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Strings near BTZ black holes: A Carrollian Chronicle

यह योगदान स्ट्रिंग-कैरोल विस्तार योजना (string-Carroll expansion scheme) को एक गैर-चरम (non-extremal) BTZ ब्लैक होल के क्षितिज के निकट उसके स्पेसटाइम बैकग्राउंड में क्लोज्ड बोसोनिक स्ट्रिंग्स की गतिशीलता का व्यवस्थित रूप से विश्लेषण और वर्गीकरण करने के लिए लागू करता है, जिससे उनके समाधान स्थान (solution space) की नई विशेषताओं का अनावरण होता है।

मूल लेखक: Aritra Banerjee, Arkachur Bhattacharya, Sharang Rajesh Iyer, Ansh Mishra, Priyadarshini Pandit

प्रकाशित 2026-05-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Aritra Banerjee, Arkachur Bhattacharya, Sharang Rajesh Iyer, Ansh Mishra, Priyadarshini Pandit

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक ब्लैक होल की कल्पना एक भयानक ब्रह्मांडीय वैक्यूम क्लीनर के रूप में नहीं, बल्कि अंतरिक्ष में एक विशाल, घूमते हुए भंवर के रूप में करें। अब इस भंवर की सतह के ठीक ऊपर मंडराती हुई एक छोटी, लचीली रबर बैंड (एक "स्ट्रिंग") की कल्पना करें। जैसे ही यह रबर बैंड किनारे के करीब पहुँचती है, इसका क्या होता है?

यह लेख, जिसका शीर्षक "Strings near BTZ black holes: A Carrollian Chronicle" है, इस प्रश्न का उत्तर देने के उद्देश्य से एक गणितीय साहसिक यात्रा है। लेखक एक विशिष्ट प्रकार के ब्लैक होल की जांच कर रहे हैं जिसे BTZ ब्लैक होल कहा जाता है। इस BTZ ब्लैक होल को हमारे चार-आयामी ब्रह्मांड में देखे जाने वाले वास्तविक ब्लैक होल के एक सरलीकृत, तीन-आयामी संस्करण के रूप में समझें। यह एक "ट्रेनिंग व्हील्स" मॉडल की तरह है जिसका उपयोग भौतिक विज्ञानी अत्यधिक गणित में उलझे बिना जटिल गुरुत्वाकर्षण को समझने के लिए करते हैं।

यहाँ उनकी खोज की कहानी है, जिसे सरल अवधारणाओं में विभाजित किया गया है:

1. समस्या: किनारे पर "फ्रीज" (जमने) का प्रभाव

यदि आप ब्लैक होल के 'इवेंट होराइजन' (वापसी न होने वाले बिंदु) के बहुत करीब पहुँच जाते हैं, तो स्थान और समय के नियम अजीब हो जाते हैं। समय धीमा हो जाता है, और स्थान खिंच जाता है। यदि आप यहाँ मानक भौतिकी समीकरणों का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो वे टूट जाते हैं क्योंकि अंतरिक्ष की ज्यामिति "डिजेनरेट" (degenerate) हो जाती है—यह वैसा ही है जैसे आप एक ऐसे पैमाने से कागज के एक सपाट टुकड़े को मापने की कोशिश कर रहे हों जो केवल 3D में काम करता है।

लेखकों ने महसूस किया कि इस किनारे के पास स्ट्रिंग्स का अध्ययन करने के लिए, उन्हें एक नए नियम पुस्तिका की आवश्यकता है। उन्होंने "कैरोलियन भौतिकी" (Carrollian physics) नामक एक ढांचे का उपयोग किया।

उपमा: एक कार की कल्पना करें जो प्रकाश की गति से यात्रा कर रही है। हमारी सामान्य दुनिया में, समय और स्थान आपस में जुड़े हुए हैं। लेकिन "कैरोलियन" भौतिकी में, यह ऐसा है जैसे प्रकाश की गति शून्य हो गई हो। इस दुनिया में, समय अंतरिक्ष के सापेक्ष आगे बढ़ना बंद कर देता है, या अंतरिक्ष "जम" (frozen) जाता है। यह एक अजीब, गैर-सापेक्षतावादी दुनिया है जो बिल्कुल सटीक रूप से वर्णन करती है कि ब्लैक होल के किनारे पर क्या होता है।

