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Fragmented eigenstate thermalization versus robust integrability in long-range models

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि पूर्णतः संयोजित लंबी-दूरी वाले क्वांटम प्रणालियों में, एकीकरण (इंटीग्रैबिलिटी) विक्षोभ के प्रकार के आधार पर मजबूती या अत्यधिक भंगुरता का द्वंद्व प्रदर्शित करता है, जहाँ केवल व्यापक दो-निकाय विक्षोभ ही सूक्ष्म शक्ति पर अराजकता को प्रेरित करते हैं, जिससे समरूपता-परिभाषित ऊर्जा बैंडों के भीतर आइजनस्टेट थर्मलइजेशन हाइपोथेसिस (eigenstate thermalization hypothesis) का एक खंडित कार्यान्वयन उत्पन्न होता है।

मूल लेखक: Soumya Kanti Pal, Lea F Santos

प्रकाशित 2026-04-07

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Soumya Kanti Pal, Lea F Santos

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक विशाल, शोर-शराबे वाले डांस फ्लोर की कल्पना करें जहाँ हजारों नर्तक (क्वांटम कण) एक-दूसरे का हाथ थामे एक साथ घूम रहे हैं। भौतिकी (Physics) में, हम जानना चाहते हैं: क्या यह समूह अंततः एक अनुमानित, औसत लय में स्थिर हो जाएगा (थर्मलाइजेशन/thermalization), या यह एक अजीब, दोहराते हुए पैटर्न में फंस जाएगा (इंटीग्रैबिलिटी/integrability)?

आमतौर पर, यदि आपके पास नर्तकों का एक छोटा समूह है जो केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ हाथ पकड़ता है (लघु-दूरी/short-range), तो उनके पैटर्न को तोड़ना बहुत आसान होता है। बस एक व्यक्ति का लड़खड़ाना या संगीत में थोड़ा सा बदलाव पूरे समूह को अराजक और यादृच्छिक (random) बना सकता है।

लेकिन क्या होता है अगर हर कोई बाकी सबके साथ हाथ मिला रहा हो? यह एक "लॉन्ग-रेंज" (दीर्घ-दूरी) प्रणाली है, जैसे कि एक विशाल सामूहिक आलिंगन (group hug) जहाँ हर व्यक्ति दूसरे व्यक्ति को महसूस करता है। वैज्ञानिक इस बात से हैरान थे: क्या यहाँ अराजकता आसानी से फैलती है, या यह समूह अत्यधिक स्थिर है?

सौम्या कांति पाल और ली एफ. सैंटोस का यह शोध पत्र इस प्रश्न का उत्तर एक आश्चर्यजनक मोड़ के साथ देता है: यह पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि आप डांस फ्लोर के साथ कैसे छेड़छाड़ करते हैं।

सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके यहाँ इसका विवरण दिया गया है:

1. सेटअप: "पूरी तरह से जुड़ा हुआ" डांस फ्लोर

शोधकर्ताओं ने एक ऐसी प्रणाली का अध्ययन किया जहाँ प्रत्येक कण अन्य प्रत्येक कण के साथ समान रूप से परस्पर क्रिया (interact) करता है (जैसे कि एक पूरी तरह से जुड़ा हुआ नेटवर्क)। इस पूर्ण अवस्था में, यह प्रणाली "इंटीग्रेबल" (integrable) है।

उपमा: एक ऐसे गायक दल (choir) की कल्पना करें जहाँ प्रत्येक गायक पूरी तरह से तालमेल में है। वे केवल यादृच्छिक स्वर नहीं गा रहे हैं; वे बड़े, विशिष्ट "ब्लॉक्स" या "बैंड्स" में गा रहे हैं। अपनी पूर्ण समरूपता (symmetry) के कारण, वे इन विशिष्ट पैटर्न में फंसे हुए हैं और स्वाभाविक रूप से अराजक गड़बड़ी में नहीं बदलेंगे।

2. प्रयोग: चुप्पी तोड़ने के तीन तरीके

शोधकर्ताओं ने पूछा: "यदि हम इस पूर्ण प्रणाली को छेड़छाड़ (poke) करें तो क्या होगा?" उन्होंने तीन अलग-अलग प्रकार की "छेड़छाड़" (perturbations) आजमाईं:

