📈 economics

Valid Inference when Testing Violations of Parallel Trends for Difference-in-Differences

यह शोध पत्र सरल प्रारंभिक परीक्षणों और संगत विश्वास अंतराल (confidence intervals) का प्रस्ताव करता है जो एक "सशर्त निष्कर्षण धारणा" (conditional extrapolation assumption) पर भरोसा करते हुए पूर्व-उपचार रुझान उल्लंघनों को पश्चात-उपचार उल्लंघनों से जोड़कर, मौजूदा विधियों के पूर्वाग्रह और कवरेज संबंधी मुद्दों को दूर करते हुए डिफरेंस-इन-डिफरेंस अनुमानों के लिए वैध सांख्यिकीय अनुमान सुनिश्चित करते हैं।

मूल लेखक: Jonas M. Mikhaeil, Christopher Harshaw

प्रकाशित 2026-05-12

📖 7 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Jonas M. Mikhaeil, Christopher Harshaw

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ इस शोध पत्र का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों के साथ विवरण दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: "समानांतर रुझान" (Parallel Trends) की समस्या

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या एक नई दवा (इलाज/treatment) सिरदर्द को ठीक करती है। आपके पास दो समूह हैं:

उपचारित समूह (Treated Group): वे दवा लेते हैं।
नियंत्रण समूह (Control Group): वे चीनी की गोली (sugar pill) लेते हैं।

यह जानने के लिए कि दवा ने काम किया या नहीं, आपको यह जानने की ज़रूरत है कि यदि उपचारित समूह ने दवा नहीं ली होती, तो क्या होता। चूँकि आप भविष्य या "वैकल्पिक ब्रह्मांड" को नहीं देख सकते, इसलिए आप एक अनुमान लगाते हैं: समानांतर रुझान धारणा (Parallel Trends Assumption)।

धारणा: आप यह मान लेते हैं कि, बिना दवा के, उपचारित समूह के सिरदर्द में सुधार (या गिरावट) ठीक उसी दर से होता जैसे नियंत्रण समूह के सिरदर्द में होता। यदि दवा लेने से पहले ग्राफ पर उनकी रेखाएँ समानांतर चल रही थीं, तो आप मानते हैं कि वे बाद में भी समानांतर ही रहतीं।

समस्या: "प्री-टेस्ट" का जाल

वास्तविक दुनिया में, शोधकर्ता अक्सर दवा देने से पहले डेटा देखते हैं ताकि यह देख सकें कि क्या दोनों समूह वास्तव में समानांतर चल रहे थे।

यदि रेखाएँ समानांतर दिखती हैं: "बहुत बढ़िया! धारणा सही है। चलिए प्रभाव की गणना करते हैं।"
यदि रेखाएँ टेढ़ी-मेढ़ी (wobbly) दिखती हैं: "ओह! धारणा टूट सकती है। शायद हमें अपने परिणामों पर भरोसा नहीं करना चाहिए।"

पेंच: शोधों की एक हालिया लहर ने दिखाया है कि इस "प्री-चेक" को करने और फिर यह तय करने से कि क्या रिपोर्ट करना है, एक सांख्यिकीय गड़बड़ी पैदा होती है। यह एक ऐसे रेफरी की तरह है जो खिलाड़ी को केवल तभी खेलने देता है जब वह बेईमानी करता हुआ न दिखे, लेकिन फिर दौड़ का समय मापने के लिए एक टूटी हुई स्टॉपवॉच का उपयोग करता है। अंतिम परिणाम पक्षपाती हो जाते हैं, कॉन्फिडेंस इंटरवल (त्रुटि की सीमा) बहुत छोटी हो जाती है, और हो सकता है कि आपको लगे कि आपने कोई इलाज खोज लिया है जबकि आपने नहीं खोजा।

समाधान: एक नया नियमकोश

इस शोध पत्र के लेखक इस "प्री-चेक" को संभालने का एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं ताकि गणित सही ढंग से काम करे। वे एक अवधारणा पेश करते हैं जिसे कंडीशनल एक्सट्रपलेशन धारणा (Conditional Extrapolation Assumption) कहा जाता है।

उपमा: मौसम विज्ञानी (Weather Forecaster)

