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PT symmetry-enriched non-unitary criticality

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि पैरिटी-टाइम (PT) समरूपता गैर-हर्मिटीयन क्रिटिकल पॉइंट्स को समृद्ध करती है ताकि एक टोपोलॉजिकल रूप से विशिष्ट गैर-यूनिटरी क्रिटिकैलिटी वर्ग का निर्माण हो सके, जो सुदृढ़ एज मोड्स और एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी स्केलिंग में एक क्वांटाइज्ड इमेजिनरी सबलीडिंग टर्म द्वारा अभिलक्षित है।

मूल लेखक: Kuang-Hung Chou, Xue-Jia Yu, Po-Yao Chang

प्रकाशित 2026-05-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Kuang-Hung Chou, Xue-Jia Yu, Po-Yao Chang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: एक नए प्रकार का "क्रिटिकल पॉइंट" (Critical Point)

कल्पना कीजिए कि एक रस्सी पर चलने वाला कलाकार (tightrope walker) एक तार पर संतुलन बना रहा है। भौतिकी की दुनिया में, इस "रस्सी" को क्रिटिकल पॉइंट कहा जाता है। यह वह सटीक क्षण है जब कोई पदार्थ अपनी अवस्था बदलता है, जैसे बर्फ का पानी में पिघलना या किसी चुंबक का अपना चुंबकत्व खो देना। आमतौर पर, जब चीजें इस तार पर संतुलित होती हैं, तो वे अस्थिर और अराजक (chaotic) होती हैं।

दशकों से, भौतिक विज्ञानी इन क्रिटिकल पॉइंट्स का अध्ययन "सामान्य" (Hermitian) प्रणालियों में करते रहे हैं, जहाँ ऊर्जा संरक्षित रहती है। लेकिन हाल ही में, वैज्ञानिकों ने नॉन-हर्मिटीन (non-Hermitian) प्रणालियों को देखना शुरू किया है। इन्हें ऐसे समझें जैसे रस्सी पर चलने वाले कलाकार जिनके पास या तो जेटपैक है जिससे वे ऊर्जा प्राप्त कर रहे हैं, या फिर एक लीक होती बाल्टी है जिससे उनकी ऊर्जा कम हो रही है। ये प्रणालियाँ अव्यवस्थित होती हैं, और माना जाता था कि इनके "संतुलन बिंदु" में कोई छिपा हुआ क्रम (order) नहीं हो सकता क्योंकि वे बहुत अधिक अराजक होते हैं।

यह शोध पत्र एक आश्चर्यजनक रहस्य की खोज करता है: इन अव्यवस्थित, ऊर्जा-लीक करने वाली प्रणालियों में भी, एक विशेष प्रकार का संतुलन बिंदु होता है जो टोपोलॉजिकल रूप से सुरक्षित (topologically protected) है। यह उस रस्सी के नीचे एक छिपे हुए सुरक्षा जाल (safety net) को खोजने जैसा है जो कलाकार को गिरने से बचाता है, भले ही वह रस्सी खुद बुरी तरह से कंपन कर रही हो।

मुख्य पात्र: पैरिटी-टाइम (PT) सिमिट्री

यह समझने के लिए कि यह सुरक्षा जाल कैसे काम करता है, हमें इस प्रणाली के "रक्षक" से मिलना होगा: PT सिमिट्री।

पैरिटी (P): कल्पना कीजिए कि आप सिस्टम को दर्पण (mirror) में देख रहे हैं। बायां हिस्सा दाएं में बदल जाता है।
टाइम (T): कल्पना कीजिए कि आप सिस्टम का वीडियो उल्टा (backward) चला रहे हैं।

एक सामान्य दुनिया में, यदि आप किसी सिस्टम को दर्पण में देखते हैं और उसे उल्टा चलाते हैं, तो वह अलग दिखता है। लेकिन इस विशिष्ट शोध पत्र में, शोधकर्ताओं ने एक ऐसी प्रणाली बनाई है जहाँ, यदि आप इसे दर्पण में देखते हैं और समय को उल्टा करते हैं, तो भौतिकी बिल्कुल वैसी ही दिखती है। यह विशेष सिमिट्री एक ढाल (shield) की तरह कार्य करती है। जब तक यह ढाल बरकरार है, सिस्टम बहुत व्यवस्थित तरीके से व्यवहार करता है, भले ही वह ऊर्जा खो रहा हो या प्राप्त कर रहा हो।

