)$ और वर्टिकल सेक्टर (राइट केली ग्राफ रूटिंग) के लिए $O(m)$ है। उन कोड्स के लिए जिनका लॉगरिदमिक व्यास ( $m = O(\log \ell)$ ) है, कुल रूटिंग जटिलता $O(\log \ell)$ है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

3.1. कोड गुण (Code Properties)

एक्सपेंशन और कन्फाइनमेंट: सैद्धांतिक विश्लेषण बताता है कि ZSZ कोड्स अपने केली ग्राफ्स में स्मॉल-सेट एक्सपेंशन प्रदर्शित करते हैं, जिससे छोटे एरर सेट्स के लिए लीनियर कन्फाइनमेंट होता है। यह सेल्फ-करेक्शन के लिए एक आवश्यक शर्त है, जो BB कोड्स के विपरीत है जो इस रिजीम में यह गुण प्रदर्शित नहीं करते हैं।
पैरामीटर्स: लेखकों ने विभिन्न लॉजिकल क्वबिट्स ( $k$ ) और अनुमानित दूरियों ( $d$ ) के साथ कई कैंडिडेट कोड्स (जैसे, ZSZ144, ZSZ288, ZSZ756) की पहचान की।

3.2. ग्लोबल डिकोडिंग के तहत प्रदर्शन

$d$ राउंड्स के सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन के साथ BP+OSD डिकोडिंग के तहत, ZSF कोड्स सर्किट-लेवल डिपोलराइजिंग नॉइज़ के तहत लगभग 0.5% का थ्रेशोल्ड प्रदर्शित करते हैं।
यह प्रदर्शन सरफेस कोड (उसी मॉडल के तहत अनुमानित थ्रेशोल्ड ~0.8%) और BB कोड्स के साथ प्रतिस्पर्धी है, जबकि दिए गए भौतिक आकार के लिए काफी अधिक लॉजिकल क्वबिट्स को एनकोड करता है।

3.3. पैसिव डिकोडिंग के तहत प्रदर्शन

स्थानीय ग्रीडी डिकोडर का उपयोग करते हुए, लेखक ZSZ कोड्स के लिए लगभग 0.095% का सस्टेनेबल थ्रेशोल्ड देखते हैं।
तुलना: यह थ्रेशोल्ड उसी शोर मॉडल और डिकोडर के तहत 4D टॉरिक कोड के अनुमानित 0.06% सस्टेनेबल थ्रेशोल्ड से उल्लेखनीय रूप से अधिक है।
BB कोड कंट्रास्ट: महत्वपूर्ण रूप से, लेखक समान पैसिव डिकोडिंग स्कीम के तहत BB कोड्स के लिए सस्टेनेबल थ्रेशोल्ड का कोई प्रमाण नहीं पाते हैं, जो यह सुझाव देता है कि Z-Z-S कोड्स में नॉन-अबेलियन ट्विस्ट एरर करेक्शन डायनेमिक्स को मौलिक रूप से बदल देता है जो पैसिव करेक्शन के पक्ष में होता है।
संसाधन दक्षता: एक ZSZ756 कोड समान संख्या में लॉजिकल क्वबिट्स के लिए चार $L=4$ 4D टॉरिक कोड की तुलना में केवल ~12% डेटा क्वबिट्स का उपयोग करते हुए बेहतर प्रदर्शन करता है।

3.4. कार्यान्वयन व्यवहार्यता (Implementation Feasibility)

पेपर यह प्रदर्शित करता है कि न्यूट्रल एटम आर्किटेक्चर के लिए उपयुक्त सरल ग्लोबल मोशन (ग्रिड ट्रांसफर और साइक्लिक शिफ्ट) का उपयोग करके ZSF कोड्स के लिए सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन का एक पूर्ण राउंड प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि ZSF कोड्स के लिए रूटिंग जटिलता ( $O(\log \ell)$ ) BB कोड्स ( $O(1)$ ) की तुलना में अधिक है, फिर भी यह लॉगरिदमिक है और हाइपरग्राफ प्रोडक्ट कोड्स के तुल्य है, जो इसे न्यूट्रल एटम आर्किटेक्चर के लिए व्यवहार्य बनाता है।

4. महत्व और दावे (Significance and Claims)

पेपर का दावा है कि ZSF कोड्स स्केलेबल सेल्फ-करेक्टिंग क्वांटम मेमोरीज के लिए एक आशाजनक उम्मीदवार हैं। प्राथमिक महत्व इस बात के प्रदर्शन में निहित है कि एक सरल नॉन-अबेलियन जनरलाइजेशन, जो BB कोड्स का है, निम्नलिखित प्रदान कर सकता है:

बेहतर पैसिव प्रदर्शन: पैसिव डिकोडिंग के लिए एक सस्टेनेबल थ्रेशोल्ड जो 4D टॉरिक कोड से अधिक है, जो सेल्फ-करेक्शन के लिए एक बेंचमार्क है।
हार्डवेयर अनुकूलता: न्यूट्रल एटम प्लेटफॉर्म्स में कार्यान्वयन के लिए एक व्यवहार्य मार्ग, जो इन कोड्स के लिए आवश्यक नॉन-लोकल कनेक्टिविटी को संभालने के लिए अद्वितीय हैं।
नया प्रतिमान (New Paradigm): परिणाम बताते हैं कि नॉन-अबेलियन ग्रुप स्ट्रक्चर का उपयोग ऐसे क्वांटम कोड्स को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है जो गुणात्मक व्यवहार (जैसे सेल्फ-करेक्शन) प्रदर्शित करते हैं, जो उनके अबेलियन समकक्षों (BB कोड्स) में अनुपस्थित होते हैं, भले ही कोड की लंबाई मध्यम हो।

लेखक वर्तमान व्यावहारिकता के संबंध में विनम्र बने हुए हैं, यह नोट करते हुए कि देखे गए थ्रेशोल्ड विशिष्ट शोर मॉडल और डिकोडर पर आधारित हैं। वे स्वीकार करते हैं कि सिंड्रोम एक्सट्रैक्शन शेड्यूलिंग को अनुकूलित करने, हुक एरर्स (hook errors) को कम करने और इन कोड्स के लिए फॉल्ट-टोलरेंट स्टेट प्रिपरेशन और लॉजिकल गेट प्रोटोकॉल विकसित करने के लिए और अधिक कार्य की आवश्यकता है। हालांकि, 4D टॉरिक कोड से अधिक सस्टेनेबल थ्रेशोल्ड का संख्यात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि ZSF कोड्स मेजरमेंट-फ्री, स्केलेबल क्वांटम मेमोरी की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है।