कल्पना कीजिए कि आप एक मौसम विज्ञानी हैं जो यह भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं कि कल बारिश होगी या नहीं (उपचार के बाद का काल)। आप आज और कल के मौसम को देखते हैं (उपचार से पहले का काल)।

पुराना तरीका (क्लासिकल DID): आप मानते हैं कि यदि कल बारिश नहीं हुई थी, तो कल भी नहीं होगी। आप यह नहीं देखते कि हवा अजीब तरह से चल रही है या नहीं।
"खराब" प्री-टेस्ट वाला तरीका: आप हवा की जाँच करते हैं। यदि हवा शांत दिखती है, तो आप बारिश की भविष्यवाणी करते हैं। यदि तूफान जैसा दिखता है, तो आप रुक जाते हैं। लेकिन आपका भविष्यवाणी उपकरण केवल शांत दिनों पर ही काम करता है और खराब हो जाता है।
लेखकों का नया तरीका: वे कहते हैं, "यदि आज हवा पर्याप्त रूप से शांत है (एक विशिष्ट सीमा से नीचे), तो हम मानते हैं कि कल की हवा आज से बदतर नहीं होगी।"

यही कंडीशनल एक्सट्रपलेशन धारणा है। यह यह वादा नहीं करता कि कल हवा शांत होगी; यह केवल यह वादा करता है कि यदि आज हवा इतनी शांत है कि वह टेस्ट पास कर ले, तो कल कोई तूफान नहीं आएगा।

व्यवहार में यह कैसे काम करता है

1. "गंभीरता परीक्षण" (द गेटकीपर)
किसी भी गणित को करने से पहले, शोधकर्ता उपचार से पहले रेखाओं के कितने "टेढ़े-मेढ़े" (wobbly) होने का परीक्षण करता है।

वे "टेढ़ेपन" (wobble) को मापने के लिए एक "सेवेरिटी स्कोर" (severity score) की गणना करते हैं।
वे इस स्कोर की तुलना एक पूर्व-निर्धारित थ्रेशोल्ड (Threshold) (जिसे हम "स्वीकार्य टेढ़ापन सीमा" कह सकते हैं) से करते हैं।
यदि स्कोर सीमा से नीचे है: टेस्ट पास हो जाता है। शोधकर्ता आगे बढ़ने के लिए स्वतंत्र है।
यदि स्कोर सीमा से ऊपर है: टेस्ट फेल हो जाता है। शोधकर्ता को रुकना होगा और कहना होगा, "हम इस पद्धति पर भरोसा नहीं कर सकते क्योंकि समूह शुरुआत में ही बहुत अलग थे।"

2. "टेढ़ा-मेढ़ा" कॉन्फिडेंस इंटरवल (Wobbly Confidence Interval)
यदि टेस्ट पास हो जाता है, तो शोधकर्ता उपचार के प्रभाव की गणना करता है। लेकिन यहाँ चतुराई भरा हिस्सा है: वे केवल एक छोटी, सटीक रेखा नहीं खींचते।

वे एक चौड़ा कॉन्फिडेंस इंटरवल (त्रुटि की बड़ी सीमा) खींचते हैं।
क्यों? क्योंकि वे जानते हैं कि थोड़ा बहुत टेढ़ापन था, भले ही वह बहुत कम था। वे इस संभावना को ध्यान में रखते हुए कि टेढ़ापन कल थोड़ा बढ़ सकता है, गणित में एक "सुरक्षा बफर" जोड़ते हैं।
यदि उपचार से पहले का टेढ़ापन बहुत कम था, तो अंतराल संकीर्ण (narrow) होता है।
यदि उपचार से पहले का टेढ़ापन ध्यान देने योग्य था (लेकिन फिर भी टेस्ट पास कर गया), तो सुरक्षा के लिए अंतराल चौड़ा हो जाता है।

यह बेहतर क्यों है

यह शोध पत्र तर्क देता है कि यह तरीका "टूटी हुई स्टॉपवॉच" की समस्या को ठीक करता है।

