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Impacting spheres: from liquid drops to elastic beads

यह अध्ययन एक सामान्य विस्कोइलास्टिक (viscoelastic) गोले के प्रत्यक्ष संख्यात्मक सिमुलेशन का उपयोग करके तरल बूंदों और लोचदार मोतियों (elastic beads) की प्रभाव गतिकी को एकीकृत करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि कैसे परिवर्तनशील लोच और विश्रांति समय (relaxation time) पैरामीटर वैगनर के तरल सिद्धांत और हर्ट्ज़ के ठोस सिद्धांत के बीच के अंतर को निरंतर रूप से पाटते हैं, जो विशिष्ट बल-स्केलिंग व्यवस्थाओं के माध्यम से एक सहज संक्रमण को प्रकट करता है।

मूल लेखक: Saumili Jana, John Kolinski, Detlef Lohse, Vatsal Sanjay

प्रकाशित 2026-04-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Saumili Jana, John Kolinski, Detlef Lohse, Vatsal Sanjay

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बारिश के तूफान में खड़े हैं। आप एक पत्ती पर पानी की एक बूंद को गिरते हुए देखते हैं। वह छपकर फैल जाती है, एक पैनकेक की तरह फैल जाती है, और फिर कभी-कभी वापस ऊपर उछल जाती है। अब, कल्पना कीजिए कि आप उसी पत्ती पर एक रबर की उछलने वाली गेंद (बौंसी बॉल) गिराते हैं। वह थोड़ा सा दबती है, उछलती है, और दूर उड़ जाती है।

लंबे समय तक, वैज्ञानिकों ने इन दोनों घटनाओं को पूरी तरह से अलग दुनिया माना।

तरल दुनिया (The Liquid World): यह फ्लूइड डायनेमिक्स (जैसे वाग्नर का सिद्धांत) द्वारा संचालित है, जहाँ बूंद चपटी होकर फैल जाती है।
ठोस दुनिया (The Solid World): यह इलास्टिसिटी (जैसे हर्ट्ज़ का सिद्धांत) द्वारा संचालित है, जहाँ गेंद दबती है और वापस उछलती है।

बड़ा सवाल: बीच में क्या होता है? क्या होगा यदि आपके पास एक "नरम/लचीला" (squishy) ऑब्जेक्ट हो जो आंशिक रूप से तरल और आंशिक रूप से ठोस हो? एक नरम जेल बॉल, जेली (Jell-O) का एक टुकड़ा, या एक स्ट्रेस बॉल के बारे में सोचें। क्या यह पानी की तरह छपकेगा या रबर की गेंद की तरह उछलेगा?

यह शोध पत्र इस बारे में है कि कैसे शोधकर्ताओं ने इन दो दुनियाओं के बीच एक पुल बनाया।

प्रयोग: "आकार बदलने वाला" (Shape-Shifter) बॉल

शोधकर्ताओं ने केवल पानी या रबर की गेंदें नहीं गिराईं। उन्होंने एक विस्कोइलास्टिक स्फीयर (viscoelastic sphere) का अनुकरण किया। आप इसे एक जादुई गेंद के रूप में सोच सकते हैं जो अपना व्यक्तित्व बदल सकती है।

यदि आप इसे एक तरफ से बदलते हैं, तो यह शहद (तरल) की तरह व्यवहार करती है।
यदि आप इसे दूसरी तरफ से बदलते हैं, तो यह रबर (ठोस) की तरह व्यवहार करती है।
इनके बीच में, यह एक जेल है जिसमें दोनों गुण हैं।

उन्होंने इन "आकार बदलने वाली" गेंदों को एक सतह पर गिराया और प्रभाव के बल (force) को मापा। इसे ऐसे समझें जैसे आप माप रहे हों कि गेंद जमीन से कितनी जोर से टकराती है।

प्रभाव के दो "व्यक्तित्व" (The Two "Personalities" of the Impact)

यह शोध पत्र दो चरम व्यवहारों की पहचान करता है, जैसे दो अलग-अलग नृत्य की मुद्राएं:

"छपकाना" वाला नृत्य (Liquid/Wagner):
जब गेंद बहुत अधिक तरल जैसी होती है, तो वह जमीन से टकराती है और तुरंत चपटी हो जाती है। यह बहुत तेजी से बगल की ओर फैलती है। बल का उछाल (force spike) बहुत तीखा होता है और स्पर्श के क्षण में ही होता है। यह एक पानी वाले गुब्बारे के दीवार से टकराकर फटने जैसा है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप दीवार पर एक गीला स्पंज फेंक रहे हैं। यह तुरंत फैल जाता है।

"उछलना" वाला नृत्य (Solid/HertZ):
जब गेंद बहुत अधिक ठोस जैसी होती है, तो वह जमीन से टकराती है, थोड़ा सा दबती है (एक स्प्रिंग की तरह), और फिर वापस ऊपर की ओर धक्का देती है। बल धीरे-धीरे बढ़ता है और सुचारू रूप से मुक्त होता है। यह एक ट्रैम्पोलिन की तरह है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक टेनिस बॉल गिराते हैं। यह थोड़ा सा दबेगी और फिर वापस उछलेगी।

गुप्त सामग्रियां: याददाश्त और कठोरता (The Secret Ingredients: Memory and Stiffness)

शोधकर्ताओं ने पाया कि दो मुख्य "नॉब" (नियंत्रक) यह तय करते हैं कि गेंद कौन सा नृत्य करेगी:

1. कठोरता का नॉब (Elasticity Number)
यह मापता है कि सामग्री कितनी "रबड़ी" (रबर जैसी) है तुलना में कि उसे कितनी जोर से फेंका जा रहा है।

कम कठोरता: गेंद पानी की तरह बहती है।
उच्च कठोरता: गेंद एक ठोस की तरह कार्य करती है।
खोज: जैसे-जैसे आप इस नॉब को "नरम" से "कठोर" की ओर घुमाते हैं, प्रभाव का बल एक शैली से दूसरी शैली में अचानक नहीं बदलता। यह सुचारू रूप से परिवर्तित होता है। यह एक डिमर स्विच की तरह है, न कि लाइट स्विच की तरह। आप देख सकते हैं कि "छपकाने" वाला नृत्य धीरे-धीरे "उछलने" वाले नृत्य में बदल रहा है।

2. याददाश्त का नॉब (Weissenberg Number)
यह सबसे दिलचस्प हिस्सा है। कल्पना कीजिए कि एक ऐसी सामग्री है जिसकी अपने आकार की "अल्पकालिक याददाश्त" (short-term memory) होती है।

कोई याददाश्त नहीं (तरल): यदि आप इसे दबाते हैं, तो यह तब तक दबा हुआ रहता है जब तक कि यह वापस बह न जाए। यह अपने मूल आकार को तुरंत भूल जाता है।
स्थायी याददाश्त (ठोस): यदि आप इसे दबाते हैं, तो इसे याद रहता है कि यह गोल था और यह तुरंत वापस अपने आकार में आने की कोशिश करता है।
खोज: शोधकर्ताओं ने दिखाया कि सामग्री के आकार को "याद रखने" की अवधि को समायोजित करके, वे प्रभाव को नियंत्रित कर सकते थे।
- यदि सामग्री की कोई याददाश्त नहीं है, तो यह तरल बूंद की तरह कार्य करती है।
- यदि इसकी स्थायी याददाश्त है, तो यह ठोस मनके (bead) की तरह कार्य करती है।
- यदि इसमें कुछ याददाश्त है, तो यह एक अजीब हाइब्रिड नृत्य करती है।

"सार्वभौमिक सूत्र" (The "Universal Formula")

इस शोध पत्र का सबसे अच्छा हिस्सा यह है कि वैज्ञानिकों ने केवल अवलोकन नहीं किया; उन्होंने एक एकल गणितीय रेसिपी लिखी जो इन किसी भी सामग्रियों के प्रभाव की भविष्यवाणी कर सकती है।

पानी के लिए एक अलग सूत्र और रबर के लिए पूरी तरह से अलग सूत्र के बजाय, उन्हें एक मास्टर फॉर्मूला मिला।

यदि आप इसमें "तरल" संख्या डालते हैं, तो यह तरल परिणाम देता है।
यदि आप इसमें "ठोस" संख्या डालते हैं, तो यह ठोस परिणाम देता है।
यदि आप इसमें "जेल" संख्या डालते हैं, तो यह बताता है कि वह जेल कितनी जोर से टकराएगा।

यह क्यों महत्वपूर्ण है?