2. दो प्रकार की स्ट्रिंग्स: चुंबकीय और विद्युत (Magnetic and Electric)

लेखकों ने पाया कि जब उन्होंने इन "जमे हुए समय" के नियमों को अपनी रबर-बैंड स्ट्रिंग्स पर लागू किया, तो स्ट्रिंग्स दो अलग-अलग व्यक्तित्वों में विभाजित हो गईं, जिन्हें उन्होंने चुंबकीय (Magnetic) और विद्युत (Electric) सिद्धांत नाम दिया।

चुंबकीय स्ट्रिंग (Magnetic String): मुड़ने वाली छड़ी

यह क्या करती है: जब यह स्ट्रिंग ब्लैक होल में गिरती है, तो यह मुड़े हुए कागज के टुकड़े या खुद को सिकोड़ लेने वाले रबर बैंड की तरह व्यवहार करती है।
"यो-यो" प्रभाव: लेखकों ने एक विशिष्ट समाधान खोजा जिसे वे "यो-यो" स्ट्रिंग कहते हैं। एक स्ट्रिंग की कल्पना करें जो अपने आप में सिमट रही है और तीखे मोड़ बना रही है। जैसे ही यह क्षितिज (horizon) के करीब पहुँचती है, यह सिकुड़ जाती है और अंततः एक दूरस्थ पर्यवेक्षक को एक एकल, कठोर छड़ी या कण जैसा दिखाई देती है।
ट्विस्ट: हालांकि यह दूर से एक बिंदु की तरह दिखती है, फिर भी इसमें आंतरिक रूप से "स्ट्रिंग-जैसी" कंपन मौजूद होते हैं। यह एक गिटार की स्ट्रिंग की तरह है जो एक छोटी गेंद में सिमट गई है; यह अभी भी एक स्ट्रिंग है, लेकिन इतनी कसकर मुड़ी हुई है कि यह एक बिंदु जैसी दिखती है।
घूमते हुए ब्लैक होल: यदि ब्लैक होल घूम रहा है, तो स्ट्रिंग सीधे नीचे नहीं गिरती; इसे घूमते हुए स्थान द्वारा खींचा जाता है (जैसे भंवर में फंसा हुआ पत्ता) और जैसे-जैसे यह सिकुड़ती है, यह छेद के चारों ओर सर्पिल आकार में घूमती है।

विद्युत स्ट्रिंग (Electric String): लपेटने वाला टायर

यह क्या करती है: यह स्ट्रिंग काफी अलग व्यवहार करती है। सिकुड़ने के बजाय, यह फैलती है और एक गेंद के चारों ओर रबर बैंड की तरह ब्लैक होल के चारों ओर लिपट जाती है।
"टायर" प्रभाव: चूंकि BTZ ब्लैक होल तीन-आयामी है, इसलिए इसका "किनारा" एक वृत्त (circle) है। विद्युत स्ट्रिंग इस वृत्त के चारों ओर लिपट जाती है।
लपेटना (Winding): स्ट्रिंग ब्लैक होल के चारों ओर कई बार लिपट सकती है, जैसे स्पूल के चारों ओर धागा। लेखकों ने पाया कि ये स्ट्रिंग्स "समान" (एकसमान रूप से लिपटी हुई) या "असमान" (असमान रूप से लिपटी हुई, जिससे उभार या परतें बन जाती हैं) हो सकती हैं।
अंतर: चुंबकीय स्ट्रिंग के विपरीत, जो ढह जाती है, विद्युत स्ट्रिंग फैलती है और क्षितिज से चिपक जाती है।

3. "कैरोलियन" संबंध

इस लेख की मुख्य सफलता यह दिखाना है कि इन "जमे हुए" स्ट्रिंग्स (कैरोलियन भौतिकी) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणित का उपयोग ठीक उसी गणित के लिए किया जा सकता है जिसकी आवश्यकता ब्लैक होल के किनारे पर ज़ूम करने के लिए होती है।