यह अनिश्चितता को स्वीकार करता है: उपचार से पहले के डेटा को पूर्ण मानने के बजाय, यह खामियों को मापता है और उन्हें अंतिम त्रुटि मार्जिन में जोड़ देता है।
यह झूठे आत्मविश्वास को रोकता है: यदि उपचार से पहले के समूह बहुत अलग थे, तो यह परीक्षण आपको कोई दावा करने से ही रोक देता है, बजाय इसके कि आप गलत तरीके से बहुत छोटी त्रुटि सीमा के साथ दावा करें।
यह अंतर्ज्ञान को औपचारिक बनाता है: यह उस "अंतर्ज्ञान" (gut feeling) को एक कठोर गणितीय नियम में बदल देता है जो शोधकर्ताओं के मन में तब आता है जब वे ग्राफ देखते हैं और कहते हैं, "यह ठीक लग रहा है, लेकिन पूर्ण नहीं।"

शोध पत्र में उपयोग किए गए वास्तविक उदाहरण

लेखकों ने इसे दो वास्तविक परिदृश्यों पर परखा:

वियतनाम सार्वजनिक सेवाएँ: उन्होंने देखा कि क्या सेवाओं के पुनर्गठन (recentralizing) ने स्कूलों और पानी जैसी चीजों में सुधार किया।
- परिणाम: स्कूलों और पानी के लिए, "टेढ़ापन" इतना कम था कि टेस्ट पास हो गया, इसलिए उन्होंने व्यापक, सुरक्षित कॉन्फिडेंस इंटरवल के साथ परिणाम दर्ज किए। कृषि केंद्रों के लिए, "टेढ़ापन" बहुत अधिक था, इसलिए उन्होंने सही ढंग से कोई दावा करने से इनकार कर दिया।
वर्जीनिया में 'राइट-टू-कैरी' कानून: उन्होंने देखा कि क्या बंदूक रखने की अनुमति देने से अपराध दर में बदलाव आया।
- परिणाम: "हमले" (assault) की दरों को देखते समय, कानून बदलने से पहले समूह बहुत अलग दिशाओं में जा रहे थे। टेस्ट फेल हो गया, और वे रुक गए। हत्या (murder) की दरों को देखते समय, समूह एक-दूसरे के करीब थे, इसलिए वे अपने समायोजित, व्यापक इंटरवल के साथ आगे बढ़े।

निष्कर्ष (The Bottom Line)

यह शोध पत्र "डिफरेंस-इन-डिफरेंस" (Difference-in-Differences) पद्धति का उपयोग करने वाले शोधकर्ताओं के लिए एक नया टूलकिट प्रदान करता है। यह कहता है: "केवल यह न देखें कि आपके समूह समानांतर दिख रहे हैं या नहीं और फिर उस जांच को अनदेखा न करें। इसके बजाय, सटीक रूप से मापें कि वे कितने अलग हैं, स्वीकार्य सीमा निर्धारित करें, और यदि वे पास हो जाते हैं, तो उस विचलन को ध्यान में रखते हुए एक बड़े सुरक्षा मार्जिन के साथ अपने परिणाम प्रस्तुत करें।"

यह सुनिश्चित करता है कि जब कोई अध्ययन कहता है "हमें एक प्रभाव मिला," तो हम इस बात पर भरोसा कर सकें कि उसके पीछे का गणित उस प्रक्रिया से टूटा नहीं है जिसमें डेटा की पहले से जाँच की गई थी।

तकनीकी सारांश: डिफरेंस-इन-डिफरेंस के लिए पैरेलल ट्रेंड्स (समानांतर रुझान) के उल्लंघन के परीक्षण करते समय वैध अनुमान (Valid Inference)

