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Stringy Constraints on Modular Flavor Models

यह शोध पत्र मॉड्यूलर फ्लेवर मॉडल्स पर पर्सर्बेटिव हेटेरोटिक स्ट्रिंग बाधाओं की जांच करता है, जिससे यह प्रकट होता है कि बड़े वॉल्यूम शासन (large volume regime) में बड़ा मोडुलस सीमा ( $\tau \simeq i \infty$ ) और स्व-द्वैत बिंदु ( $\tau = i$ ) असंगत या प्रतिकूल हैं, जिससे फ्लेवर संरचना के लिए व्यवहार्य पैरामीटर स्पेस काफी सीमित हो जाता है।

मूल लेखक: Keiya Ishiguro, Takafumi Kai, Tatsuo Kobayashi, Hajime Otsuka

प्रकाशित 2026-10-28

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Keiya Ishiguro, Takafumi Kai, Tatsuo Kobayashi, Hajime Otsuka

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

ब्रह्मांड नियमों के एक समूह पर बना है जो यह नियंत्रित करते हैं कि कण कैसे परस्पर क्रिया करते हैं, लेकिन इन नियमों के विशिष्ट मान रहना भौतिकी की सबसे बड़ी पहेलियों में से एक है। कुछ कण दूसरों की तुलना में अधिक भारी क्यों होते हैं? वे देखे गए विशिष्ट पैटर्न में कैसे मिश्रित होते हैं? दशकों तक, भौतिकविदों ने इन "फ्लेवर" रहस्यों को समझाने के लिए एक गहरे समरूपता (सिमेट्री) की तलाश की है, ठीक वैसे ही जैसे एक जटिल टेपेस्ट्री में छिपे हुए पैटर्न को खोजना। एक आशाजनक विचार सुझाव देता है कि अतिरिक्त आयामों (extra dimensions)—जो हमारे द्वारा अनुभव किए जाने वाले तीन आयामों के परे छिपे हुए स्थान हैं—की ज्यामिति इन पैटर्न को निर्धारित करती है। इस दृष्टिकोण में, इन छिपे हुए आयामों का आकार और माप स्थिर नहीं हैं; वे गतिशील चर हैं जिन्हें 'मोडुली' (moduli) कहा जाता है। यदि ये चर कुछ विशिष्ट मानों पर स्थिर हो जाते हैं, तो वे स्वाभाविक रूप से प्रकृति में देखे जाने वाले द्रव्यमान पदानुक्रम (mass hierarchies) और मिश्रण कोणों (mixing angles) को उत्पन्न कर सकते हैं। हालांकि, एक महत्वपूर्ण प्रश्न अनसुलझा रहा है: इन अनंत संभावित मानों में से वास्तव में कौन से मान ब्रह्मांड के मौलिक नियमों द्वारा अनुमत हैं?

शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस प्रश्न की जांच करके इस पर काम किया है, जिसमें स्ट्रिंग थ्योरी (string theory) का अध्ययन किया गया है, जो भौतिकी के एक एकीकृत सिद्धांत का अग्रणी उम्मीदवार है। उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार की स्ट्रिंग थ्योरी पर ध्यान केंद्रित किया जिसे 'हेटरोटिक स्ट्रिंग' (heterotic string) कहा जाता है, जो एक टोरोइडल ऑर्बिफोल्ड (toroidal orbifold) पर संकुचित (compactified) है—एक विशिष्ट, दोहराते पैटर्न में अतिरिक्त आयामों को लपेटकर बनाई गई एक ज्यामितीय आकृति। इस ढांचे में, मोडुली के मान केवल अमूर्त संख्याएं नहीं हैं; वे कणों के बीच बलों की शक्ति को सीधे नियंत्रित करते हैं। शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि यदि ये मोडुली कुछ चरम मान धारण करते हैं, तो सिद्धांत का गणितीय विवरण टूट जाता है, जिससे वह अविश्वसनीय हो जाता है। क्वांटम स्तर पर गेज बलों (gauge forces) की शक्ति पर ये मोडुली कैसे प्रभाव डालते, इसकी गणना करके, उन्होंने उन सख्त सीमाओं को निकाला कि ये चर कहाँ अस्तित्व में रह सकते हैं बिना सिद्धांत की निरंतरता को नष्ट किए।