रूपक: यह महसूस करने जैसा है कि एक विशिष्ट प्रकार की ओरिगेमी (origami) को मोड़ने के निर्देश (कैरोलियन भौतिकी) बिल्कुल वही निर्देश हैं जिनकी आवश्यकता कागज के एक टुकड़े को मेज पर दबाकर चपटा करने के व्यवहार का वर्णन करने के लिए होती है।

4. उन्होंने क्या नहीं किया

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इस लेख ने क्या नहीं किया:

उन्होंने वास्तविक ब्लैक होल या वास्तविक स्ट्रिंग का निर्माण नहीं किया।
उन्होंने अंतरिक्ष यात्रा का नया तरीका या ऊर्जा संकट का समाधान प्रस्तावित नहीं किया।
उन्होंने वास्तविक सामग्रियों पर प्रयोग नहीं किया।
उन्होंने यह चर्चा नहीं की कि यह क्वांटम कंप्यूटिंग या चिकित्सा तकनीक में कैसे मदद करता है।

सारांश

सरल शब्दों में, यह लेख एक विस्तृत मानचित्र है कि एक सैद्धांतिक रबर स्ट्रिंग कैसा व्यवहार करती है जब वह खतरनाक रूप से एक सरलीकृत ब्लैक होल के करीब पहुँचती है। "स्लो मोशन" (कैरोलियन विस्तार) के लिए एक विशेष गणितीय उपकरण का उपयोग करते हुए, लेखकों ने पाया कि स्ट्रिंग या तो एक बिंदु में सिमट जाती है (चुंबकीय) या फैलकर छेद के चारों ओर लिपट जाती है (विद्युत)। उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि ब्लैक होल घूमता है, तो स्ट्रिंग को साथ लेकर खींचा जाता है और वह अंदर की ओर सर्पिल आकार में घूमती है।

यह एक "क्रॉनिकल" (Chronicle) है क्योंकि यह इन विभिन्न व्यवहारों को प्रलेखित और वर्गीकृत करता है, जिससे एक स्पष्ट तस्वीर मिलती है कि ब्रह्मांड के सबसे चरम वातावरण वास्तविकता के मौलिक निर्माण खंडों को कैसे प्रभावित कर सकते हैं।

तकनीकी सारांश: BTZ ब्लैक होल के निकट स्ट्रिंग्स: एक कैरोलियन वृत्तांत (A Carrollian Chronicle)

समस्या विवरण
बनाडोस-टेइटलबोम-ज़ानली (BTZ) ब्लैक होल, वक्रित स्पेसटाइम (curved spacetime) में स्ट्रिंग डायनेमिक्स की जांच करने के लिए एक सुलभ (2+1)-आयामी मॉडल के रूप में कार्य करता है, विशेष रूप से AdS/CFT पत्राचार (correspondence) के संदर्भ में। जबकि $AdS_3$ पर पूर्ण स्ट्रिंग स्पेक्ट्रम को $SL(2, \mathbb{R})$ वेज़-ज़ुम-विटेन (WZW) मॉडल के माध्यम से अच्छी तरह से समझा जा चुका है, गैर-चरम (non-extremal) BTZ ब्लैक होल्स के विशेष रूप से निकट-क्षितिज क्षेत्र (near-horizon region) में स्ट्रिंग्स के समाधान स्थान का व्यवस्थित और सुदृढ़ विश्लेषण अभी भी अप्राप्य बना हुआ है। मानक सापेक्षतावादी विश्वशीट (worldsheet) विधियाँ इस शासन (regime) में कठिनाइयों का सामना करती हैं, क्योंकि गैर-चरम ब्लैक होल्स के क्षितिज के पास की ज्यामिति अपभ्रष्ट (degenerate) होती है और पारंपरिक लोरेन्ट्ज़ियन अर्थ में एक गैर-अपभ्रष्ट मेट्रिक का अभाव होता है। यह अपभ्रष्टता सही भौतिकी का वर्णन करने के लिए गैर-लोरेन्ट्ज़ियन ज्यामितीय संरचनाओं के उपयोग को आवश्यक बनाती है।

