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Nash Equilibria in Games with Playerwise Concave Coupling Constraints: Existence and Computation

यह शोध पत्र टोपोलॉजिकल फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी और सुलभ सेट संकुचन (feasible set contractibility) में नवीन अंतर्दृष्टि का उपयोग करते हुए प्लेयर-वाइज अवतल कपलिंग बाधाओं (playerwise concave coupling constraints) वाले अवतल खेलों (concave games) में नैश इक्विलिब्रिया की उपस्थिति स्थापित करता है, साथ ही एक लॉग-बैरियर रेगुलराइज्ड ग्रेडिएंट एसेंट एल्गोरिदम प्रस्तावित करता है जो पोटेंशियल गेम्स के लिए $\mathcal{O}(\epsilon^{-3})$ इटरेशन्स में $\epsilon$ -अनुमानित इक्विलिब्रियम की ओर अभिसरित होता है।

मूल लेखक: Philip Jordan, Maryam Kamgarpour

प्रकाशित 2026-02-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Philip Jordan, Maryam Kamgarpour

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि दोस्तों का एक समूह रात के खाने के लिए जगह तय करने की कोशिश कर रहा है। प्रत्येक व्यक्ति की अपनी पसंदीदा रेस्टोरेंट (उनका व्यक्तिगत लक्ष्य) है, लेकिन उन्हें कुछ नियमों पर भी सहमत होना होगा जो पूरे समूह पर लागू होते हैं, जैसे कि "हम कुल मिलाकर $100 से अधिक खर्च नहीं कर सकते" या "कोई भी ऐसी जगह पर नहीं खा सकता जो सबवे से बहुत दूर हो।"

गेम थ्योरी (game theory) की दुनिया में, इसे कपलिंग कंस्ट्रेंट्स (coupling constraints) वाला गेम कहा जाता है। पेचीदा हिस्सा यह है कि एक व्यक्ति का चुनाव बाकी सभी के लिए क्या संभव है, उसे बदल देता है। यदि एलिस एक दूर स्थित रेस्टोरेंट चुनती है, तो बॉब अचानक यह पा सकता है कि वह अपने बजट के भीतर कहीं भी नहीं जा सकता।

यह शोध पत्र इस तरह के सामूहिक निर्णयों के बारे में दो बड़े सवालों को संबोधित करता है:

क्या एक "उचित" (fair) समाधान वास्तव में मौजूद है? (जहाँ कोई भी एकतरफा अपना निर्णय बदलना न चाहे)।
क्या समूह वास्तव में उस समाधान को खुद ढूंढ सकता है, बिना किसी बॉस के निर्देश के?

लेखकों ने इन समस्याओं को कैसे हल किया, इसे सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके यहाँ समझाया गया है।

1. अस्तित्व की समस्या (The Existence Problem): एक सुरक्षित आश्रय खोजना

अतीत में, गणितज्ञ केवल तभी यह सिद्ध कर पाते थे कि एक उचित समाधान मौजूद है जब "खेल के नियम" पूरी तरह से सुचारू और उत्तल (convex - जैसे एक कटोरे का आकार) हों। यदि नियम अजीब या ऊबड़-खाबड़ (जैसे घाटियों वाले पर्वत श्रृंखला की तरह) होते, तो वे गारंटी नहीं दे सकते थे कि समाधान मौजूद है।

शोध पत्र की अंतर्दृष्टि:
लेखकों ने महसूस किया कि भले ही नियमों का समग्र आकार ऊबड़-खाबड़ और गैर-उत्तल (non-convex) हो, लेकिन जब प्रत्येक खिलाड़ी व्यक्तिगत रूप से उन्हें देखता है, तो नियम उनके लिए "अच्छे" होते हैं।

