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One-dimensional lattice random walks in a Gaussian random potential

यह शोध पत्र तीन अलग-अलग मॉडलों में गॉसियन रैंडम पोटेंशियल वाले एक-आयामी लैटिस पर निरंतर-समय रैंडम वॉक के सांख्यिकीय गुणों का विश्लेषण करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जहाँ प्रायिकता धारा (प्रोबेबिलिटी करंट) और प्रतिरोध जैसी मात्राएँ गैर-स्व-औसत (नॉन-सेल्फ-एवरेजिंग) हैं, वहीं स्प्लिटिंग प्रायिकता, माध्य प्रथम-प्रवेश समय (मीन फर्स्ट-पासेज टाइम) और विसरण गुणांक, तीव्र परिमित-आकार उतार-चढ़ाव प्रदर्शित करने के बावजूद, ऊष्मागतिक सीमा (थर्मोडायनामिक लिमिट) में स्व-औसत (सेल्फ-एवरेजिंग) हो जाते हैं।

मूल लेखक: Silvio Kalaj, Enzo Marinari, Gleb Oshanin, Luca Peliti

प्रकाशित 2026-02-27

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Silvio Kalaj, Enzo Marinari, Gleb Oshanin, Luca Peliti

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक लंबे, संकीले गलियारे में चलने की कोशिश कर रहे हैं। एक सामान्य गलियारे में, फर्श समतल होता है और आप एक स्थिर गति से चल सकते हैं। लेकिन इस शोध पत्र में, लेखक एक ऐसा गलियारा मानते हैं जहाँ फर्श पहाड़ियों और घाटियों के एक अराजक, अदृश्य परिदृश्य से ढका हुआ है। कुछ स्थान गहरे गड्ढे (जाल/ट्रैप) हैं जो आपकी गति धीमी कर देते हैं, जबकि कुछ स्थान फिसलन भरी ढलानें हैं जो आपको आगे या पीछे धकेल सकती हैं।

यह "विक्षोभ युक्त वातावरण" (disordered environment) है। पेच यह है? हर बार जब आप इस गलियारे में चलने की कोशिश करते हैं, तो इसका लेआउट अलग होता है, और एक बार शुरू होने के बाद, लेआउट अपनी जगह पर जम जाता है (इसे "क्वेंच्ड" पोटेंशियल कहा जाता है)।

शोधकर्ताओं ने एक सरल लेकिन पेचीदा सवाल पूछा: यदि आप अलग-अलग यादृच्छिक (रैंडम) गलियारोंों के साथ एक मिलियन बार यह प्रयोग चलाते हैं, तो क्या औसत परिणाम आपको वह बताएगा जो एक अकेला व्यक्ति अनुभव करेगा?

विज्ञान में, एक अवधारणा है जिसे स्व-औसत (self-averaging) कहा जाता है।

स्व-औसत (Self-averaging): यदि आप दस लाख लोगों की औसत गति मापते हैं, तो यह लगभग उसी गति के समान होती है जो किसी एक व्यक्ति की एक बहुत लंबे गलियारे में होगी। यादृच्छिक फर्श का "शोर" (noise) औसत को सुचारू बना देता है।
स्व-औसत नहीं (Not self-averaging): यदि आप दस लाख लोगों की औसत गति मापते हैं, तो यह बहुत तेज़ हो सकती है, लेकिन लगभग कोई भी अकेला व्यक्ति इतनी तेज़ी से नहीं चलता। औसत कुछ भाग्यशाली (या दुर्भाग्यपूर्ण) लोगों द्वारा संचालित होता है जिन्होंने एक आदर्श रास्ता खोज लिया, जबकि अधिकांश लोग कुछ खराब जगहों पर फंस जाते हैं।

यहाँ शोधकर्ताओं ने तीन अलग-अलग "खेल के नियमों" और पाँच मापों के माध्यम से क्या खोजा, इसका विवरण दिया गया है।

खेल के तीन नियम

लेखकों ने तीन अलग-अलग तरीकों का परीक्षण किया जिनसे "पहाड़ियाँ और घाटियाँ" चलने वाले को प्रभावित करती हैं:

"रैंडम फ़ोर्स" मॉडल: कल्पना कीजिए कि फर्श पर अदृश्य हवा के झोंके हैं। हवा आपको उस ऊंचाई के अंतर के आधार पर धकेलती है जो आपके वर्तमान स्थान और जहाँ आप जाना चाहते हैं, उसके बीच है। यदि अगला स्थान नीचे है, तो हवा आपको धकेलेगी; यदि वह ऊपर है, तो वह वापस धकेलेगी।
"रैंडमाइज्ड स्टेप्स" मॉडल: कल्पना कीजिए कि आप एक कदम उठाने का निर्णय लेते हैं, लेकिन आपके द्वारा चुना गया दिशा इलाके (terrain) पर निर्भर करता है, और कदम रखने से पहले आप कितना समय प्रतीक्षा करते हैं, यह यादृच्छिक है। यह एक नशे में धुत व्यक्ति के चलने जैसा है जहाँ ज़मीन तय करती है कि वह किस ओर झुकेगा, लेकिन वह यादृच्छिक समय पर लड़खड़ाता है।
"रैंडम ट्रैप" मॉडल: कल्पना कीजिए कि फर्श गहरे छेदों से भरा है। यदि आप किसी छेद में कदम रखते हैं, तो आप कुछ समय के लिए फंस जाते हैं। छेद जितना गहरा होगा (पोटेंशियल जितना कम होगा), बाहर निकलने से पहले आप उतना ही अधिक समय तक प्रतीक्षा करेंगे। आप केवल उसी छेद की परवाह करते हैं जिसमें आप खड़े हैं, न कि उन छेदों की जो आगे हैं।

पाँच चीजें जो उन्होंने मापीं

उन्होंने $N$ लंबाई के गलियारे को पार करने की कोशिश कर रहे एक यात्री के लिए पाँच विशिष्ट परिणामों को देखा:

करंट (प्रवाह/Flow): प्रति सेकंड कितने लोग सफलतापूर्वक गलियारे को पार करते हैं?
प्रतिरोध (Resistance): पार करना कितना कठिन है? (प्रवाह का विपरीत)।
स्प्लिटिंग प्रोबेबिलिटी (विभाजन की संभावना): यदि आप बीच में शुरू करते हैं, तो क्या संभावना है कि आप दाएं छोर के बजाय बाएं छोर से बाहर गिर जाएंगे?
फर्स्ट-पैसेज टाइम (प्रथम-गमन समय): अंत तक पहुँचने में औसतन कितना समय लगता है?
डिफ्यूजन कोएफिशिएंट (विसरण गुणांक): एक लूप वाले गलियारे में लोगों की भीड़ कितनी तेज़ी से फैलती है।

बड़ी हैरानी: "औसत" एक झूठ है

सबसे महत्वपूर्ण खोज करंट और प्रतिरोध के बारे में है।

लेखकों ने पाया कि इन दो मात्राओं के लिए, औसत पूरी तरह से भ्रामक है।

उपमा: एक लॉटरी की कल्पना करें। अधिकांश लोग कुछ नहीं जीतते। कुछ लोग दस लाख डॉलर जीतते हैं। "औसत" जीत $10,000 हो सकती है। लेकिन यदि आप *एक* यादृच्छिक व्यक्ति को चुनते हैं, तो उन्होंने लगभग निश्चित रूप से$ 0 जीता है। औसत कुछ दुर्लभ, भाग्यशाली विजेताओं द्वारा समर्थित है।
परिणाम: रैंडम गलियारे में, "औसत" करंट अधिक है क्योंकि कुछ दुर्लभ, भाग्यशाली गलियारे हैं जहाँ हवा पूरी तरह से संरेखित है जो यात्री को पूरे रास्ते धकेलती है। लेकिन 99.9% गलियारों के लिए, यात्री शुरुआत के पास किसी स्थानीय जाल या खराब स्थिति में फंस जाता है।
"बाउंड्री इफेक्ट" (सीमा प्रभाव): उन्होंने पाया कि यह शुरुआत और अंत के बिंदुओं के कारण होता है। यदि पहला स्थान (या अंतिम स्थान) एक "सुपर-ट्रैप" या "सुपर-पुश" है, तो यह उस विशिष्ट नमूने की पूरी यात्रा को बिगाड़ (या बढ़ा) देता है। क्योंकि शुरुआत और अंत निश्चित हैं, उनकी यादृच्छिकता गलियारे की लंबाई द्वारा "स्मूथ आउट" नहीं होती है।

