The Practicality of Randomized Quantum Linear Systems Solvers

कल्पना कीजिए कि आप गणित की एक विशाल, उलझी हुई गांठ को सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं जो इतनी बड़ी है कि कोई भी सामान्य कंप्यूटर इसे उचित समय में नहीं सुलझा सकता। यह क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया है, जहाँ वैज्ञानिक ऐसी मशीनें बनाते हैं जो सूक्ष्म कणों के अजीब नियमों का उपयोग करके इन असंभव पहेलियों को हल करने के लिए बनाई जाती हैं। इनमें से एक सबसे प्रसिद्ध प्रकार की पहेली जिसे वे हल करना चाहते हैं, उसे "लीनियर सिस्टम" (रैखिक प्रणाली) कहा जाता है, जो अनिवार्य रूप से संख्याओं का एक विशाल ग्रिड है जहाँ आपको इसके भीतर छिपे एक विशिष्ट उत्तर को खोजना होता है। इन कोड को तोड़ने के लिए, शोधकर्ता अक्सर "हैमिल्टोनियन सिमुलेशन" नामक तकनीक का उपयोग करते हैं, जो एक फिल्म चलाने जैसा है कि कैसे एक क्वांटम सिस्टम समय के साथ बदलता है ताकि देखा जा सके कि क्या होता है। लंबे समय तक, इसे करने का सबसे अच्छा तरीका अविश्वसनीय रूप से गहरे और जटिल सर्किट बनाना था, जैसे कि जेन्गा ब्लॉक्स से एक गगनचुंबी इमारत बनाने की कोशिश करना बिना उसके गिर पड़े। लेकिन हाल ही में, एक नया विचार उभरा: क्या होगा यदि हम पूरी गगनचुंबी इमारत एक साथ न बनाएं? क्या होगा यदि हम केवल एक इमारत के कई यादृच्छिक (रैंडम), त्वरित स्नैपशॉट्स लें, उन्हें औसत निकालें, और उम्मीद करें कि तस्वीर स्पष्ट रूप से दिखाई देगी? इस "रैंडमाइज्ड" (यादृच्छिक) दृष्टिकोण ने इसे शुरुआती क्वांटम कंप्यूटरों पर बनाना बहुत सरल और आसान बनाने का वादा किया।

हालाँकि, लॉरेंस बर्कले नेशनल लेबोरेटरी और ब्लूक्विबिट इंक (BlueQubit Inc.) के सिद्धार्थ हरिप्रकाश और उनकी टीम द्वारा किए गए एक नए अध्ययन ने इस आशाजनक विचार को अंतिम परीक्षा में डालने का निर्णय लिया। उन्होंने केवल सिद्धांत को नहीं देखा; उन्होंने यह पता लगाने के लिए भारी गणित का उपयोग किया कि इस रैंडम स्नैपशॉट विधि को काम करने के लिए वास्तव में कितने संसाधनों—जैसे समय और कंप्यूटर शक्ति—की आवश्यकता होगी। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसे किसी कार के फ्यूल गेज (ईंधन मापने वाला यंत्र) की जांच करना जिसके बारे में हर कोई दावा करता है कि वह चंद्रमा तक जा सकती है। शोधकर्ताओं ने यात्रा का एक विस्तृत मानचित्र बनाया, प्रत्येक आवश्यक कदम की गणना की, ताकि एक स्पष्ट उत्तर प्राप्त किया जा सके। उनके निष्कर्ष एक वास्तविकता की जांच (रियलिटी चेक) हैं: हालांकि रैंडम विधि वास्तव में सरल है, लेकिन यह पता चलता है कि यह अविश्वसनीय रूप से अक्षम है। उन्होंने पाया कि एक बहुत ही छोटे, सरल समस्या (4 गुणा 4 का ग्रिड) के लिए भी, इस विधि को एक अच्छा उत्तर देने के लिए आश्चर्यजनक रूप से बड़ी संख्या में ऑपरेशन्स—लगभग 10 की घात 15 नॉन-क्लिफोर्ड गेट्स (non-Clifford gates)—की आवश्यकता होगी। इसे समझने के लिए, यह एक ऐसी संख्या है जो इतनी विशाल है कि वर्तमान या निकट भविष्य की तकनीक के साथ इसे हासिल करना लगभग असंभव है।