उपमा: एक भूलभुलैया (maze) की कल्पना करें। पक्षी की दृष्टि (bird's-eye view) से, भूलभुलैया दीवारों के एक भ्रमित करने वाले, असंबद्ध ढेर जैसी दिख सकती है। लेकिन यदि आप एक अकेले चूहे के रूप में उसके माध्यम से चल रहे हैं, तो आपके सामने का रास्ता हमेशा एक सीधा, खुला गलियारा होता है।
गणितीय जादू: लेखकों ने कॉन्ट्रैक्टिबिलिटी (contractibility) की अवधारणा का उपयोग किया। एक रबर शीट के बारे में सोचें। यदि आप उस शीट को बिना फटे एक एकल बिंदु तक खींच और सिकोड़ सकते हैं, तो वह "कॉन्ट्रैक्टिबल" है। उन्होंने सिद्ध किया कि भले ही समूह के कुल विकल्प एक टूटे हुए पहेली की तरह दिखें, लेकिन समाधान खोजने के लिए महत्वपूर्ण हिस्से एक एकल बिंदु तक "सिकोड़े" जा सकते हैं। इसने उन्हें यह सिद्ध करने की अनुमति दी कि एक स्थिर समाधान (Nash Equilibrium) हमेशा मौजूद रहता है, भले ही नियम अस्त-व्यस्त हों, जब तक कि वे व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक व्यक्ति के लिए "कन्केव" (concave) हों।

2. गणना की समस्या (The Computation Problem): द "लॉग बैरियर" हाइक

अब जब हम जानते हैं कि एक समाधान मौजूद है, तो खिलाड़ी उसे कैसे खोजते हैं? आमतौर पर, खिलाड़ी अपने लक्ष्य की ओर बढ़ने (अपनी खुशी को अधिकतम करने) के लिए कदम उठाते हैं। लेकिन इस खेल में, यदि वे बहुत दूर तक कदम बढ़ाते हैं, तो वे एक दीवार (constraint) से टकरा जाते हैं और खाई में गिर जाते हैं।

समस्या:
यदि खिलाड़ी केवल अपने लक्ष्यों की ओर दौड़ते हैं, तो वे अनजाने में एक "वर्जित क्षेत्र" (forbidden zone) में कदम रख सकते हैं जहाँ समूह के नियम टूट जाते हैं। अतीत में, एल्गोरिदम इस समस्या को ठीक करने की कोशिश करते समय अटक जाते थे या क्रैश हो जाते थे।

समाधान: द लॉग बैरियर (The Log Barrier)
लेखकों ने सीखने का एक नया तरीका डिज़ाइन किया है, जिसे वे लॉग बैरियर रेगुलराइज्ड ग्रेडिएंट एसेंट (Log Barrier Regularized Gradient Ascent) कहते हैं।

उपमा: कल्पना करें कि हाइकर एक घाटी में उच्चतम शिखर तक पहुँचने की कोशिश कर रहे हैं। घाटी में एक खड़ी, अदृश्य चट्टान का किनारा (constraint) है।
- सामान्यतः, एक हाइकर सीधे ऊपर की ओर दौड़ सकता है और अनजाने में किनारे से नीचे गिर सकता है।
- लॉग बैरियर एक जादुई, अदृश्य बल क्षेत्र (force field) की तरह कार्य करता है। जैसे-जैसे हाइकर चट्टान के किनारे के करीब आता है, बल क्षेत्र उसे और अधिक जोर से पीछे धकेलता है। यह ऐसा है जैसे खतरा क्षेत्र के करीब आने पर जमीन अधिक चिपचिपी और प्रतिकर्षक (repulsive) होती जाती है।
- हाइकर अभी भी अपने शिखर की ओर चढ़ सकता है, लेकिन "चिपचिपी जमीन" यह सुनिश्चित करती है कि वह वास्तव में कभी किनारे से नीचे न गिरे।

उन्होंने यह कैसे किया:

स्वतंत्र सीखना (Independent Learning): खिलाड़ियों को आपस में बात करने या समन्वय करने की आवश्यकता नहीं है। प्रत्येक खिलाड़ी बस अपने स्वयं के "चिपचिपे ज़मीन" और अपने स्वयं के "शिखर" को देखता है और एक कदम उठाता है।
अनुकूली कदम (Adaptive Steps): एल्गोरिदम यह तय करने में स्मार्ट है कि कितना बड़ा कदम उठाना है। यदि हाइकर किनारे से दूर है, तो वह बड़े, तेज़ कदम उठा सकता है। यदि वह किनारे के करीब आता है, तो एल्गोरिदम उसे गिरने से बचने के लिए छोटे, सावधानी भरे कदम उठाने के लिए मजबूर करता है।
परिणाम: लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि हर कोई इन नियमों का पालन करता है, तो वे अंततः एक स्थिर स्थान पर रुक जाएंगे जहाँ कोई भी हिलना नहीं चाहेगा। उन्होंने सिद्ध किया कि यह प्रक्रिया तेजी से (एक विशिष्ट संख्या में कदम, जो उनकी सटीकता पर निर्भर करती है) पूरी होती है।

3. वास्तविक दुनिया के परीक्षण

यह दिखाने के लिए कि यह काम करता है, लेखकों ने अपने एल्गोरिदम का दो परिदृश्यों पर परीक्षण किया:

एक सहकारी खेल (Cooperative Game): दो दोस्त एक अजीब, गैर-उत्तल आकार के भीतर साझा इनाम को अधिकतम करने की कोशिश कर रहे हैं। एल्गोरिदम ने उन्हें बिना नियम तोड़े सबसे अच्छे स्थान तक सफलतापूर्वक पहुँचाया।
एक नेटवर्क रूटिंग गेम (Network Routing Game): कल्पना करें कि पाँच ड्राइवर काम पर जाने की कोशिश कर रहे हैं। वे सबसे तेज़ रास्ता चाहते हैं, लेकिन सड़कों की क्षमता सीमाएँ हैं (यदि सड़क पर बहुत अधिक कारें हैं, तो जाम लग जाता है)। एल्गोरिदम ने ड्राइवरों को एक ऐसा ट्रैफिक पैटर्न खोजने में मदद की जहाँ कोई भी तेज़ होने के लिए सड़क नहीं बदल सकता था, और कोई भी सड़क ओवरलोड नहीं हुई।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र कहता है:

चिंता न करें यदि नियम अस्त-व्यस्त हैं: जब तक कि नियम व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक व्यक्ति के लिए समझ में आने वाले हों, एक उचित समाधान का अस्तित्व सुनिश्चित है।
नियम तोड़ने की चिंता न करें: हमारे पास एक नया "जादुई बल क्षेत्र" (लॉग बैरियर) है जो खिलाड़ियों को स्वतंत्र रूप से अपनी रणनीतियों को सीखने और सुधारने की अनुमति देता है, जबकि गणितीय रूप से यह गारंटी देता है कि वे समूह के साझा नियमों को कभी नहीं तोड़ेंगे।

यह एक बड़ी बात है क्योंकि यह हमें ऐसे सिस्टम (जैसे ट्रैफिक नेटवर्क या संसाधन बाजार) डिजाइन करने की अनुमति देती है जहाँ स्वार्थी एजेंट (self-interested agents) बिना किसी केंद्रीय नियंत्रक के सूक्ष्म प्रबंधन के, स्थिर और निष्पक्ष परिणाम प्राप्त कर सकते हैं।

तकनीकी सारांश: प्लेयरवाइज कॉन्केव कपलिंग बाधाओं वाले खेलों में नैश इक्विलिब्रियम (Nash Equilibria)

समस्या विवरण

यह शोध पत्र निरंतर रणनीति स्थानों (continuous strategy spaces) वाले स्थिर खेलों में नैश इक्विलिब्रियम के अस्तित्व और गणना को संबोधित करता है जहाँ खिलाड़ी साझा कपलिंग बाधाओं (shared coupling constraints) का सामना करते हैं। मानक गेम-थ्योरेटिक ढाँचों के विपरीत, जहाँ व्यवहार्य क्रिया सेट (feasible action sets) विकेंद्रीकृत होते हैं, इन खेलों में ऐसी बाधाएँ शामिल होती हैं जो सभी खिलाड़ियों की संयुक्त रणनीति प्रोफाइल पर निर्भर करती हैं (जैसे, संसाधन सीमाएँ, सुरक्षा आवश्यकताएँ, या साझा बजट)। केंद्रीय चुनौती यह है कि कपलिंग बाधाएँ खिलाड़ियों के व्यवहार्य प्रतिक्रिया सेटों की पृथक्करणीयता (separability) को नष्ट कर देती हैं, जिससे संतुलन अस्तित्व के सैद्धांतिक आश्वासन और अभिसरण (convergence) करने वाले लर्निंग एल्गोरिदम के डिज़ाइन दोनों में जटिलता आती है।