अध्ययन से पता चलता है कि ब्रह्मांड इन छिपे हुए आकारों के प्रति पहले की उम्मीद से कहीं अधिक चयनात्मक है। शोधकर्ताओं ने पाया कि यदि मोडुली बहुत बड़े मान लेते हैं—जो अतिरिक्त आयामों के बहुत बड़े आयतन (volume) के अनुरूप है—तो सिद्धांत असंगत हो जाता है। यह प्रभावी रूप से मॉडलों के एक लोकप्रिय वर्ग को खारिज करता है जहाँ पदार्थ की फ्लेवर संरचना का निर्धारण 'इनफिनिट साइज' (अनंत आकार) के बिंदु पर स्थित मोडुलस द्वारा किया जाता है। इसके अलावा, उन्होंने पाया कि एक विशिष्ट, सममित बिंदु पर, जिसे 'सेल्फ-ड्यूअल पॉइंट' (self-dual point) कहा जाता है, सिद्धांत तब भी वैध रहने के लिए संघर्ष करता है यदि अतिरिक्त आयाम बहुत बड़े हों। एकमात्र क्षेत्र जहाँ सिद्धांत बना रहता है, वह आश्चर्यजनक रूप से संकीर्ण है, जो समरूपता के विशिष्ट, निश्चित बिंदुओं के आसपास मजबूती से क्लस्टर (समूहित) होता है।

इन निष्कर्षों तक पहुँचने के लिए, टीम ने "थ्रेशोल्ड करेक्शन" (threshold corrections) का विश्लेषण किया, जो भारी कणों के क्वांटम उतार-चढ़ाव से उत्पन्न होने वाले बल की शक्ति में होने वाले सूक्ष्म समायोजन हैं। एक सुसंगत सिद्धांत में, ये सुधार मुख्य 'ट्री-लेवल' बल शक्ति से छोटे रहने चाहिए। शोधकर्ताओं ने गणना की कि जैसे-जैसे मोडुली बदलते हैं, ये सुधार कैसे व्यवहार करते हैं। उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे मोडुली बड़े होते जाते हैं, ये सुधार तेजी से (exponentially) बढ़ते हैं, और अंततः मुख्य बल को अभिभूत कर देते हैं और गणितीय ढांचे को ध्वस्त कर देते हैं। यह पतन एक 'कॉस्मिक स्पीड लिमिट' (ब्रह्मांडीय गति सीमा) के रूप में कार्य करता है, जो मोडुली को उन बड़े मानों तक पहुँचने से रोकता है जिन पर कई फ्लेवर मॉडलों ने पदार्थ की विविधता को समझाने के लिए भरोसा किया था।

कण भौतिकी के बारे में हमारी समझ के लिए इसके निहितार्थ महत्वपूर्ण हैं। कई सैद्धांतिक मॉडलों ने माना था कि फ्लेवर संरचना को नियंत्रित करने वाला मोडुलस एक बड़े मान पर स्थित हो सकता है, शायद अन्य तंत्रों द्वारा स्थिर किया गया हो। यह नया विश्लेषण बताता है कि ऐसे परिदृश्य स्ट्रिंग थ्योरी के मानक पंक्चरबेटिव (perturbative) ढांचे के भीतर संभवतः असंभव हैं। इसके बजाय, मोडुलस को मूल बिंदु (origin) के बहुत करीब रहने के लिए मजबूर किया जाता है, एक ऐसा क्षेत्र जहाँ ज्यामिति कड़ाई से नियंत्रित होती है। यह खोज उन मॉडलों की व्यवहार्यता को चुनौती देती है जो क्वार्क्स और लेप्टोन के देखे गए पैटर्न को उत्पन्न करने के लिए बड़े अतिरिक्त आयामों पर निर्भर करते हैं। यह सुझाव देता है कि ब्रह्मांड की फ्लेवर संरचना एक विशाल, लचीली ज्यामिति का परिणाम नहीं है, बल्कि एक बहुत ही विशिष्ट, छोटी विन्यास (configuration) के कारण होने वाली घटना है।

