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Optimization of Quadratic Constraints by Decoded Quantum Interferometry

यह शोध पत्र क्वाड्रेटिक गौस समों (quadratic Gauss sums) का लाभ उठाते हुए और क्वांटम लाभ प्रदर्शित करने के लिए क्वाड्रेटिक-ओपीआई (quadratic-OPI) समस्या को पेश करते हुए, डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री (DQI) एल्गोरिदम को क्वाड्रेटिक बाधाओं (max-QUADSAT) तक विस्तारित करता है, जबकि प्रदर्शन गारंटी के लिए एक सामान्य अर्धवृत्त नियम (generalized semicircle law) प्रदान करता है, हालांकि लेखक यह उल्लेख करते हैं कि स्टेट प्रिपरेशन (state preparation) चरण में पाई गई एक त्रुटि वर्तमान में सुधार लंबित होने तक मुख्य परिणाम को अमान्य करती है।

मूल लेखक: Daniel Cohen Hillel

प्रकाशित 2026-03-11

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Daniel Cohen Hillel

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक मास्टर शेफ हैं जो एक आदर्श रेसिपी खोजने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास लाखों पन्नों वाली एक विशाल कुकबुक है, और प्रत्येक पन्ना सामग्री का एक अलग संयोजन (एक "रेसिपी") है। आपका लक्ष्य उस एकल रेसिपी को खोजना है जो सबसे अधिक "स्वाद संबंधी बाधाओं" (जैसे, "मसालेदार होना चाहिए," "मीठा होना चाहिए," "नमकीन नहीं होना चाहिए") को पूरा करती हो।

कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में, इसे एक ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या (optimization problem) कहा जाता है। आमतौर पर, हर एक रेसिपी को एक-एक करके जांचना बहुत लंबा समय लेता है, खासकर जब रेसिपी की संख्या अत्यधिक हो।

यह शोध पत्र एक नया, जादुई रसोई उपकरण पेश करता है जिसे डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री (Decoded Quantum Interferometry - DQI) कहा जाता है। इसे एक क्वांटम सुपर-शेफ के रूप में समझें जो रेसिपी को एक-एक करके चखता नहीं है। इसके बजाय, यह एक "सुपर-सूप" बनाता है जहाँ हर संभव रेसिपी एक ही समय में मौजूद होती है, लेकिन अलग-अलग स्वादों (फेज/phases) के साथ। इस सूप को बिल्कुल सही तरीके से हिलाने से, खराब रेसिपी एक-दूसरे को रद्द कर देती हैं (विनाशी व्यतिकरण/destructive interference) और सबसे अच्छी रेसिपी उभर कर आती हैं (रचनात्मक व्यतिकरण/constructive interference)। जब आप एक चम्मच लेते हैं (स्टेट को मापते हैं), तो इसकी बहुत अधिक संभावना होती है कि आपको एकदम सटीक रेसिपी मिले।

पुराना बनाम नया

पुराना तरीका (लीनियर कंस्ट्रेंट्स - Linear Constraints):
पहले, वैज्ञानिक इस क्वांटम टूल का उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए करते थे जहाँ नियम सरल और सीधी रेखाओं जैसे थे। एक नियम की कल्पना करें जैसे: "सेब का कुल वजन प्लस संतरों का कुल वजन 5 किलो के बराबर होना चाहिए।" यह एक लीनियर (linear) संबंध है। क्वांटम टूल यहाँ बहुत अच्छा काम करता था, और किसी भी क्लासिकल कंप्यूटर की तुलना में बहुत तेज़ी से समाधान खोज लेता था।

नई चुनौती (क्वाड्रेटिक कंस्ट्रेंट्स - Quadratic Constraints):
लेकिन वास्तविक जीवन हमेशा एक सीधी रेखा नहीं होता। कभी-कभी नियम घुमावदार होते हैं। एक नियम की कल्पना करें जैसे: "सेब की संख्या का वर्ग प्लस संतरों की संख्या का वर्ग 25 के बराबर होना चाहिए।" यह एक क्वाड्रेटिक (quadratic) संबंध है।
लेखकों ने पूछा: "क्या हम अपने क्वांटम टूल को इन घुमावदार, वर्गाकार नियमों को संभालने के लिए अपग्रेड कर सकते हैं?"

