⚛️ general relativity

Exploration of Parameters in f(R,T) Gravity and Comparison with Type Ia Supernovae Data

यह शोध पत्र विशिष्ट मॉडल $f(R,T)=R+\lambda T^\epsilon$ का उपयोग करते हुए $f(R,T)$ गुरुत्वाकर्षण के ढांचे के भीतर ब्रह्मांड के ब्रह्मांडीय विस्तार की जांच करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि यह मॉडल कुछ पैरामीटर श्रेणियों के लिए टाइप Ia सुपरनोवा डेटा के अनुकूल हो सकता है, यह मानक ब्रह्मांडीय मॉडल की तुलना में काफी खराब प्रदर्शन करता है जब घातांक $\epsilon$ शून्य के करीब पहुंच जाता है।

मूल लेखक: Vincent R. Siggia, Eric D. Carlson, P. Lee Pryor

प्रकाशित 2026-03-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Vincent R. Siggia, Eric D. Carlson, P. Lee Pryor

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: हम यह क्यों देख रहे हैं?

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल गुब्बारे की तरह है जिसे फुलाया जा रहा है। लंबे समय तक वैज्ञानिकों को लगा कि इसके अंदर की हवा खत्म हो रही है, और गुब्बारा अंततः फैलना बंद कर देगा या सिकुड़ जाएगा। लेकिन 1990 के दशक के अंत में हमें कुछ चौंकाने वाला पता चला: गुब्बारा सिर्फ फैल ही नहीं रहा है; बल्कि इसकी रफ्तार बढ़ रही है। यह ऐसा है जैसे कोई गुप्त रूप से इसमें तेजी से और अधिक हवा पंप कर रहा है।

इस "गुप्त पंप" के लिए मानक स्पष्टीकरण डार्क एनर्जी (Dark Energy) है (जिसे अक्सर $\Lambda$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है)। यह ब्रह्मांड का "मानक मॉडल" ( $\Lambda$ CDM) है। यह अच्छा काम करता है, लेकिन यह एक जादू के खेल जैसा महसूस होता है—हम जानते हैं कि गुब्बारा तेजी से फैल रहा है, लेकिन हमें वास्तव में यह नहीं पता कि वह पंप किस चीज से बना है।

नया विचार: एक अलग प्रकार का गुरुत्वाकर्षण

इस शोध पत्र के लेखक (विन्सेंट, एरिक और पी. ली) पूछ रहे हैं: "क्या होगा यदि हमें किसी जादुई पंप की आवश्यकता ही न हो? क्या होगा यदि गुरुत्वाकर्षण के नियम स्वयं थोड़े अलग हों?"

आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता (General Relativity) में, गुरुत्वाकर्षण एक ट्रैम्पोलिन की तरह है। यदि आप उस पर एक भारी बॉलिंग बॉल (एक तारा) रखते हैं, तो ट्रैम्पोलिन झुक जाता है, और कंचे उसकी ओर लुढ़कने लगते हैं।

मानक गुरुत्वाकर्षण: वक्र (curve) इस बात पर निर्भर करता है कि गेंद कितनी भारी है (पदार्थ/ऊर्जा)।
इस शोध पत्र का विचार ( $f(R, T)$ गुरुत्वाकर्षण): लेखक सुझाव देते हैं कि ट्रैम्पोलिन का कपड़ा थोड़ा "चिपचिपा" (sticky) या "प्रतिक्रियाशील" (reactive) है। वक्र केवल गेंद के वजन पर ही नहीं, बल्कि इस पर भी निर्भर करता है कि कपड़ा गेंद के दबाव को कैसे महसूस करता है।

वे एक नया सूत्र प्रस्तावित करते हैं: गुरुत्वाकर्षण = मानक गुरुत्वाकर्षण + एक "चिपचिपा" पद (Term)।
वे इस चिपचिपे पद को $\lambda T^\epsilon$ कहते हैं।

$\lambda$ बस एक शक्ति का नॉब (strength knob) है।
$T$ ब्रह्मांड में पदार्थ का "दबाव" या "तनाव" है।
$\epsilon$ (एप्सिलॉन) इस चिपचिपाहट का आकार (shape) है।

