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Geodesic Calculus on Implicitly Defined Latent Manifolds

यह शोधपत्र एक नॉइज़िंग (denoising) उद्देश्य के माध्यम से एक अनुमानित प्रोजेक्शन सीखकर ऑटोएनकोडर्स के अंतर्निहित (implicitly defined) लेटेंट मैनिफोल्ड्स पर डिस्क्रीट रिमानियन कैलकुलस (discrete Riemannian calculus) करने के लिए एक सुदृढ़ ढांचे का प्रस्ताव करता है, जिससे अंतर्निहित ऑटोएनकोडर आर्किटेक्चर से स्वतंत्र रूप से जियोडेसिक पथों (geodesic paths) और एक्सपोनेंशियल मैप्स (exponential maps) की गणना सक्षम होती है।

मूल लेखक: Florine Hartwig, Josua Sassen, Juliane Braunsmann, Martin Rumpf, Benedikt Wirth

प्रकाशित 2026-06-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Florine Hartwig, Josua Sassen, Juliane Braunsmann, Martin Rumpf, Benedikt Wirth

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास डेटा का एक विशाल, बिखरा हुआ ढेर है—चेहरों की हजारों तस्वीरें, मानव मुद्राओं (poses) के हजारों 3D मॉडल, या घूमते हुए खिलौने वाले गाय की हजारों छवियां। मशीन लर्निंग की दुनिया में, हम अक्सर एक ऑटोएन्कोडर (autoencoder) नामक टूल का उपयोग इस उच्च-आयामी (high-dimensional) अराजकता को एक छोटे, व्यवस्थित "लेटेंट स्पेस" (एक छोटा, संकुचित मानचित्र) में दबाने के लिए करते हैं।

इस लेटेंट स्पेस को एक कागज की सपाट शीट की तरह समझें। लेकिन यहाँ एक पेंच है: वास्तविक डेटा उस पूरी शीट को नहीं भरता है। इसके बजाय, यह उस शीट के अंदर एक विशिष्ट, मुड़े हुए और घुमावदार आकार में रहता है। शायद वह एक सपाट वृत्त हो, शायद एक मुड़ा हुआ टोरस (जैसे एक डोनट), या शायद कोई जटिल, अदृश्य सतह हो।

समस्या यह है कि मानक मशीन लर्निंग टूल्स अक्सर इस लेटेंट स्पेस के साथ ऐसे व्यवहार करते हैं जैसे कि यह हर जगह पूरी तरह से सपाट और खाली हो। यदि आप उस मुड़े हुए आकार के भीतर दो बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा खींचने की कोशिश करते हैं, तो वह रेखा "खाली हवा" (ऐसा डेटा जो मौजूद ही नहीं है) के बीच से होकर गुजर सकती है, जिससे परिणाम अजीब और विकृत हो सकते हैं जब आप उस रेखा को वापस किसी छवि या 3D मॉडल में बदलने की कोशिश करते हैं।

यह पेपर इस मुड़े हुए आकार में नेविगेट करने का एक नया तरीका प्रस्तावित करता है। यहाँ उनके दृष्टिकोण का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "सीधी रेखा" का जाल (The "Straight Line" Trap)

कल्पना कीजिए कि आप पृथ्वी की सतह पर चल रहे हैं। यदि आप न्यूयॉर्क से लंदन तक जाना चाहते हैं, तो पृथ्वी के केंद्र से होकर जाने वाली एक "सीधी रेखा" (जो कोर के माध्यम से सुरंग बनाती है) गणितीय रूप से सीधी है, लेकिन एक यात्री के लिए वह बेकार है। आपको पृथ्वी के वक्र (curve) का अनुसरण करने की आवश्यकता है।

मशीन लर्निंग में, यदि आप लेटेंट स्पेस में दो डेटा बिंदुओं के बीच केवल एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो आप डेटा मैनिफोल्ड के "कोर" के माध्यम से सुरंग बना रहे होते हैं। परिणाम क्या होता है? जब आप उस रेखा को वापस छवि में डिकोड करते हैं, तो वह गड़बड़ या विकृत आकृतियाँ देता है (जैसे कि किसी व्यक्ति के कंधे उसके सिर के अंदर होना)।