खोज: क्रिटिकैलिटी का एक नया वर्ग

शोधकर्ताओं ने एक विशिष्ट मॉडल (परमाणुओं की एक श्रृंखला) का अध्ययन किया जिसमें यह PT सिमिट्री है। उन्होंने पाया कि क्रिटिकल पॉइंट (रस्सी) पर कुछ अद्भुत होता है:

मजबूत एज मोड्स (Robust Edge Modes): आमतौर पर, जब कोई पदार्थ क्रिटिकल पॉइंट पर होता है, तो उसके किनारे (edges) अव्यवस्थित होते हैं। लेकिन यहाँ, श्रृंखला के किनारे विशेष "घोस्ट स्टेट्स" (ghost states) विकसित करते हैं। ये अदृश्य हाथों की तरह हैं जो श्रृंखला के सिरों को थामे रखते हैं। ये मजबूत (robust) हैं, जिसका अर्थ है कि यदि आप श्रृंखला को हिलाते हैं या इसमें थोड़ा शोर (disorder) जोड़ते हैं, तो भी ये हाथ उन्हें छोड़ते नहीं हैं।
टोपोलॉजिकल अंतर (Topological Distinction): शोध पत्र तर्क देता है कि आप बिना PT सिमिट्री की ढाल को तोड़े एक "सामान्य" क्रिटिकल पॉइंट को इस "विशेष" क्रिटिकल पॉइंट में सहजता से नहीं बदल सकते। ये मौलिक रूप से भिन्न हैं, जैसे कागज को काटे बिना एक वृत्त (circle) को वर्ग (square) में बदलने की कोशिश करना।

"जादुई संख्या": इमेजिनरी एंटैंगलमेंट (Imaginary Entanglement)

यह इस शोध पत्र का सबसे दिमाग घुमा देने वाला हिस्सा है। शोधकर्ताओं ने एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी (Entanglement Entropy) नामक चीज़ को मापा। सरल शब्दों में, यह मापता है कि सिस्टम के दो हिस्से एक-दूसरे से कितने "जुड़े" हुए हैं।

सामान्य भौतिकी में, यह संख्या हमेशा एक वास्तविक संख्या (जैसे 5 या 10.5) होती है। लेकिन इस नॉन-हर्मिटीन दुनिया में, शोधकर्ताओं ने पाया कि एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी का एक क्वांटाइज्ड इमेजिनरी भाग (quantized imaginary part) होता है।

उपमा (Analogy):
कल्पना कीजिए कि आप दो दोस्तों के बीच के "जुड़ाव" को माप रहे हैं।

सामान्य दुनिया में, आप कह सकते हैं, "वे 5 यूनिट जुड़े हुए हैं।"
इस नई दुनिया में, माप कहता है, "वे 5 यूनिट जुड़े हुए हैं, प्लस $i\pi$ ।"

यहाँ " $i$ " काल्पनिक इकाई (imaginary unit -1 का वर्गमूल) है। शोध पत्र दिखाता है कि यह इमेजिनरी भाग यादृच्छिक शोर (random noise) नहीं है; यह एक सटीक, निश्चित संख्या ( $\pi$ का गुणक) है जो ठीक से गिनती है कि उन "घोस्ट हाथों" (edge modes) में से कितने ने सिस्टम को थाम रखा है।

यदि 1 एज मोड है, तो इमेजिनरी भाग $-\pi$ है।
यदि 2 एज मोड्स हैं, तो यह $-2\pi$ है।

यह एक बारकोड की तरह है। गणित का इमेजिनरी भाग आपको ठीक-ठीक बताता है कि कितने टोपोलॉजिकल "फिंगर्स" सिस्टम को थामे हुए हैं।

तंत्र (Mechanism): "जनरलाइज्ड मास इनवर्जन" (Generalized Mass Inversion)