प्रकार A: "स्पॉटलाइट" (Non-extensive)
- छेड़छाड़: आप भीड़ के बीच केवल एक व्यक्ति, या शायद दो लोगों के लिए संगीत बदल देते हैं।
- परिणाम: कुछ नहीं होता। बाकी गायक दल अपने पूर्ण ब्लॉक्स में गाना जारी रखते हैं। प्रणाली स्थिर और अनुमानित बनी रहती है।
- क्यों? समूह की "पूर्ण समरूपता" इतनी मजबूत है कि हजारों में से दो लोगों को अनदेखा करने से पैटर्न नहीं टूटता।
प्रकार B: "फुसफुसाती हवा" (Extensive One-Body)
- छेड़छाड़: आप हर किसी पर एक हल्की, थोड़ी अलग हवा चलाते हैं। शायद हवा बाईं ओर अधिक है और दाईं ओर कम, लेकिन यह सबको छूती है।
- परिणाम: फिर भी कुछ नहीं होता। भले ही हर कोई हवा को महसूस करता है, प्रणाली व्यवस्थित रहने का एक नया तरीका खोज लेती है। यह वैसा ही है जैसे गायक दल हवा के साथ तालमेल बिठाने के लिए अपना स्वर थोड़ा बदल लेता है, लेकिन फिर भी पूर्ण सामंजस्य में गाता रहता है। वे "इंटीग्रेबल" बने रहते हैं।
प्रकार C: "लहर प्रभाव" (Extensive Two-Body)
- छेड़छाड़: आप हर किसी को उनके निकटतम पड़ोसी के साथ एक नए तरीके से परस्पर क्रिया करने के लिए प्रेरित करते हैं। आप केवल व्यक्तियों के लिए नियम नहीं बदलते; आप इस नियम को बदलते हैं कि पड़ोसी कैसे हाथ पकड़ते हैं।
- परिणाम: पूर्ण अराजकता (Total Chaos)। भले ही आप यह परिवर्तन अति सूक्ष्म (infinitesimally small) स्तर पर करें (जैसे एक फुसफुसाहट), पूरी प्रणाली तुरंत बिखर जाती है। पूर्ण ब्लॉक्स टूट जाते हैं, नर्तक यादृच्छिक रूप से हिलने लगते हैं, और प्रणाली "अराजक" (chaotic) हो जाती है।
- ट्विस्ट: यह लघु-दूरी वाली प्रणालियों के विपरीत है, जहाँ आमतौर पर अराजकता पैदा करने के लिए एक बड़े झटके की आवश्यकता होती है। यहाँ, संबंधों में एक मामूली सा बदलाव भी तबाही मचा देता है।

3. बड़ी खोज: "खंडित" थर्मलइजेशन (Fragmented Thermalization)

जब प्रणाली अराजक होती है (प्रकार C), तो यह केवल एक बड़ा ढेर नहीं बनती। यह खंडों (fragments) में टूट जाती है।

उपमा: कल्पना करें कि डांस फ्लोर कई अलग-अलग द्वीपों में टूट गया है। प्रत्येक द्वीप पर, नर्तक अब अराजक और यादृच्छिक हैं। लेकिन द्वीप आपस में नहीं मिलते।
विज्ञान: इसे फ्रैगमेंटेड आइजनस्टेट थर्मलइजेशन (Fragmented Eigenstate Thermalization) कहा जाता है।
- पुराने दृष्टिकोण में, वैज्ञानिकों का मानना था कि लॉन्ग-रेंज प्रणालियाँ शायद कभी थर्मल (thermalize) नहीं होंगी (यानी कभी यादृच्छिक अवस्था तक नहीं पहुँचेंगी)।
- यह शोध पत्र दिखाता है कि वे थर्मल होते हैं, लेकिन केवल अपने स्वयं के छोटे द्वीपों (ऊर्जा बैंड्स) के भीतर।
- यदि आप पूरी भीड़ को देखते हैं, तो यह अजीब दिखता है। लेकिन यदि आप ऊर्जा के एक विशिष्ट "द्वीप" पर ज़ूम करते हैं, तो नर्तक बिल्कुल एक अराजक, थर्मल सिस्टम की तरह व्यवहार कर रहे होते हैं।

