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Parameterized Hardness of Zonotope Containment and Neural Network Verification

यह शोध पत्र इनपुट आयाम $d$ के सापेक्ष प्रमुख कार्यों, जिनमें धनात्मकता (positivity) का निर्णय लेना, लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक (Lipschitz constants) की गणना करना और ज़ोनोटोप समावेशन (zonotope containment) शामिल हैं, को W[1]-हार्ड सिद्ध करके न्यूरल नेटवर्क सत्यापन की पैरामीटराइज्ड जटिलता से संबंधित खुली समस्याओं का समाधान करता है, जिससे यह स्थापित होता है कि एक्सपोनेंशियल टाइम हाइपोथीसिस (Exponential Time Hypothesis) के तहत सहज गणनात्मक विधियाँ (naive enumeration methods) अनिवार्य रूप से इष्टतम हैं।

मूल लेखक: Vincent Froese, Moritz Grillo, Christoph Hertrich, Moritz Stargalla

प्रकाशित 2026-05-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Vincent Froese, Moritz Grillo, Christoph Hertrich, Moritz Stargalla

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "पैरामिट्राइज्ड हार्डनेस ऑफ ज़ोनोटोप कंटेनमेंट एंड न्यूरल नेटवर्क वेरिफिकेशन" (Parameterized Hardness of Zonotope Containment and Neural Network Verification) शोध पत्र का सरल, रोजमर्रा की भाषा में अनुवाद दिया गया है, जिसमें उपमाओं (analogies) का उपयोग किया गया है।

बड़ी तस्वीर: "ब्लैक बॉक्स" की समस्या

कल्पना कीजिए कि आपने एक बहुत ही जटिल रोबोट (एक न्यूरल नेटवर्क) बनाया है जो तस्वीरों में बिल्लियों को पहचान सकता है। आपने इसे हजारों तस्वीरों पर प्रशिक्षित किया है, और यह बहुत अच्छा काम करता है। लेकिन आप चिंतित हैं: क्या होगा अगर कोई फोटो में सिर्फ एक पिक्सेल बदल दे? क्या रोबट अचानक बिल्ली को टोस्टर समझने लगेगा?

सुरक्षित रहने के लिए, आप रोबोट को "वेरिफाई" (सत्यापित) करना चाहते हैं। आप गणितीय रूप से सिद्ध करना चाहते हैं कि इनपुट में थोड़ा भी बदलाव होने पर भी आउटपुट सुरक्षित रहेगा। इसे नेटवर्क वेरिफिकेशन कहा जाता है।

समस्या यह है कि ये रोबोट लाखों छोटे स्विचों (जिन्हें ReLU न्यूरॉन्स कहा जाता है) से बने होते हैं। यह देखने के लिए कि क्या रोबोट सुरक्षित है, हर एक स्विच के संयोजन (combination) की जांच करना ऐसा है जैसे समुद्र तट पर रेत के हर एक कण को चखकर यह देखना कि क्या कोई विशेष कण वहां मौजूद है। इसमें बहुत अधिक समय लगता है।

यह शोध पत्र एक विशिष्ट प्रश्न पूछता है: क्या यह समस्या इसलिए कठिन है क्योंकि रोबोट बहुत बड़ा है, या इसलिए कठिन है क्योंकि वह "दुनिया" जिसमें रोबोट रहता है, उसमें बहुत अधिक आयाम (dimensions) हैं?

लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि रोबोट छोटा भी है, तो भी यदि "दुनिया" (इनपुट डेटा) में कई आयाम हैं, तो सुरक्षा की जांच करना कंप्यूटर के लिए असंभव रूप से कठिन है, चाहे एल्गोरिदम कितना भी स्मार्ट क्यों न हो।

मुख्य पात्र और अवधारणाएं

1. "नुकीला" रोबोट (ReLU Networks)

एक न्यूरल नेटवर्क को एक ऐसी मशीन के रूप में सोचें जो इनपुट (जैसे एक तस्वीर) लेती है और पहाड़ियों और घाटियों का एक नक्शा बनाती है।

