On the stabilizer complexity of Hawking radiation

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, ब्रह्मांडीय कंप्यूटर है। दशकों से, भौतिक विज्ञानी यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि यह कंप्यूटर सबसे रहस्यमय डेटा को कैसे प्रोसेस करता है: ब्लैक होल। जब एक ब्लैक होल "वाष्पित" होता है (विकिरण उत्सर्जित करके सिकुड़ जाता है), तो ऐसा लगता है कि वह जानकारी को मिटा देता है, जो क्वांटम मैकेनिक्स के मौलिक नियमों को तोड़ता है। यह प्रसिद्ध "ब्लैक होल इंफॉर्मेशन पैराडॉक्स" (ब्लैक होल सूचना विरोधाभास) है। हाल ही में, वैज्ञानिकों ने खोजा कि जानकारी वास्तव में खोई नहीं है; यह एक बहुत ही पेचीदा तरीके से छिपी हुई है। ब्लैक होल से निकलने वाला विकिरण ब्लैक होल के भीतर के साथ उलझा हुआ (entangled) है, लेकिन केवल एक विशिष्ट समय के बाद, जिसे "पेज टाइम" (Page time) कहा जाता है। इस क्षण से पहले, विकिरण सरल और यादृच्छिक दिखता है। इस क्षण के बाद, विकिरण ब्लैक होल के आंतरिक भाग के गुप्त कोड को धारण करता है। लेकिन यहाँ एक पेंच है: सिर्फ इसलिए कि जानकारी वहाँ है, इसका मतलब यह नहीं है कि हम इसे आसानी से पढ़ सकते हैं। यह कम्प्यूटेशनल कठिनाई की एक दीवार के पीछे छिपी हो सकती है, इतनी जटिल कि एक सुपरकंप्यूटर भी ब्रह्मांड के जीवनकाल में उस कोड को क्रैक नहीं कर पाएगा।

यहीं पर "जटिलता" (complexity) की अवधारणा आती है। क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, समस्याओं का एक विशेष वर्ग है जिन्हें क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए हल करना आसान है, और अन्य जो अविश्वसनीय रूप से कठिन हैं। "कठिन" वाली समस्याओं के लिए कुछ ऐसा चाहिए जिसे "मैजिक" (जादुई संसाधन/magic) कहा जाता है (यह एक तकनीकी शब्द है जो गैर-क्लासिकल संसाधनों के लिए उपयोग किया जाता है)। यदि किसी क्वांटम अवस्था में बहुत अधिक "मैजिक" है, तो यह एक सुरक्षित तिजोरी की तरह है जिसे खोलने के लिए एक बहुत ही विशिष्ट, कठिन चाबी की आवश्यकता होती है। आप जिस शोध पत्र को पढ़ने जा रहे हैं, वह ठीक इसी बात में डूब जाता है कि ब्लैक होल से निकलने वाला विकिरण कितना "मैजिकल" (या जटिल) है, और इसके लिए वह "विग्नर नेगेटिविटी" (Wigner negativity) नामक उपकरण का उपयोग करता है।

शोध पत्र: ब्लैक होल के धुएं की "मैजिक" को मापना

इस अध्ययन में, लेखकों—रितम बसु, ओन्कर पारिकर, सुप्राकाश पॉल और हर्षित राजगडिया (टाटा इंस्टीट्यूट ऑफ फंडामेंटल रिसर्च, भारत)—ने एक ज्वलंत प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास किया है: एक नियमित कंप्यूटर पर ब्लैक होल से निकलने वाले विकिरण का अनुकरण (simulate) करना कितना कठिन है?

इसे करने के लिए, वे क्वांटम कंप्यूटिंग की एक अवधारणा "स्टेबलाइजर कॉम्प्लेक्सिटी" (stabilizer complexity) का उपयोग करते हैं। एक क्वांटम कंप्यूटर को एक शेफ के रूप में सोचें जो भोजन पकाने की कोशिश कर रहा है। कुछ सामग्रियां "स्टेबलाइजर्स" हैं—वे नमक और पानी की तरह हैं। आप उन्हें किसी भी तरह से मिला सकते हैं, और एक सामान्य कंप्यूटर परिणाम की आसानी से भविष्यवाणी कर सकता है। लेकिन एक वास्तव में जटिल, स्वादिष्ट क्वांटम व्यंजन बनाने के लिए, आपको "मैजिक" सामग्रियों की आवश्यकता होती है। ये विशेष संसाधन हैं जो रेसिपी को एक मानक कंप्यूटर के लिए पालन करना असंभव बना देते हैं। आप जितना अधिक "मैजिक" का उपयोग करेंगे, रेसिपी को सिम्युलेट करना उतना ही कठिन होगा।