यह कैसे होता है? शोध पत्र एक नया तंत्र पेश करता है जिसे जनरलाइज्ड मास इनवर्जन कहा जाता है।

सामान्य भौतिकी: एज स्टेट प्राप्त करने के लिए, आपको आमतौर पर एक "मास" पैरामीटर को पलटना पड़ता है (जैसे स्विच को भारी से हल्का करना)। लेकिन यदि आप इसे क्रिटिकल पॉइंट पर करते हैं, तो पूरा सिस्टम आमतौर पर बिखर जाता है।
इस शोध पत्र की तरकीब: उनके नॉन-हर्मिटीन सिस्टम में, दो प्रकार के "मास" होते हैं: एक वास्तविक (real) और एक काल्पनिक (imaginary - $i$ $i$ वाला)। शोधकर्ताओं ने पाया कि ये दोनों मास एक-दूसरे को पूरी तरह से रद्द कर सकते हैं।
- एक सी-सॉ (seesaw) की कल्पना करें। एक तरफ आपके पास एक भारी वजन (वास्तविक मास) है। दूसरी ओर, आपके पास एक "नेगेटिव" वजन (काल्पनिक मास) है।
- आमतौर पर, यदि आप उन्हें संतुलित करने की कोशिश करते हैं, तो सी-सॉ टूट जाता है।
- लेकिन यहाँ, वे पूरी तरह से संतुलित होते हैं ताकि सिस्टम का "गैप" बंद हो जाए (इसे क्रिटिकल बनाता है), लेकिन "एज" अपनी जगह पर लॉक रहे। काल्पनिक मास एक काउंटरवेट के रूप में कार्य करता है जो एज को जीवित रहने की अनुमति देता है, भले ही सिस्टम अपने सबसे अस्थिर बिंदु पर हो।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

शोध पत्र का दावा है कि यह क्रिटिकैलिटी का एक नया वर्ग है।

यह टोपोलॉजिकल है: सिस्टम का एक "आकार" या "संरचना" है जो इसके किनारों की रक्षा करता है, भले ही यह क्रिटिकल हो।
यह अद्वितीय है: आप इसे सामान्य, ऊर्जा-संरक्षित प्रणालियों में नहीं पा सकते। यह केवल ऊर्जा के नुकसान/लाभ और PT सिमिट्री के बीच के तालमेल के कारण मौजूद है।
यह मापने योग्य है: एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी में "इमेजिनरी बारकोड" एक स्पष्ट संकेत है जिसे आप प्रयोगों (जैसे फोटोनिक्स या ऑप्टिकल सेटअप) में देख सकते हैं ताकि यह सिद्ध किया जा सके कि पदार्थ की यह नई अवस्था मौजूद है।

एक वाक्य में सारांश

यह शोध पत्र खोज करता है कि ऊर्जा प्राप्त करने या खोने वाली प्रणालियों में, एक विशेष सिमिट्री (PT) अराजकता के बिंदु पर एक "सुरक्षा जाल" बना सकती है, जिसके परिणामस्वरूप क्रिटिकैलिटी का एक नया प्रकार उत्पन्न होता है जहाँ सिस्टम का गणितीय "फिंगरप्रिंट" में एक सटीक, काल्पनिक संख्या शामिल होती है जो संरक्षित एज स्टेट्स की संख्या को गिनती है।

