Stress Analysis of a Square Elastic Body Under Biaxial Loading Using Airy Stress Functions

तकनीकी सारांश: एयरी स्ट्रेस फंक्शन का उपयोग करके द्विकोंणीय लोडिंग के तहत एक वर्गाकार प्रत्यास्थ पिंड का प्रतिबल विश्लेषण

समस्या विवरण
यह अध्ययन एक वर्गाकार, समांगी, समदैशिक और रैखिक प्रत्यास्थ पिंड के भीतर प्रतिबल वितरण के विश्लेणात्मक निर्धारण को संबोधित करता है, जो एकअोंणीय और द्विकोंणीय संपीड़न भार के तहत एकाकी और द्विकोंणीय स्थितियों में रहता है। जबकि शास्त्रीय प्रत्यास्थता सिद्धांत वृत्ताकार और दीर्घवृत्ताकार डोमेन (जैसे, व्यास से लोड किया गया डिस्क) के लिए बंद-रूप (closed-form) समाधान प्रदान करता है, बहुभुज ज्यामिति, विशेष रूप से वर्गों के लिए विश्लेणात्मक उपचार दुर्लभ हैं, क्योंकि इनमें रेडियल समरूपता का अभाव होता है और वास्तविक सीमा स्थितियों को लागू करने की जटिलता होती है। यद्यपि परिमित तत्व विधियों (FEM) का ऐसे समस्याओं के लिए नियमित रूप से उपयोग किया जाता है, वे स्वभावतः अनुमानित होती हैं। यह कार्य वर्गाकार डोमेन के लिए सटीक या अर्ध-विश्लेणात्मक समाधान प्रदान करके इस अंतराल को भरने का प्रयास करता है, जो व्यावहारिक इंजीनियरिंग परिदृशस्यों जैसे कि अप्रत्यक्ष तनन शक्ति मूल्यांकन (जैसे, ब्राजीलियाई परीक्षण) और बहु-अक्षीय सामग्री परीक्षण में अक्सर सामना किए जाते हैं।

कार्यप्रणाली
यह विश्लेषण द्वि-आयामी रैखीय प्रत्यास्थता पर आधारित है, जो एयरी स्ट्रेस फंक्शन ($\phi$) पद्धति का उपयोग करता है। यह दृष्टिकोण नियंत्रण संतुलन समीकरणों को एक एकल बाइहारमोनिक समीकरण ($\nabla^4\phi = 0$) में बदल देता है, जो शरीर बलों (body forces) की अनुपस्थिति में स्वाभाविक रूप से संतुलन स्थितियों को संतुष्ट करता है।

1. प्रारूपण (Formulation): समस्या को मूल बिंदु (origin) पर केंद्रित, $2L$ भुजा लंबाई वाले एक वर्गाकार डोमेन पर परिभाषित किया गया है। पार्श्व और ऊर्ध्वाधर किनारों पर क्रमशः बाह्य अभिलंब प्रतिबल, $\sigma_1(y)$ और $\sigma_2(x)$ लागू किए जाते हैं, जहाँ सभी सीमाओं पर कतरनी प्रतिबल (shear stresses) शून्य होते हैं (ट्रैक्शन-मुक्त या घर्षण रहित स्थितियाँ)।
2. श्रंखला विस्तार (Series Expansion): किसी भी प्रकार के वितरण को संभालने के लिए, सीमा स्थितियों को कोसाइन फूरियर श्रृंखलाओं में विस्तारित किया जाता है। एयरी स्ट्रेस फंक्शन को बहुपद पदों और हाइपरबोलिक एवं त्रिकोणमितीय फलनों ($\cosh$, $\sinh$, $\cos$) की अनंत श्रृंखलाओं वाले एक विभाज्य समाधान के रूप में निर्मित किया जाता है।
3. गुणांक निर्धारण (Coefficient Determination): श्रृंखला विस्तार में अज्ञात गुणांकों को सीमा स्थितियों को लागू करके निर्धारित किया जाता है। यह प्रक्रिया रैखिक समीकरणों की एक युग्मित प्रणाली (coupled system) उत्पन्न करती है।
4. संख्यात्मक स्थिरता (Numerical Stability): बड़े सूचकांकों ($n, m \gg 1$) के लिए गुणांकों के विचलन को संबोधित करने के लिए, लेखक पुनर्गठित चरों (rescaled variables) और संशोधित गुणांकों को पेश करते हैं। यह रूपांतरण संख्यात्मक स्थिरता सुनिश्चित करता है, जिससे अनंत प्रणाली को एक परिमित क्रम ($N_{max}$) पर काटा जा सकता है और मैट्रिक्स व्युत्क्रमण (matrix inversion) के माध्यम से हल किया जा सकता है।