प्रयोग: चिपचिपाहट के आकार का परीक्षण करना

लेखक यह देखना चाहते थे कि क्या इस चिपचिपाहट के "आकार" ( $\epsilon$ ) को बदलकर यह समझाया जा सकता है कि ब्रह्मांड क्यों तेज हो रहा है, बिना उस रहस्यमय डार्क एनर्जी की आवश्यकता के।

उन्होंने तीन मुख्य परिदृश्यों का परीक्षण किया:

1. "ऋणात्मक चिपचिपाहट" ( $\epsilon < 0$ )

उपमा: कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक सड़क पर चल रही कार है। शुरुआत में, सड़क समतल है (सामान्य गुरुत्वाकर्षण)। लेकिन जैसे-जैसे कार तेज होती है और ईंधन (पदार्थ) कम होता जाता है, सड़क अचानक एक ढलान (downhill slope) में बदल जाती है जो लगातार तीव्र होती जाती है।

क्या हुआ: जब उन्होंने $\epsilon$ के ऋणात्मक मानों का परीक्षण किया, तो गणित ने दिखाया कि ब्रह्मांड अरबों वर्षों तक सामान्य व्यवहार करता है (हमारे मानक मॉडल की तरह)। लेकिन अंततः, यह "ढलान" प्रभावी हो जाती है, जिससे ब्रह्मांड तेजी से (exponentially) फैलने लगता है।
परिणाम: यह मॉडल डेटा के साथ मानक मॉडल की तुलना में थोड़ा बेहतर फिट बैठता है। यह वैसा ही है जैसे किसी ऐसी कार को ढूंढना जो मानक वाली कार से 1% बेहतर माइलेज देती है। यह इंजन को खराब नहीं करता, लेकिन यह थोड़ा अधिक सुचारू रूप से चलती है।

2. "धनात्मक चिपचिपाहट" ( $\epsilon > 0$ )

उपमा: कल्पना कीजिए कि सड़क अचानक एक विशाल दीवार या गड्ढे में बदल जाती है जो आपकी गति बढ़ने के साथ गहरा होता जाता है।

क्या हुआ: जब उन्होंने धनात्मक मानों के लिए $\epsilon$ का परीक्षण किया, तो गणित विफल हो गया। ब्रह्मांड या तो बहुत जल्दी फैलना बंद कर देता या वर्तमान "तेजी से फैलने" वाले चरण तक पहुँचने से पहले ही खुद में सिमट जाता।
परिणाम: ये मॉडल बहुत खराब फिट हैं। यह एक ऊर्ध्वाधर दीवार पर कार चलाने की कोशिश करने जैसा है; यह काम नहीं करता।

3. "शून्य चिपचिपाहट" ( $\epsilon = 0$ )

यह वही मानक मॉडल (डार्क एनर्जी) है जिसे हम पहले से जानते हैं। यह अच्छा काम करता है, लेकिन "ऋणात्मक चिपचिपाहट" वाले मॉडलों ( $\epsilon < 0$ ) ने गणनाओं में इसे थोड़ा पीछे छोड़ दिया।

उन्होंने इसकी जाँच कैसे की? (सुपरनोवा टेस्ट)

आपको कैसे पता चलेगा कि आपका नया गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत सही है? आप ब्रह्मांड के इतिहास को देखते हैं।

उपकरण: उन्होंने Type Ia Supernovae का उपयोग किया। इन्हें "स्टैंडर्ड कैंडल्स" (Standard Candles) के रूप में सोचें। ये फटने वाले तारे हैं जो हमेशा एक ही चमक के साथ चमकते हैं।
परीक्षण: यदि आप जानते हैं कि एक मोमबत्ती को कितनी चमकदार होनी चाहिए, और आप देखते हैं कि वह वास्तव में कितनी धुंधली है, तो आप सटीक रूप से गणना कर सकते हैं कि वह कितनी दूर है।
डेटा: उन्होंने इन फटने वाले तारों के 1,048 उदाहरणों (पेंथियन डेटासेट) को देखा। उन्होंने इन तारों की दूरी और गति की तुलना अपने नए "चिपचिपे गुरुत्वाकर्षण" मॉडल बनाम मानक "डार्क एनर्जी" मॉडल के भविष्यवाणियों के विरुद्ध की।