2. समाधान: "अदृश्य ट्रैम्पोलिन" (The "Invisible Trampoline" - Implicit Representation)

लेखकों ने महसूस किया कि इस मुड़े हुए आकार के हर एक बिंदु का मानचित्र बनाने की कोशिश करने के बजाय (जो कठिन और अक्सर असंभव है), उन्हें इस आकार को एक अदृश्य सीमा के रूप में मानना चाहिए।

वे एक विशेष न्यूरल नेटवर्क का उपयोग करते हैं जो एक "प्रोजेक्शन" (projection) को सीखता है। कल्पना कीजिए कि एक ट्रैम्पोलिन है जिसका एक विशिष्ट आकार है। यदि आप ट्रैम्पोलिन के पास कहीं भी एक गेंद गिराते हैं, तो प्रोजेक्शन फंक्शन आपको बताता है कि वह गेंद ठीक ट्रैम्पोलिन की सतह पर कहाँ गिरेगी।

नवाचार: उन्हें ट्रैम्पोलिन के आकार के सटीक फॉर्मूले को जानने की आवश्यकता नहीं है। वे बस एक नेटवर्क को प्रशिक्षित करते हैं जो एक चुंबक की तरह कार्य करता है जो किसी भी बिंदु को खींचकर वापस "डेटा सतह" पर ले आता है।
"डिनोइजिंग" (Denoising) का तरीका: इस नेटवर्क को सिखाने के लिए, वे कई वैध डेटा बिंदुओं को लेते हैं, उनमें थोड़ा सा "शोर" (noise/हिलना-डुलना) जोड़ते हैं, और नेटवर्क को उन्हें उनकी मूल, साफ स्थिति में वापस धकेलने के लिए प्रशिक्षित करते हैं। यह नेटवर्क को सिखाता है कि "वास्तविक" सतह कैसी दिखती है, भले ही डेटा थोड़ा अस्त-व्यस्त हो।

3. टूल: "रबर बैंड" जियोडेसिक्स ("Rubber Band" Geodesics)

एक बार जब उनके पास यह "अदृश्य ट्रैम्पोलिन" (इम्प्लिसिट रिप्रजेंटेशन) आ जाता है, तो उन्हें इस पर चलने के लिए एक तरीके की आवश्यकता होती है। वे डिस्क्रीट जियोडेसिक कैलकुलस (Discrete Geodesic Calculus) नामक एक विधि का उपयोग करते हैं।

एक जियोडेसिक को दो बिंदुओं के बीच के सबसे छोटे पथ के रूप में समझें जो सतह पर ही रहता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास बिंदु A से बिंदु B को जोड़ने वाली मोतियों की एक श्रृंखला (एक डिस्क्रीट पाथ) है। आप उन्हें खींचकर इतना टाइट करना चाहते हैं कि वे सबसे छोटा रास्ता बनाएं, लेकिन आपके पास एक नियम है: प्रत्येक मोती को ट्रैम्पोलिन की सतह से चिपका रहना चाहिए।
भौतिकी (Physics): वे इस श्रृंखला को रबर बैंड की एक श्रृंखला की तरह मानते हैं। वे श्रृंखला को खींचते हैं (ऊर्जा को कम करते हुए) जबकि लगातार यह जांचते रहते हैं कि कोई मोती ट्रैम्पोलिन से नीचे न गिर जाए। यदि कोई मोती "खाली हवा" में तैरने की कोशिश करता है, तो एक "पेनल्टी" उसे वापस नीचे धकेल देती है।
परिणाम: यह एक सुचारू, घुमावदार पथ बनाता है जो डेटा के साथ पूरी तरह से मेल खाता है। जब वे इस पथ को छवियों या 3D मॉडल में वापस डिकोड करते हैं, तो बदलाव स्वाभाविक और यथार्थवादी होता है (उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति का सिर घुमाना, न कि उसका सिर अचानक पिघल जाना)।

4. यह क्यों महत्वपूर्ण है (पेपर के अनुसार)

उन्होंने तीन अलग-अलग प्रकार के डेटा पर इसका परीक्षण किया:

3D आकृतियाँ: वे एक मानव मुद्रा (pose) को दूसरी मुद्रा में बदल सकते हैं बिना अंगों को एक-दूसरे के आर-पार जाने दिए (जो सीधी रेखाओं के साथ एक सामान्य समस्या है)।
मोशन कैप्चर (Motion Capture): वे एक कंकाल को स्वाभाविक रूप से चलते हुए एनिमेट कर सकते हैं, जो जोड़ों के हिलने के जटिल ज्यामिति का सम्मान करता है।
छवियाँ (Images): वे एक छवि में 3D वस्तु को सुचारू रूप से घुमा सकते हैं, जिससे वस्तु वास्तविक दिखती रहती है।

निचोड़ (The Bottom Line)

यह पेपर यह दावा नहीं करता कि इसने किसी नए प्रकार का AI या नया मेडिकल स्कैनर बनाया है। इसके बजाय, यह उन "छिपे हुए मानचित्रों" के लिए एक बेहतर नेविगेशन सिस्टम प्रदान करता है जिन्हें AI पहले से ही बनाता है।

डेटा स्पेस को एक विशिष्ट, घुमावदार सतह (जो एक "प्रोजेक्शन" फंक्शन द्वारा परिभाषित है) के रूप में मानकर और इस सतह पर चलने के लिए "रबर बैंड" विधि का उपयोग करके, वे डेटा बिंदुओं के बीच सुचारू, यथार्थवादी बदलाव बना सकते हैं। यह AI को जूते की एक जोड़ी देने जैसा है जो जमीन को पकड़ कर रखती है, ताकि जब वह एक विचार से दूसरे विचार में जाने की कोशिश करे, तो वह वास्तविकता के किनारे से फिसल न जाए।

तकनीकी सारांश: अंतर्निहित लेटेंट मैनिफोल्ड्स पर जियोडेसिक कैलकुलस (Geodesic Calculus on Implicitly Defined Latent Manifolds)

समस्या विवरण (Problem Statement)

मशीन लर्निंग में, ऑटोएन्कोडर्स उच्च-आयामी डेटा (जैसे, आकृतियाँ, छवियाँ) के लिए निम्न-आयामी लेटेंट निरूपण (latent representations) प्रदान करते हैं, जो मैनिफोल्ड हाइपोथेसिस पर आधारित होते हैं। हालाँकि, इन लेटेंट स्पेस में आमतौर पर स्पष्ट ज्यामितीय संरचना का अभाव होता है, जिससे कठोर ज्यामितीय संचालन जैसे कि इंटरपोलेशन (interpolation), एक्सट्रपलेशन (extrapolation), या जियोडेसिक गणना करना कठिन हो जाता है। जबकि शेप एनालिसिस (shape analysis) आकृतियों के संग्रह को मॉडल करने के लिए (जैसे, LDDMM के माध्यम से) रिमानियन मैनिफोल्ड्स (Riemannian manifolds) का व्यापक रूप से उपयोग करता है, ऑटोएन्कोडर लेटेंट स्पेस पर इन उपकरणों को लागू करना चुनौतीपूर्ण है क्योंकि:

स्पष्ट पैरामीट्रेशन का अभाव: लेटेंट मैनिफोल्ड्स का एम्बिएंट लेटेंट स्पेस में गैर-शून्य को-डायमेंशन (non-zero codimension) हो सकता है, जिससे वैश्विक पैरामीट्रेशन (global parametrizations) कठिन या असंभव हो जाता है।
अपूर्ण निरूपण: व्यावहारिक अंतर्निहित निरूपण (implicit representations) अक्सर अपूर्ण होते हैं, जिससे मानक संख्यात्मक विधियाँ विफल हो सकती हैं या ऐसे पथ बना सकती हैं जो वास्तविक डेटा सपोर्ट से विचलित हो जाते हैं।
मेट्रिक निर्भरता: मौजूदा विधियाँ अक्सर जियोडेसिक गणना को विशिष्ट ऑटोएन्कोडर आर्किटेक्चर या विशिष्ट मेट्रिक्स (जैसे, यूक्लिडियन) तक ही सीमित रखती हैं, जिससे अनुप्रयोग-निर्भर मेट्रिक्स (जैसे, डेटा मैनिफोल्ड से पुलबैक मेट्रिक्स) को शामिल करने में विफलता होती है।