बड़ी सफलता: "स्क्वायरिंग" (वर्ग करने का) ट्रिक

लेखकों ने इन क्वाड्रेटिक नियमों (जिन्हें वे max-QUADSAT कहते हैं) को संभालने के लिए अपने क्वांटम टूल का सफलतापूर्वक विस्तार किया।

यहाँ उनका जादुई चमत्कार बहुत चतुराई भरा है:

द फेज शिफ्ट (The Phase Shift): लीनियर संस्करण में, क्वांटम टूल बस विशिष्ट सामग्रियों को चुनता था। क्वाड्रेटिक संस्करण में, "घुमावदार" नियम सामग्री को बदले बिना सूप के स्वाद (फेज) को बदल देते हैं।
द गॉस सम सीक्रेट (The Gauss Sum Secret): उन्होंने क्वाड्रेटिक गॉस सम (Quadratic Gauss Sums) नामक एक गणितीय अवधारणा का उपयोग किया। इसे एक विशेष मसाले के रूप में समझें जो, सूप में डाले जाने पर, स्वादों का एक ऐसा पैटर्न बनाता है जो पूरी तरह से अनुमानित (predictable) होता है, भले ही वह अराजक (chaotic) दिखाई दे। इसने उन्हें "सुपर-सूप" को कुशलतापूर्वक तैयार करने में सक्षम बनाया।
द डिकोडर (The Decoder): अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, टूल को सूप को "डिकोड" करना पड़ता है। आमतौर पर, डिकोडिंग एक बुरा सपना है (जैसे एक स्मूदी को फिर से अलग करने की कोशिश करना)। हालाँकि, उन्होंने पाया कि वे विशेष एरर-करेक्टिंग कोड्स (एक बहुत ही बुद्धिमान लाइब्रेरियन की तरह) का उपयोग करके सूप को तेज़ी से अन-मिक्स कर सकते हैं, बशर्ते नियम एक विशिष्ट डायगोनल पैटर्न का पालन करते हों।

"क्वाड्रेटिक OPI" टेस्ट केस

अपने टूल को सिद्ध करने के लिए, उन्होंने क्वाड्रेटिक ऑप्टिमल पॉलिनॉमियल इंटरसेक्शन (Quadratic Optimal Polynomial Intersection) नामक एक नया खेल बनाया।

खेल: आपके पास एक पॉलिनॉमियल (एक गणितीय सूत्र) और कुछ लक्ष्य (targets) हैं। आप सूत्र को इस तरह से समायोजित करना चाहते हैं कि वह अधिक से अधिक लक्ष्यों को हिट करे।
ट्विस्ट: इस नए संस्करण में, सूत्र बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याएँ "पूर्ण वर्ग" (जैसे 1, 4, 9, 16) होनी चाहिए।
परिणाम: मानक कंप्यूटर इसमें संघर्ष करते हैं क्योंकि "वर्ग" वाला नियम खोज के दायरे (search space) को अविश्वसनीय रूप से जटिल बना देता है। लेकिन लेखकों ने दिखाया कि उनका अपग्रेड किया गया क्वांटम टूल इस विशिष्ट खेल को किसी भी ज्ञात क्लासिकल विधि की तुलना में बहुत तेज़ी से हल कर सकता है।

"सेमीसर्कल लॉ" (The Semicircle Law - गारंटी)

इस शोध पत्र का सबसे दिलचस्प हिस्सा एक गणितीय गारंटी है जिसे वे "सेमीसर्कल लॉ" कहते हैं।

कल्पित कीजिए कि आप पासे (dice) फेंक रहे हैं। यदि आप कुछ पासे फेंकते हैं, तो परिणाम रैंडम होते हैं। लेकिन यदि आप हजारों पासे फेंकते हैं, तो औसत परिणाम हमेशा एक अनुमानित वक्र (curve) में स्थिर हो जाता है (जैसे बेल कर्व या सेमीसर्कल)।