कार्यप्रणाली
लेखक स्ट्रिंग-कैरोलियन विस्तार (String-Carroll expansion) को लागू करते हैं, जो एक अवकलनात्मक ढांचा है जिसमें सापेक्षतावादी सिद्धांत को प्रकाश की एक छोटी लेकिन परिमित प्रभावी गति ( $c$ ) के घातों में विस्तारित किया जाता है, न कि तुरंत $c=0$ सेट करके। यह दृष्टिकोण इस अवलोकन से प्रेरित है कि गैर-चरम BTZ ब्लैक होल्स का निकट-क्षितिज विस्तार स्वाभाविक रूप से एक स्ट्रिंग-कैरोलियन ज्यामिति में मैप होता है।

कार्यप्रणाली इस प्रकार आगे बढ़ती है:

ज्यामितिक सेटअप: स्थिर और घूर्णन (non-extremal) BTZ ब्लैक होल्स के निकट-क्षितिज मेट्रिक को एक आयामहीन पैरामीटर $\epsilon$ (जिसे $c^2$ के रूप में पहचाना गया है) का उपयोग करके विस्तारित किया जाता है। यह विस्तार प्रकट करता है कि अनुदैर्ध्य क्षेत्र (longitudinal sector - समय और रेडियल दिशाएं) एक 2D रिंडलर (Rindler) स्पेसटाइम बनाते हैं, जबकि अनुप्रस्थ क्षेत्र (transverse sector - कोणीय दिशा) एक वृत्त ( $S^1$ ) बनाता है।
कैरोलियन वर्गीकरण: सापेक्षतावादी पॉलीकोव (Polyakov) और फेज़-स्पेस एक्शन का विस्तार लैग्रेंज मल्टीप्लायर्स और स्ट्रिंग टेंशन के स्केलिंग के आधार पर दो अलग-अलग क्षेत्रों को प्रकट करता है:
- मैग्नेटिक थ्योरी (Magnetic Theory): लक्ष्य स्पेसटाइम मेट्रिक अपभ्रष्ट (Carrollian) हो जाता है, जबकि विश्वशीट थ्योरी लोरेन्ट्ज़ियन बनी रहती है। इस क्षेत्र को पॉलीकोव एक्शन और फेज़-स्पेस एक्शन दोनों से प्राप्त किया जा सकता है।
- इलेक्ट्रिक थ्योरी (Electric Theory): विश्वशीट थ्योरी कैरोलियन हो जाती है। यह क्षेत्र विशेष रूप से फेज़-स्पेस एक्शन से प्राप्त होता है और एक 'तनाव-चालित विरूपण पद' (tension-driven deformation term) वाले नुल स्ट्रिंग्स (null strings) के सिद्धांत के अनुरूप है।
समाधान विश्लेषण: लेखक स्थिर और घूर्णन BTZ बैकग्राउंड के लिए एम्बेडिंग फील्ड्स के लिए पृथक्करण विधि (separation of variables) का उपयोग करते हुए समीकरणों (EOMs) और विरासोरो (Virasoro) बाधाओं को हल करते हैं। वे अग्रणी क्रम (LO) और अगले-से-अगले अग्रणी क्रम (NLO) पर समाधानों का विश्लेषण करते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