4. यह क्यों होता है? (गुप्त सूत्र)

इस व्यवहार का कारण समरूपता (Symmetry) है।

पूर्ण डांस फ्लोर के पास एक "सुपर-पावर" है जिसे परम्यूटेशन सिमेट्री (Permutation Symmetry) कहा जाता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप नर्तक A को नर्तक B के साथ बदल देते हैं; डांस वैसा ही दिखता है। यह भारी संख्या में "संरक्षित मात्राओं" (conserved quantities - वे नियम जो कभी नहीं बदलते) को जन्म देता है, जो प्रणाली को स्थिर रखता है।
प्रकार A और B की छेड़छाड़ इन नियमों में से पर्याप्त का सम्मान करती है जिससे प्रणाली सुरक्षित रहती है।
प्रकार C की छेड़छाड़ उन विशिष्ट नियमों को तोड़ देती है जो "द्वीपों" को एक साथ थामे रखते हैं, जिससे अराजकता तुरंत फैल जाती है।

सामान्य पाठक के लिए सारांश

एक लॉन्ग-रेंज क्वांटम सिस्टम को एक अत्यधिक स्थिर किले के रूप में सोचें।

यदि आप दीवार पर एक कंकड़ फेंकते हैं (प्रकार A) या उस पर एक मंद हवा चलाते हैं (प्रकार B), तो किला अडिग रहता है। यह अविश्वसनीय रूप से मजबूत है।
लेकिन, यदि आप ईंटों के बीच के गारे (mortar) को थोड़ा ढीला कर देते हैं (प्रकार C), तो पूरा किला तुरंत अराजक मलबे में बदल जाता है।
हालाँकि, एक बार जब यह टूट जाता है, तो मलबा एक एकल ढेर में नहीं मिलता। यह अलग-अलग, अराजक ढेरों में बदल जाता है। प्रत्येक ढेर के भीतर, अराजकता पूर्ण और अनुमानित है, लेकिन ढेर आपस में संवाद नहीं करते हैं।

यह क्यों मायने रखता है?
यह वैज्ञानिकों को क्वांटम कंप्यूटरों को समझने और जटिल सामग्रियों का अनुकरण (simulate) करने में मदद करता है। यह हमें बताता है कि जहाँ सब कुछ एक-दूसरे से जुड़ा हुआ है (जैसे ट्रैप्ड आयन या रिडबर्ग परमाणु), वहाँ हम केवल यह मानकर नहीं चल सकते कि "थोड़ा शोर अराजकता पैदा करता है।" हमें बहुत सावधान रहना होगा कि हम किस प्रकार का शोर पेश कर रहे हैं। कुछ शोर हानिरहित है; गलत प्रकार का थोड़ा सा शोर भी व्यवस्था को पूरी तरह नष्ट कर सकता है।

यहाँ सौम्या कांति पाल और ली एफ. सैंटोस के शोध पत्र "Fragmented eigenstate thermalization versus robust integrability in long-range models" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

कई-निकाय क्वांटम प्रणालियों (many-body quantum systems) में इंटीग्रैबिलिटी (integrability) की स्थिरता, थर्मलइज़ेशन (thermalization) और कैओस (chaos) को समझने के लिए एक मौलिक मुद्दा है। जबकि शॉर्ट-रेंज इंटरैक्टिंग सिस्टम्स में इंटीग्रैबिलिटी का टूटना अच्छी तरह से स्थापित है (जहाँ मामूली गड़बड़ी भी आमतौर पर कैओस उत्पन्न करती है), लॉन्ग-रेंज इंटरैक्टिंग सिस्टम्स का व्यवहार अभी भी अस्पष्ट है।