इनपुट: कल्पना करें कि इनपुट एक नक्शे पर एक बिंदु है।
आउटपुट: मशीन आपको बताती है कि उस बिंदु पर पहाड़ी की ऊंचाई कितनी है।
लक्ष्य: हम जानना चाहते हैं: "क्या इस नक्शे पर कोई भी ऐसा बिंदु है जहाँ ऊंचाई शून्य से ऊपर है?" (इसे पॉज़िटिविटी/Positivity कहा जाता है)। यदि उत्तर "हाँ" है, तो नेटवर्क असुरक्षित हो सकता है।

2. "आकार बदलने वाले" बॉक्स (Zonotopes)

गणित और रोबोटिक्स की दुनिया में, ज़ोनोटोप्स (Zonotopes) नामक आकृतियाँ होती हैं। एक ज़ोनोटोप को एक लचीले, बहु-आयामी बॉक्स के रूप में कल्पना करें जिसे कई दिशाओं में एक साथ रबर बैंड को खींचकर बनाया गया है।

समस्या: "ज़ोनोटोप कंटेनमेंट" पूछता है: "क्या बॉक्स A पूरी तरह से बॉक्स B के अंदर है?"
संबंध: यह शोध पत्र दिखाता है कि एक न्यूरल नेटवर्क सुरक्षित है या नहीं, इसकी जांच करना ठीक उसी गणितीय समस्या के समान है जो यह जांचने के लिए है कि एक अजीब, बहु-आयामी बॉक्स दूसरे के भीतर फिट बैठता है या नहीं।

3. "मल्टीकलर क्लीक" पहेली (The Multicolored Clique Puzzle)

अपने तर्क को सिद्ध करने के लिए, लेखक एक प्रसिद्ध लॉजिक पहेली का उपयोग करते हैं जिसे मल्टीकलर क्लीक कहा जाता है।

उपमा: कल्पना करें कि एक पार्टी में मेहमान अलग-अलग रंगों की शर्ट (लाल, नीला, हरा, आदि) पहने हुए हैं। आप दोस्तों का एक ऐसा समूह खोजना चाहते हैं जहाँ:
1. सभी ने अलग-अलग रंग की शर्ट पहनी हो।
2. समूह में हर कोई एक-दूसरे को जानता हो।
कठिनाई: जैसे-जैसे रंगों ( $k$ ) की संख्या बढ़ती है, इस आदर्श समूह को खोजना तेजी से कठिन होता जाता है। यह घास के ढेर में सुई खोजने जैसा है जो लगातार बड़ा होता जा रहा है।

लेखकों ने वास्तव में क्या खोजा

लेखकों ने "पार्टी पहेली" और "रोबोट सुरक्षा जांच" के बीच एक पुल बनाया। उन्होंने दिखाया कि यदि आप आसानी से यह जांच सकते हैं कि एक रोबोट सुरक्षित है या नहीं, तो आप आसानी से "पार्टी पहेली" को भी हल कर सकते। चूंकि पार्टी पहेली को हल करना अत्यंत कठिन माना जाता है, इसलिए रोबोट की सुरक्षा जांच भी कठिन है।

यहाँ उनके विशिष्ट निष्कर्ष दिए गए, जिन्हें सरल बनाया गया है:

1. "डायमेंशन" का जाल (The Dimension Trap)

आमतौर पर, कंप्यूटर वैज्ञानिक उम्मीद करते हैं कि यदि कोई समस्या कठिन है, तो वह केवल इसलिए है क्योंकि डेटा का आकार (size) बहुत बड़ा है। उन्हें उम्मीद थी कि यदि आयाम (dimension) (चरों की संख्या) कम है, तो समस्या आसान होगी।

परिणाम: लेखकों ने सिद्ध किया कि यह उम्मीद गलत है। भले ही रोबोट छोटा हो, यदि इनपुट में कई आयाम ( $d$ ) हैं, तो समस्या W[1]-hard बनी रहती है।
रूपक: कल्पना करें कि आप एक कमरे में खोई हुई चाबी ढूंढ रहे हैं। आप सोच सकते हैं, "यदि कमरा छोटा है, तो यह आसान है।" लेकिन लेखक कहते हैं, "नहीं, भले ही कमरा छोटा हो, यदि कमरे की हवा में बहुत सारे अदृश्य स्तर (dimensions) हैं, तो भी आप हर एक स्तर की जांच किए बिना चाबी नहीं ढूंढ सकते।"

2. "ब्रूट फोर्स" ही सबसे अच्छा विकल्प है

चूंकि यह समस्या इतनी कठिन है, तो हम क्या करें?