लेखक खेलों के एक विशिष्ट वर्ग पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो निम्नलिखित द्वारा अभिलक्षित हैं:

प्लेयरवाइज कॉन्केव उपयोगिताएँ (Playerwise concave utilities): प्रत्येक खिलाड़ी की उपयोगिता फलन, अन्य की रणनीतियों को स्थिर रखते हुए, अपनी स्वयं की रणनीति के संबंध में अवतल (concave) है।
प्लेयरवाइज कॉन्केव बाधाएँ (Playerwise concave constraints): प्रत्येक बाधा फलन, अन्य को स्थिर रखते हुए, किसी भी एकल खिलाड़ी की रणनीति के संबंध में अवतल है।
साझा बाधाएँ (Shared constraints): सभी खिलाड़ी बाधाओं के एक ही सेट के अधीन हैं।

महत्वपूर्ण रूप से, यह शोध पत्र "संयुक्त उत्तलता" (joint convexity) धारणा (जहाँ व्यवहार्य क्षेत्र संयुक्त रणनीति स्थान में उत्तल होता है) और "गैर-रिक्त व्यवहार्य प्रतिक्रिया" (nonempty feasible response) धारणा (जहाँ प्रत्येक विरोधी की रणनीतियों के लिए एक खिलाड़ी के पास हमेशा एक व्यवहार्य प्रतिक्रिया होती है) को शिथिल करता है, जो पूर्व साहित्य में सामान्य हैं लेकिन अक्सर गैर-उत्तल अंतःक्रियाओं वाले व्यावहारिक परिदृश्यों में उल्लंघन की जाती हैं।

कार्यप्रणाली

1. टोपोलॉजिकल फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी के माध्यम से अस्तित्व प्रमाण
संयुक्त उत्तलता की धारणा के बिना एक बाधित नैश इक्विलिब्रियम के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए, लेखक मानक उत्तल विश्लेषण के बजाय टोपोलॉजिकल फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का उपयोग करते हैं।

मुख्य अंतर्दृष्टि: वे प्रदर्शित करते हैं कि प्लेयरवाइज कॉन्केव बाधाओं और एक विशिष्ट नियमितता स्थिति (एक प्लेयरवाइज संस्करण, जिसे मैंगारियान-फ्रोमोवित्ज़ कंस्ट्रेंट क्वालिफिकेशन या MFCQ कहा जाता है) के तहत, व्यवहार्य क्षेत्र, हालांकि संभावित रूप से गैर-उत्तल और विच्छेदित (disconnected) हो सकता है, एक सुव्यवस्थित टोपोलॉजिकल संरचना रखता है।
कॉन्ट्रैक्टिबिलिटी (Contractibility): लेखक सिद्ध करते हैं कि व्यवहार्य क्षेत्र का प्रत्येक जुड़ा हुआ घटक (connected component) कॉन्ट्रैक्टिबल है (जिसे निरंतर रूप से एक बिंदु तक सिकोड़ा जा सकता है)। यह उन फिक्स्ड पॉइंट थ्योरम्स (विशेष रूप से आइलेनबर्ग और मोंटगोमरी, 1946; बेगल, 1950) को लागू करने की अनुमति देता है जो उत्तल डोमेन से आगे विस्तारित होते हैं।
निर्माण: वे खिलाड़ियों के क्रमवार संचालन के माध्यम से कार्य करने वाले एक बेस्ट-रिस्पॉन्स मैपिंग का निर्माण करते हैं। प्लेयरवाइज कॉन्केविटी का लाभ उठाकर, वे सुनिश्चित करते हैं कि मैपिंग निरंतर है और व्यवहार्य सेट के एक जुड़े हुए घटक को स्वयं में मैप करती है, जो एक फिक्स्ड पॉइंट की गारंटी देती है जो एक बाधित नैश इक्विलिब्रियम के अनुरूप होता है।