आप सोच सकते हैं, "इससे किसे फर्क पड़ता है कि कोई चीज़ कितनी लचीली है?" लेकिन यह वास्तविक जीवन में हर जगह है:

इंकजेट प्रिंटिंग: कागज पर स्याही की बूंदों का गिरना।
स्प्रे कूलिंग: गर्म इंजनों पर पानी का छिड़काव करना।
चिकित्सा: शरीर में दवा से भरे जेल को डालना।
खेल: एक टेनिस बॉल या गोल्फ बॉल का रैकेट या क्लब से टकराना।
प्रकृति: मिट्टी पर बारिश का गिरना (क्षरण) या फोरेंसिक में रक्त के छींटों का विश्लेषण।

निष्कर्ष (The Takeaway)

यह शोध पत्र प्रभावों के लिए "आवर्त सारणी" (Periodic Table) खोजने जैसा है। पहले, हमें तरल पदार्थों और ठोस पदार्थों को अलग-अलग प्रजातियों के रूप में मानना पड़ता था। अब, हम जानते हैं कि वे केवल एक ही स्पेक्ट्रम के अलग-अलग बिंदु हैं। सामग्री की "कठोरता" और "याददाश्त" को समझकर, हम सटीक भविष्यवाणी कर सकते हैं कि जब वे किसी चीज़ से टकराएंगे, तो वे कैसे व्यवहार करेंगे, चाहे वह पानी की एक बूंद हो, जेल का एक गोला हो, या रबर की गेंद।

यह "चीजों के टकराने" की अराजक दुनिया को तरल से ठोस तक की एक अनुमानित और सुचारू यात्रा में बदल देता है।

यहाँ शोध पत्र "Impacting spheres: from liquid drops to elastic beads" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है:

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

कठोर सबस्ट्रेट्स (rigid substrates) पर गोलाकार निकायों का प्रभाव पारंपरिक रूप से दो अलग-अलग भौतिक सीमाओं के रूप में माना जाता है:

तरल बूंदें (Liquid Drops): ये जड़त्व (inertia) और पृष्ठीय तनाव (surface tension) द्वारा नियंत्रित होती हैं। प्रभाव के समय, वे फैलती हैं, सिकुड़ती हैं और संभावित रूप से उछलकर बाहर निकल जाती हैं। प्रभाव बल को शास्त्रीय रूप से वैगनर के सिद्धांत (Wagner's theory) द्वारा वर्णित किया जाता है, जो $F \sim \rho_l V_0^2 R_0^2$ के स्केलिंग का पूर्वानुमान लगाता है।
प्रत्यास्थ ठोस (Elastic Solids): ये प्रत्यास्थता (elasticity) और जड़त्व द्वारा नियंत्रित होते हैं। वे सूक्ष्म विरूपण (deformation) से गुजरते हैं और उछलते हैं। प्रभाव बल को हर्ट्ज़ के संपर्क सिद्धांत (Hertz's contact theory) द्वारा वर्णित किया जाता है, जो $F \sim G^{2/5} (\rho V_0^2 R_0^2)^{3/5}$ के स्केलिंग का पूर्वानुमान लगाता है।