निर्णय:
"ऋणात्मक चिपचिपाहट" वाले मॉडल (विशेष रूप से जहाँ $\epsilon \approx -1.2$ ) ने तारों की चमक को मानक मॉडल की तुलना में थोड़ा बेहतर तरीके से समझाया।

पेच (हम अभी जश्न क्यों नहीं मना रहे हैं?)

हालाँकि नया मॉडल डेटा के साथ थोड़ा बेहतर फिट बैठता है, लेकिन लेखक इस बात पर बहुत सावधान हैं कि वे यह न कहें कि उन्होंने ब्रह्मांड के रहस्य को "हल" कर लिया है।

यह एक छोटी जीत है: सुधार बहुत मामूली है। यह एक स्पोर्ट्स टीम के एक अंक से जीतने जैसा है; यह अच्छा है, लेकिन यह कोई बड़ी जीत नहीं है।
"हाई रेडशिफ्ट" की समस्या: मॉडलों के बीच अंतर मुख्य रूप रूप से बहुत दूर के (प्राचीन) तारों को देखते समय दिखाई देता है। हमारे पास अभी तक इतनी दूर के इतिहास से पर्याप्त डेटा नहीं है कि हम 100% निश्चित हो सकें कि विजेता कौन है।
कोई नए पैरामीटर नहीं: इस शोध पत्र की खास बात यह है कि उन्होंने सिद्धांत को फिट करने के लिए और अधिक "जादुई नंबरों" को नहीं जोड़ा। उन्होंने केवल मौजूदा गुरुत्वाकर्षण नियम के आकार को थोड़ा बदला। यह सिद्धांत को सुरुचिपूर्ण बनाता है, लेकिन यह साबित नहीं करता कि यह सत्य है।

सरल भाषा में निष्कर्ष

लेखकों ने गुरुत्वाकर्षण के नियमों को बदलने का एक नया तरीका खोजा है जो रहस्यमय "डार्क एनर्जी" पंप की आवश्यकता के बिना ब्रह्मांड के त्वरण (acceleration) की व्याख्या करता है।

यदि गुरुत्वाकर्षण में एक विशिष्ट "ऋणात्मक चिपचिपाहट" है, तो ब्रह्मांड स्वाभाविक रूप से अपने जीवन के अंत में तेज हो जाता है, जैसा कि हम अभी देख रहे हैं।
यह नया मॉडल हमारे विस्फोट करने वाले तारों के अवलोकनों के साथ वर्तमान मानक मॉडल की तुलना में थोड़ा बेहतर फिट बैठता है।
हालाँकि, हमें बहुत शुरुआती ब्रह्मांड के और अधिक डेटा की आवश्यकता है ताकि हम सुनिश्चित हो सकें। तब तक, मानक मॉडल ही चैंपियन बना हुआ है, लेकिन यह नया "चिपचिपा गुरुत्वाकर्षण" एक बहुत ही मजबूत दावेदार है।

संक्षेप में: उन्होंने गुरुत्वाकर्षण के लिए एक नया नुस्खा खोजा है जो पुराने वाले की तुलना में थोड़ा बेहतर स्वाद देता है, लेकिन उन्हें यह कहने से पहले कि यह ब्रह्मांड का सबसे अच्छा व्यंजन है, इसे और अधिक लोगों को परोसने (अधिक डेटा एकत्र करने) की आवश्यकता है।

यहाँ सिगिया, कार्लसन और प्रायर के शोध पत्र "Exploration of Parameters in f(R, T) Gravity and Comparison with Type Ia Supernovae Data" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

मानक ब्रह्मांड संबंधी मॉडल ( $\Lambda$ CDM) एक ब्रह्मांडीय स्थिरांक ( $\Lambda$ ) और कोल्ड डार्क मैटर (CDM) का उपयोग करके देखे गए त्वरित विस्तार की सफलतापूर्वक व्याख्या करता है। हालाँकि, डार्क एनर्जी की भौतिक प्रकृति अज्ञात बनी हुई है, जो गुरुत्वाकर्षण के वैकल्पिक सिद्धांतों में रुचि पैदा करती है।