शोधकर्ताओं ने यह भी पता लगाया कि छिपे हुए आयामों में विभिन्न समरूपताएं (symmetries) इन बाधाओं को कैसे प्रभावित करती हैं। उन्होंने पाया कि समरूपता का विशिष्ट प्रकार यह निर्धारित करता है कि मोडुली कितनी सख्ती से सीमित हैं। कुछ मामलों में, अनुमत क्षेत्र इतना छोटा है कि यह अनिवार्य रूप से मोडुलस को एक एकल बिंदु तक सीमित कर देता है। अन्य मामलों में, एक थोड़ा बड़ा क्षेत्र अनुमत है, लेकिन यह पहले कल्पना की गई विशाल जगहों की तुलना में बहुत छोटा बना रहता है। अध्ययन इस बात पर प्रकाश डालता है कि अतिरिक्त आयामों के आकार और बलों की शक्ति के बीच का संबंध अत्यंत नाजुक है; आकार में थोड़ी सी वृद्धि सिद्धांत के पूर्ण पतन का कारण बन सकती है। यह नाजुक संतुलन बताता है कि ब्रह्मांड के मौलिक पैरामीटर मनमाने नहीं हैं, बल्कि अंतर्निहित सिद्धांत की निरंतरता द्वारा निर्देशित एक कठोर चयन प्रक्रिया का परिणाम हैं।

अध्ययन में 'डाइलेटन' (dilaton) की भूमिका पर भी चर्चा की गई है, जो स्ट्रिंग कपलिंग की शक्ति से संबंधित एक क्षेत्र है। शोधकर्ताओं ने पाया कि यदि कपलिंग कमजोर है, तो प्रतिबंध और भी कड़े हो जाते हैं। इसका अर्थ है कि जिन क्षेत्रों में सिद्धांत सबसे अधिक विश्वसनीय है, वहाँ मोडुली पर प्रतिबंध सबसे गंभीर हैं। विश्लेषण बताता है कि मोडुली के बड़े काल्पनिक भाग (imaginary parts), जो बड़े आयतन के अनुरूप हैं, सिद्धांत के साथ असंगत हैं। यह निष्कर्ष उन मॉडलों के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक है जो 'रेडिएटिव स्टेबिलाइजेशन' (radiative stabilization) तंत्र के माध्यम से फ्लेवर संरचना को समझाने का प्रयास करते हैं, जो अक्सर मोडुलस के बड़े मानों की भविष्यवाणी करते हैं। नए प्रतिबंध बताते हैं कि ऐसे तंत्रों का पुनर्मूल्यांकन करने की आवश्यकता है या उन्हें बहुत संकीर्ण विंडो के भीतर काम करना होगा।

अंततः, यह कार्य मॉड्यूलर फ्लेवर मॉडलों की व्यवहार्यता के लिए एक कठोर परीक्षण प्रदान करता है। मॉडलों की सीमाओं को मैप करके जहाँ सिद्धांत सुसंगत रहता है, शोधकर्ताओं ने मोडुली स्पेस के उन क्षेत्रों की पहचान की है जो भौतिक रूप से अनुमत हैं। परिणाम दिखाते हैं कि संभावित ब्रह्मांडों का परिदृश्य अक्सर की जाने वाली सैद्धांतिक खोजों में चित्रित व्यापक, खुले स्थानों की तुलना में बहुत अधिक प्रतिबंधित है। ब्रह्मांड, ऐसा प्रतीत होता है, एक ऐसी ज्यामिति पसंद करता है जो छोटी, सममित और कड़ाई से नियंत्रित है। इसका मतलब यह नहीं है कि मॉड्यूलर फ्लेवर सिमेट्री का विचार गलत है, बल्कि यह है कि हमारे ब्रह्मांड में यह जिस विशिष्ट तरीके से प्रकट होता है, उसे इन सख्त 'स्ट्रिंगी' सीमाओं का पालन करना चाहिए। सिद्धांतकारों के लिए आगे का रास्ता अब स्पष्ट है: उन्हें ऐसे मॉडल बनाने होंगे जो इन सीमाओं का सम्मान करें, उन विशिष्ट 'फिक्स्ड पॉइंट्स' पर ध्यान केंद्रित करें जहाँ सिद्धांत मजबूत बना रहता है और फ्लेवर संरचना को स्वाभाविक रूप से समझाया जा सकता है।

