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How elasticity affects bubble pinch-off

यह अध्ययन प्रकट करता है कि विस्कोइलास्टिक बूंदों के विपरीत, जो विचलनशील बहुलक प्रतिबल (diverging polymer stresses) के कारण स्थिर करने वाले धागे बनाती हैं, विरल बहुलक विलयनों में बुलबुले ऐसे धागे विकसित नहीं करते हैं क्योंकि बहुलक प्रतिबल का विचलन काफी कमजोर होता है, जहाँ धागे का निर्माण केवल उच्च बहुलक सांद्रता पर ही होता है जहाँ सुई का आकार एक महत्वपूर्ण कारक बन जाता है।

मूल लेखक: Coen I. Verschuur (Physics of fluids department, University of Twente, Enschede, The Netherlands), Alexandros T. Oratis (Physics of fluids department, University of Twente, Enschede, The Netherlands)

प्रकाशित 2026-04-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Coen I. Verschuur (Physics of fluids department, University of Twente, Enschede, The Netherlands), Alexandros T. Oratis (Physics of fluids department, University of Twente, Enschede, The Netherlands), Vatsal Sanjay (Physics of fluids department, University of Twente, Enschede, The Netherlands), Jacco H. Snoeijer (Physics of fluids department, University of Twente, Enschede, The Netherlands)

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: बुलबुले बनाम बूंदें (Bubbles vs. Drops)

कल्पना कीजिए कि आप एक नल से गिरती पानी की बूंद को देख रहे हैं। जैसे ही वह गिरने के लिए तैयार होती है, वह टूटने से पहले एक लंबी, पतली गर्दन में खिंच जाती है। अब, कल्पना कीजिए कि पानी के बीच से एक बुलबुला ऊपर उठ रहा है। जैसे ही वह सतह तक पहुँचता है, फूटने से पहले वह हवा की एक पतली गर्दन बनाता है।

भौतिक विज्ञान (physics) की दुनिया में, ये दोनों घटनाएँ दिखने में समान हैं, लेकिन वास्तव में वे बहुत अलग 'कजिन' (रिश्तेदार) हैं। वैज्ञानिकों ने दशकों तक इस बात का अध्ययन किया है कि बूंदें (drops) कैसे टूटती हैं, विशेष रूप से तब जब पानी में लंबे, खिंचाव वाले अणुओं (पॉलिमर्स) का मिश्रण हो, जैसे कि शैम्पू या स्लाइम में पाए जाते हैं। वे जानते हैं कि यदि आप इन पॉलिमर्स को एक गिरती हुई बूंद में मिलाते हैं, तो बूंद केवल टूटती नहीं है; बल्कि वह एक लंबे, पतले धागे में खिंच जाती है जो टूटने से इनकार कर देता है, जैसे कि खींचे जाने वाले टॉफी (taffy) का होता है।

बड़ा सवाल: क्या होगा अगर आप यही चीज़ एक बुलबुले (bubble) के साथ करें? क्या बुलबुला भी हवा का एक लंबा, अटूट धागा बन जाएगा?

प्रयोग: "बबल पॉप" टेस्ट

यूनिवर्सिटी ऑफ ट्वेंटे के शोधकर्ताओं ने यह पता लगाने का फैसला किया। उन्होंने एक हाई-स्पीड कैमरा सेट किया (जो प्रति सेकंड 4,00,000 तस्वीरें लेता है!) ताकि विभिन्न तरल पदार्थों में सुई से फूटते बुलबुलों को देखा जा सके:

सादा पानी (न्यूटोनियन फ्लूइड)।
थोड़े से खिंचाव वाले पॉलिमर वाला पानी (डाइल्यूट सॉल्यूशन)।
बहुत अधिक खिंचाव वाले पॉलिमर वाला पानी (कन्सेंट्रेटेड सॉल्यूशन)।

उन्होंने यह देखने के लिए सुई का आकार भी बदला कि क्या इससे कोई फर्क पड़ता है।

आश्चर्य: "गायब धागा" (The Missing Thread)