यह शोध पत्र $f(R, T)$ गुरुत्वाकर्षण की जांच करता है, जो एक ऐसा संशोधन है जहाँ आइंस्टीन-हिल्बर्ट एक्शन में रीची स्केलर $R$ को एक फलन $f(R, T)$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो कर्वेचर स्केलर $R$ और स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर के ट्रेस $T$ दोनों पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, लेखक इस कार्यात्मक रूप का विश्लेषण करते हैं:
$f(R, T) = R + \lambda T^\epsilon$
जहाँ $\lambda$ एक कपलिंग स्थिरांक है और $\epsilon < 1$ है।

मुख्य लक्ष्य हैं:

इस विशिष्ट मॉडल के लिए संशोधित फ्राइडमैन समीकरणों (Friedmann equations) को व्युत्पन्न करना, विशेष रूप से मैटर लैग्रेंजियन ( $L_m$ ) और ट्रेस $T$ की सूक्ष्मताओं पर ध्यान देते हुए (उन मुद्दों को संबोधित करते हुए जिन्हें अक्सर पिछले साहित्य में अनदेखा किया गया है)।
विभिन्न $\epsilon$ मानों के लिए स्केल फैक्टर $a(t)$ के स्पर्शोन्मुखी व्यवहार (asymptotic behavior) को निर्धारित करना।
मॉडल के ल्यूमिनोसिटी डिस्टेंस (luminosity distance) के भविष्यवाणियों की तुलना पेंथियन टाइप Ia सुपरनोवा (SNe Ia) डेटासेट के विरुद्ध करके $\epsilon$ पैरामीटर को सीमित करना।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

सैद्धांतिक ढांचा (Theoretical Framework)

एक्शन (Action): लेखक एक्शन $S = \int d^4x \sqrt{-g} [L_m - \frac{1}{2\kappa^2}(R + \lambda T^\epsilon)]$ से शुरुआत करते हैं।
स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर: मानक सामान्य सापेक्षता (GR) के विपरीत, $f(R, T)$ गुरुत्वाकर्षण में स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर का डाइवर्जेंस शून्य नहीं होता है, जिसका अर्थ है पदार्थ का गैर-संरक्षण (non-conservation)। लेखक कण संख्या घनत्व $n$ और एंट्रॉपी $s$ के साथ एक परफेक्ट फ्लूइड विवरण का उपयोग करते हुए गति के समीकरणों को कठोरता से व्युत्पन्न करते हैं, जो लैग्रेंज मल्टीप्लायर्स को सही ढंग से संभालने के लिए ब्राउन और बाद में फिशर एवं कार्लसन द्वारा किए गए सुधारों का अनुसरण करते हैं।
ऑन-शेल्फ लैग्रेंजियन (On-Shell Lagrangian): वे लैग्रेंज मल्टीप्लायर्स को हटाकर "ऑन-शेल्फ" मैटर लैग्रेंजियन पाते हैं, जिससे ऊर्जा घनत्व $\rho$ , दबाव $p$ , और ट्रेस $T$ के बीच एक अंतर्निहित संबंध स्थापित होता है।
FLRW मेट्रिक: एक फ्लैट फ्राइडमैन-लेमैट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर (FLRW) मेट्रिक और एक गैर-सापेक्षिक पदार्थ-प्रधान युग ( $p=0, \rho \propto n$ ) को मानते हुए, वे संशोधित फ्राइडमैन समीकरण (Eqs. 13a और 13b) व्युत्पन्न करते हैं जो स्केल फैक्टर $a(t)$ और ट्रेस $T$ के विकास को नियंत्रित करते हैं।

स्पर्शोन्मुखी विश्लेषण (Asymptotic Analysis)

लेखक आयामहीन ट्रेस वेरिएबल $x$ (जो $T$ से संबंधित है) के लिए दो शासन (regimes) में विभेदक समीकरणों को हल करते हैं:

मामला $\epsilon < 0$ : वे $x \to \infty$ (प्रारंभिक ब्रह्मांड) और $x \to \text{const}$ (विलंबित ब्रह्मांड) की सीमाओं का विश्लेषण करते हैं। वे पाते हैं कि $\epsilon < 0$ के लिए, ब्रह्मांड एक पदार्थ-प्रधान युग ( $a \propto t^{2/3}$ ) से घातांकीय विस्तार चरण ( $a \propto e^{H_\lambda t}$ ) में परिवर्तित होता है।
मामला $\epsilon \in (0, 1)$ : वे जांच करते हैं कि क्या त्वरण संभव है। वे पाते हैं कि $\epsilon > 0$ के लिए, सिद्धांत या तो त्वरण उत्पन्न करने में विफल रहता है या कम ऊर्जा घनत्व (बड़े स्केल फैक्टर्स) पर गणितीय रूप से असंगत हो जाता है (T के लिए वास्तविक समाधान नहीं), जिससे एक "ब्रेकडाउन पॉइंट" आता है।

डेटा विश्लेषण (Data Analysis)

डेटासेट: पेंथियन सैंपल (1048 SNe Ia) का उपयोग किया गया है।
अवलोकन योग्य (Observables): लेखक विभिन्न $\epsilon$ के लिए रेडशिफ्ट $z$ के फलन के रूप में ल्यूमिनोसिटी डिस्टेंस $d_L$ और डिस्टेंस मॉड्यूलस $\mu$ की गणना करते हैं।
फिटिंग: वे विशिष्ट $\epsilon$ के लिए एब्सोल्यूट मैग्नीट्यूड $M$ , स्केल्ड पैरामीटर $\bar{\lambda}$ (जो $\lambda$ से संबंधित है), और आयामहीन समय $\tau_0$ के सर्वोत्तम-फिट मान खोजने के लिए $\chi^2$ मिनिमाइजेशन करते हैं। हबल स्थिरांक $H_0$ को 71.5 km/s/Mpc पर स्थिर रखा गया है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

समीकरणों का कठोर व्युत्पन्न: यह शोध पत्र $f(R, T)$ साहित्य में होने वाली सामान्य चूकों को स्पष्ट रूप से ऑन-शेल्फ स्ट्रेस-एनर्जी ट्रेस और संशोधित फ्राइडमैन समीकरणों को व्युत्पन्न करके ठीक करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि मैटर लैग्रेंजियन का उपचार स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर के गैर-संरक्षण के अनुरूप है।
पैरामीटर स्पेस अन्वेषण: जबकि पिछला कार्य $\epsilon = -1$ पर केंद्रित था, यह अध्ययन $\epsilon < 1$ की पूरी सीमा का अन्वेषण करता है, जिसमें $\epsilon = 0$ के आसपास का महत्वपूर्ण संक्रमण क्षेत्र और धनात्मक मान शामिल हैं।
अस्थिरता की पहचान: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि $\epsilon \in (0, 1)$ वाले मॉडल एक मौलिक विसंगति से ग्रस्त हैं जहाँ सिद्धांत वर्तमान निम्न-घनत्व अवस्था तक पहुँचने से पहले ही टूट जाता है (स्ट्रेस-एनर्जी ट्रेस के लिए कोई वास्तविक समाधान नहीं), जो प्रभावी रूप से इन धनात्मक $\epsilon$ मानों को हमारे ब्रह्मांड के वर्णन के लिए खारिज करता है।
मात्रात्मक तुलना: वे पेंथियन डेटासेट का उपयोग करके $f(R, T)$ मॉडल और $\Lambda$ CDM के बीच सीधा सांख्यिकीय तुलना प्रदान करते हैं, $\chi^2$ मानों के माध्यम से फिट में सुधार को मात्रात्मक रूप से दर्शाते हैं।

4. परिणाम (Results)