तकनीकी सारांश: PT समरूपता-समृद्ध गैर-इकाई क्रांतिकता (PT Symmetry-Enriched Non-Unitary Criticality)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र गैर-हर्मिटीय (non-Hermitian) प्रणालियों में क्वांटम चरण संक्रमणों के लक्षण वर्णन को संबोधित करता है, विशेष रूप से गैर-इकाई क्रांतिकता और वैश्विक समरूपता (global symmetries) के बीच परस्पर क्रिया पर ध्यान केंद्रित करता है। जबकि गैर-हर्मिटीय टोपोलॉजिकल चरण और गैर-हर्मिटीय स्किन प्रभाव अच्छी तरह से स्थापित हैं, गैर-हर्मिटीय संक्रमणों की सार्वभौमिक श्रेणियाँ (universality classes)—जो आमतौर पर गैर-इकाई कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी (CFTs) द्वारा वर्णित होती हैं—अभी भी कम समझी गई हैं। एक केंद्रीय खुला प्रश्न यह है कि क्या गैर-हर्मिटीय प्रणालियाँ हर्मिटीय समकक्षों से भिन्न नवीन समरूपता-समृद्ध टोपोलॉजिकल घटनाओं को होस्ट करती हैं। विशेष रूप से, लेखक यह जांचते हैं कि कैसे पैरिटी-टाइम ($PT$) समरूपता गैर-इकाई क्रांतिक बिंदुओं को समृद्ध करती है, जो संभावित रूप से क्रांतिकता के टोपोलॉजिकल रूप से विशिष्ट वर्गों का निर्माण करती है जो बल्क (bulk) की गैपलेस प्रकृति के बावजूद सुदृढ़ एज मोड (edge modes) का समर्थन करते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक एक आयामी गैर-हर्मिटीय मुक्त-फर्मियन मॉडलों के एक परिवार पर विश्लेषणात्मक समाधानों और संख्यात्मक सिमुलेशन के संयोजन का उपयोग करते हैं, विशेष रूप से एक स्टैगर्ड काल्पनिक ऑन-साइट पोटेंशियल (staggered imaginary on-site potential) वाला $PT$-सममित सु-श्रीफर-हेगर (SSH) चेन।

मॉडल: सिस्टम को एक ब्लॉच हैमिल्टोनियन द्वारा परिभाषित किया गया जिसमें इंट्रा-सेल होपिंग $v$ , इंटर-सेल होपिंग $w$ , और एक स्टैगर्ड काल्पनिक पोटेंशियल $iu $है। लेखक एक$ \alpha$-विस्तारित संस्करण पर भी विचार करते हैं जो टोपोलॉजिकल एज मोड की संख्या बढ़ाने के लिए लॉन्ग-रेंज होपिंग पेश करता है।
औपचारिकता (Formalism): अध्ययन एक बायोरथोगोनल (Right-Left) ढांचे का उपयोग करता है। अनेक-शरी (many-body) घनत्व मैट्रिक्स को $\rho = |G_R\rangle\langle G_L|$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $|G_R\rangle$ और $|G_L\rangle$ क्रमशः हैमिल्टोनियन $H$ और उसके एडजॉइंट $H^\dagger$ के ग्राउंड स्टेट्स हैं। यह दृष्टिकोण एक सुसंगत सामान्यीकरण सुनिश्चित करता है और गैर-हर्मिटीय प्रणालियों में स्थैतिक अवलोकन (static observables) और एंटांगलमेंट गुणों की गणना करने की अनुमति देता है।
एंटांगलमेंट विश्लेषण: लेखक कोरिलेशन-मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके बाइटपार्टिट एंटांगलमेंट एंट्रॉपी की गणना करते हैं। एक महत्वपूर्ण तकनीकी योगदान एंटांगलमेंट स्पेक्ट्रम के भीतर जटिल आइगेनवैल्यू के लघुगणक (logarithm) में निहित ब्रांच-चॉइस अस्पष्टता को हल करना है। लेखक तर्क देते हैं कि कॉन्फॉर्मल स्केलिंग निरंतरता को लागू करने से एक विशिष्ट ब्रांच चॉइस निर्धारित होती है जो एक क्वांटाइज्ड काल्पनिक सबलीडिंग टर्म (subleading term) प्रदान करती है।
विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति: लेखक दोनों लैटिस और कंटीनम सीमाओं के लिए एज मोड समाधानों को विश्लेषणात्मक रूप से व्युत्पन्न करते हैं, जो "सामान्यीकृत द्रव्यमान व्युत्क्रमण" (generalized mass inversion) नामक एक तंत्र पेश करता है जो क्रांतिकता पर एज स्टेट्स की निरंतरता की व्याख्या करता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