यहाँ एक मोड़ है: बुलबुले बूंदों की तरह व्यवहार नहीं करते हैं।

बूंदों के मामले में: पॉलिमर की थोड़ी सी मात्रा भी बूंद को एक लंबे, पतले धागे में बदल देती है जो कुछ समय तक लटका रहता है। यह ऐसा है जैसे पानी में थोड़ा सा गोंद मिला दिया गया हो; बूंद "चिपचिपी" हो जाती है और खिंच जाती है।
बुलबुलों के मामले में: जब उन्होंने बुलबुले के लिए उसी "थोड़ी सी मात्रा" वाले पॉलिमर का उपयोग किया, तो कुछ नहीं हुआ। बुलबुला बिल्कुल वैसे ही फूट गया जैसे वह सादे पानी में फूटता है। कोई लंबा धागा नहीं बना।

शोधकर्ताओं ने पाया कि आपको बुलबुले के धागा बनाना शुरू करने के लिए भी बहुत बड़ी मात्रा में पॉलिमर (एक बहुत गाढ़ा, चिपचिपा मिश्रण) की आवश्यकता होती है। और तब भी, बूंद की तुलना में वह धागा अविश्वसनीय रूप से पतला और अल्पकालिक होता है।

क्यों? "रबर बैंड" की उपमा (The Rubber Band Analogy)

इसे समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि पॉलिमर्स पानी में तैरते हुए लाखों अदृश्य रबर बैंड हैं।

1. बूंद का परिदृश्य (बैंड को खींचना):
जब एक बूंद गिरती है, तो पानी लंबाई में (ऊपर और नीचे) खिंचता है। रबर बैंड बूंद की लंबाई के साथ कसकर खिंच जाते हैं, जैसे गिटार का तार। यह एक मजबूत "इलास्टिक फोर्स" (लचीला बल) पैदा करता है जो पानी को टूटने से रोकने के लिए लड़ता है। यह टॉफी को खींचने की कोशिश करने जैसा है; रबर बैंड मजबूती से पकड़े रहते हैं, जिससे एक लंबा धागा बनता है।

2. बुलबुले का परिदृश्य (बैंड को दबाना):
जब एक बुलबुला फूटता है, तो हवा की गर्दन बगल से (अंदर की ओर) सिकुड़ती है। बुलबुले के चारों ओर का पानी अंदर की ओर दब रहा है। रबर बैंड रेडियली (बाहर से अंदर की ओर) कंप्रेस किए जा रहे हैं।

समस्या: जब रबर बैंड को लंबाई में खींचा जाता है, तो वे जितनी मजबूती से मुकाबला करते हैं, उतनी मजबूती से वे किनारे से दबने पर मुकाबला नहीं करते।
परिणाम: "इलास्टिक फोर्स" हवा को थामे रखने के लिए बुलबुले को रोकने में बहुत कमजोर होता है। बुलबुले की गर्दन इतनी तेजी से ढह जाती है कि रबर बैंड को फैलने और हवा को थामे रखने का समय ही नहीं मिलता।

सुई के आकार का कारक

शोधकर्ताओं ने सुई के आकार के बारे में भी एक अजीब बात खोजी।

बड़ी सुइयाँ: बुलबुले का धागा (जब वह बनता है) अव्यवस्थित तरीके से टूट जाता है, जैसे कि एक पानी का पाइप कई छोटी बूंदों में फट जाता है।
छोटी सुइयाँ: बुलबुले का धागा बहुत लंबे समय तक रहता है और धीरे-धीरे पतला होता जाता है।

ऐसा लगता है जैसे वह "दरवाजा" जिससे बुलबुला बाहर निकल रहा है, खेल के नियम बदल देता है। एक छोटे दरवाजे के साथ, बुलबुले को बहुत सावधानी से गुजरना पड़ता है, जिससे पॉलिमर्स को पकड़ बनाने का बेहतर मौका मिलता है, भले ही वे कमजोर हों।

निष्कर्ष (The Takeway)

यह पेपर हमें सिखाता है कि जो बूंदों के लिए काम करता है, वह जरूरी नहीं कि बुलबुलों के लिए भी काम करे।

बूंदों के लिए: आप उनके द्वारा बनाए गए "धागे" का उपयोग यह मापने के लिए कर सकते हैं कि कोई तरल कितना लचीला है (एक उपकरण जिसे रीओमीटर कहा जाता है)।
बुलबुलों के लिए: आप उसी ट्रिक का उपयोग नहीं कर सकते। बुलबुले बहुत तेज होते हैं और बल बहुत कमजोर होते हैं, इसलिए वे धागा बनाने के लिए बहुत गाढ़े पॉलिमर वाले तरल की आवश्यकता होती है।