मुख्य चुनौती लेटेंट मैनिफोल्ड्स को एक उपयोगी ज्यामितीय संरचना से सुसज्जित करने की है जो 'इम्परफेक्ट' (imperfect) मैनिफोल्ड प्रतिनिधित्व के बावजूद, डेटा वितरण के अनुरूप जियोडेसिक पथों (इंटरपोलेशन और एक्सट्रपलेशन) की गणना करने की अनुमति दे सके।

कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित ढांचा इन चुनौतियों को तीन मुख्य घटकों के माध्यम से संबोधित करता है: लेटेंट मैनिफोल्ड का एक अंतर्निहित निरूपण, एक डिस्क्रीट वेरिएशनल जियोडेसिक कैलकुलस, और प्रोजेक्शन ऑपरेटर के लिए एक लर्निंग स्ट्रैटेजी।

1. सीखे गए प्रोजेक्शन के माध्यम से अंतर्निहित निरूपण (Implicit Representation via Learned Projection)

वैश्विक पैरामीट्रेशन सीखने के बजाय, लेखक लेटेंट मैनिफोल्ड $Z \subset \mathbb{R}^l$ को एक फलन $\zeta$ के जीरो लेवल सेट द्वारा परिभाषित एक अंतर्निहित सब-मैनिफोल्ड के रूप में वर्णित करते हैं।

परिभाषा: $\zeta(z) = z - \Pi(z)$ , जहाँ $\Pi: \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^l$ एक प्रोजेक्शन मैपिंग है जो लेटेंट स्पेस के किसी भी बिंदु को मैनिफोल्ड $Z$ के निकटतम बिंदु पर मैप करती है।
लर्निंग स्ट्रैटेजी: चूंकि वास्तविक प्रोजेक्शन $\Pi$ $Π$ अज्ञात है, लेखक एक डिनोइजिंग ऑब्जेक्टिव (denoising objective) को न्यूनतम करके एक अनुमानित प्रोजेक्शन $\Pi_\sigma$ $Π_{σ}$ सीखने का प्रस्ताव करते हैं। यह ऑब्जेक्टिव, डिनोइजिंग ऑटोएन्कोडर्स (Alain & Bengio, 2014) से प्रेरित है, जो लेटेंट सैंपल्स को एक पॉइंट क्लाउड के रूप में मानता है और $\Pi_\sigma$ $Π_{σ}$ को नॉइजी सैंपल और उसके प्रोजेक्शन के बीच अपेक्षित वर्ग दूरी को कम करने के लिए सीखता है।
- लॉस फंक्शनल (Loss functional) है $Q(\Pi) = \int \int |z - \Pi(y)|^2 f_\sigma(z-y) \, dz \, dy$ , जहाँ $f_\sigma$ एक गॉसियन कर्नेल है।
- यह दृष्टिकोण ऑटोएन्कोडर आर्किटेक्चर से स्वतंत्र है और किसी भी को-डायमेंशन का समर्थन करता है।

2. डिस्क्रीट वेरिएशनल जियोडेसिक कैलकुलस (Discrete Variational Geodesic Calculus)

इन संभावित रूप से अपूर्ण अंतर्निहित मैनिफोल्ड्स पर जियोडेसिक्स की गणना करने के लिए, लेखक एक समय-विभक्त (time-discrete) वेरिएशनल दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं (Rumpf & Wirth, 2015 पर आधारित)।