इसलिए, यदि आप जानना चाहते हैं कि एक कण एक वास्तविक, अव्यवस्थित सामग्री में कैसे चलता है, तो आप गणितीय औसत को नहीं देख सकते। आपको "विशिष्ट" (typical) मामले को देखना होगा, जो औसत की तुलना में बहुत धीमा और अधिक कठिन है।

वे चीजें जो विश्वसनीय हैं

सब कुछ अराजक नहीं था। अन्य तीन माप बहुत बेहतर व्यवहार करते हैं:

स्प्लिटिंग प्रोबेबिलिटी: यदि आप बीच में शुरू करते हैं, तो बाएं बनाम दाएं तरफ गिरने की संभावना अंततः बहुत अनुमानित हो जाती है जैसे-जैसे गलियारा लंबा होता जाता है। यादृच्छिकता औसत हो जाती है।
फर्स्ट-पैसेज टाइम: अंत तक पहुँचने में कितना समय लगता है, यह लंबे गलियारों के लिए अनुमानित हो जाता है। हालांकि एक एकल यात्रा में लंबा समय लग सकता है, कई यात्राओं के माध्यम से औसत समय एक विश्वसनीय संख्या की ओर अभिसरित (converge) होता है।
डिफ्यूजन कोएफिशिएंट: एक लूप में लोगों की भीड़ कितनी तेज़ी से फैलती है, यह भी अनुमानित है।

मुख्य निष्कर्ष

यह शोध पत्र हमें प्रकृति में विकार (disorder) के बारे में एक महत्वपूर्ण सबक सिखाता है (जैसे एक अस्त-व्यस्त तार के माध्यम से बिजली का बहना, या एक कोशिका के माध्यम से प्रोटीन का घूमना):

औसत पर भरोसा न करें।

अव्यवस्थित बाधाओं वाले सिस्टम में, "औसत" व्यवहार अक्सर दुर्लभ, चरम घटनाओं द्वारा संचालित होता है जो लगभग कभी भी किसी एक व्यक्ति के साथ नहीं होती हैं। यदि आप किसी सामग्री को डिज़ाइन कर रहे हैं या शरीर में दवा के संचलन की भविष्यवाणी कर रहे हैं, तो आपको गणितीय औसत के बजाय विशिष्ट (typical) अनुभव को समझने की आवश्यकता है, क्योंकि वास्तविक दुनिया में विशिष्ट अनुभव ही वास्तव में होता है।

यादृच्छिक पोटेंशियल के "पहाड़ और घाटियाँ" एक ऐसी दुनिया बनाते हैं जहाँ औसत एक सांख्यिकीय भूत है, और वास्तविकता स्थानीय जाल के विरुद्ध संघर्ष है।

यहाँ "One-dimensional lattice random walks in a Gaussian random potential" नामक शोध पत्र का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र एक क्वेंच्ड गॉसियन रैंडम पोटेंशियल ( $U_x$ ) की उपस्थिति में एक वन-डायमेंशनल लैटिस पर निरंतर-समय रैंडम वॉक (continuous-time random walk) करने वाले कण के परिवहन गुणों (transport properties) की जांच करता है। विभिन्न साइटों पर पोटेंशियल स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) गॉसियन वेरिएबल्स हैं।

मुख्य उद्देश्य यह विश्लेषण करना है कि ट्रांजिशन रेट्स (transition rates) की विशिष्ट परिभाषा (कि कैसे एक कण एक साइट से दूसरी साइट पर जाता है) परिवहन विशेषताओं को कैसे प्रभावित करती है। लेखक $N$ साइटों वाली एक परिमित श्रृंखला (finite chain) के लिए परिभाषित पाँच प्रमुख डिसऑर्डर-निर्भर मात्राओं पर ध्यान केंद्रित करते हैं:

स्टेडी-स्टेट प्रोबेबिलिटी करंट ( $j_N$ ) और उसका व्युत्क्रम, रेसिस्टेंस ( $\tau_N$ )।
स्प्लिटिंग प्रोबेबिलिटी ( $E_-$ ): वह प्रायिकता कि $x_0$ से शुरू होने वाला कण दाईं सीमा तक पहुँचने से पहले बाईं सीमा तक पहुँच जाए।
मीन फर्स्ट-पैसज टाइम ( $T_N$ ): दूरी $N$ पर स्थित लक्ष्य तक पहुँचने का औसत समय।
डिफ्यूजन कोएफिशिएंट ( $D_N$ ): एक आवधिक (periodic) श्रृंखला में।

एक केंद्रीय वैचारिक प्रश्न जिसका समाधान किया गया है, वह है सेल्फ-एवरेजिंग (self-averaging): क्या ये मात्राएँ $N \to \infty$ होने पर एक नियतात्मक (deterministic) मान की ओर अभिसरित होती हैं, या वे डिसऑर्डर के विशिष्ट विन्यास (realization) पर अत्यधिक निर्भर रहती हैं? लेखक इसका विश्लेषण सापेक्ष विचरण (relative variance) $R_\zeta = (\langle \zeta^2 \rangle - \langle \zeta \rangle^2) / \langle \zeta \rangle^2$ का उपयोग करके करते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक कण और पोटेंशियल के बीच की अंतःक्रिया को मॉडल करने के लिए तीन अलग-अलग गतिशील परिदृश्यों (dynamical scenarios) को परिभाषित करते हैं:

परिदृश्य I (रैंडम फोर्स-लाइक मॉडल): ट्रांजिशन रेट्स साइटों के बीच पोटेंशियल अंतर पर निर्भर करते हैं, जो 'डिटेल्ड बैलेंस' (detailed balance) की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।
- $W_{x, x\pm 1} = W_0 \exp[\frac{\beta}{2}(U_x - U_{x\pm 1})]$ ।
- यह एक ऐसे कण की नकल करता है जो पोटेंशियल ग्रेडिएंट से उत्पन्न रैंडम फोर्स द्वारा संचालित होता है।
परिदृश्य II (रैंडमाइज्ड स्टेपिंग टाइम्स): ट्रांजिशन प्रोबेबिलिटीज पोटेंशियल अंतर (सामान्यीकृत) पर निर्भर करती हैं, जबकि स्टेप्स के बीच प्रतीक्षा समय (waiting times) एक एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन (पॉइसन प्रक्रिया) का पालन करता है।
- $p_{x, x\pm 1} \propto \exp[\frac{\beta}{2}(U_x - U_{x\pm 1})]$ ।
- यह एक 'कंटीन्यूअस टाइम रैंडम वॉक' (CTRW) को दर्शाता है जहाँ "फोर्स" दिशा के चुनाव को प्रभावित करता है, लेकिन प्रतीक्षा समय स्थानीय पोटेंशियल गहराई से स्वतंत्र होता है।
परिदृश्य III (गॉसियन रैंडम ट्रैप मॉडल): ट्रांजिशन रेट्स केवल होस्ट साइट (ट्रैप डेप्थ) के पोटेंशियल पर निर्भर करते हैं, न कि पड़ोसी साइट पर।
- $W_{x, x\pm 1} = W_0 \exp(\beta U_x)$ ।
- यह गहरे ट्रैप्स से सक्रिय रूप से बाहर निकलने (activated hopping) को मॉडल करता है, जहाँ एग्जिट रेट केवल ट्रैप की गहराई द्वारा निर्धारित होता है।

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण (Analytical Approach):

लेखक बड़े $N$ की सीमा में परिवहन मात्राओं (करंट्स, रेसिस्टेंस आदि) के मोमेंट्स (moments) के लिए सटीक व्यंजक (exact expressions) प्राप्त करते हैं।
वे सहायक वेरिएबल्स $\phi_x = \exp(\beta U_x / 2)$ का उपयोग करते हैं, जो लॉग-नॉर्मल वितरण का पालन करते हैं।
वे सेल्फ-एवरेजिंग गुणों को निर्धारित करने के लिए सापेक्ष विचरण की गणना करते हैं।
वे औसत व्यवहार ( $\langle \zeta \rangle$ ) और टिपिकल व्यवहार ( $\exp(\langle \ln \zeta \rangle)$ ) के बीच अंतर करते हैं।
संख्यात्मक सत्यापन (Numerical Validation): औपचारिक व्यंजकों के विश्लेषणात्मक भविष्यवाणियों को सत्यापित करने और प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन्स (PDFs) को विज़ुअलाइज़ करने के लिए परिमित $N$ के लिए सटीक संख्यात्मक औसत (numerical averaging) किया जाता है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. करंट और रेसिस्टेंस का नॉन-सेल्फ-एवरेजिंग होना