$PT$-समरूपता-समृद्ध क्रांतिकता की खोज:
लेखक गैर-हर्मिटीय SSH मॉडल में एक नए वर्ग के गैर-इकाई क्रांतिक बिंदुओं की पहचान करते हैं। जबकि बल्क क्रिटिकल लाइन्स को $c = -2$ के सेंट्रल चार्ज वाले एक गैर-इकाई CFT द्वारा वर्णित किया जाता है, टोपोलॉजिकल सेक्टर ( $\Omega=1$ ) में क्रिटिकल लाइन $PT$ समरूपता द्वारा समृद्ध है। सामान्य (trivial) क्रिटिकल लाइन के विपरीत, यह टोपोलजिकल क्रिटिकल लाइन सुदृढ़ एज मोड को होस्ट करती है जो विशुद्ध रूप से काल्पनिक ऊर्जाओं ( $E = \pm iu$ ) पर स्थिर होते हैं।
क्रांतिकता पर टोपोलॉजिकल सुरक्षा:
शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि इन टोपोलॉजिकल क्रिटिकल बिंदुओं को $PT$ समरूपता को तोड़े बिना या एक मल्टीक्रिटिकल पॉइंट को पार किए बिना एडियाबेटिक रूप से सामान्य (trivial) बिंदुओं से नहीं जोड़ा जा सकता है। $PT$-टूटा हुआ (broken) शासन में, वाइंडिंग नंबर अब एक सुदृढ़ टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट नहीं रह जाता है क्योंकि स्पेक्ट्रम जटिल हो जाता है, जिससे वांडिंग नंबर बिना किसी चरण संक्रमण के बदल सकता है। अतः, क्रिटिकल लाइन की टोपोलॉजिकल विशिष्टता को सुरक्षित रखने के लिए $PT$ समरूपता आवश्यक है।
क्वांटाइज्ड इमेजिनरी एंटांगलमेंट एंट्रॉपी:
इन क्रिटिकल पॉइंट्स पर एंटांगलमेंट एंट्रॉपी $S_A(\ell_A)$ का व्यवहार एक प्राथमिक परिणाम है।

वास्तविक भाग एक गैर-इकाई CFT के लिए मानक कैलाब्रेसे-कार्डी स्केलिंग का पालन करता है: $\text{Re}[S_A] \sim \frac{c}{3} \ln \ell_A$ जहाँ $c = -2$ है।
महत्वपूर्ण रूप से, सबलीडिंग टर्म एक क्वांटाइज्ड काल्पनिक स्थिरांक है: $\text{Im}[S_A] = -\pi \Omega$ , जहाँ $\Omega$ वाइंडिंग नंबर है (एंटैंगलिंग बाउंडरी मोड पेयर्स की संख्या)।
यह काल्पनिक टर्म $PT$-सममित विक्षोभ (disorder) और अन्योन्य क्रियाओं (staggered XXZ मॉडल के मैपिंग के माध्यम से सत्यापित) के विरुद्ध सुदृढ़ है।
लेखक इस टर्म को बाउंडरी स्टेट्स से जुड़े एफलेक-लडविक $g$ -फैक्टर के रूप में व्याख्या करते हैं, जो एक "इमेजिनरी बाउंडरी डिजनरेसी" का सुझाव देता है।