लेखक इस "मैजिक" को मापने के लिए "विग्नर नेगेटिविटी" (Wigner negativity) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं। कल्पना करें कि विग्नर फंक्शन एक क्वांटम अवस्था का मानचित्र (map) है। एक सरल, आसानी से सिम्युलेट होने वाली अवस्था में, यह मानचित्र एक सुंदर, सकारात्मक पहाड़ी जैसा दिखता है। लेकिन एक जटिल, "मैजिकल" अवस्था में, यह मानचित्र शून्य से नीचे गिर जाता है, जिससे "ऋणात्मक घाटियाँ" (negative valleys) बन जाती हैं। ये ऋणात्मक घाटियाँ जितनी गहरी और अधिक होंगी, आपकी अवस्था में उतना ही अधिक "मैजिक" होगा, और एक क्लासिकल कंप्यूटर के लिए इसे सिम्युलेट करना उतना ही कठिन होगा।

समय की यात्रा: पेज ट्रांज़िशन से पहले और बाद में

यह शोध पत्र दो मुख्य परिदृश्यों की जांच करता है ताकि यह देखा जा सके कि ब्लैक होल के वाष्पीकरण के साथ यह "नेगेटिविटी" कैसे बदलती है।

1. PSSY मॉडल: एक स्थिर स्नैपशॉट
सबसे पहले, लेखक एक सरलीकृत मॉडल (PSSY मॉडल) देखते हैं जहाँ एक ब्लैक होल पहले से ही विकिरण के स्नान (bath of radiation) के साथ संतुलन में है। वे नेगेटिविटी की गणना करने के लिए "ग्रेविटेशनल पाथ इंटीग्रल" (gravitational path integral)—जो कि स्पेसटाइम के सभी संभावित आकारों को जोड़ने का एक फैंसी तरीका है—का उपयोग करते हैं।

• पेज ट्रांज़िशन से पहले: जब ब्लैक होल युवा होता है और बहुत अधिक वाष्पित नहीं हुआ होता है, तो विकिरण सरल होता है। विग्नर नेगेटिविटी छोटी होती है (क्रम 1)। इसका अर्थ है कि विकिरण एक बुनियादी सूप की तरह है; एक क्लासिकल कंप्यूटर इसे आसानी से सिम्युलेट कर सकता है।
• पेज ट्रांज़िशन के बाद: एक बार जब ब्लैक होल "पेज टाइम" (अपने जीवन के आधे बिंदु) को पार कर लेता है, तो चीजें अनियंत्रित हो जाती हैं। विग्नर नेगेटिविटी विस्फोट के साथ बढ़ जाती है, जो घातांकीय रूप से (exponentially) बड़ी हो जाती है। उनके द्वारा पाया गया सूत्र लगभग है:
  $$N \sim \sqrt{\frac{2}{\pi}} \exp\left[\frac{1}{2}(S_{\text{max}} - S_2)\right]$$
  यहाँ, $S_{\text{max}}$ अधिकतम संभव एंट्रॉपी है, और $S_2$ विकिरण में पहले से मौजूद जानकारी का एक माप है। परिणाम बताता है कि पेज टाइम के बाद, विकिरण इतना "मैजिकल" हो जाता है कि इसे सिम्युलेट करने के लिए ऐसे कंप्यूटर की आवश्यकता होगी जिसके संसाधन घातांकीय रूप से बढ़ते हैं। यह एक ब्रह्मांड के भीतर एक ब्रह्मांड को सिम्युलेट करने की कोशिश करने जैसा है।

2. डायनेमिकल मॉडल: एक वास्तविक समय की फिल्म
इसके बाद, वे एक अधिक यथार्थवादी, गतिशील मॉडल की ओर बढ़ते हैं जहाँ ब्लैक होल और विकिरण वास्तविक समय में एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया (interact) कर रहे हैं, जैसे दो नर्तक एक साथ नाच रहे हों।