विलंबित-समय व्यवहार (Late-Time Behavior): सभी मॉडलों के लिए जिनमें $\epsilon < 0$ है, ब्रह्मांड स्वाभाविक रूप से विलित समय में घातांकीय विस्तार चरण की ओर बढ़ता है, जो मानक $\Lambda$ CDM मॉडल ( $\epsilon = 0$ ) के व्यवहार की नकल करता है।
SNe Ia डेटा के साथ फिट:
- $\epsilon < 0$ : सभी मॉडल जिनमें ऋणात्मक $\epsilon$ है, मानक $\Lambda$ CDM मॉडल ( $\epsilon = 0$ ) की तुलना में SNe Ia डेटा को थोड़ा बेहतर फिट करते हैं।
- सर्वोत्तम फिट (Best Fit): संख्यात्मक न्यूनतम $\chi^2$ $\epsilon \approx -1.2$ पर होता है।
- $\epsilon > 0$ : धनात्मक $\epsilon$ वाले मॉडल (जैसे, $\epsilon = 0.03$ ) $\Lambda$ CDM की तुलना में काफी खराब फिट होते हैं और अक्सर एक गणितीय ब्रेकडाउन पॉइंट से टकरा जाते हैं।
तालिका I सारांश:
- $\epsilon = 0$ (मानक): $\chi^2 \approx 1035.68$ ।
- $\epsilon = -1.2$ (सर्वोत्तम फिट): $\chi^2 \approx 1032.63$ ।
- सुधार छोटा है लेकिन ऋणात्मक $\epsilon$ रेंज में सुसंगत है।
उच्च-रेडशिफ्ट विचलन (High-Redshift Deviation): सर्वोत्तम-फिट $f(R, T)$ मॉडल और $\Lambda$ CDM के बीच विचलन उच्च रेडशिफ्ट ( $z$ ) पर सबसे अधिक स्पष्ट है। वर्तमान डेटा मॉडलों के बीच निश्चित रूप से अंतर करने के लिए पर्याप्त नहीं है, लेकिन रुझान $\epsilon < 0$ की ओर झुकता है।

5. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

$f(R, T)$ की व्यवहार्यता: यह अध्ययन पुष्टि करता है कि विशिष्ट रूप $R + \lambda T^\epsilon$ (जहाँ $\epsilon < 0$ ) के साथ $f(R, T)$ गुरुत्वाकर्षण $\Lambda$ CDM के लिए एक व्यवहार्य विकल्प है। यह $\Lambda$ CDM में मौजूद मुक्त मापदंडों (free parameters) के अलावा अतिरिक्त पैरामीटर पेश किए बिना देखे गए त्वरित विस्तार को पुनरुत्पादित करता है।
सिद्धांत पर प्रतिबंध: यह विश्लेषण प्रभावी रूप से वर्तमान ब्रह्मांड के वर्णन के लिए $\epsilon > 0$ की सीमा को निम्न-घनत्व सीमा में गणितीय विसंगतियों के कारण खारिज करता है।
भविष्य की दिशाएं: लेखक नोट करते हैं कि हालांकि SNe Ia डेटा $\epsilon \approx -1.2$ को थोड़ा प्राथमिकता देता है, लेकिन अंतर अभी तक सांख्यिकीय रूप से निर्णायक नहीं है। वे प्रस्ताव करते हैं कि बेरियन एकोस्टिक ऑसिलेशन (BAO) और कॉस्मिक माइक्रोवेव बैकग्राउंड (CMB) डेटा का उपयोग करने वाले भविष्य के प्रतिबंध अधिक विभेदक होंगे, क्योंकि ये प्रोब ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न युगों और पैमानों की जांच करते हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र $f(R, T)$ गुरुत्वाकर्षण के एक विशिष्ट वर्ग के लिए एक मजबूत सैद्धांतिक और अवलोकन संबंधी सत्यापन प्रदान करता है, यह सुझाव देता है कि एक ट्रेस-निर्भर गुरुत्वाकर्षण संशोधन ( $\epsilon < 0$ ) मानक ब्रह्मांडीय स्थिरांक की तुलना में सुपरनोवा डेटा के लिए मामूली रूप से बेहतर फिट प्रदान करता है, जबकि गणितीय निरंतरता बनाए रखता है।