Boltzmann-Kolmogorov equation

एक विशाल, अदृश्य बॉलरूम की कल्पना करें जो अरबों नाचते हुए कणों से भरा हुआ है। यह शोध पत्र इन नर्तकों के नाचने और आपस में जुड़ने के तरीके के लिए एक "नियम पुस्तिका" (rulebook) लिखने के बारे में है, जो विशेष रूप से इस बात पर केंद्रित है कि कमरे का समग्र "मिजाज" या अव्यवस्था समय के साथ कैसे बदलती है।

यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके शोध पत्र के विचारों का विवरण दिया गया है:

1. पूरी तरह से अलग-थलग कमरा (माइ्रोकैनोनिकल केस)

सबसे पहले, लेखक एक ऐसे बॉलरूम को देखते हैं जो बाहरी दुनिया से पूरी तरह से सील है। कोई ऊर्जा अंदर नहीं आ सकती और न ही बाहर जा सकती है; यह एक बंद प्रणाली (closed system) है।

• नियम: इस कमरे में, कुल ऊर्जा एक बंद बैंक खाते में जमा एक निश्चित राशि की तरह है। यह ऊर्जा नर्तकों के बीच इधर-उधर हो सकती है, लेकिन कुल योग कभी नहीं बदलता।
• पुरानी नियम पुस्तिका (लियोविली): एक पुरानी नियम पुस्तिका थी (लियोविली समीकरण) जिसने कहा था कि यदि आप जानते हैं कि प्रत्येक नर्तक कहाँ से शुरू हुआ था, तो आप उनके पथ की हमेशा सटीक भविष्यवाणी कर सकते हैं। हालाँकि, इस पुरानी नियम पुस्तिका में एक दोष था: इसने दावा किया कि कमरे की "अव्यवस्था" (एन्ट्रॉपी) कभी नहीं बदलती। यह ऐसा कहने जैसा है कि एक बिखरा हुआ कमरा उतना ही बिखरा हुआ रहेगा जितना कि वह आपके कमरे में प्रवेश करते समय था, जो हमारे वास्तविक दुनिया के अनुभव से मेल नहीं खाता, जहाँ चीजें समय के साथ अधिक अस्त-व्यस्त होती जाती हैं।
• नई नियम पुस्तिका (बोल्ट्ज़मैन-कोलमोगोरोव): लेखक एक नई समीकरण प्रस्तावित करते हैं। यह वास्तविक जीवन से सहमत है: यह भविष्यवाणी करता है कि कमरा स्वाभाविक रूप से अधिक अस्त-व्यस्त (एन्ट्रॉपी बढ़ना) होगा जब तक कि वह गिब्स माइ्रोकैनोनिकल वितरण नामक "अधिकतम अराजकता" की स्थिति तक नहीं पहुँच जाता। इसे एक प्राकृतिक, अराजक नृत्य के रूप में समझें जहाँ नर्तकों की हर संभव व्यवस्था समान रूप से संभावित है।

2. भीड़ को सरल बनाना (बोल्ट्ज़मैन समीकरण का व्युत्पत्ति)

अरबों नर्तकों को व्यक्तिगत रूप से संभालना असंभव है। इसलिए, लेखक एक चतुर शॉर्टकट का उपयोग करते हैं।

• उपमा: हर एक व्यक्ति की अनूठी नृत्य मुद्रा को ट्रैक करने के बजाय, वे मान लेते हैं कि भीड़ स्वतंत्र व्यक्तियों के एक संग्रह की तरह व्यवहार करती है। वे कल्पना करते हैं कि समूह केवल कई एकल-व्यक्ति व्यवहारों का एक उत्पाद है।
• परिणाम: इस सरलीकरण को करके, वे सफलतापूर्वक प्रसिद्ध बोल्ट्ज़मैन समीकरण को फिर से बनाते हैं जिसका उपयोग गतिज सिद्धांत (kinetic theory) में किया जाता है। यह एक जटिल, अराजक भीड़ के दृश्य को यह समझने जैसा है कि औसत रूप से, भीड़ बिल्कुल वैसे ही चलती है जैसे आपस में टकराने वाले व्यक्तिगत कणों की गैस।

3. खुली खिड़की (कैनोनिकल केस)

अंत में, लेखक बॉलरूम में एक खिड़की खोल देते हैं ताकि बाहरी दुनिया को अंदर आने दिया जा सके। अब, कमरा ऊर्जा का आदान-प्रदान करने के लिए पर्यावरण के साथ एक "खुली प्रणाली" (open system) है।

• नया परिदृश्य: कमरा अब बाहरी दुनिया के साथ संतुलन की स्थिति तक पहुँच सकता है, जिसे गिब्स कैनोनिकल वितरण द्वारा वर्णित किया गया है।
• स्थिर अवस्था (Steady State): भले ही कमरा पूरी तरह से संतुलित न हो, नया समीकरण एक ऐसी "स्थिर अवस्था" का वर्णन कर सकता है जहाँ कमरा लगातार व्यस्त रहता है। कल्पना कीजिए कि एक डांस फ्लोर जहाँ लोग लगातार अंदर आ रहे हैं और बाहर जा रहे हैं, या जहाँ ऊर्जा लगातार अंदर और बाहर पंप की जा रही है। इस परिदृश्य में, प्रणाली स्थिर नहीं है; यह अपनी सक्रियता बनाए रखने के लिए निरंतर "अव्यवस्था" (एन्ट्रॉपी) पैदा कर रही है।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र कणों के समूहों के विकास का वर्णन करने के लिए एक नया गणितीय उपकरण पेश करता है।

1. यह एक पुरानी समस्या को ठीक करता है और दिखाता है कि कैसे एक बंद प्रणाली में अव्यवस्था स्वाभाविक रूप से बढ़ती है (पुरानी थ्योरी के विपरीत जो कहती थी कि यह जमी हुई रहती है)।
2. यह गैस के मानक नियमों को निकालने के लिए जटिल भीड़ों को सरल बनाता है।
3. यह खुली प्रणालियों के लिए सिद्धांत का विस्तार करता है, यह समझाता है कि कैसे चीजें बाहरी दुनिया के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करते हुए एक निरंतर, सक्रिय "स्थिर अराजकता" की स्थिति में रह सकती हैं।