समस्या विवरण
डिफरेंस-इन-डिफरेंस (DID) डिज़ाइन अनकन्फाउंडिंग (अज्ञात भ्रम) की उपस्थिति में कारण प्रभाव (causal effect) का अनुमान लगाने के लिए एक प्राथमिक रणनीति है, जो महत्वपूर्ण रूप से 'पैरेलल ट्रेंड्स' (समानांतर रुझान) धारणा पर निर्भर करती है। जबकि यह धारणा काउंटरफैक्चुअल (प्रति-तथ्यात्मक) और उपचार-पश्चात अवधि के लिए परीक्षण योग्य नहीं है, शोधकर्ता रुझान उल्लंघनों की जांच करने के लिए नियमित रूप से उपचार-पूर्व अवधियों का परीक्षण करते हैं। हालाँकि, हालिया साहित्य (जैसे, Freyaldenhoven, Hansen, and Shapiro, 2019; Roth, 2022) ने प्रदर्शित किया है कि पैरेलल ट्रेंड्स को मान्य करने के लिए पारंपरिक प्रारंभिक परीक्षणों (preliminary tests) का उपयोग करने से बाद के अनुमानों में गंभीर सांख्यिकीय कमियां आती हैं, जिसमें बायस (पक्षपात), लो पावर (कम शक्ति), और कॉन्फिडेंस इंटरवल का अंडरकवरेज (कम कवरेज) शामिल है। व्यावहारिक शोधकर्ताओं के सामने एक दुविधा है: प्रारंभिक परीक्षण अनुसंधान डिजाइन की संभाव्यता का आकलन करने के लिए सहज रूप से आवश्यक हैं, फिर भी मानक सांख्यिकीय विधियाँ ऐसे परीक्षणों के परिणामों पर आधारित होने पर विफल हो जाती हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक नया अनुमान (assumption) पेश करके एक ढांचा प्रस्तावित करते हैं जो प्रारंभिक परीक्षण के अंतर्निहित तर्क को औपचारिक रूप देता है और संबंधित अनुमान प्रक्रियाओं को व्युत्पन्न करता है।

कंडीशनल एक्सट्रपलेशन अज़म्प्शन (सशर्त बहिर्वेशन धारणा):
मुख्य सैद्धांतिक योगदान "कंडीशनल एक्सट्रपलेशन अज़म्प्शन" है। शास्त्रीय पैरेलल ट्रेंड्स धारणा (जो शून्य उल्लंघन मानती है) या आंशिक पहचान धारणाओं (जो उपचार-पूर्व उल्लंघनों को उपचार-पश्चात उल्लंघनों के लिए बिना शर्त सीमाबद्ध मानती हैं) के विपरीत, यह धारणा एक सशर्त संबंध मानती है:
- यदि उपचार-पूर्व पैरेलल ट्रेंड उल्लंघन की गंभीरता ( $S_{pre}$ ) एक पूर्व-निर्धारित स्वीकार्य सीमा ( $M$ ) से नीचे है, तो उपचार-पश्चात उल्लंघन की गंभीरता ( $S_{post}$ ) $S_{pre}$ द्वारा सीमित होगी (अर्थात, $S_{post} \leq S_{pre}$ )।
- यदि $S_{pre} > M$ है, तो $S_{post}$ पर किसी भी सीमा का औचित्य नहीं है, और DID डिज़ाइन को अनुपयुक्त माना जाता है।
  यहाँ, गंभीरता को पुनरावृत्ति पैरेलल ट्रेंड उल्लंघनों ( $R(t)$ ) के $L_p$ नॉर्म के रूप में मापा जाता है।
प्रारंभिक परीक्षण (Preliminary Test):
लेखक यह निर्धारित करने के लिए एक सरल प्रारंभिक परीक्षण प्रस्तावित करते हैं कि क्या एक्सट्रपलेशन की स्थिति बनी हुई है ( $S_{pre} \leq M$ )। परीक्षण सांख्यिकीय उपचार-पूर्व उल्लंघन की अनुमानित गंभीरता ( $\hat{S}_{pre}$ ) है। परीक्षण एक्सट्रपलेशन की स्थिति को तब खारिज करता है जब $\hat{S}_{pre} \geq M$ हो।
- एसिम्प्टोटिक कंसिस्टेंसी (अनंतस्पर्शी निरंतरता): यह दिखाया गया है कि यह परीक्षण एक "सेपरेशन कंडीशन" (पृथक्करण स्थिति) के तहत एसिम्प्टोटिक रूप से सुसंगत है। विशेष रूप से, यदि वास्तविक $S_{pre}$ , सीमा $M$ से एक अनुक्रम $s_n$ द्वारा अलग है, जहाँ $s_n = \omega(n^{-1/2})$ , तो टाइप I और टाइप II दोनों त्रुटियां $n \to \infty$ होने पर समाप्त हो जाती हैं। यह पारंपरिक परिकल्पना परीक्षण से भिन्न है, जो एक निश्चित टाइप I एरर स्तर पर टाइप II एरर को कम करने का प्रयास करता है; इसके बजाय, यह परीक्षण अच्छी तरह से अलग (well-separated) व्यवस्थाओं में निरंतरता को प्राथमिकता देता है।
कंडीशनली वैलिड कॉन्फिडेंस इंटरवल (सशर्त वैध विश्वास अंतराल):
यदि प्रारंभिक परीक्षण पास हो जाता है (अर्थात, एक्सट्रपलेशन की स्थिति सत्य घोषित की जाती है), तो लेखक एवरेज ट्रीटमेंट इफेक्ट ऑन द ट्रीटेड (ATT) के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल का निर्माण करते हैं।
- संरचना: यह अंतराल मानक DID एस्टीमेटर ( $\hat{\tau}_{DD}$ $\overset{τ}{^}_{D D}$ ) पर केंद्रित है, लेकिन इसे संभावित बायस (पक्षपात) को ध्यान में रखते हुए बढ़ाया गया है। इसकी चौड़ाई में दो घटक शामिल हैं:
  1. एक बायस टर्म: $\kappa \cdot \hat{S}_{pre}$ , जहाँ $\kappa$ उपचार-पश्चात अवधि की लंबाई और $p$ -norm के चुनाव से प्राप्त एक स्थिरांक है। यह पद प्रपोजिशन 3.1 से प्राप्त बायस के तीक्ष्ण ऊपरी बाउंड (sharp upper bound) का प्रतिनिधित्व करता है।
  2. एक सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव टर्म: $f(\alpha, \hat{\Sigma}) / \sqrt{n}$ , जो DID एस्टीमेटर और गंभीरता अनुमान की संयुक्त अनिश्चितता को ध्यान में रखता है।
- वैधता: थ्योरम 5.1 स्थापित करता है कि ये अंतराल नाममात्र कवरेज ( $1-\alpha$ ) प्राप्त करते हैं, बशर्ते कि डेटा जनरेटिंग प्रोसेस 'सेपरेशन कंडीशन' को पूरा करती हो।