डिस्क्रीट पाथ एनर्जी: एक निरंतर पथ $z(t)$ को एक डिस्क्रीट अनुक्रम $z = (z_0, \dots, z_K)$ द्वारा अनुमानित किया जाता है। पाथ एनर्जी को स्थानीय दूरी अनुमानों $W(z_{k-1}, z_k)$ के योग द्वारा अनुमानित किया जाता है:
$E_K(z_0, \dots, z_K) = \sum_{k=1}^K W(z_{k-1}, z_k)$
मेट्रिक लचीलापन: ढांचा $W$ $W$ के चयन के माध्यम से विभिन्न रिमानियन मेट्रिक्स का समर्थन करता है:
- यूक्लिडियन (Euclidean): $W_E(z, \tilde{z}) = |\tilde{z} - z|^2$ (एम्बिएंट स्पेस से विरासत में मिला)।
- पुलबैक मेट्रिक (Pullback Metric): $W_{PB}(z, \tilde{z}) = |\psi(z) - \psi(\tilde{z})|^2$ (डेटा स्पेस में दूरी)।
- सामान्य रिमानियन (General Riemannian): $W_M(z, \tilde{z}) = \text{dist}_M^2(\psi(z), \psi(\tilde{z}))$ (डेटा मैनिफोल्ड के अंतर्निहित मेट्रिक का उपयोग करते हुए)।
ऑप्टिमाइज़ेशन: जियोडेसिक को $\zeta(z_k) = 0$ (सभी $k$ के लिए) के प्रतिबंध के अधीन $E_K$ को न्यूनतम करके पाया जाता है। लेखक इस बाधा को हल करने के लिए एक ऑगमेंटेड लैग्रेंजियन विधि (Augmented Lagrangian method) का उपयोग करते हैं। यह विधि "इम्परफेक्ट" बाधाओं (जहाँ $\zeta_\sigma$ बिल्कुल शून्य नहीं होता) के प्रति मजबूत है, जो लैग्रेंज मल्टीप्लायर्स को अपडेट करते हुए मैनिफोल्ड से विचलन को दंडित करती है।

3. डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल मैप (Discrete Exponential Map)

जियोडेसिक एक्सट्रपलेशन (शूटिंग) के लिए, लेखक एक डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल मैप $\text{Exp}_K$ को परिभाषित करते हैं। एक प्रारंभिक बिंदु $z_0$ और एक डिस्क्रीट वेलोसिटी (जो $z_1$ द्वारा परिभाषित है) दिए जाने पर, विधि एक फंक्शनल $F$ को इटरटिवली मिनिमाइज करती है जो डिस्क्रीट जियोडेसिक समीकरण और मैनिफोल्ड बाधा के सैडल पॉइंट (saddle point) स्थितियों को लागू करता है। यह एंडपॉइंट्स से आगे बढ़ने वाले जियोडेसिक पथों को उत्पन्न करने की अनुमति देता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

इम्परफेक्ट मैनिफोल्ड्स के लिए टाइम-डिस्क्रीट जियोडेसिक कैलकुलस: यह पेपर अपूर्ण अंतर्निहित लेटेंट मैनिफोल्ड्स पर जियोडेसिक्स की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक ढांचे को पेश करता है। यह विधि $\zeta_\sigma$ की अशुद्धियों के प्रति मजबूत है।
डिनोइजिंग-आधारित प्रोजेक्शन लर्निंग: अज्ञात को-डायमेंशन वाले लेटेंट मैनिफोल्ड पर एक अनुमानित प्रोजेक्शन सीखने के लिए एक नया दृष्टिकोण, जो डिनोइजिंग ऑब्जेक्टिव को न्यूनतम करके प्राप्त किया जाता है और यह विशिष्ट ऑटोएन्कोडर से स्वतंत्र है।
लचीला मेट्रिक एकीकरण: ढांचा बिना किसी स्पष्ट पैरामीट्रेशन के जियोडेसिक गणना में अनुप्रयोग-निर्भर रिमानियन मेट्रिक्स (जैसे, पुलबैक मेट्रिक्स) को सीधे शामिल करने की अनुमति देता है।
अनुभवजन्य सत्यापन (Empirical Validation): दृष्टिकोण का मूल्यांकन सिंथेटिक और वास्तविक डेटा (डिस्क्रीट शेल्स, मोशन कैप्चर, इमेज रोटेशन) पर प्रशिक्षित विभिन्न ऑटोएन्कोडर्स (आइसोमेट्रिक, स्फेरिकल VAE, लो-बेंडिंग) पर किया गया है, जो लीनियर इंटरपोलेशन की तुलना में यथार्थवादी इंटरपोलेशन और एक्सट्रपलेशन प्रदर्शित करता है।

परिणाम (Results)

लेखक अपने तरीके का मूल्यांकन चार अलग-अलग परिदृश्यों में करते हैं:

डिस्क्रीट शेल्स (आइसोमेट्रिक ऑटोएन्कोडर): मानव मुद्राओं के SCAPE डेटासेट पर, सीखा गया लेटेंट मैनिफोल्ड जियोडेसिक इंटरपोलेशन लेटेंट स्पेस में लीनियर इंटरपोलेशन के कारण होने वाले सेल्फ-इंटरसेक्शन (self-intersections) से सफलतापूर्वक बचता है।
मोशन कैप्चर (स्फेरिकल VAE): CMU मोशन डेटा पर स्फेरिकल VAE का उपयोग करते हुए, विधि पुलबैक स्फेरिकल मेट्रिक का उपयोग करके जियोडेसिक्स की गणना करती है। परिणामी पोज़ (poses) यथार्थवादी होते हैं, जबकि लीनियर इंटरपोलेशन अप्राकृतिक जॉइंट संकुचन और अंगों के सेल्फ-इंटरसेक्शन पैदा करता है।
इमेज डेटा (लो-बेंडिंग/डिस्टॉर्शन): घूमती हुई 3D वस्तुओं के डेटासेट पर, विधि 16-डायमेंशनल लेटेंट स्पेस में जियोडेसिक इंटरपोलेशन और एक्सट्रपलेशन करती है, जिससे डिकोड की गई छवियों में सुचारू परिवर्तन (smooth transitions) प्राप्त होते हैं।
पोज़-NDF (डिस्टेंस फंक्शन): इस पद्धति को न्यूरल डिस्टेंस फील्ड्स (Pose-NDF) के साथ काम करने के लिए विस्तारित किया गया है, जो मानव मुद्राओं के संभावित मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स की गणना करने में सफल रहा है जहाँ लीनियर इंटरपोलेशन विफल हो जाता है।

इन सभी मामलों में, गणना किए गए जियोडेसिक्स डेटा मैनिफोल्ड की ज्यामिति का पालन करते हैं, और लीनियर इंटरपोलेशन द्वारा पार किए जाने वाले "खाली स्थान" (empty space) से बचते हैं। डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल मैप सफलतापूर्वक उन एक्सट्रपलेटेड पथों को उत्पन्न करता है जो मैनिफोल्ड के वक्रता (curvature) का अनुसरण करते हैं।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह पेपर दावा करता है कि यह लेटेंट मैनिफोल्ड्स पर ज्यामितीय संचालन करने के लिए एक व्यावहारिक और मजबूत उपकरण प्रदान करता है, जो रिमानियन ज्योमेट्री की सैद्धांतिक समृद्धि और सीखे गए लेटेंट रिप्रेजेंटेशन की व्यावहारिक सीमाओं के बीच के अंतर को पाटता है।

मजबूती (Robustness): मुख्य महत्व विधि की "इम्परफेक्ट" अंतर्निहित निरूपण के साथ कार्य करने की क्षमता में निहित है, जो व्यावहारिक मशीन लर्निंग अनुप्रयोगों में एक सामान्य वास्तविकता है जहाँ सटीक मैनिफोल्ड विवरण उपलब्ध नहीं होते।
सामान्यीकरण (Generality): ज्यामितीय कैलकुलस को विशिष्ट ऑटोएन्कोडर आर्किटेक्चर से अलग करके और मनमाने मेट्रिक्स की अनुमति देकर, यह ढांचा शेप स्पेस और जेनेरेटिव मॉडलिंग के लिए नए रिड्यूस्ड-ऑर्डर मेथड्स को सक्षम बनाता है।
भविष्य की दिशाएं: लेखक सुझाव देते हैं कि भविष्य के कार्य प्रोजेक्शन-आधारित निरूपणों को डिस्टेंस-आधारित निरूपणों से जोड़ सकते हैं, लेटेंट डिस्ट्रीब्यूशन (जैसे, VAEs में) पर कैलकुलस का विस्तार कर सकते हैं, और डिटेल ट्रांसफर के लिए डिस्क्रीट पैरेलल ट्रांसपोर्ट का उपयोग कर सकते हैं। वे बहुत उच्च आयामों तक स्केलेबिलिटी और लर्निंग एरर्स एवं डिस्क्रीटाइजेशन एरर्स को मिलाने वाले पूर्ण गणितीय एरर एनालिसिस की कमी को स्वीकार करते हैं।

यह कार्य लेटेंट रिप्रेजेंटेशन का उपयोग करने के नए तरीके खोलने का लक्ष्य रखता है, जिससे जियोडेसिक इंटरपोलेशन और एक्सट्रपलेशन संभव होता है जो अंतर्निहित डेटा ज्यामिति का सम्मान करते हैं।