अंतराल (The Gap): लॉन्ग-रेंज इंटरैक्शन (जो ट्रैप्ड आयन और रिडबर्ग परमाणुओं में सर्वव्यापी हैं) मानक सांख्यिकीय यांत्रिकी धारणाओं (एडिटिविटी/एक्सटेंसिविटी) का उल्लंघन करते हैं। पिछले अध्ययनों ने परस्पर विरोधी परिणाम दिए हैं: कुछ ने सुझाव दिया कि मनमाने ढंग से छोटे व्यवधान भी कैओस उत्पन्न करते हैं, जबकि अन्य के लिए परिमित थ्रेशोल्ड (finite thresholds) की आवश्यकता होती है।
मूल प्रश्न: पूरी तरह से कनेक्टेड (fully connected) लॉन्ग-रेंज मॉडल्स में इंटीग्रैबिलिटी कैसे टूटती है? क्या इन सिस्टम्स में आइगेनस्टेट थर्मलइज़ेशन हाइपोथीसिस (ETH) लागू होता है, और यदि हाँ, तो किस रूप में?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक 1D स्पिन-1/2 मॉडल की जांच करते हैं जिसमें पावर-लॉ इंटरैक्शन (जो ट्रैप्ड-आयन प्लेटफॉर्म्स में साकार करने योग्य है) है, जिसे पूरी तरह से कनेक्टेड लिमिट ( $\alpha = 0$ ) में लिया गया है।

मॉडल: हैमिल्टनियन $\hat{H} = \frac{N_\alpha}{L} \sum_{i>j} \frac{J \hat{\sigma}^x_i \hat{\sigma}^x_j}{|i-j|^\alpha} + h \sum_i \hat{\sigma}^z_i$ है। $\alpha \to 0$ की सीमा में, यह लिपकिन-मेषकोव-ग्लिक (LMG) मॉडल में मैप होता है, जिसमें $SU(2)$ सिमेट्री और एक अत्यधिक डिजेनरेट (degenerate), बैंडेड एनर्जी स्पेक्ट्रम होता है।
परटर्बेशन वर्गीकरण (Perturbation Classification): लेखक स्थिरता का परीक्षण करने के लिए व्यवधानों (perturbations) को तीन प्रयोगों के लिए प्रासंगिक श्रेणियों में व्यवस्थित रूप से वर्गीकृत करते हैं:
1. नॉन-एक्सटेंसिव (Non-extensive): स्थानीय पद (1-body या 2-body) जिनका सपोर्ट सिस्टम के आकार $L$ से स्वतंत्र है (जैसे, एक एकल अशुद्धि/impurity)।
2. एक्सटेंसिव वन-बॉडी (Extensive One-body): यूनिफॉर्म या डिसऑर्डर्ड फील्ड जो सभी साइट्स पर कार्य करता है (जैसे, $\sum h_i \hat{\sigma}^z_i$ )।
3. एक्सटेंसिव टू-बॉडी (Extensive Two-body): स्थानीय 2-body पद जो सभी साइट्स पर कार्य करते हैं या इंटरैक्शन एक्सपोनेंट $\alpha$ में सूक्ष्म परिवर्तन हैं (जैसे, $\sum \hat{\sigma}^x_i \hat{\sigma}^x_{i+1}$ )।
विश्लेणात्मक और संख्यात्मक उपकरण (Analytical & Numerical Tools):
- डिजेनरेट परटर्बेशन थ्योरी: $\alpha=0$ की सीमा में डिजेनेरेसी को कैसे हटाया जाता है, इसका विश्लेषण करने के लिए लागू किया गया।
- सिमेट्री विश्लेषण: बैंडेड स्पेक्ट्रम और संरक्षित मात्राओं (conserved quantities) के मूल को समझाने के लिए शूर-वेय्ल द्वैतता (Schur-Weyl duality) और परम्यूटेशन सिमेट्री ग्रुप्स ( $S_L$ ) का उपयोग।
- कैओस डायग्नोस्टिक्स: लेवल स्पेसिंग रेश्यो ( $r$ ), स्पेक्ट्रल फॉर्म फैक्टर्स, एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी, और ETH चेक्स (डायगोनल और ऑफ-डायगोनल मैट्रिक्स एलिमेंट्स)।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

यह पेपर एक सामान्य सिमेट्री-आधारित फ्रेमवर्क स्थापित करता है जो पूरी तरह से कनेक्टेड सिस्टम्स में इंटीग्रैबिलिटी की स्थिरता को निर्धारित करता है। केंद्रीय निष्कर्ष एक स्पष्ट द्वैत (dichotomy) है: इंटीग्रैबिलिटी या तो मजबूत (robust) होती है या अत्यधिक नाजुक (extremely fragile) होती है, जो पूरी तरह से व्यवधान की संरचना पर निर्भर करती है।