तकनीकी सारांश: मॉडुलर फ्लेवर मॉडल्स पर स्ट्रिंगी बाधाएं (Stringy Constraints)

समस्या विवरण
मॉडुलर फ्लेवर मॉडल्स (Modular flavor models) क्वार्क्स और लेप्टोन के फ्लेवर स्ट्रक्चर (द्रव्यमान पदानुक्रम, मिश्रण कोण और CP फेजेस) को समझाने के लिए एक सम्मोहक ढांचा प्रदान करते हैं, जो उन्हें एक जटिल मोडुलस, $\tau$ , के वैक्यूम एक्सपेक्टेशन वैल्यू (VEV) से जोड़ते हैं। इन मॉडल्स में, $\tau$ उच्च-आयामी सिद्धांतों, जैसे कि कॉम्प्लेक्स-स्ट्रक्चर और काहलर मोडुलि (Kähler moduli) के ज्यामितीय डिग्री ऑफ फ्रीडम से उत्पन्न होता है। जबकि बॉटम-अप दृष्टिकोण अक्सर प्रायोगिक डेटा को फिट करने के लिए $\tau$ को विशिष्ट मानों पर स्थिर करते हैं, टॉप-डाउन दृष्टिकोण के लिए यह आवश्यक है कि ये मान अंतर्निहित स्ट्रिंग थ्योरी के साथ सुसंगत हों। विवर्तित (perturbative) हेटेरोटिक स्ट्रिंग वेकुआ (vacua) के भीतर $\tau$ के अनुमत पैरामीटर स्पेस को समझने में एक महत्वपूर्ण अंतर मौजूद है। विशेष रूप से, यह स्पष्ट नहीं है कि मॉडल्स में अक्सर उपयोग किए जाने वाले बड़े $\tau$ के मान (जैसे, $\tau \simeq i\infty$ ) या विशिष्ट फिक्स्ड पॉइंट्स (जैसे, $\tau = i$ ) विवर्तित सिद्धांत की वैधता के अनुकूल हैं या नहीं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक हेटेरोटिक स्ट्रिंग वेकुआ पर टोरोइडल ऑर्बिफोल्ड्स (toroidal orbifolds) में गेज कपलिंग के मोडुल-डिपेंडेंट वन-लूप थ्रेशोल्ड करेक्शन्स (one-loop threshold corrections) का विश्लेषण करके मोडुलि स्पेस पर स्ट्रिंगी बाधाओं की जांच करते हैं। कार्यप्रणाली इस प्रकार है:

ढांचा (Framework): अध्ययन को टोरोइडल ऑर्बिफोल्ड्स ( $T^6/\mathbb{Z}_4$ और $T^6/\mathbb{Z}_{6-II}$ ) पर विवर्तित हेटेरोटिक स्ट्रिंग थ्योरी के भीतर सेट किया गया है। स्ट्रिंग स्केल पर गेज कपलिंग्स डाइलटन ( $S$ ) द्वारा ट्री-लेवल पर निर्धारित होती हैं और एक-लूप स्तर पर मैसिव स्ट्रिंग मोड्स से सुधार (correks) प्राप्त करती हैं।
थ्रेशोल्ड करेक्शन: लेखक द्वारा उपयोग किए गए थ्रेशोल्ड करेक्शन ( $\Delta_a$ ) का सामान्य सूत्र, जो संदर्भ [32–34] से लिया गया है, काहलर मोडुलस ( $T$ ) और कॉम्प्लेक्स-स्ट्रक्चर मोडुलस ( $U$ ) पर निर्भर करता है। ये करेक्शन टारगेट स्पेस डुअलिटी सिमेट्रियों (जैसे $PSL(2, \mathbb{Z})$ , $\bar{\Gamma}_0(n)$ , और $\bar{\Gamma}_0(n)$ के संयोजन) के आधार पर वर्गीकृत हैं, जो विभिन्न ऑर्बिफोल्ड ट्विस्ट और रूट लैटिस के अनुरूप हैं।
विवर्तित मानदंड (Perturbative Criterion): विवर्तित विवरण की वैधता सुनिश्चित करने के लिए, ट्री-लेवल गेज कपलिंग (जो डाइलटन के काल्पनिक भाग $\text{Im}S$ के समानुपाती है) थ्रेशोल्ड करेक्शन पर हावी होनी चाहिए। इससे निम्नलिखित असमानता प्राप्त होती है:
$16\pi^2 k_a \text{Im}S > |\Delta_a|$
जहाँ $k_a$ काक-मूडी लेवल (Kac-Moody level) है।
विश्लेषण: लेखक डेडेकिंड एटा फंक्शन्स ( $\eta(\tau)$ ) से जुड़े थ्रेशोल्ड करेक्शन फंक्शन्स का डाइलटन VEV ( $\text{Im}S$ ), बीटा-फंक्शन कोएफिशिएंट्स ( $b_a^{N=2}$ ), और मोडुलियों के अनुपात ( $T = aU$ ) के विरुद्ध मूल्यांकन करके $T$ और $U$ पर स्पष्ट बाधाएं प्राप्त करते हैं। वे $\text{Im}\tau > 1$ वाले क्षेत्रों के लिए लैम्बर्ट W फंक्शन (Lambert W function) का उपयोग करके और $\text{Im}\tau \lesssim 1$ वाले क्षेत्रों के लिए संख्यात्मक (numerically) रूप से इन बाधाओं का विश्लेषण करते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