प्रकृति और तकनीक (जैसे इंकजက် प्रिंटिंग, स्प्रे कूलिंग, हार्डनेस टेस्टिंग, खेल) में दोनों घटनाओं की व्यापकता के बावजूद, एक एकीकृत ढांचा (unifying framework) जो तरल बूंदों और प्रत्यास्थ ठोसों के बीच के अंतर को पाट सके, अब तक दुर्लभ रहा है। विशेष रूप से, विस्कोइलास्टिक मीडिया (सॉफ्ट जेल) के संबंध में समझ की कमी है, जिनमें चिप viscous flow और पुनः प्राप्त होने वाला elastic stress दोनों होते हैं, और यह कि उनके पदार्थ की 'मेमोरी' (material memory) प्रभाव बल को कैसे प्रभावित करती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक कठोर, गैर-संपर्क (superhydrophobic) सबस्ट्रेट पर एक विस्कोइलास्टिक गोले के प्रभाव को सिम्युलेट करने के लिए BASIL possible (BASILISK) कोड का उपयोग करके डायरेक्ट न्यूमेरिकल सिमुलेशन (DNS) का उपयोग करते हैं।

शासी समीकरण (Governing Equations): द्रव गतिशीलता को इनकम्प्रेसिबल नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का उपयोग करके मॉडल किया गया है, जो विस्कोइलास्टिक स्ट्रेस को वर्णित करने के लिए ओल्ड्रॉयड-बी (Oldroyd-B) कंस्ट्रक्टिव मॉडल के साथ जुड़े हुए हैं।
- विस्कस स्ट्रेस (Viscous Stress): न्यूटोनियन ( $\sigma_v$ )।
- इलास्टिक स्ट्रेस (Elastic Stress): एक कन्फर्मेशन टेंसर ( $A$ ) के माध्यम से मॉडल किया गया है जो एक विशिष्ट समय $\lambda$ के दौरान रिलैक्स होता है।
संख्यात्मक दृष्टिकोण (Numerical Approach):
- वॉल्यूम-ऑफ-फ्लुइड (VoF): एक 'वन-फ्लुइड' फॉर्मूलेशन तरल-गैस इंटरफेस को ट्रैक करता है।
- बाउंड्री कंडीशंस (Boundary Conditions): गैर-संपर्क स्थिति को दर्शाने के लिए दीवार पर एक पतली वायु कुशन (air cushion) बनाए रखी जाती है ( $\psi=0$ ), जिससे वेटिंग डायनेमिक्स (wetting dynamics) को स्पष्ट रूप से शामिल किए बिना वायु-मध्यस्थ संपर्क (air-mediated contact) को कैप्चर किया जा सके।
- एडैप्टिव मेश रिफाइनमेंट (AMR): इंटरफेस और संपर्क क्षेत्र के पास उच्च ग्रेडिएंट्स को हल करने के लिए क्वाडट्री ग्रिड का उपयोग किया जाता है।
डायमेंशनलेस पैरामीटर्स (Dimensionless Parameters): अध्ययन को चार प्राथमिक संख्याओं द्वारा नियंत्रित किया जाता है:
- वेबर संख्या ($We$): जड़त्व बनाम कैपिलरी बल।
  कैपिलरी बल बनाम इलास्टिक स्ट्रेस।
- डेबोरा संख्या ($De$): इलास्टिक रिलैक्सेशन टाइम बनाम इनर्टियो-कैपिलरी टाइम।
- **ओहनसोरज संख्या ($Oh $):** विस्कस डैम्पिंग को न्यूनतम करने के लिए इसे कम ($ 10^{-2}$) रखा गया है।
- व्युत्पन्न पैरामीटर्स (Derived Parameters):
  - इलास्टिसिटी नंबर ($El = Ec/We$): इलास्टिक स्ट्रेस की तुलना जड़त्वीय स्ट्रेस से।
  - वाइसनबर्ग नंबर ( $Wi = De\sqrt{We}$ ): इलास्टिक रिलैक्सेशन टाइम की तुलना प्रभाव की अवधि से (जो "पदार्थ की स्मृति" या material memory को मात्रात्मक रूप से दर्शाता है)।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