यह पेपर इन "स्नैपशॉट्स" को लेने के दो अलग-अलग तरीकों की तुलना करता है। एक तरीका एक सख्त रेसिपी (जिसे प्रोडक्ट फॉर्मूला कहा जाता है) का पालन करने जैसा है, और दूसरा अपने अगले कदम को तय करने के लिए पासे फेंकने (जिसे रैंडम टेलर एक्सपेंशन कहा जाता है) जैसा है। शोधकर्ताओं ने पाया कि "पासे फेंकने" वाला तरीका वास्तव में दोनों बुरे विकल्पों में से बेहतर है, जिसमें सख्त रेसिपी की तुलना में लगभग दस गुना कम संसाधन लगते हैं। लेकिन यहाँ मुख्य बात यह है कि बेहतर तरीका भी इतना महंगा है कि यह अभी वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए व्यावहारिक नहीं है। अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि जबकि ये रैंडमाइज्ड स्कीमें चतुर और सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ हैं, कार्यों की विशाल मात्रा जो वे मांगती हैं, इसका अर्थ है कि वे शुरुआती क्वांटम कंप्यूटिंग के दिनों में वह जादुई समाधान नहीं होंगी जिसकी हम उम्मीद कर रहे थे। लेखकों ने एक स्पष्ट, गैर-एसिम्प्टोटिक (मतलब उन्होंने केवल अंत में अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने सटीक संख्याएं गिनीं) प्रमाण प्रदान किया है कि इन विशिष्ट समस्याओं के लिए, लागत बहुत अधिक है।

रैंडमाइज्ड सॉल्वर की कहानी

आइए विवरण में उतरें कि लेखकों ने वास्तव में क्या किया। वे एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम एल्गोरिदम को देख रहे थे जिसे रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक विशाल, जटिल मशीन (मैट्रिक्स) है और आप जानना चाहते हैं कि जब आप इसमें एक विशिष्ट इनपुट डालते हैं तो क्या होता है। लक्ष्य आउटपुट को खोजना है, लेकिन मशीन इतनी जटिल है कि आप इसे एक बार में नहीं चला सकते।

शोधकर्ताओं ने एक "रैंडमाइजized" दृष्टिकोण पर ध्यान केंद्रित किया। मशीन को पूरी तरह से चलाने के बजाय, यह तरीका कई रैंडम सैंपल लेकर उत्तर का अनुमान लगाने की कोशिश करता है। यह एक स्टेडियम में हर किसी की औसत ऊंचाई का अनुमान लगाने जैसा है। आप हर एक व्यक्ति को माप सकते हैं (जो कठिन है और इसमें बहुत समय लगता), या आप कुछ रैंडम लोगों से पूछ सकते हैं, उनकी ऊंचाई का अनुमान लगा सकते हैं, और उनके अनुमानों का औसत निकाल सकते हैं। उम्मीद यह थी कि पर्याप्त रैंडम अनुमान लेने से, आप बिना किसी सुपर-कॉम्प्लेक्स सेटअप के सही उत्तर प्राप्त कर लेंगे।

पेपर इस प्रक्रिया को तीन मुख्य चरणों में विभाजित करता है, जिसका उन्होंने अत्यधिक सटीकता के साथ विश्लेषण किया है:

1. रेसिपी (फूरियर सीरीज़): सबसे पहले, उन्हें यह पता लगाना था कि गणित की समस्या को रैंडम "समय" की एक श्रृंखला में कैसे बदला जाए जिससे नमूने लिए जा सकें। उन्होंने मैट्रिक्स के व्युत्क्रम (इनवर्स) को अनुमानित करने के लिए फूरियर सीरीज़ नामक एक गणितीय ट्रिक का उपयोग किया। इसे एक रेसिपी बनाने के रूप में सोचें जो आपको ठीक से बताती है कि समय के किन रैंडम क्षणों पर देखना है। लेखकों ने सटीक रूप से गणना की कि कितने घटक (सीरीज़ में पद) और कितनी सटीक माप की आवश्यकता होगी ताकि एक अच्छा अनुमान प्राप्त हो सके। उन्होंने पाया कि छोटी समस्याओं के लिए भी, आपको बहुत सारे इन योग्यताओं की आवश्यकता होती है।

2. स्नैपशॉट (हैमिल्टोनियन सिमुलेशन): इसके बाद, चुने गए प्रत्येक रैंडम समय के लिए, क्वांटम कंप्यूटर को सिस्टम का अनुकरण (सिमुलेट) करना होता है। यही कठिन हिस्सा है। लेखकों ने इस सिमुलेशन को करने के दो तरीकों को देखा:

   • प्रोडक्ट फॉर्मा (PF): यह एक लंबी यात्रा को छोटे, निश्चित चरणों में तोड़ने जैसा है। आप थोड़ा चलते हैं, रुकते हैं, थोड़ा और चलते हैं, इत्यादि। यह आगे बढ़ने का एक बहुत ही संरचित तरीका है।
   • रैंडम टेलर एक्सपेंशन (RTE): यह अधिक अराजक है। यह यह तय करने के लिए कि कितने कदम और किस दिशा में जाने हैं, पासा फेंकने जैसा है। यह दूसरे स्तर की रैंडमनेस पेश करता है।

3. औसत (सैंपलिंग): अंत में, आप इन स्नैपशॉट्स के परिणामों को लेते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए उनका औसत निकालते हैं। आप जितने अधिक स्नैपशॉट लेंगे, उतना ही आप वास्तविक उत्तर के करीब पहुंचेंगे।