लेखकों ने सिद्ध किया कि इन जटिल, घुमावदार क्वाड्रेटिक नियमों के साथ भी, उनके क्वांटम टूल का प्रदर्शन इसी अनुमानित वक्र का पालन करता है।
उन्होंने दिखाया कि जैसे-जैसे समस्या बड़ी होती जाती है, क्वांटम टूल की सफलता दर अविश्वसनीय रूप से विश्वसनीय हो जाती है, जो अनिवार्य रूप से यह गारंटी देती है कि यह एक ऐसा समाधान खोजेगा जो नियमों के एक बहुत उच्च प्रतिशत को पूरा करता है (एक रैंडम अनुमान की तुलना में बहुत अधिक)।

एक छोटी सी चेतावनी (The "Oops" Moment)

लेखक बहुत ईमानदार हैं। "डिस्क्लेमर" अनुभाग में, वे स्वीकार करते हैं कि उनके एल्गोरिदम के एक विशिष्ट चरण (चरण 7) में एक छोटी सी गड़बड़ी है। यह एक जादुई चम्मच होने जैसा है जो 99% बार काम करता है लेकिन कभी-कभी सूप गिरा देता है। उन्हें अभी तक नहीं पता कि इस विशिष्ट गिरावट को कैसे ठीक किया जाए, इसलिए रेसिपी का वह विशेष हिस्सा वर्तमान में "मरम्मत के अधीन" है।

हालाँकि, शोध पत्र का बाकी हिस्सा—सूप बनाने का नया तरीका, उनके द्वारा हल किया गया नया खेल, और गणितीय गारंटी कि सूप का स्वाद अच्छा होगा—ये सभी सत्य हैं।

संक्षेप में

समस्या: कंप्यूटर घुमावदार नियमों (क्वाड्रेटिक कंस्ट्रेंट्स) वाले जटिल पहेलियों को हल करने में खराब होते हैं।
समाधान: लेखकों ने इन घुमावदार नियमों को संभालने के लिए एक गणितीय मसाले (गॉस सम) का उपयोग करके एक क्वांटम एल्गोरिदम (DQI) को अपग्रेड किया।
प्रमाण: उन्होंने दिखाया कि यह नया टूल क्लासिकल कंप्यूटरों की तुलना में अधिक तेज़ी से एक विशिष्ट कठिन पहेली (Quadratic OPI) को हल कर सकता है।
गारंटी: उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि यह टूल लगातार बहुत अच्छे समाधान खोजेगा, जो एक अनुमानित "सेमीसर्कल" पैटर्न का पालन करता है।
कैच (Catch): प्रक्रिया का एक छोटा सा चरण वर्तमान में टूटा हुआ है, लेकिन बाकी सिद्धांत ठोस है।

यह शोध पत्र यह दिखाने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है कि क्वांटम कंप्यूटर कुछ साल पहले की तुलना में अब पहले से कहीं अधिक व्यापक और जटिल वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल कर सकते हैं।

यहाँ डैनियल कोहेन हिलेल के शोध पत्र "Optimization of Quadratic Constraints by Decoded Quantum Interferometry" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र बाधा संतुष्टि समस्याओं (constraint satisfaction problems) के अनुकूलन को संबोधित करता है, विशेष रूप से डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री (DQI) ढांचे को रैखिक बाधाओं (linear constraints) से द्विघाती बाधाओं (quadratic constraints) तक विस्तारित करता है।