2. लॉग बैरियर रेगुलराइज्ड ग्रेडिएंट एसेंट के माध्यम से गणना
इक्विलिब्रियम की गणना के लिए, शोध पत्र साझा कपलिंग बाधाओं वाले पोटेंशियल गेम्स (potential games) पर ध्यान केंद्रित करता है। इस सेटिंग में, खिलाड़ी केवल स्थानीय ग्रेडिएंट फीडबैक का उपयोग करके स्वतंत्र रूप से रणनीतियों को अपडेट करते हैं।

एल्गोरिदम: लेखक लॉग बैरियर रेगुलराइज्ड ग्रेडिएंट एसेंट का उपयोग करके एक स्वतंत्र लर्निंग प्रोटोकॉल प्रस्तावित करते हैं। प्रत्येक खिलाड़ी एक रेगुलराइज्ड ऑब्जेक्टिव फंक्शन को अधिकतम करता है:
$B_i^\eta(x) = u_i(x) + \eta \sum_{j} \log(c_j(x) - \alpha_j)$
जहाँ $\eta$ एक रेगुलराइजेशन पैरामीटर है और लॉग टर्म एक बैरियर के रूप में कार्य करता है जो रणनीति को बाधाओं का उल्लंघन करने से रोकता है।
अनुकूली स्टेपसाइज़ेस (Adaptive Stepsizes): व्यवहार्य क्षेत्र की गैर-उत्तलता और सीमा के पास लॉग बैरियर की विलक्षणता (singularity) को संभालने के लिए, एल्गोरिदम अनुकूली स्टेपसाइज़ेस का उपयोग करता है। ये स्टेपसाइज़्स वर्तमान व्यवहार्यता मार्जिन (बाधा सीमा से दूरी) और स्थानीय स्मूथनेस पैरामीटर्स के आधार पर गतिशील रूप से समायोजित किए जाते हैं।
व्यवहार्यता गारंटी: उन विधियों के विपरीत जिन्हें NP-हार्ड व्यवहार्यता उप-समस्याओं को हल करने की आवश्यकता हो सकती है या जो अपात्र मध्यवर्ती इटरेशन (infeasible intermediate iterates) की अनुमति देती हैं, यह दृष्टिकोण सुनिश्चित करता है कि यदि एल्गोरिदम एक सख्ती से व्यवहार्य बिंदु से शुरू होता है, तो सभी आगामी इटरेशन सख्ती से व्यवहार्य रहेंगे।

मुख्य योगदान

कमजोर शर्तों के तहत अस्तित्व: शोध पत्र संयुक्त व्यवहार्य प्रतिक्रिया सेटों के लिए गैर-रिक्त होने की आवश्यकता (डेब्रेू, 1952 को शिथिल करना) या संयुक्त व्यवहार्य क्षेत्र के उत्तल होने की आवश्यकता (रोसेन, 1965 को शिथिल करना) के बिना, प्लेयरवाइज कॉन्केव बाधाओं वाले खेलों के लिए बाधित नैश इक्विलिब्रियम के अस्तित्व को स्थापित करता है।
नवीन टोपोलॉजिकल प्रूफ तकनीक: लेखक व्यवहार्य क्षेत्र के जुड़े हुए घटकों के कॉन्ट्रैक्टिबिलिटी का विश्लेषण करने वाली एक प्रमाण तकनीक पेश करते हैं। यह प्लेयरवाइज कॉन्केविटी और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरम्स के लिए टोपोलॉजिकल आवश्यकताओं के बीच के अंतर को पाटता है।
पोटेंशियल गेम्स के लिए अभिसारी एल्गोरिदम: वे साझा कपलिंग बाधाओं वाले पोटेंशियल गेम्स के लिए एक प्लेयरवाइज डीकप्ल्ड लर्निंग एल्गोरिदम डिजाइन करते हैं। इस एल्गोरिदम के लिए खिलाड़ियों के बीच किसी संचार या समन्वय की आवश्यकता नहीं होती है।
अभिसरण दर (Convergence Rate): सटीक ग्रेडिएंट फीडबैक के तहत, प्रस्तावित विधि $O(\epsilon^{-3})$ इटरेशन के भीतर एक $\epsilon$ -अनुमानित बाधित नैश इक्विलिब्रियम तक अभिसरित होती है। यह पथ के साथ व्यवहार्यता और स्मूथनेस बनाए रखने के लिए रेगुलराइजेशन पैरामीटर और अनुकूली स्टेपसाइज़ेस को सावधानीपूर्वक संतुलित करके प्राप्त किया जाता है।