सबसे आश्चर्यजनक निष्कर्ष यह है कि किसी भी मॉडल के लिए $N \to \infty$ की सीमा में प्रोबेबिलिटी करंट ( $j_N$ ) और रेसिस्टेंस ( $\tau_N$ ) नॉन-सेल्फ-एवरेजिंग हैं।

सापेक्ष विचरण: $R_\tau$ और $R_j$ , डिसऑर्डर स्ट्रेंथ $\beta\sigma$ पर निर्भर करते हुए, $N \to \infty$ होने पर एक गैर-शून्य स्थिरांक (constant) के रूप में पहुँचते हैं (या बढ़ते हैं)।
बाउंड्री इफेक्ट (Boundary Effect): नॉन-सेल्फ-एवरेजिंग को एक बाउंड्री इफेक्ट के रूप में पहचाना गया है। उतार-चढ़ाव (fluctuations) पहले साइट (और मॉडल II के लिए दूसरी साइट) पर रैंडम पोटेंशियल द्वारा नियंत्रित होते हैं। श्रृंखला का मुख्य भाग (bulk) सेल्फ-एवरेजिंग है, लेकिन बाउंड्री कंडीशंस कुल करंट/रेसिस्टेंस को निर्धारित करती हैं।
टिपिकल बनाम औसत (Typical vs. Average):
- औसत (Average): डिसऑर्डर-औसत करंट दुर्लभ, असामान्य विन्यासों (जैसे, बलों के विशिष्ट कॉन्फ़िगरेशन जो प्रवाह को सुगम बनाते हैं) द्वारा नियंत्रित होता है।
- टिपिकल (Typical): एक "टिपिकल" विन्यास के लिए, करंट औसत की तुलना में घातीय रूप से (exponentially) छोटा होता है (सुपर-एरेनियस क्षय)।
- मॉडल III विशिष्टता: ट्रैप मॉडल में, टिपिकल रेसिस्टेंस $\exp(\sqrt{2/\pi}\beta\sigma)$ के रूप में स्केल करता है (एरेनियस-लाइक), जबकि औसत अलग तरह से स्केल करता है।

B. स्प्लिटिंग प्रोबेबिलिटी और मीन फर्स्ट-पैसज टाइम का सेल्फ-एवरेजिंग होना

करंट्स के विपरीत, स्प्लिटिंग प्रोबेबिलिटी ( $E_-$ ) और मीन फर्स्ट-पैसज टाइम ( $T_N$ ) $N \to \infty$ होने पर सेल्फ-एवरेजिंग हैं।

स्प्लिटिंग प्रोबेबिलिटी: मॉडल्स I और II के लिए, $E_-$ होमोजेनियस परिणाम $1 - x_0/N$ की ओर अभिसरित होता है। मॉडल III के लिए, यह सभी $N$ के लिए ठीक $1 - x_0/N$ है।
मीन फर्स्ट-पैसज टाइम: सापेक्ष विचरण $O(1/N)$ के रूप में स्केल करता है, जो अनंत सीमा में शून्य हो जाता है।
महत्व: जबकि ये मात्राएँ अनंत प्रणालियों के लिए नियतात्मक हो जाती हैं, शोध पत्र नोट करता है कि परिमित $N$ (जो प्रयोगों के लिए प्रासंगिक है) के लिए उतार-चढ़ाव महत्वपूर्ण बने रहते हैं।

C. डिफ्यूजन कोएफिशिएंट का सेल्फ-एवरेजिंग होना

आवधिक श्रृंखलाओं में डिफ्यूजन कोएफिशिएंट ( $D_N$ ) सभी तीन मॉडलों के लिए $N \to \infty$ होने पर सेल्फ-एवरेजिंग है।