पृष्ठभूमि: जॉर्डन और अन्य ने पूर्व में max-LIMSAT (एक परिमित क्षेत्र $\mathbb{F}_p$ पर संतुष्ट रैखिक बाधाओं को अधिकतम करना) और max-XORSAT को हल करने के लिए DQI को पेश किया था। DQI विशिष्ट उदाहरणों के लिए घातीय गति (exponential speedups) प्राप्त करता है, जो क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) का उपयोग करके अनुकूलन समस्याओं को डिकोडिंग समस्याओं में मैप करता है।
अंतराल (The Gap): मौजूदा DQI ढांचा बाधाओं की रैखिक संरचना ( $b_i \cdot x$ ) पर निर्भर करता है। यह शोध पत्र max-QUADSAT को हल करने का प्रयास करता है, जहाँ बाधाएँ $f_i(b_i^T x + x^T C_i x)$ के रूप में होती हैं, जिसमें सममित द्विघाती आव्यूह (symmetric quadratic matrices) $C_i$ शामिल होते हैं।
विशिष्ट चुनौती: लेखक क्वाड्रेटिक ऑप्टिमल पॉलिनॉमियल इंटरसेक्शन (quadratic-OPI) समस्या को प्रस्तुत करते हैं। यह 'ऑप्टिमल पॉलिनॉमियल इंटरसेक्शन' (OPI) समस्या का एक रूपांतर है जहाँ पॉलिनॉमियल गुणांक द्विघाती अवशेषों (quadratic residues) तक सीमित हैं। मानक DQI इस विशिष्ट रूपांतर के लिए कोई गति नहीं देता है, जिसके लिए एक नए एल्गोरिदम दृष्टिकोण की आवश्यकता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

मुख्य कार्यप्रणाली में द्विघाती रूपों (quadratic forms) को संभालने के लिए DQI स्टेट तैयारी और विश्लेषण को विस्तारित करना शामिल है, जो गॉस सम (Gauss sums) के गुणों का लाभ उठाता है।

A. max-QUADSAT के लिए DQI स्टेट

DQI स्टेट को $|P(f)\rangle = \sum_{x} P(f(x)) |x\rangle$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $P$ घात $\ell$ का एक पॉलिनॉमियल है।

रैखिक बनाम द्विघाती: max-LINSAT में, DQI स्टेट का QFT एक ऐसे सुपरपोजिशन का परिणाम देता है जहाँ बाधा की जानकारी 'सपोर्ट' (कौन सी स्ट्रिंग्स दिखाई देती हैं) में एनकोड होती है। max-QUADSAT में, द्विघाती पद $x^T C_i x$ आंतरिक योग को एक क्वाड्रेटिक गॉस सम (Quadratic Gauss Sum) में बदल देता है।
फेज एनकोडिंग (Phase Encoding): रैखिक मामले (जो क्रोनेकर डेल्टा देता है) के विपरीत, द्विघाती मामला जटिल चरणों (complex phases) को उत्पन्न करता है जिनका आयाम स्थिर ( $\sqrt{p}$ ) होता है लेकिन चरण $C_i$ पर निर्भर करते हैं। यह सूचना एनकोडिंग को स्टेट के सपोर्ट से हटाकर फेज (phases) पर स्थानांतरित कर देता है।

B. कुशल स्टेट तैयारी (एल्गोरिदम 1)

शोध पत्र एक विशिष्ट उप-वर्ग (subclass) के लिए DQI स्टेट तैयार करने हेतु एक कुशल एल्गोरिदम प्रस्तावित करता है:

बाधाएं: $b_i = 0$ (कोई रैखिक पद नहीं) और $C_i$ विकर्ण (diagonal) आव्यूह हैं।
डिकोडिंग स्थिति: $C_i$ के विकर्णों को एक लीनियर कोड के पैरिटी-चेक मैट्रिक्स के कॉलमों के रूप में होना चाहिए जिसमें एक कुशल डिकोडिंग योजना (जैसे रीड-सोलोमन कोड) हो।
एल्गोरिदम के चरण:
1. डिक (Dicke) स्टेट्स (हैमिंग वेट $k$ वाले स्टेट्स) का एक भारित सुपरपोजिशन तैयार करें।
2. सिंड्रोम $D^T y$ (जहाँ $D$ में $C_i$ के विकर्ण तत्व हैं) को एक अनसिल (ancilla) में कंप्यूट करें।
3. डिकोड करें: त्रुटि रजिस्टर $|y\rangle$ को सिंड्रोम $D^T y$ दिए जाने पर $y$ को खोजने (डिकोडिंग समस्या को हल करने) द्वारा अनकंप्यूट करें। यह चरण तब कुशल होता है जब अंतर्निहित कोड में एक कुशल डिकोडर हो।
4. द्विघाती फेज लागू करें: सिंड्रोम रजिस्टर पर एक कंडीशनल क्वाड्रेटिक फेज ऑपरेटर ( $F_0$ ) लागू करें। यह चरण प्रिमिटिव 1 (Quadratic Phase) और प्रिमिटिव 2 (Shifted Quadratic Phase) का उपयोग करता है, जो प्रति रजिस्टर $1/8$ की प्रायिकता के साथ पोस्ट-सिलेक्शन पर निर्भर करते हैं।
5. QFT: अंतिम स्टेट प्राप्त करने के लिए QFT लागू करें।
महत्वपूर्ण नोट (अस्वीकरण): लेखक एल्गोरिदम 1 के चरण 7 में क्वाड्रेटिक फेज ऑपरेटर के पोस्ट-सिलेक्शन की सफलता की प्रायिकता के संबंध में एक त्रुटि नोट करते हैं। सफलता की प्रायिकता $1/8^m$ है, जो वर्तमान में प्रमेय 1 में एक कुशल (पॉलीनोमियल-टाइम) एल्गोरिदम के दावे को अमान्य करती है, हालांकि सैद्धांतिक ढांचा और अन्य परिणाम वैध रहते हैं।