परिणाम

सैद्धांतिक: शोध पत्र सिद्ध करता है कि परिभाषित वर्ग के खेलों के लिए एक बाधित नैश इक्विलिब्रियम मौजूद है। इसके अलावा, यह सिद्ध करता है कि प्रस्तावित स्वतंत्र लर्निंग डायनेमिक्स पोटेंशियल गेम्स में एक अनुमानित इक्विलिब्रियम तक अभिसरित होते हैं।
अनुभवजन्य (Empirical): लेखक दो निरंतर पोटेंशियल गेम्स पर अपने मेथड के माध्यम से अपने तरीके को मान्य करते हैं:
1. एक सहकारी खेल (cooperative game) जिसमें गैर-उत्तल व्यवहार्य क्षेत्र है, जो यह प्रदर्शित करता है कि प्रक्षेपवक्र (trajectory) व्यवहार्य सेट के भीतर रहता है और सीमा के पास एक इक्विलिब्रियम तक अभिसरित होता है।
2. एक नेटवर्क रूटिंग गेम (network routing game) जिसमें कपल्ड लिंक कैपेसिटी बाधाएं हैं, जो क्षमता सीमाओं का सम्मान करते हुए नैश गैप के शून्य तक अभिसरण को दर्शाता है।

महत्व और दावे

शोध पत्र का दावा है कि यह पहले की तुलना में कमजोर संरचनात्मक धारणाओं के तहत साझा कपलिंग बाधाओं वाले खेलों में इक्विलिब्रियम के अस्तित्व और गणना के खुले प्रश्नों को हल करता है। विशेष रूप से:

यह प्रदर्शित करता है कि यदि प्लेयरवाइज कॉन्केविटी और उपयुक्त बाधा योग्यता (constraint qualifications) पूरी होती है, तो संयुक्त उत्तलता (joint convexity) अस्तित्व के लिए आवश्यक नहीं है।
यह दिखाता है कि स्वतंत्र लर्निंग पोटेंशियल गेम्स में बाधित इक्विलिब्रियम तक सफलतापूर्वक अभिसरित हो सकती है, भले ही व्यवहार्य क्षेत्र गैर-उत्तल हो, बशर्ते कि एक व्यवहार्य शुरुआती बिंदु उपलब्ध हो।
यह कार्य लॉग बैरियर इंटीरियर पॉइंट मेथड्स की प्रयोज्यता को एकल-खिलाड़ी अनुकूलन से मल्टी-प्लेयर गेम सेटिंग्स तक बढ़ाता है, जो उन परिदृश्यों के लिए एक व्यावहारिक उपकरण प्रदान करता है जहाँ सीखने की प्रक्रिया के दौरान सुरक्षा या संसाधन बाधाओं को सख्ती से बनाए रखना आवश्यक है।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि उनके परिणाम पोटेंशियल गेम्स के लिए विशिष्ट हैं, वे अधिक सामान्य सेटिंग्स (जैसे, मार्कोव गेम्स, जीरो-सम गेम्स) और स्टोकेस्टिक फीडबैक के साथ भविष्य के कार्य के लिए मार्ग प्रशस्त करते हैं।

1. अस्तित्व की समस्या (The Existence Problem): एक सुरक्षित आश्रय खोजना

2. गणना की समस्या (The Computation Problem): द "लॉग बैरियर" हाइक

3. वास्तविक दुनिया के परीक्षण

सारांश

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