लेखक डेरिडा के फॉर्मूले का उपयोग करके $D_N$ के मोमेंट्स के सटीक व्यंजक प्राप्त करते हैं।
प्रभावी डिफ्यूजन कोएफिशिएंट डिसऑर्डर स्ट्रेंथ के साथ घटता है, जो तापमान पर सुपर-एरेनियस निर्भरता ( $\sim e^{-\text{const} \cdot \beta^2 \sigma^2}$ ) प्रदर्शित करता है।
परिणाम डिस्क्रीटाइजेशन प्रभावों के कारण निरंतर-स्पेस लिफसन-जैकसन फॉर्मूला से थोड़े भिन्न हैं, लेकिन गुणात्मक व्यवहार (सेल्फ-एवरेजिंग और डिफ्यूजन का दमन) बना रहता है।

D. सैंपल-टू-सैंपल फ्लक्चुएशन (Sample-to-Sample Fluctuations)

शोध पत्र दो अलग-अलग नमूनों (samples) के रेसिस्टेंस के अनुपात के वितरण का विश्लेषण करता है।

कम डिसऑर्डर के लिए, अनुपात 0.5 के आसपास केंद्रित होता है (नमूने समान हैं)।
उच्च डिसऑर्डर के लिए, वितरण बाइमोडल (bimodal) हो जाता है, जो 0 और 1 के पास पीक बनाता है। यह इंगित करता है कि एक ही आकार के दो नमूनों के रेसिस्टेंस बहुत भिन्न होने की संभावना है (एक बहुत अधिक, एक बहुत कम), जो नॉन-सेल्फ-एवरेजिंग प्रकृति की पुष्टि करता है।

4. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

वैचारिक अंतर्दृष्टि (Conceptual Insight): यह कार्य स्पष्ट करता है कि विस्कर्ड मीडिया (disordered media) में "औसत" परिवहन गुण भ्रामक हो सकते हैं। उन प्रणालियों में जहाँ करंट नॉन-सेल्फ-एवरेजिंग हैं, औसत दुर्लभ घटनाओं (rare events) द्वारा नियंत्रित होता है, जबकि एक "टिपिकल" सिस्टम बहुत अलग व्यवहार करता है।
मॉडल निर्भरता (Model Dependence): ट्रांजिशन रेट्स की विशिष्ट परिभाषा (परिदृश्य I बनाम II बनाम III) टिपिकल करंट और रेसिस्टेंस के स्केलिंग को नाटकीय रूप से बदल देती है, भले ही वे एक ही अंतर्निहित गॉसियन पोटेंशियल साझा करते हों।
बॉर्डर बनाम बल्क (Boundary vs. Bulk): करंट के नॉन-सेल्फ-एवरेजिंग स्वभाव को एक बाउंड्री इफेक्ट के रूप में पहचानना एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक अंतर है। इसका तात्पर्य है कि परिमित प्रणालियों में, संपर्क प्रतिरोध (contact resistance) परिवहन सांख्यिकी पर हावी होता है।
व्यावहारिक प्रासंगिकता: निष्कर्ष जैविक प्रणालियों (जैसे, DNA ट्रांसलोकेशन, प्रोटीन मोशन) और विस्कर्ड सामग्रियों में परिवहन को समझने के लिए प्रासंगिक हैं जहाँ परिमित-आकार प्रभाव (finite-size effects) और सैंपल-टू-सैंपल परिवर्तनशीलता महत्वपूर्ण हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि जबकि डिफ्यूजन और फर्स्ट-पैसज टाइम जैसे वैश्विक परिवहन मेट्रिक्स थर्मोडायनामिक लिमिट में डिसऑर्डर को समाप्त कर देते हैं, स्थानीय परिवहन मेट्रिक्स जैसे करंट और रेसिस्टेंस विशिष्ट डिसऑर्डर विन्यासों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील बने रहते हैं, विशेष रूप से सीमाओं के पास, जिससे औसत और टिपिकल व्यवहार के बीच एक मौलिक विचलन उत्पन्न होता है।