सीमाओं का एकीकरण (Unification of Limits): यह अध्ययन प्रभावक (impactor) को एक सामान्य विस्कोइलास्टिक माध्यम मानकर वैगनर के तरल प्रभाव सिद्धांत और हर्ट्ज़ के ठोस संपर्क सिद्धांत के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाटता है।
रेजीम की पहचान (Identification of Regimes): लेखक पैरामीटर स्पेस में प्रभाव गतिशीलता को मैप करते हैं, और इलास्टिक-मेमोरी लिमिट में तीन अलग-अलग रेजीम की पहचान करते हैं:
- कैपिलरी-डोमिनेटेड (Capillary-dominated): कम $We $, कम$ El$।
- वैगनर स्केलिंग (Wagner Scaling): तरल जैसा व्यवहार ( $El \lesssim 1$ )।
- हर्ट्ज़ स्केलिंग (Hertz Scaling): इलास्टिक-सॉलिड व्यवहार ( $El \gtrsim 1$ )।
भविdote मॉडल (Predictive Model): पीक इम्पैक्ट फोर्स ( $F_{max}$ ) के लिए एक एकीकृत विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति का विकास, जो इलास्टिसिटी नंबर ($El$) पर आधारित एक ट्रांजिशन फंक्शन का उपयोग करके तरल और ठोस सीमाओं के बीच सुचारू रूप से इंटरपोलेट करती है।
मेमोरी की भूमिका (Role of Memory): यह मात्रात्मक विश्लेषण कि कैसे वाइसनबर्ग नंबर ($Wi$) तरल-जैसे से ठोस-जैसे व्यवहार में संक्रमण को नियंत्रित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि "मेमोरी" (इलास्टिक स्ट्रेस का बने रहना) ही वह प्रमुख चर है जो सिस्टम को दोनों एसिम्प्टोटिक लिमिट्स के बीच स्थानांतरित करता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

A. इलास्टिक-मेमोरी लिमिट ( $Wi \to \infty$ )

जब पदार्थ पूरे प्रभाव के दौरान विरूपण मेमोरी बनाए रखता है (केल्विन-वोइग्ट सॉलिड के करीब):

तरल से ठोस में संक्रमण: जैसे-जैसे $El$ बढ़ता है, पीक फोर्स वैगनर प्लेटो से हर्ट्ज़ पावर लॉ की ओर सुचारू रूप से परिवर्तित होता है।
वैगनर रेजीम ( $El \lesssim 1$ ): पीक फोर्स स्थिर रहता है (उच्च $We $के लिए) या कैपिलैरिटी द्वारा सुधारा जाता है (कम$ We$ के लिए):
$\frac{F_{max}}{\rho_l V_0^2 R_0^2} \approx 3.24$
हर्ट्ज़ रेजीम ( $El \gtrsim 1$ ): पीक फोर्स इलास्टिसिटी नंबर पर निर्भर एक पावर लॉ का पालन करता है:
$\frac{F_{max}}{\rho_l V_0^2 R_0^2} \approx 5.3 El^{2/5}$
यह ऊर्जा संरक्षण से प्राप्त सैद्धांतिक हर्ट्ज़ भविष्यवाणी से मेल खाता है।
फोर्स प्रोफाइल (Force Profile): तरल प्रभाव एक असममित (asymmetric) फोर्स कर्व दिखाते हैं जिसमें दूसरा पीक (वर्थिंगटन जेट) होता है। इलास्टिक प्रभाव एक एकल, सममित (symmetric) पीक दिखाते हैं। विस्कोइलास्टिक प्रभाव $El$ बढ़ने के साथ आकार और समरूपता में सुचारू संक्रमण दिखाते हैं।

B. पदार्थ की स्मृति की भूमिका ($Wi$)

स्थिर $El $और$ We $पर$ Wi $को 0 (न्यूटनियन तरल) से$ \infty$ (इलास्टिक ठोस) तक बदलकर:

$Wi = 0$: पदार्थ एक न्यूटनियन तरल की तरह व्यवहार करता है; पीक फोर्स सैद्धांतिक इलास्टिक मॉड्यूल के बावजूद वैगनर स्केलिंग का पालन करता है।
$Wi \to \infty$ : पदार्थ एक इलास्टिक ठोस की तरह व्यवहार करता है; पीक फोर्स हर्ट्ज़ स्केलिंग का पालन करता है।
**मध्यवर्ती $Wi $:** वैगनर और हर्ट्ज़ सीमाओं के बीच का संक्रमण$ Wi $द्वारा नियंत्रित होता है। उच्च$ Wi $(लंबी मेमोरी) सिस्टम को कम कठोरता ($ El $) पर भी इलास्टिक स्केलिंग प्रदर्शित करने के लिए प्रेरित करता है, जबकि कम$ Wi$ इलास्टिक व्यवहार की शुरुआत में देरी करता है।

C. एकीकृत भविष्य कहनेवाला सूत्र (Unified Predictive Formula)

लेखक एक एकल समीकरण प्रस्तावित करते हैं जो सभी रेजीम में काम करता है:
$\frac{F_{max}}{\rho_l V_0^2 R_0^2} = 5.3 f(El) El^{2/5} + (1 - f(El)) \left( \frac{3.2}{We} + 3.24 \right)$
जहाँ $f(El) $एक सुचारू ट्रांजिशन फंक्शन है ($ \tanh $पर आधारित) जो$ El$ बढ़ने के साथ तरल टर्म से इलास्टिक टर्म की ओर भार को स्थानांतरित करता है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

सैद्धांतिक एकीकरण (Theoretical Unification): यह कार्य तरल बूंद प्रभाव और इलास्टिक सॉलिड संपर्क के अलग-अलग सिद्धांतों को एकीकृत करने वाला पहला व्यापक ढांचा प्रदान करता है, यह दिखाते हुए कि वे केवल एक ही विस्कोइलास्टिक महाजाल (continuum) की सीमाएं हैं।
इंजीनियरिंग अनुप्रयोग (Engineering Applications): इस प्रकार के निष्कर्ष विभिन्न सबस्ट्रेट्स पर बूंदों के प्रसार और उछाल को नियंत्रित करने के लिए महत्वपूर्ण हैं, जैसे:
- इंकजက် प्रिंटिंग और स्प्रे कोटिंग: विभिन्न सबस्ट्रेट्स पर बूंदों के फैलाव और उछाल को नियंत्रित करना।
- बायोमेडिकल इंजीनियरिंग: हाइड्रो जैल और सॉफ्ट टिश्यू (जैसे ड्रग डिलीवरी, टिश्यू इंजीनियरिंग) के प्रभाव को समझना।
- ग्रैनुलर मीडिया और स्पोर्ट्स: सॉफ्ट बॉल्स और सस्पेंशन में प्रभाव बलों की भविष्यवाणी करना।
नियंत्रित संक्रमण (Controlled Transition): अध्ययन दर्शाता है कि वाइसनबर्ग नंबर (रिलैक्सेशन टाइम) और इलास्टिसिटी नंबर (कठोरता) को ट्यून करके, आप प्रभाव के परिणाम को एक छलकने वाले तरल से उछलते हुए मोती (bouncing bead) में निरंतर नियंत्रित कर सकते हैं।
भावी दिशाएं (Future Directions): लेखक सुझाव देते हैं कि निकट-संपर्क भौतिकी को परिष्कृत करने के लिए भविष्य के कार्यों में फाइनाइट एक्सटेंसिबिलिटी (FENE-P मॉडल), डायनेमिक वेटिंग और गैस ल्यूब्रिकेशन प्रभावों को शामिल किया जाना चाहिए, हालांकि वर्तमान मॉडल प्रमुख स्केलिंग कानूनों को सफलतापूर्वक कैप्चर करता है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र स्थापित करता है कि सॉफ्ट स्फेयर्स का प्रभाव बल जड़त्वीय, कैपिलरी और इलास्टिक स्ट्रेस के बीच की प्रतिस्पर्धा द्वारा निर्धारित होता है, जहाँ पदार्थ की "मेमोरी" ($Wi$) तरल-जैसे से ठोस-जैसे डायनेमिक्स के बीच स्विच के रूप में कार्य करती है।