प्रमुख परिणाम

कंसिस्टेंसी (निरंतरता): प्रस्तावित प्रारंभिक परीक्षण उन परिकल्पनाओं को अलग करने के लिए एसिम्प्टोटिक रूप से सुसंगत है जहाँ उपचार-पूर्व उल्लंघन की गंभीरता, सीमा से पर्याप्त दूर है।
कंडीशनल कवरेज (सशर्त कवरेज): प्रस्तावित कॉन्फिडेंस इंटरवल परीक्षण पास होने की घटना पर सशर्त रूप से वैध कवरेज प्रदान करते हैं। यह उन समस्याओं का समाधान करता है जो मानक प्री-टेस्ट के आधार पर निर्णय लेने से उत्पन्न होती हैं।
इंटरवल विड्थ बिहेवियर (अंतराल की चौड़ाई का व्यवहार): कॉन्फिडेंस इंटरवल की चौड़ाई $\max(S_{pre}, n^{-1/2})$ $max (S_{p r e}, n^{- 1/2})$ के रूप में स्केल करती है।
- यदि उपचार-पूर्व उल्लंघन "उपस्थित लेकिन नगण्य" (क्रम $n^{-1/2}$ ) हैं, तो अंतराल की चौड़ाई मानक पैरामीट्रिक दर ( $n^{-1/2}$ ) पर अभिसरित होती है।
- यदि उल्लंघन गैर-नगण्य (क्रम $O(1)$ ) हैं, तो अंतराल की चौड़ाई स्थिर रहती है, जो निरंतर बायस बाउंड को दर्शाती है।
वैलिड रिपोर्टिंग की प्रायिकता: थ्योरम 5.2 दिखाता है कि परीक्षण पास होने और अंतराल में वास्तविक प्रभाव होने (वैध रिपोर्टिंग) की संयुक्त प्रायिकता भी वेल-सेपरेटेड नल के तहत नाममात्र स्तर पर अभिसरित होती है।

अनुभवजन्य चित्रण (Empirical Illustrations)
लेखक अपने तरीकों को निम्नलिखित के माध्यम से मान्य करते हैं:

सिंथेटिक सिमुलेशन: यह प्रदर्शित करना कि जब एक्सट्रपलेशन की स्थिति सत्य होती है, तो उनके अंतराल का कंडीशनल कवरेज नाममात्र स्तर पर बना रहता है, जबकि पारंपरिक अंतराल अंडरकवर करते हैं। सिमुलेशन यह भी दिखाते हैं कि अंतराल की चौड़ाई उपचार-पूर्व अवधियों ( $T_{pre}$ ) की संख्या और गंभीरता पैरामीटर ( $p$ ) के साथ कैसे स्केल करती है।
वियतनाम रीसेंट्रलाइजेशन डेटा: मेलस्की, नगुयेन और ट्रान (2014) का पुन: विश्लेषण। प्रारंभिक परीक्षण गंभीर उपचार-पूर्व रुझान उल्लंघनों वाले परिणामों (कृषि केंद्रों) के लिए एक्सट्रपलेशन की स्थिति को सही ढंग से खारिज करता है, जिससे अमान्य निष्कर्ष से बचाव होता है, जबकि मामूली उल्लंघनों के लिए व्यापक और वैध अंतराल प्रदान करता है।
राइट-टू-कैरी लॉज़ (वर्जीनिया/मैरीलैंड): इटरेटिव बनाम ओवरऑल उल्लंघनों की तुलना करने वाला एक अर्ध-सिंथेटिक चित्रण। परिणाम दर्शाते हैं कि उल्लंघन मेट्रिक (इटरेटिव $R(t)$ बनाम ओवरऑल $\Delta(t)$ ) और थ्रेशोल्ड $M$ का चुनाव इस बात पर महत्वपूर्ण प्रभाव डालता है कि एक्सट्रपलेशन की स्थिति को स्वीकार किया जाएगा या नहीं और परिणामी अंतराल की चौड़ाई क्या होगी।

महत्व और दावे
यह पेपर दावा करता है कि यह उस पहले औपचारिक अनुमान (कंडीशनल एक्सट्रपलेशन) को प्रस्तुत करता है जो प्रारंभिक परीक्षण को आवश्यक बनाता है, जिससे एक ऐसी सामान्य अनुभवजन्य पद्धति को सैद्धांतिक औचित्य मिलता है जिसे पहले मानक अनुमानों को विफल करने वाला माना गया था।

औपचारिकीकरण: यह उस अंतर्निहित धारणा को औपचारिक रूप देता है जिसे शोधकर्ता तब अपनाते हैं जब वे उपचार-पूर्व रुझानों को "स्वीकार्य" देखने के बाद ही DID विश्लेषण के साथ आगे बढ़ने का निर्णय लेते हैं।
उपचार: यह "प्री-टेस्ट पैराडॉक्स" (पूर्व-परीक्षण विरोधाभास) के लिए एक व्यावहारिक समाधान प्रदान करता है, जो परीक्षण के परिणाम पर आधारित होने के बाद भी वैध अनुमान प्रदान करता है, बशर्ते कि सेपरेशन कंडीशन पूरी हो।
विनम्रता: लेखक स्वीकार करते हैं कि 'कंडीशनल एक्सट्रपलेशन अज़म्प्शन' एक काउंटरफैक्चुअल और अप्रतिबंधित धारणा है, जो पैरेलल ट्रेंड्स धारणा के समान है। वे यह दावा नहीं करते कि वे इस धारणा को सत्यापित करते हैं, बल्कि वे एक ऐसा ढांचा प्रदान करते हैं जहाँ, यदि यह धारणा सत्य है और उपचार-पूर्व उल्लंघन पर्याप्त रूप से छोटे (सीमा से अलग) हैं, तो वैध अनुमान संभव है। वे यह भी स्पष्ट करते हैं कि उनके परिणाम सेपरेशन कंडीशन पर निर्भर हैं, जिसका अर्थ है कि मामलों में जहाँ उल्लंघन $M$ के अत्यंत निकट हैं, वहां अनुमान की गारंटी नहीं है।

पेपर यह सुझाव देते हुए समाप्त होता है कि भविष्य के कार्य इन प्रक्रियाओं को स्टैगर्ड एडॉप्शन डिज़ाइन्स और वैकल्पिक पहचान रणनीतियों तक विस्तारित कर सकते हैं, लेकिन इस बात पर जोर देते हैं कि वर्तमान योगदान ब्लॉक-एडॉप्शन DID डिज़ाइन्स में प्रारंभिक परीक्षण के तर्क का एक औपचारिक रूप प्रदान करना है।