प्रमुख योगदान

• सामान्यीकृत विश्लेणात्मक ढांचा: शोध पत्र एक वर्गाकार प्रत्यास्थ पिंड में मनमाने सममित द्विकोंणीय भार के तहत प्रतिबल क्षेत्रों के लिए एक बंद-रूप, अर्ध-विश्लेणात्मक समाधान व्युत्पन्न करता है, जो एक ऐसी ज्यामिति है जिसे शास्त्रीय पृथज्य समन्वय प्रणालियों द्वारा आसानी से संबोधित नहीं किया जा सकता है।
• अभिसरण विश्लेषण (Convergence Analysis): अध्ययन श्रृंखला समाधान के अभिसरण व्यवहार को प्रदर्शित करता है। यह स्थापित करता है कि $N_{max} = 128$ का ट्रंकेशन ऑर्डर पर्याप्त संख्यात्मक सटीकता प्रदान करता है, जिसमें $N_{max}=128$ और $256$के परिणाम$10^{-4}$ के सापेक्ष त्रुटि के साथ ओवरलैप करते हैं।
• सत्यापन (Validation): विधि को समान द्विकोंणीय तनन के ज्ञात समाधानों के विरुद्ध सत्यापित किया गया है (स्थानिक रूप से समान प्रतिबल क्षेत्र प्राप्त करना) और केंद्रित लोडिंग मामलों के लिए प्रायोगिक फोटोइलास्टिक फ्रिंज पैटर्न और परिमित तत्व विश्लेषण (FEM) के विरुद्ध तुलना की गई है।

परिणाम

• एकाकी संपीड़न (Uniaxial Compression): केंद्रित एकाकी संपीड़न के तहत, परिणामी प्रतिबल क्षेत्र पूर्व में देखे गए फोटोइलास्टिक फ्रिंज पैटर्न के साथ मजबूत सहमति प्रदर्शित करते हैं। मुख्य प्रतिबल अंतर ($\Delta\sigma$) कंटूर, प्रयोगात्मक हस्तक्षेप फ्रिंज के साथ संरेखित होते हैं।
• ज्यामितीय प्रभाव: एक विशिष्ट निष्कर्ष लोडिंग रेखा ($x=0$) के साथ तनन प्रतिबल घटक ($\sigma_{xx}$) का व्यवहार है। वृत्ताकार डोमेन के विपरीत जहाँ तनन प्रतिबल स्थिर रहता है, वर्गाकार ज्यामिति लोडिंग अनुप्रयोग बिंदु के पास स्थानीयकृत संपीड़न प्रेरित करती है, जो आसपास की सामग्री से पर्याप्त प्रतिरोध के कारण होता है। इसके परिणामस्वरूप किनारे के पास एक गैर-समान $\sigma_{xx}$ प्रोफाइल प्राप्त होता है, जो एक ऐसी विशेषता है जिसे वृत्ताकार डोमेन समाधानों में कैप्चर नहीं किया जाता है।
• द्विकोंणीय संपीड़न (Biaxial Compression): द्विकोंणीय लोडिंग के लिए, समाधान दो लंबवत संपीड़न परिदृश्यों का सुपरपोजिशन (superposition) है। विश्लेषण मुख्य प्रतिबल अंतर में स्थानिक विविधताओं को प्रकट करता है जो डोमेन के भीतर विशिष्ट स्थान और लागू भार के अनुपात पर निर्भर करती हैं।

महत्व
लेखक इस कार्य को सैद्धांतिक सत्यापन, बेंचमार्किंग और शैक्षिक उद्देश्यों के लिए एक मूल्यवान उपकरण के रूप में प्रस्तुत करते हैं। सटीक या अर्ध-विश्लेणात्मक अभिव्यक्तियों को प्रदान करके, यह अध्ययन कम्प्यूटेशनल मॉडल (जैसे, FEM) को मान्य करने और वर्गाकार या आयताकार नमूनों से जुड़े यांत्रिक परीक्षण सेटअप में प्रयोगात्मक डेटा की व्याख्या करने के लिए एक संदर्भ मानक प्रदान करता है। इस ढांचे को भविष्य के आयताकार, अनिसोट्रोपिक या स्तरित डोमेन, साथ ही गतिशील और त्रि-आयामी प्रत्यास्थता समस्याओं के विस्तार के लिए एक आधार के रूप में प्रस्तुत किया गया है, बिना विश्लेषित लोडिंग विन्यासों के दायरे से परे किसी विशिष्ट नए औद्योगिक अनुप्रयोग का दावा किए।