परिणाम: इसे हल करने का एकमात्र तरीका "ब्रूट फोर्स" (Brute Force) है—हर एक संभावना की एक-एक करके जांच करना।
रूपक: कल्पना करें कि आपके पास 10 डायल वाला एक कॉम्बिनेशन लॉक है। आप कोड का अनुमान नहीं लगा सकते; आपको 0000000000, फिर 0000000001, और इसी तरह कोशिश करनी होगी। लेखकों ने सिद्ध किया कि कोई जादुई शॉर्टकट नहीं है। कोई भी एल्गोरिदम जो केवल हर नंबर को चेक करने से "स्मार्ट" होने की कोशिश करता है, वह विफल हो जाएगा। सरल, धीमी विधि ही वास्तव में हमारे पास उपलब्ध सबसे अच्छी विधि है।

3. विशिष्ट कठिन समस्याएं

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि निम्नलिखित विशिष्ट कार्य सभी उच्च आयामों में तेजी से हल करना "असंभव" है:

पॉज़िटिविटी (Positivity): क्या कोई ऐसा इनपुट है जो रोबोट को सकारात्मक संख्या आउटपुट करने के लिए मजबूर करता है?
सरजक्टिविटी (Surjectivity): क्या रोबोट हर संभव संख्या उत्पन्न कर सकता है? (जैसे एक रेडियो जो हर फ्रीक्वेंसी चला सकता है)।
लिप्सचिट्ज़ कांस्टेंट (Lipschitz Constant): यदि मैं इनपुट को थोड़ा हिलाता हूँ, तो आउटपुट कितना बदल जाता है? (यह मापता है कि रोबोट कितना "उछलने वाला" या "स्थिर" है)।
ज़ोनोटोप कंटेनमेंट (Zonotope Containment): क्या एक बहु-आयामी बॉक्स दूसरे के अंदर फिट बैठता है?

4. "अच्छी खबर" (बहुत विशिष्ट मामलों के लिए)

लेखकों को कठिनाई की दीवार में एक छोटी सी दरार भी मिली।

अपवाद: यदि रोबोट एक बहुत ही विशिष्ट, प्रतिबंधित तरीके से बनाया गया है (जिसे इनपुट कॉन्वेक्स न्यूरल नेटवर्क कहा जाता है), तो इसकी स्थिरता की जांच करना आसान है।
रूपक: यह कहने जैसा है कि, "यदि रोबोट केवल सीधी, कठोर बीमों (कॉन्वेक्स) से बना है, तो हम इसे आसानी से जांच सकते हैं। लेकिन यदि इसमें लचीले, मुड़ने वाले स्प्रिंग्स (सामान्य ReLU नेटवर्क) हैं, तो हम फंस जाते हैं।"

सारांश: यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह शोध पत्र AI सुरक्षा के क्षेत्र के लिए एक "रियलिटी चेक" (वास्तविकता का बोध) है।

कोई जादुई समाधान नहीं: यदि इनपुट आयाम उच्च हैं, तो हम इन नेटवर्कों को सत्यापित करने के लिए केवल एक तेज़ कंप्यूटर या स्मार्ट एल्गोरिदम का आविष्कार करके उन्हें सत्यापित नहीं कर सकते। गणित स्वयं इसे वर्जित करता है।
सत्यापन की सीमाएं: यदि आप उच्च-आयामी डेटा का उपयोग करने वाला सुरक्षा-महत्वपूर्ण सिस्टम (जैसे कि सेल्फ-ड्राइविंग कार) बना रहे हैं, तो आप वर्तमान तरीकों का उपयोग करके गणितीय रूप से यह गारंटी नहीं दे सकते कि वह सभी सूक्ष्म त्रुटियों के खिलाफ 100% सुरक्षित है।
आगे का रास्ता: चूंकि हम सामान्य समस्या को हल नहीं कर सकते, इसलिए हमें या तो:
- "ब्रूट फोर्स" विधियों का उपयोग करना चाहिए (जो धीमी हैं लेकिन सटीक हैं)।
- अपने डिजाइनों को विशेष, सरल प्रकार के नेटवर्क (जैसे कि ऊपर बताए गए "कठोर बीम" वाले) तक सीमित करना चाहिए।
- "रैंडमाइज्ड" अनुमानों (approximations) का उपयोग करना चाहिए जो अधिकांश मामलों के लिए पर्याप्त अच्छे हैं, भले ही वे पूर्ण न हों।