बड़ा खुलासा: यह बहुत महंगा है

पेपर का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा "लागत" की गणना है। क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, लागत को "गेट्स" में मापा जाता है, जो कंप्यूटर द्वारा किए जाने वाले बुनियादी ऑपरेशन हैं। लेखों ने गणना की कि सटीकता के एक निश्चित स्तर के साथ समस्या को हल करने के लिए कितने गेट्स की आवश्यकता होती है।

उन्होंने पाया कि लागत अविश्वसनीय रूप से तेजी से बढ़ती है। एक बहुत ही छोटी समस्या—एक 4 गुणा 4 मैट्रिक्स जिसका कंडीशन नंबर (एक समस्या की कठिनाई का माप) 100 है—के लिए भी, विधि को अभिसरण (कन्वर्ज) करने के लिए लगभग 10^15 (यानी 1 के पीछे 15 शून्य) नॉन-क्लिफोर्ड गेट्स की आवश्यकता होती है। यह एक ऐसी संख्या है जो आज के या निकट भविष्य के किसी भी क्वांटम कंप्यूटर की क्षमता से बहुत परे है। यह समुद्र के पार पुल बनाने के लिए केवल टूथपिक्स का उपयोग करने जैसा है; गणित कहता है कि यह सैद्धांतिक रूप से संभव है, लेकिन सामग्री उपलब्ध नहीं है।

लेखकों ने सिमुलेशन के दो तरीकों (PF और RTE) की तुलना भी की। उन्होंने पाया कि रैंडम टेलर एक्सपेंशन (RTE) विधि प्रोडक्ट फॉर्मूला (PF) की तुलना में काफी बेहतर है। विशेष रूप से, RTE को समान स्तर की सटीकता तक पहुँचने के लिए लगभग एक ऑर्डर ऑफ मैग्नीट्यूड (10 गुना) कम गेट्स की आवश्यकता होती है। हालाँकि, इस 10x सुधार के साथ भी, गेट्स की कुल संख्या बहुत अधिक है। पेपर स्पष्ट रूप से कहता है कि दोनों में से कोई भी विधि वर्तमान या निकट भविष्य के हार्डवेयर के लिए व्यावहारिक नहीं है।

भविष्य के लिए इसका क्या अर्थ है

पेपर केवल यह नहीं कहता कि "यह कठिन है"; यह हमें एक स्पष्ट मानचित्र देता है कि क्यों यह कठिन है। मुख्य बाधा "कंडीशन नंबर" है। जैसे-जैसे समस्या कठिन होती जाती है (कंडीशन नंबर बढ़ता है), गेट्स की संख्या चौथी घात (फोर्थ पावर) के साथ बढ़ती जाती है। इसका मतलब है कि यदि आप समस्या की कठिनाई को दोगुना करते हैं, तो आपको 16 गुना अधिक संसाधनों की आवश्यकता होगी। यह स्केलिंग नियम रैंडमाइज्ड दृष्टिकोण को उन प्रकार की समस्याओं के लिए बहुत महंगा बनाता जिन्हें वैज्ञानिक वास्तव में हल करना चाहते हैं।

लेखक बहुत सावधान हैं कि उनके परिणाम केवल अनुमान नहीं बल्कि स्पष्ट गणनाओं और सिमुलेशन पर आधारित हैं। उन्होंने छोटे, रैंडम मैट्रिसेस पर अपने गणित का परीक्षण किया और पाया कि उनके अनुमान सिमुलेशन की वास्तविकता से पूरी तरह मेल खाते हैं। यह हमें उनके निष्कर्ष पर उच्च विश्वास देता: जबकि क्वांटम एल्गोरिदम को रैंडमाइज करने का विचार चतुर है और सर्किट की जटिलता को कम करता है, रैंडम सैंपल की विशाल संख्या इसे रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए अव्यवहारिक बना देती है।

अंत में, यह पेपर एक महत्वपूर्ण वास्तविकता की जांच के रूप में कार्य करता है। यह एक आशाजनक, चर्चित विचार को भौतिकी और इंजीनियरिंग के कठोर आंकड़ों के विरुद्ध मापता है। परिणाम यह है कि जबकि रैंडमाइज्ड दृष्टिकोण एक दिलचस्प सैद्धांतिक कार्य है, यह शुरुआती क्वांटम कंप्यूटरों के लिए 'सिल्वर बुलेट' (जादुई समाधान) नहीं है। लेखक सुझाव देते हैं कि यदि हम प्रगति करना चाहते हैं, तो हमें समस्या को तोड़ने के अन्य तरीकों को देखना होगा, शायद क्लासिकल कंप्यूटरों का उपयोग करके समस्या को सरल बनाने या नए गणितीय ट्रिक्स खोजने के माध्यम से जिन्हें इतने बड़े संख्या में रैंडम सैंपल की आवश्यकता न हो। लेकिन फिलहाल, इन जटिल रैखिक प्रणालियों को एक सरल, रैंडमाइज्ड क्वांटम शॉर्टकट के साथ हल करने का सपना केवल एक सपना ही है, जो हार्डवेयर या एल्गोरिदम डिजाइन में किसी बड़े बदलाव की प्रतीक्षा कर रहा है।