बाधाओं का वर्गीकरण: शोध पत्र विभिन्न ऑर्बिफोल्ड्स के लिए थ्रेशोल्ड करेक्शन को उनके टारगेट स्पेस मोडुलर सिमेट्रीज (जैसे, $PSL_T(2, \mathbb{Z}) \times PSL_U(2, \mathbb{Z})$ , $\bar{\Gamma}_0^T(2) \times (\bar{\Gamma}_U)_0(2)$ , आदि) के आधार पर पांच समूहों में व्यवस्थित रूप से वर्गीकृत करता है।
मोडुलि पर सामान्य बाधाएं:
- बड़े मोडुलि (Large Moduli): अध्ययन से पता चलता है कि फ्लेवर स्ट्रक्चर को नियंत्रित करने वाला मोडुलस (विशेष रूप से $\tau \simeq i\infty$ , जो बड़े $\text{Im}\tau$ के अनुरूप है) के बड़े मान, विवर्तित स्ट्रिंग थ्योरी के साथ असंगत हैं। थ्रेशोल्ड करेक्शन बहुत बड़े हो जाते हैं जिससे वे ट्री-लेवल कपलिंग के उप-प्रमुख (subdominant) नहीं रह जाते।
- पैरामीटर्स पर निर्भरता: बाधाएं और मजबूत (अर्थात, अनुमत क्षेत्र छोटा हो जाता है) हो जाती हैं यदि:
  1. डाइलटन VEV ( $\text{Im}S$ ) घटता है।
  2. बीटा-फंक्शन कोएफिशिएंट ( $|b_a^{N=2}|$ ) बढ़ता है।
  3. काहलर और कॉम्प्लेक्स-स्ट्रक्चर मोडुलियों के बीच का अनुपात ( $T/U$ ) बढ़ता है।
- फिक्स्ड पॉइंट्स: बड़े वॉल्यूम शासन (large volume regime, $T \gg 1$ ) में, सेल्फ-ड्यूल पॉइंट $\tau = i$ को नापसंद किया जाता है। हालांकि, फिक्स्ड पॉइंट $\tau = \omega$ (जहाँ $\omega = e^{2\pi i/3}$ ) बड़े वॉल्यूम शासन में भी अनुमत रहता है, विशेष रूप से कुछ डुअलिटी सिमेट्रियों के लिए।
विशिष्ट ऑर्बिफोल्ड परिणाम:
- $PSL(2, \mathbb{Z}) \times PSL(2, \mathbb{Z})$ मामले के लिए, $\text{Im}U$ के लिए अनुमत क्षेत्र लैम्बर्ट W फंक्शन का अनुसरण करने वाले एक वक्र द्वारा सीमित है। विशिष्ट मानों ( $\text{Im}S \sim 2$ , $b_a^{N=2} \sim 10$ ) के लिए, $\text{Im}U$ को $\lesssim 34$ तक सीमित किया गया है।
- $\bar{\Gamma}_0(n)$ सिमेट्रीज वाले ऑर्बिफोल्ड्स (जैसे, $T^6/\mathbb{Z}_4$ ) के लिए, बाधाएं मोडुलियों के विशिष्ट अनुपात पर निर्भर करती हैं। कुछ मामलों में (जैसे, $aT = U$ ), बाधाएं मानक $PSL(2, \mathbb{Z})$ मामले की तुलना में काफी अधिक सख्त हैं, जो बड़े बीटा-फंक्शन कोएफिशिएंट्स के लिए मौलिक क्षेत्र (fundamental region) को पूरी तरह से बाहर कर सकती हैं।
- संख्यात्मक विश्लेषण से पता चलता है कि बड़े बीटा-फंक्शन कोएफिशिएंट्स ( $b_a^{N=2} > 90$ ) के लिए, डुअलिटी सिमेट्री के मौलिक क्षेत्र के भीतर विवर्तित विवरण की गारंटी नहीं दी जा सकती।