संक्षेप में: न्यूरल नेटवर्क का ब्रह्मांड बहुत विशाल और जटिल है। हमें यह स्वीकार करना होगा कि कुछ चीजों की जांच करना स्वाभाविक रूप से कठिन है, और हमें अपने सिस्टम बनाने के तरीके के बारे में सावधान रहने की आवश्यकता है।

तकनीकी सारांश: ज़ोनोटोप कंटेनमेंट और न्यूरल नेटवर्क सत्यापन की पैरामीट्रिक कठिनता (Parameterized Hardness)

समस्या की परिभाषा

यह शोध पत्र ReLU न्यूरल नेटवर्क और कम्प्यूटेशनल ज्योमेट्री से संबंधित मौलिक समस्याओं की कम्प्यूटेशनल जटिलता को संबोधित करता है, जो विशेष रूप से इनपुट आयाम $d$ के संदर्भ में उनके व्यवहार पर केंद्रित है। जांचे गए मुख्य समस्याओं में शामिल हैं:

नेटवर्क सत्यापन (Network Verification): यह तय करना कि क्या एक 2-लेयर ReLU नेटवर्क $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ एक धनात्मक आउटपुट (Positivity) प्राप्त करता है, क्या वह अधिरोपित (surjective) है, या क्या एक 3-लेयर नेटवर्क एक गैर-शून्य फलन (non-zero function) की गणना करता है।
लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक गणना (Lipschitz Constant Computation): 2-लेयर और 3-लेयर ReLU नेटवर्कों में $p \in (0, \infty]$ के लिए $L_p$ -लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक की गणना या सन्निकटन करना।
ज़ोनोटोप कंटेनमेंट (Zonotope Containment): यह तय करना कि क्या एक ज़ोनोटोप $Z \subset \mathbb{R}^d$ (जेनरेटर्स द्वारा परिभाषित) दूसरे के भीतर समाहित है।

जबकि ये समस्याएँ सामान्य मामले में (co)NP-hard ज्ञात हैं, उनकी इनपुट आयाम $d$ के सापेक्ष पैरामीट्रिक जटिलता स्थिति एक खुला प्रश्न थी। विशेष रूप से, यह अज्ञात था कि क्या ये समस्याएँ फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबल (FPT) हैं या W[1]-hard हैं। मौजूदा एल्गोरिदम इन समस्याओं को रैखिक क्षेत्रों (linear regions) या ज़ोनोटोप वर्टिक्स के "ब्रूट-फोर्स" एन्यूमरेशन के माध्यम से लगभग $O(n^d \cdot \text{poly}(N))$ समय में हल करते हैं, जहाँ $n$ नेटवर्क की चौड़ाई या जेनरेटर्स की संख्या है। केंद्रीय प्रश्न यह है कि क्या $d$ पर यह घातांकीय निर्भरता (exponential dependence) अंतर्निहित है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक मल्टीकलर्ड क्लिक (Multicolored Clique) समस्या से एक पैरामीट्रिक रिडक्शन के माध्यम से कठिनता के परिणाम स्थापित करते हैं, जो क्लिक आकार $k$ के संबंध में W[1]-hard है और एक्सपोनेंशियल टाइम हाइपोथेसिसिस (ETH) के तहत $\rho(k) \cdot |V|^{o(k)}$ समय में हल नहीं की जा सकती है।

कार्यप्रणाली का मुख्य भाग एक 2-लेयर ReLU नेटवर्क का निर्माण करना है जो दिए गए ग्राफ $G$ (रंगीन वर्टिकल के साथ) की संरचना को एनकोड करता है। निर्माण में निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है:

सिडोन सेट्स (Sidion Sets): नोड्स को अद्वितीय पूर्णांक लेबल असाइन करने के लिए ताकि एज सम (edge sums) अद्वितीय हों, जिससे एज वेरिफिकेशन में गलत सकारात्मकता (false positives) को रोका जा सके।
स्पाइक फंक्शन्स (Spike Functions): प्रत्येक जोड़ी रंगों $(r, l)$ के लिए, एक फलन $s_{r,l}$ निर्मित किया जाता है जो केवल तभी "स्पाइक" (मान 1) आउटपुट करता है जब इनपुट दो आसन्न नोड्स के लेबल के योग के अनुरूप हो जिनके रंग $r$ और $l$ हैं।
पेनल्टी फंक्शन्स (Penalty Functions): प्रत्येक रंग $c$ के लिए, एक फलन $p_c$ एक स्पाइक आउटपुट करता है यदि इनपुट उस रंग के नोड के लेबल के अनुरूप हो।
होमोजेनाइजेशन (Homogenization): बिना बायस (biases) वाले नेटवर्कों तक परिणामों का विस्तार करने के लिए, लेखक एक होमोजेनाइजेशन तकनीक का उपयोग करते हैं जो एक अतिरिक्त इनपुट वेरिएबल $y$ पेश करती है, और बायस को $y$ और $|y|$ वाले पदों से बदल देती है।

इन फलनों का योग एक नेटवर्क $f$ बनाता है जहाँ अधिकतम आउटपुट मान ठीक $k + \binom{k}{2}$ होता है यदि और केवल यदि ग्राफ में $k$ -कलर्ड क्लिक मौजूद है। अन्यथा, अधिकतम मान इससे काफी कम होता है। यह अंतर निर्णय समस्या को नेटवर्क सत्यापन और संबंधित अनुकूलन समस्याओं में रिड्यूस करने की अनुमति देता है।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. नेटवर्क सत्यापन की W[1]-Hardness

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि 2-लेयर ReLU नेटवर्कों के लिए पॉजिटिविटी (ऐसा $x$ का अस्तित्व जिससे $f(x) > 0$ हो) और सरजक्टिविटी (Surjectivity) तय करना इनपुट आयाम $d$ के संबंध में W[1]-hard है।

निहितार्थ: यह फ्रोस एट अल. (COLT '25) द्वारा उठाए गए एक खुले प्रश्न को हल करता है, यह पुष्टि करता है कि मानक जटिलता धारणाओं के तहत ये समस्याएँ FPT नहीं हैं।
विस्तार: यह कठिनता 3-लेयर नेटवर्क द्वारा गैर-शून्य फलन की गणना करने के निर्णय तक विस्तृत है।
रनिंग टाइम लोअर बाउंड: ETH को मानते हुए, कोई भी एल्गोरिदम इन समस्याओं को $\rho(d) \cdot N^{o(d)}$ समय में हल नहीं कर सकता है। इसका तात्पर्य है कि $O(n^d \cdot \text{poly}(N))$ में चलने वाले सरल एन्यूमरेशन एल्गोरिदम अनिवार्य रूप से इष्टतम (optimal) हैं।

2. ज़ोनोटोप कंटेनमेंट की W[1]-Hardness

2-लेयर ReLU नेटवर्कों (बिना बायस के) और ज़ोनोटोप के बीच द्वैत (duality) का लाभ उठाते हुए, लेखक सिद्ध करते हैं कि ज़ोनोटोप नॉन-कंटेनमेंट $d$ के संबंध में W[1]-hard है।

महत्व: यह समस्या कंट्रोल थ्योरी और रोबोटिक्स के लिए केंद्रीय है। परिणाम बताता है कि कंटेनमेंट की जाँच ज़ोनोटोप के वर्टिक्स को सूचीबद्ध करने से काफी तेज़ नहीं की जा सकती है, जिसमें $O(n^{d-1})$ समय लगता है।

3. लिप्सचिट्ज़ स्थिरांकों की कठिनता

यह शोध पत्र ज्ञात NP-hardness परिणामों को पैरामीट्रिक सेटिंग में विस्तारित करता है:

2-लेयर नेटवर्क: किसी भी $p \in (0, \infty]$ के लिए $L_p$ -लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक की गणना करना $d$ के संबंध में W[1]-hard है।
3-लेयर नेटवर्क: किसी भी मल्टीप्लिकेटिव फैक्टर के भीतर $L_p$ -लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक का सन्निकटन करना $d$ के संबंध में W[1]-hard है।
परिणाम: सत्यापन के समान, रनिंग टाइम लोअर बाउंड $\rho(d) \cdot N^{o(d)}$ लागू होता है, जो सुझाव देता है कि वर्तमान एन्यूमरेशन-आधारित दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से इष्टतम हैं।

4. सुलभ उपवर्ग और सन्निकटन (Tractable Subclasses and Approximations)

सामान्य कठिनता के बावजूद, यह शोध पत्र विशिष्ट मामलों की पहचान करता है जहाँ ट्रैक्टेबिलिटी संभव है:

इनपुट कॉन्वेक्स न्यूरल नेटवर्क (ICNNs): इस प्रतिबंधित वर्ग के लिए, $L_1$ -लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक की गणना बहुपद-समय (polynomial-time) में हल करने योग्य है, और $L_\infty$ -लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक $d$ के संबंध में FPT है।
रैंडमाइज्ड एप्रोक्सिमेशन: लेखक ज़ोनोटोप पर नॉर्म मैक्सिमाइजेशन (जो कुछ नेटवर्कों के लिए लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक गणना के समकक्ष है) के लिए एक रैंडमाइज्ड FPT-एप्रोक्सिमेशन एल्गोरिदम प्रस्तुत करते हैं। सबस्पेस एम्बेडिंग थ्योरी का उपयोग करते हुए, वे एक छोटा ज़ोनोटोप $Z(A')$ निर्मित करते हैं जो $Z(A)$ को $(1 \pm \epsilon)$ के कारक के भीतर सन्निकट करता है। यह लगभग $O((d \log d)^{d-1})$ समय में सन्निकटन की अनुमति देता है, जो $d$ में FPT है लेकिन उच्च-डिग्री बहुपद निर्भरता के साथ है।

महत्व और दावे

शोध पत्र का दावा है कि यह इन मौलिक समस्याओं के लिए सबसे मजबूत ज्ञात कठिनता परिणाम प्रदान करता है। W[1]-hardness स्थापित करके, लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि इन समस्याओं के लिए "डायमेंशनलिटी का अभिशाप" (curse of dimensionality) अंतर्निहित है; उन्हें केवल इनपुट आयाम को छोटा मानकर सुलभ नहीं बनाया जा सकता, जब तक कि व्यापक रूप से मानी जाने वाली धारणा FPT $\neq$ W[1] गलत न हो।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनके परिणाम व्यवहार में ह्यूरिस्टिक विधियों और विशिष्ट आर्किटेक्चर (जैसे ICNNs) पर निर्भरता को न्यायसंगत ठहराते हैं। उनका तर्क है कि चूंकि ETH के तहत साधारण एन्यूमरेशन एल्गोरिदम अनिवार्य रूप से इष्टतम हैं, इसलिए किसी भी व्यावहारिक सुधार के लिए निम्नलिखित आवश्यक है:

वास्तविक दुनिया के नेटवर्कों के विशिष्ट संरचनात्मक गुणों (जैसे स्पर्सिटी, विशिष्ट वेट डिस्ट्रीब्यूशन) का लाभ उठाना जो वर्स्ट-केस कंस्ट्रक्शन में कैप्चर नहीं किए गए हैं।
सन्निकटन तकनीकों (जैसे प्रस्तुत रैंडमाइज्ड FPT एल्गोरिदम) का उपयोग करना।
समस्या को ICNNs जैसे सुलभ उपवर्गों तक सीमित करना।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि इन समस्याओं की पैरामीट्रिक जटिलता अब काफी हद तक तय हो गई है, जबकि उल्लेखनीय खुला प्रश्न $p \in (1, \infty)$ के लिए ज़ोनोटोप पर $L_p$ -मैक्सिमाइजेशन की फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबिलिटी बना हुआ है।