A. सिमेट्री मैकेनिज्म

$\alpha=0$ मॉडल की इंटीग्रैबिलिटी लैटिस साइट्स के पेयरवाइज परम्यूटेशन ( $P_{ij}$ ) के तहत इनवेरियंस से उत्पन्न होती है। यह सिमेट्री एक व्यापक संरक्षित मात्राओं (conserved quantities) को जन्म देती है, जिसके परिणामस्वरूप एक अत्यधिक डिजेनरेट ऊर्जा बैंड्स वाला फ्रैगमेंटेड स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है।

मजबूती (Robustness): वे व्यवधान जो इन परम्यूटेशन सिमेट्रियों के एक उपसमुच्चय (subset) को बनाए रखते हैं, वे व्यापक संरक्षित मात्राओं को बनाए रखते हैं, जिससे सिस्टम इंटीग्रेबल रहता है।
नाजुकता (Fragility): वे व्यवधान जो इन सिमेट्रियों को व्यापक रूप से तोड़ते हैं, वे बैंड्स के भीतर डिजेनेरेसी को हटा देते हैं, जिससे सूक्ष्म शक्ति पर भी कैओस उत्पन्न होता है।

B. परटर्बेशन परिणामों का वर्गीकरण

क्लास (i) नॉन-एक्सटेंसिव और क्लास (ii) एक्सटेंसिव वन-बॉडी:
- ये व्यवधान एक व्यापक संख्या में संरक्षित चार्जेस को बनाए रखते हैं (या तो साइट्स के एक नगण्य अंश पर कार्य करके या अवशिष्ट परम्यूटेशन सिमेट्री के माध्यम से ब्लॉक-डायगोनल संरचना बनाए रखकर)।
- परिणाम: इंटीग्रैबिलिटी मजबूत (robust) है। सिस्टम गैर-कैओटिक (पॉइसोनियन लेवल स्टैटिस्टिक्स) बना रहता है, भले ही परटर्बेशन की शक्ति परिमित हो।
- नोट: क्लास (ii) में डिसऑर्डर्ड ट्रांसवर्स फील्ड्स रिचर्डसन-गौडिन इंटीग्रेबल मॉडल्स में मैप होते हैं।
क्लास (iii) एक्सटेंसिव टू-बॉडी:
- ये व्यवधान (जिसमें निकटतम-पड़ोसी इंटरैक्शन या सूक्ष्म $\alpha > 0$ शामिल हैं) डिजेनरेट बैंड्स के लिए आवश्यक पेयरवाइज परम्यूटेशन सिमेट्री को तोड़ देते हैं।
- परिणाम: इंटीग्रैबिलिटी अत्यंत नाजुक (extremely fragile) है। कैओस सूक्ष्म शक्ति (infinitesimal strength) पर ही ट्रिगर हो जाता है। व्यवधान प्रथम क्रम (first order) में डिजेनेरेसी को हटा देता है, जिससे तुरंत विग्नर-डायसन (Wigner-Dyson) स्टैटिस्टिक्स प्राप्त होता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

फ्रैगमेंटेड आइगेनस्टेट थर्मलइज़ेशन (ETH)

पिछले दावों के विपरीत कि लॉन्ग-रेंज सिस्टम्स में ETH विफल हो जाता है, लेखक प्रदर्शित करते हैं कि ETH काम करता है, लेकिन एक "फ्रैगमेंटेड" तरीके से।