C. सैद्धांतिक विश्लेषण: सेमीसर्कल लॉ (The Semicircle Law)

शोध पत्र "सेमीसर्कल लॉ" के लिए एक सामान्यीकृत प्रमाण प्रदान करता है, जो संतुष्ट बाधाओं के अपेक्षित अंश की भविष्यवाणी करता है।

मूल व्युत्पत्ति: max-LINSAT में बाधाओं की रैखिक स्वतंत्रता पर अत्यधिक निर्भर थी।
नई व्युत्पत्ति: लेखक क्रावक पॉलीनोमियल्स (Krawtchouk polynomials) और बाधा संतुष्टि वितरण के मोमेंट्स का उपयोग करके परिणाम को पुन: व्युत्पत करते हैं।
मुख्य अंतर्दृष्टि: प्रमाण के लिए केवल यह आवश्यक है कि एक रैंडम असाइनमेंट के लिए संतुष्ट बाधाओं का वितरण $N(s)$ $N (s)$ , बाइनोमियल (Binomial) वितरण के पर्याप्त करीब हो।
- max-LINSAT के लिए, पैरिटी-चेक मैट्रिक्स के गुणों के कारण यह सटीक है।
- max-QUADSAT के लिए, लेखक सिद्ध करते हैं कि उच्च रैंक वाले विकर्ण आव्यूहों $C_i$ के लिए, द्विघाती रूप $x^T C_i x$ , $\mathbb{F}_p$ में समान रूप से वितरित होने के चरम रूप से करीब (exponentially close) है (कैरेक्टर सम में स्क्वायर-रूट कैंसिलेशन के कारण)।
- फलस्वरूप, वितरण के पहले $2\ell+1$ मोमेंट्स बाइनोमियल मामले से मेल खाते हैं, जिससे max-QUADSAT के लिए सेमीसर्कल लॉ अनुमानतः लागू होता है, और समस्या के आकार के बढ़ने के साथ अनुमान त्रुटि तेजी से (exponentially) कम होती जाती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

द्विघाती बाधाओं के लिए DQI का विस्तार: शोध पत्र औपचारिक रूप से max-QUADSAT को परिभाषित करता है और दिखाता है कि कैसे द्विघाती रूपों को संभालने के लिए क्वांटम गॉस सम के गुणों का उपयोग करके DQI ढांचे को अनुकूलित किया जा सकता है।
Quadratic-OPI समस्या: क्वाड्रेटिक ऑप्टिमल पॉलिनॉमियल इंटरसेक्शन समस्या का परिचय। यह समस्या max-QUADSAT का एक विशेष मामला है। यह समस्याओं का एक वर्ग है जहाँ मानक DQI विफल हो जाता है, लेकिन प्रस्तावित (सैद्धांतिक) विस्तार एक संभावित क्वांटम लाभ प्रदान करता है।
सामान्यीकृत सेमीसर्कल लॉ: सेमीसर्कल लॉ का एक नया, अधिक मजबूत प्रमाण जो सख्ती से रैखिकता (linearity) पर निर्भर नहीं है। यह स्थापित करता है कि कानून किसी भी DQI स्टेट के लिए लागू होता है जहाँ बाधा संतुष्टि वितरण बाइनोमियल के करीब होता है, जिसमें max-LINSAT और max-QUADSAT दोनों शामिल हैं।
क्वांटम प्रिमिटिव्स: द्विघाती फेज और कंडीशनल ऑपरेशंस को लागू करने के लिए क्वांटम सबरूटीन (प्रिमिटिव 1–4) का विकास, जो प्रस्तावित एल्गोरिदम के लिए आवश्यक हैं।