स्ट्रिंग-कैरोलियन में निकट-क्षितिज ज्यामिति का मानचित्रण: यह कार्य स्थापित करता है कि गैर-चरम BTZ ब्लैक होल्स (स्थिर और घूर्णित दोनों) का निकट-क्षितज विस्तार स्ट्रिंग-कैरोलियन विस्तार के समरूपी (isomorphic) है। अनुदैर्ध्य दिशाएं रिंडलर क्षेत्र से मैप होती हैं, और अनुप्रस्थ दिशा संकुचित वृत्त ( $S^1$ ) से मैप होती है।
मैग्नेटिक स्ट्रिंग डायनेमिक्स (स्थिर मामला):
- LO व्यवहार: अग्रणी-क्रम समाधान अनुप्रस्थ क्षेत्र में निरर्थक हैं ( $x_\phi = \text{const}$ ), जिसका अर्थ है कि स्ट्रिंग या तो एक कण में बदल जाती है या रेडियल दिशा में स्वयं पर मुड़ (fold) जाती है।
- NLO व्यवहार: NLO पर गैर-तुच्छ डायनेमिक्स उभरते हैं। लेखक कई समाधान परिवारों को वर्गीकृत करते हैं:
  - नुल जियोडेसिक्स (Null Geodesics): स्ट्रिंग्स जो एक बिंदु में सिकुड़ जाती हैं और नुल रिंडलर जियोडेसिक्स का अनुसरण करती हैं।
  - फोल्डेड "यो-यो" स्ट्रिंग्स (Folded "Yo-Yo" Strings): स्थिर विन्यास जहाँ स्ट्रिंग रेडियल रूप से मुड़ती है, जिससे टर्निंग पॉइंट्स पर तीखे "किंक्स" (अ-विभेदनीय बिंदु) उत्पन्न होते हैं।
  - समय-निर्भर फोल्डेड स्ट्रिंग्स: समाधान जहाँ स्ट्रिंग की लंबाई चरघातांकीय (exponentially) रूप से विकसित होती है। अंदर की ओर गिरने वाली स्ट्रिंग्स सिकुड़ जाती हैं और स्पर्शोन्मुख रूप से नुल रिंडलर जियोडेसिक्स की नकल करती हैं, जबकि बाहर की ओर जाने वाली स्ट्रिंग्स लंबी होती जाती हैं।
- टाइडल फोर्सेस (Tidal Forces): जियोडेसिक विचलन का विश्लेषण दिखाता है कि LO मैग्नेटिक स्ट्रिंग्स रेडियल दिशा में कोई टाइडल फोर्स अनुभव नहीं करती हैं; सिकुड़ने वाला व्यवहार LO लक्ष्य मेट्रिक के यूक्लिडियन सिग्नेचर का परिणाम है, जो एक निरर्थक लोरेन्ट्ज़ियन एम्बेडिंग को लागू करता है।
मैग्नेटिक स्ट्रिंग डायनेमिक्स (घूर्णन मामला):
- सह-घूर्णन फ्रेम (co-rotating frame) में, डायनेमिक्स स्थिर मामले के समान ही होते हैं।
- गैर-सह-घूर्णन फ्रेम में, फ्रेम-ड्रैगिंग प्रभाव के कारण अनुप्रस्थ एम्बेडिंग फील्ड $x_\phi$ अनुदैर्ध्य समय $x_t$ पर निर्भर करता है। इसके परिणामस्वरूप, फोल्डेड स्ट्रिंग्स और बिंदुवत समाधान ब्लैक होल के चारों ओर घूमते हैं।
इलेक्ट्रिक स्ट्रिंग डायनेमिक्स:
- सममिति (Symmetry): इलेक्ट्रिक विश्वशीट की शेष गेज सममितियाँ BMS $_3$ बीजगणित (या 2D कन्फॉर्मल कैरोलियन बीजगणित) को समाहित करती हैं, भले ही एक परिमित टेंशन पद मौजूद हो। यह ज्ञात टेंशनलेस (नुल) स्ट्रिंग्स के परिणाम को सामान्यीकृत करता है।
- वाइंडिंग समाधान (Winding Solutions): मैग्नेटिक क्षेत्र के विपरीत, इलेक्ट्रिक स्ट्रिंग्स ऐसे समाधानों की अनुमति देती हैं जहाँ स्ट्रिंग घटना क्षितिज (event horizon) के चारों ओर लिपटती (wind) है ( $S^1$ )।
- वाइंडिंग की स्थिरता: कार्य वाइंडिंग संख्या का विश्लेषण करता है, दो वर्गों की पहचान करता है:
  - यूनिफॉर्म वाइंडिंग (Uniform Winding): स्ट्रिंग क्षितिज के चारों ओर समान रूप से लिपटती है और एक चिकने वलय (ring) की तरह व्यवहार करती है (संतुलन विन्यास)।
  - गैर-यूनिफॉर्म वाइंडिंग (Non-Uniform Winding): यदि कोणीय संवेग घनत्व भिन्न होता है, तो स्ट्रिंग में 'किंक्स' विकसित हो सकते हैं या इसकी वाइंडिंग दिशा बदल सकती है, जिससे संभावित रूप से "बकलवा-जैसे" (baklava-like) स्तरित ढांचे बन सकते हैं या क्षितिज पर पकड़ खो सकती है।
टोपोलॉजिकल अंतर: यह कार्य रेखांकित करता है कि BTZ क्षितिज की $S^1$ टोपोलॉजी (4D श्वारज़चाइल्ड के $S^2$ की तुलना में) इलेक्ट्रिक स्ट्रिंग समाधानों को बाधित करती है। जबकि 4D इलेक्ट्रिक स्ट्रिंग्स बड़े वृत्तों को लपेट सकती हैं या सिकुड़ सकती हैं, 2+1D BTZ इलेक्ट्रिक स्ट्रिंग को एकल कोणीय दिशा को लपेटने के लिए मजबूर किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक बहु-लपेटे हुए (multiply wound) विन्यास प्राप्त होता है।
औपचारिकताओं की समानता: लेखक स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करते हैं कि NLO पॉलीकोव एक्शन और NNLO फेज़-स्पेस एक्शन मैग्नेटिक स्ट्रिंग्स के लिए समान समीकरण (EOMs) और विरासोरो बाधाएं प्रदान करते हैं, जो विभिन्न स्वरूपों में स्ट्रिंग-कैरोलियन विस्तार की निरंतरता की पुष्टि करता है।