सामान्यीकृत द्रव्यमान व्युत्क्रमण तंत्र (Generalized Mass Inversion Mechanism):
यह शोध पत्र एक नए तंत्र, "सामान्यीकृत द्रव्यमान व्युत्क्रमण" को स्पष्ट करता है, जो गैर-हर्मिटीय प्रणालियों में क्रांतिकता पर एज मोड को जीवित रहने की अनुमति देता है। हर्मिटीय प्रणालियों में, बल्क गैप का बंद होना आमतौर पर एज मोड को विस्थानीकृत (delocalize) कर देता है। गैर-हर्मिटीय SSH मॉडल में, काल्पनिक द्रव्यमान $iu $एक समान द्रव्यमान घटक के रूप में कार्य करता है, जबकि वास्तविक द्रव्यमान$ m $अपना संकेत बदलता है। बल्क गैप$ \Delta = \sqrt{m^2 - u^2}$ है, जबकि एज मोड का क्षय दर (decay rate) केवल संकेत बदलने वाले द्रव्यमान $\kappa = |m|$ द्वारा निर्धारित होता है। $u \to m$ ट्यून करने पर, बल्क गैप बंद हो जाता है ( $\Delta \to 0$ ) जबकि एज मोड का क्षय दर परिमित (finite) रहता है, जिससे क्रिटिकल पॉइंट पर एज स्टेट बना रहता है। यह तंत्र हर्मिटीय प्रेशनों में आवश्यक "काइनेटिक इनवर्जन" से भिन्न है।
एंटांगलमेंट-एज पत्राचार (Entanglement-Edge Correspondence):
लेखक ओपन बाउंडरी कंडीशंस (OBC) के तहत भौतिक एज मोड और पीरियडिक बाउंडरी कंडीशंस (PBC) के तहत "एंटांगलमेंट एज मोड" के बीच एक सीधा पत्राचार स्थापित करते हैं। एंटांगलमेंट स्पेक्ट्रम में, ये जटिल-संयुग्मी (complex-conjugate) आइगेनवैल्यू युग्म $\nu_\pm = \frac{1}{2} \pm iI$ के रूप में प्रकट होते हैं। ऐसे युग्मों की संख्या वाइंडिंग नंबर $\Omega$ से मेल खाती है।

महत्ता और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह $PT$ समरूपता द्वारा समृद्ध एक टोपोलॉजिकल रूप से विशिष्ट गैर-इकाई क्रांतिकता के वर्ग को स्थापित करता है। इसकी महत्ता निम्नलिखित में निहित है:

सैद्धांतिक वर्गीकरण: यह गैर-हर्मिटीय डोमेन में समरूपता-समृद्ध क्वांटम क्रांतिकता की समझ का विस्तार करता है, यह दिखाते हुए कि क्रिटिकल पॉइंट्स टोपोलॉजिकल रूप से विशिष्ट हो सकते हैं और सुदृढ़ एज स्टेट्स को होस्ट कर सकते हैं।
नया भौतिक तंत्र: "सामान्यीकृत द्रव्यमान व्युत्क्रमण" की पहचान यह बताती है कि गैर-हर्मिटीय गैपलेस चरणों में टोपोलॉजिकल एज स्टेट्स कैसे अस्तित्व में रह सकते हैं, जो एक ऐसी घटना है जो हर्मिटीय समकक्षों में अनुपस्थित है।
एंटांगलमेंट सिग्नेचर: एंटांगलमेंट एंट्रॉपी में एक क्वांटाइज्ड काल्पनिक सबलीडिंग टर्म की खोज इन क्रिटिकल पॉइंट्स के लिए एक सुदृढ़ डायग्नोस्टिक के रूप में कार्य करती है। यह टर्म एक टोपोलॉजिकल इंडेक्स (वाइंडिंग नंबर से संबंधित) के रूप में कार्य करता है और इसे गैर-इकाई CFT संदर्भ में बाउंडरी एंट्रॉपी योगदान के रूप में व्याख्यायित किया गया है।
सुदृढ़ता (Robustness): इन घटनाओं को समरूपता-संरक्षण विक्षोभ और अन्योन्य क्रियाओं के विरुद्ध सुदृढ़ दिखाया गया है, जो यह सुझाव देता है कि वे फाइन-ट्यून्ड आर्टिफैक्ट्स के बजाय इस सार्वभौमिकता वर्ग की अंतर्निहित विशेषताएं हैं।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि गैर-हर्मिटीय अनेक-शरी प्रणालियों में संख्यात्मक अस्थिरता के कारण प्रायोगिक कार्यान्वयन चुनौतीपूर्ण है, प्रस्तावित संकेतों को फोटोनिक प्लेटफॉर्म के माध्यम से या बढ़े हुए हर्मिटीय सिस्टम में एम्बेड करके एक्सेस किया जा सकता है। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि एक संबंधित स्वतंत्र अध्ययन गैर-हर्मिटीय चेन्स में क्रिटिकल एज स्टेट्स पर केंद्रित है।