4. परिणाम (Results)

सैद्धांतिक गति (Theoretical Speedup): quadratic-OPI समस्या के लिए, एल्गोरिदम (यह मानते हुए कि चरण 7 में पोस्ट-सिलेक्शन समस्या को हल किया गया है या समस्या का आकार व्यवहार्य दोहराव की अनुमति देता है), एक क्वांटम लाभ प्रदान करता है।
- उदाहरण: $n \approx p/10$ और $r \approx p/2$ मापदंडों के लिए, एल्गोरिदम $\approx 0.7179$ के संतुष्ट बाधा अंश की भविष्यवाणी करता है, जो सर्वोत्तम ज्ञात क्लासिकल अनुमान $\approx 0.55$ से काफी बेहतर है।
प्रदर्शन गारंटी: सामान्यीकृत सेमीसर्कल लॉ संतुष्ट बाधाओं के अपेक्षित अंश के लिए प्रदर्शन गारंटी प्रदान करता है, यह दिखाते हुए कि यह समस्या के आकार के बढ़ने के साथ इष्टतम मान की ओर अभिसरित (converge) होता है।
सीमा: स्टेट तैयारी एल्गोरिदम (एल्गोरिदम 1) का वर्तमान कार्यान्वयन चरण 7 में पोस्ट-सिलेक्शन आवश्यकताओं के कारण एक घातीय विफलता प्रायिकता (exponential failure probability) से ग्रस्त है, जिससे इस चरण में एल्गोरिदम की व्यावहारिक दक्षता अभी भी अप्रामाणित है।

5. महत्व और भविष्य की दिशाएं (Significance and Future Directions)

क्वांटम अनुकूलन का विस्तार: यह कार्य रैखिक बाधाओं से परे DQI के दायरे को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाता है, जिससे क्वांटम इंटरफेरेंस का उपयोग करके गैर-रैखिक बाधा संतुष्टि समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने का मार्ग प्रशस्त होता है।
नई कठिन समस्याएं: quadratic-OPI को परिभाषित करके, शोध पत्र क्वांटम लाभ के लिए नए बेंचमार्क की पहचान करता है जो क्लासिकल ह्यूरिस्टिक्स और मानक DCI के प्रति प्रतिरोधी हैं।
सैद्धांतिक आधार: सेमीसर्कल लॉ का सामान्यीकृत प्रमाण DQI के सैद्धांतिक आधार को मजबूत करता है, जो यह सुझाव देता है कि यह उन समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए लागू हो सकता है जहाँ बाधा स्वतंत्रता लगभग बनी रहती है।
भावी कार्य:
- एल्गोरिदम के चरण 7 में पोस्ट-सिलेक्शन अक्षमता को हल करना।
- गैर-विकर्ण (non-diagonal) मैट्रिसेस $C_i$ के लिए ढांचे का विस्तार करना (जो क्रॉस-टर्म $x_i x_j$ की अनुमति देगा)।
- हाइब्रिड रैखिक-द्विघाती बाधाओं की जांच करना।

निष्कर्ष:
स्टेट तैयारी चरण (चरण 7) में वर्तमान एल्गोरिदम दोष के बावजूद, यह शोध पत्र द्विघाती अनुकूलन समस्याओं को DQI ढांचे में सफलतापूर्वक मैप करके और उनके प्रदर्शन गारंटी (सेमीसर्कल लॉ) को इस नए डोमेन तक विस्तारित करके एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक योगदान देता है। यह भविष्य के क्वांटम एल्गोरिदम के लिए आधार तैयार करता है जो जटिल, गैर-रैखिक बाधा संतुष्टि समस्याओं से निपटने में सक्षम होंगे।