महत्व और भविष्य की दिशाएं
यह कार्य तर्क देता है कि स्ट्रिंग-कैरोलियन ढांचा ब्लैक होल के निकट स्ट्रिंग डायनेमिक्स की जांच करने के लिए एक स्वाभाविक और सुदृढ़ ढांचा प्रदान करता है, जो पारंपरिक लोरेन्ट्ज़ियन दृष्टिकोणों में मेट्रिक अपभ्रष्टता की समस्या को हल करता है। यह उन समाधानों का एक व्यवस्थित वर्गीकरण प्रदान करता जो पहले सुलभ नहीं थे।

लेखक अन्वेषण के लिए निम्नलिखित मार्ग चिन्हित करते हैं:

चरम सीमा (Extremal Limit): यह जांचना कि क्या चरम ब्लैक होल्स ( $Ad_2 \times S^1$ ) के निकट-क्षितज ज्यामिति को स्ट्रिंग-कैरोलियन विस्तारों के साथ मैप किया जा सकता है, जिसमें अनंत समय रीस्केलिंग की संभावित समस्याओं पर विचार किया जाए।
AdS समाधानों के साथ संबंध: इन निकट-क्षितज निर्माणों को अन्य ज्ञात $Ad_3$ समाधानों (जैसे, वार्प्ड $Ad_3$ , कोनिकल डिफेक्ट्स) के सीमित मामलों से जोड़ना।
फ्लैट स्पेस कॉस्मोलॉजी (FSC): घूर्णन BTZ ब्लैक होल्स के फ्लैट स्पेस सीमा के विश्लेषण का विस्तार करना ताकि आसतत रूप से फ्लैट स्पेसटाइम और फ्लैट स्पेस होलोग्राफी के साथ संबंधों की जांच की जा सके।
क्वांटाइजेशन (Quantization): क्लासिकल टार्गेट स्पेस परिणामों को व्यवस्थित विश्वशीट विश्लेषण के साथ जोड़कर क्वांटम स्पेक्ट्रम, सहसंबंध फलन (correlation functions), और क्षितजों के पार स्ट्रिंग्स के क्वांटम यांत्रिक प्रसार की जांच करना।
टेंशनलेस स्ट्रिंग्स की ओर संक्रमण: स्ट्रिंग-कैरोलियन ढांचे के भीतर टेंशनयुक्त से टेंशनलेस स्ट्रिंग्स के संक्रमण की जांच करना।

कार्य निष्कर्ष निकालता है कि स्ट्रिंग-कैरोलियन सेटिंग सफलतापूर्वक ब्लैक होल्स के निकट स्ट्रिंग्स की भौतिकी तक पहुँच सक्षम बनाती है, जिससे नए लक्षण जैसे विशिष्ट फोल्डिंग व्यवहार, इलेक्ट्रिक क्षेत्र में BMS $_3$ सममिति, और BTZ ज्यामिति द्वारा लगाए गए टोपोलॉजिकल प्रतिबंध प्रकट होते हैं।