समस्या: पूरे स्पेक्ट्रम का विश्लेषण करना (जो विभिन्न सिमेट्री सेक्टर्स को मिला देता है) थर्मलइज़ेशन को धुंधला कर देता है और ETH की विफलता का संकेत देता है।
समाधान: जब विश्लेषण को व्यक्तिगत ऊर्जा बैंड्स (जो कुल स्पिन $S^2$ $S^{2}$ जैसे अनुमानित संरक्षित मात्राओं द्वारा परिभाषित हैं) तक सीमित किया जाता है, तो सिस्टम कैओटिक व्यवहार करता है।
- डायगोनल ETH: ऑब्जर्वेबल्स के आइगेनस्टेट एक्सपेक्टेशन वैल्यूज ऊर्जा के साथ एक बैंड के भीतर सुचारू रूप से बदलते हैं।
- ऑफ-डायगोनल ETH: ऑफ-डायगोनल मैट्रिक्स एलिमेंट्स एक गाऊसी वितरण (Gaussian distribution) का पालन करते हैं।
- एंटैंगलमेंट: बैंड के भीतर के आइगेनस्टेट्स थर्मल स्टेट्स के अनुरूप वॉल्यूम-लॉ एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी प्रदर्शित करते हैं।
निष्कर्ष: माइक्रोकेमिकल शेल्स को इन सिमेट्री-परिभाषित सेक्टर्स के भीतर बनाया जा सकता है। पिछले कार्यों में देखा गया ETH का "ब्रेकडाउन" वास्तव में अलग-अलग सिमेट्री सेक्टर्स के मिश्रण का एक आर्टिफैक्ट था।

परटर्बेटिव मैकेनिज्म

डिजेनरेट परटर्बेशन थ्योरी का उपयोग करते हुए, लेखक दिखाते हैं कि क्लास (iii) के लिए, एक डिजेनरेट बैंड के भीतर प्रोजेक्ट किया गया परटर्बेशन मैट्रिक्स अलग-अलग आइगेनवैल्यू और लेवल रिपल्शन (विग्नर-डायसन) प्रदर्शित करता है, यहाँ तक कि प्रथम क्रम पर भी। यह पुष्टि करता है कि कैओस अलग-अलग बैंड्स के हाइब्रिडाइज होने से पहले ही बैंड्स के भीतर उभर आता है।

5. महत्व (Significance)

सैद्धांतिक ढांचा (Theoretical Framework): यह केवल इंटरैक्शन रेंज के बजाय सिमेट्री रिडक्शन (परम्यूटेशन ग्रुप्स) पर आधारित इंटीग्रैबिलिटी स्थिरता के लिए एक भविष्य कहनेवाला मानदंड प्रदान करता है। यह समझाता है कि क्यों कुछ लॉन्ग-रेंज सिस्टम थर्मल होते हैं जबकि अन्य नहीं।
विरोधाभासों का समाधान: यह 'फ्रैगमेंटेड ETH' की अवधारणा पेश करके लॉन्ग-रेंज सिस्टम्स में ETH के बारे में विरोधाभासी साहित्य को स्पष्ट करता है। यह कैओस (विग्नर-डायसन स्टैटिस्टिक्स) की उपस्थिति और संरक्षित मात्राओं के अस्तित्व के बीच सामंजस्य स्थापित करता है।
प्रायोगिक प्रासंगिकता: ये निष्कर्ष ट्रैप्ड आयन और रिडबर्ग परमाणुओं के वर्तमान प्रयोगों के लिए सीधे तौर पर लागू होते हैं, जहाँ लॉन्ग-रेंज कपलिंग ट्यून करने योग्य होती है। यह सुझाव देता है कि थर्मलइज़ेशन देखने के लिए विशिष्ट प्रकार के व्यवधानों (Class iii) को लागू करना या सिमेट्री सेक्टर्स को सावधानीपूर्वक अलग करना आवश्यक है।
वैचारिक बदलाव (Conceptual Shift): यह इस धारणा को चुनौती देता कि लॉन्ग-रेंज सिस्टम्स में "कोई भी" व्यवधान इंटीग्रैबिलिटी को तोड़ देता है, यह दिखाते हुए कि इंटीग्रैबिलिटी विशिष्ट वर्गों (Class iii) के विरुद्ध उल्लेखनीय रूप से मजबूत हो सकती है।

संक्षेप में, यह पेपर प्रदर्शित करता है कि पूरी तरह से कनेक्टेड क्वांटम सिस्टम्स में, इंटीग्रैबिलिटी का भाग्य परम्यूटेशन सिमेट्री और व्यवधान की स्थानिक संरचना (spatial structure) के बीच के अंतर्संबंध द्वारा शासित होता है, जिससे "फ्रैगमेंटेड थर्मलइज़ेशन" का एक नया शासन (regime) उत्पन्न होता है जहाँ कैओस और इंटीग्रैबिलिटी हिल्बर्ट स्पेस के विभिन्न सेक्टर्स में सह-अस्तित्व में रहते हैं।