महत्व और फेनोमेनोलॉजिकल निहितार्थ
यह शोध दावा करता है कि इन स्ट्रिंगी बाधाओं के मॉडुलर फ्लेवर मॉडल्स पर गहरे प्रभाव हैं:

बड़े मोडुलि परिदृश्यों का बहिष्करण: रेडिएटिव मोडुल स्टेबिलाइजेशन (radiative moduli stabilization) के माध्यम से हाइरार्किकल युकावा कपलिंग्स (hierarchical Yukawa couplings) उत्पन्न करने के लिए बड़े काल्पनिक भाग (जैसे, $\text{Im}\tau \sim 10$ या अधिक) पर निर्भर मॉडल्स को विवर्तित हेटेरोटिक स्ट्रिंग थ्योरी में समाहित करना कठिन है।
फिक्स्ड पॉइंट्स की प्राथमिकता: बाधाएं बताती हैं कि फेनोमेनोलॉजिकली व्यवहार्य मॉडल्स डुअलिटी सिमेट्री के फिक्स्ड पॉइंट्स (विशेष रूप से $\tau = \omega$ ) के पास होने की अधिक संभावना रखते हैं, बजाय इसके कि वे कस्प ( $\tau = i\infty$ ) या सेल्फ-ड्यूल पॉइंट ( $\tau = i$ ) पर हों।
मॉडल बिल्डिंग मार्गदर्शन: यह परिणाम टॉप-डाउन मॉडल बिल्डिंग के लिए एक मात्रात्मक "फ़िल्टर" प्रदान करते हैं। हेटेरोटिक ऑर्बिफोल्ड्स से निर्मित किसी भी मॉडुलर फ्लेवर मॉडल को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि उसका अनुमानित मोडुलस VEV, डाइलटन और बीटा-फंक्शन कोएफिशिएंट्स द्वारा परिभाषित विवर्तित रूप से अनुमत क्षेत्र के भीतर हो।
सीमाएं: लेखक नोट करते हैं कि उनका विश्लेषण पूरी तरह से विवर्तित (perturbative) है। गैर-विवर्तित (non-perturbative) प्रभाव, जिन्हें शामिल नहीं किया गया है, संभावित रूप से इन निष्कर्षों को बदल सकते हैं। इसके अतिरिक्त, यह अध्ययन टोरोइडल ऑर्बिफोल्ड्स पर केंद्रित है, और बाधाएं कैलिबी-यौ (Calabi-Yau) कॉम्पैक्टिफिकेशन के लिए भिन्न हो सकती हैं।

संक्षेप में, यह कार्य स्थापित करता है कि हेटेरोटिक स्ट्रिंग थ्योरी में विवर्तित वैधता की आवश्यकता मोडुल के मानों पर सख्त ऊपरी सीमाएं लगाती है, जो बहुत बड़े मोडुलि वाले परिदृश्यों को प्रभावी रूप से खारिज करती है और मॉडुलर सिमेट्री के विशिष्ट फिक्स्ड पॉइंट्स का पक्ष लेती है।

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