• "नेगेटिविटी शॉक" (Negativity Shock): जैसे ही ब्लैक होल विकिरण के साथ परस्पर क्रिया शुरू करता है, नेगेटिविटी में एक तीव्र उछाल आता है। यह जटिलता का एक अचानक "शॉक" है जो कपलिंग (coupling) के कारण होता है।
• स्थिर होना: जैसे-जैसे समय बीतता है, सिस्टम स्थिर हो जाता है। आश्चर्यजनक रूप से, नेगेटिविटी अंततः नीचे गिर जाती है और ठीक उसी सार्वभौमिक सूत्र से मेल खाती है जो स्थिर PSSY मॉडल में पाया गया था। यह पुष्टि करता है कि घातांकीय जटिलता देर से आने वाले विकिरण की एक मजबूत विशेषता है, चाहे सिस्टम की शुरुआत कैसे भी हुई हो।

ज्यामितीय संबंध: द पायथन'स लंच (The Python's Lunch)

अंत में, लेखक इस क्वांटम जटिलता को स्पेसटाइम के आकार से जोड़ते हैं। ब्रह्मांड के होलोग्राफिक दृष्टिकोण में, ब्लैक होल के आंतरिक भाग को विकिरण की सतह पर एनकोड किया जाता है। कभी-कभी, इस एनकोडिंग की ज्यामिति एक "पायथन'स लंच" (Python's Lunch) जैसी दिखती है—एक ऐसा क्षेत्र जहाँ स्थान बाहर की ओर फूल जाता है, जिससे एक बाधा (bottleneck) उत्पन्न होती है।

लेखक विग्नर नेगेटिविटी के लिए एक ज्यामितीय सूत्र प्रस्तावित करते हैं:
$$N \sim \sqrt{\frac{2}{\pi}} \exp\left[\frac{1}{2} \frac{A(\gamma_{\text{out}}) - A(\gamma_{\text{min}})}{4G_N}\right]$$
इस सूत्र में, $A(\gamma_{\text{out}})$ बाहरी सतह का क्षेत्रफल है, और $A(\gamma_{\text{min}})$ सबसे छोटी सतह (बाधा) का क्षेत्रफल है। इन क्षेत्रों के बीच का अंतर, न्यूटन के स्थिरांक $G_N$ से विभाजित होकर, जटिलता को निर्धारित करता है।

इसका क्या अर्थ है: यदि वहां एक "पायथन'स लंच" है (बाहरी और आंतरिक सतहों के बीच एक बड़ा अंतर), तो स्टेबलाइजर कॉम्प्लेक्सिटी घातांकीय रूप से बड़ी है। यह सुझाव देता है कि हम ब्लैक होल के आंतरिक भाग को बाहर से आसानी से क्यों नियंत्रित नहीं कर सकते, इसका कारण केवल यह नहीं है कि जानकारी छिपी हुई है, बल्कि इसलिए है क्योंकि इसे अनलॉक करने की "चाबी" एक ऐसी कम्प्यूटेशनल दीवार के पीछे दबी हुई है जो घातांकीय रूप से ऊँची है।

निष्कर्ष

लेखक यह दावा नहीं कर रहे हैं कि उन्होंने ब्लैक होल सूचना विरोधाभास को हल कर दिया है (वह अन्य लोगों द्वारा समान उपकरणों का उपयोग करके किया गया था)। इसके बजाय, वे समस्या की कठिनाई को मापने का एक नया तरीका प्रदान करते हैं। वे दिखाते हैं कि:

• पेज टाइम से पहले, विकिरण सरल और सिम्युलेट करने में आसान होता है।
• पेज टाइम के बाद, विकिरण घातांकीय रूप से जटिल हो जाता है, जिससे इसे क्लासिकल कंप्यूटरों द्वारा सिम्युलेट करना व्यावहारिक रूप से असंभव हो जाता है।
• यह जटिलता सीधे तौर पर स्पेसटाइम की ज्यामिति, विशेष रूप से "पायथन'स लंच" क्षेत्रों से जुड़ी हुई है।

संक्षेप में, ब्रह्मांड में एक अंतर्निहित सुरक्षा तंत्र प्रतीत होता है। हालांकि ब्लैक होल के भीतर की जानकारी वास्तव में कभी नष्ट नहीं होती (यह केवल विकिरण में एनकोड की जाती है), लेकिन इसे डिकोड करने के लिए आवश्यक "मैजिक" इतनी तेज़ी से बढ़ता है कि यह अनंत पर स्थित पर्यवेक्षकों (observers at infinity) द्वारा सेमी-क्लासिकल स्पेसटाइम को आसानी से हेरफेर करने से सुरक्षित रखता है। ब्लैक होल केवल एक ब्रह्मांडीय वैक्यूम क्लीनर नहीं है; यह शुद्ध कम्प्यूटेशनल जटिलता से बना एक ब्रह्मांडीय फायरवॉल है।