सरल शब्दों में: यदि आप हवा की एक लंबी, खिंचाव वाली स्ट्रिंग बनाना चाहते हैं, तो आपको बहुत गाढ़ा, चिपचिपा तरल और एक छोटा छेद चाहिए। यदि आप इसे पतले, खिंचाव वाले पानी के साथ आज़माते हैं, तो बुलबुला तुरंत फूट जाएगा, बिना कोई निशान छोड़े। "खींचने" (बूंदों) और "दबाने" (बुलबुलों) की भौतिकी मौलिक रूप से भिन्न है, भले ही वे नग्न आंखों से एक जैसी दिखती हों।

यहाँ वर्शूर (Verschuur) और अन्य के शोध पत्र "How elasticity affects bubble pinch-off" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

द्रव निकायों (बूँदों और बुलबुलों) का पिंच-ऑफ (pinch-off) एक मौलिक हाइड्रोडायनामिक प्रक्रिया है, जो एक टोपोलॉजिकल परिवर्तन और एक सिंगुलैरिटी (singularity) द्वारा अभिलक्षित होती है जहाँ लंबाई के पैमाने लुप्त हो जाते हैं और वेग/तनाव (velocities/stresses) अपसारी (diverge) हो जाते हैं।

संदर्भ: विस्कोइलास्टिक (viscoelastic) बूंदों का पिंच-ऑफ अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है और यह ज्ञात है कि वे लंबे, पतले धागे (threads) बनाती हैं (जो तत्काल टूटने को रोकते हैं) क्योंकि इसमें अपसारी पॉलीमर स्ट्रेस कार्य करते हैं। इसके विपरीत, विस्कोइलास्टिक बुलबुलों का व्यवहार अभी भी कम समझ में आया है।
अंतराल (The Gap): पिछले अध्ययनों ने विस्कोइलास्टिक तरल पदार्थों में ड्रॉप और बबल पिंच-ऑफ के बीच गुणात्मक समानताएं सुझाई थीं, लेकिन मात्रात्मक अंतर देखे गए थे। विशेष रूप से, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या मजबूत इलास्टिक स्ट्रेस, जो बूंदों के टूटने को विलंबित करते हैं, बुलबुलों के टूटने को भी रोकते हैं, और यदि ऐसा है, तो किन परिस्थितियों (सांद्रता, ज्यामिति) में यह होता है।
मुख्य प्रश्न: ड्रॉप पिंच-ऑफ की तुलना में इलास्टिसिटी (elasticity) बबल पिंच-ऑफ की गतिशीलता को कैसे प्रभावित करती है, और विस्कोइलास्टिक वायु धागे (air threads) अक्सर विरल (dilute) पॉलीमर समाधानों में अनुपस्थित क्यों होते हैं?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखकों ने तीन दृष्टिकोणों का उपयोग किया: उच्च-गति प्रयोग, संख्यात्मक सिमुलेशन (numerical simulations), और विश्लेमीय मॉडलिंग (analytical modeling)।

प्रायोगिक सेटअप (Experimental Setup):
- तरल पदार्थ: $2.0 \times 10^6$ और $4.0 \times 10^6$ g/mol आणविक भार वाले पॉलीथीन ऑक्साइड (PEO) समाधान। सांद्रता 0 से 1 wt% तक थी (विरल से अर्ध-सांद्रित शासन को कवर करते हुए)।
- ज्यामिति: एक कस्टम ऐक्रेलिक कंटेनर में विभिन्न व्यास ($0.41$ mm से $1.54$ mm) की सुइयों से वायु बुलबुले उत्पन्न किए गए।
- मापन: माइक्रोस्कोप ($1.0$ $\mu$ m/pixel रिज़ॉल्यूशन) के साथ हाई-स्पीड इमेजिंग (400,000 fps) ने नेक कोलैप्स (neck collapse) को कैप्चर किया। इमेज प्रोसेसिंग के माध्यम से न्यूनतम नेक चौड़ाई ( $h$ ) निकाली गई।
- विशेषण (Characterization): रियोमेट्री ने श्यानता (viscosity) मापी, और ड्रॉप पिंच-ऑफ प्रयोगों का उपयोग प्रभावी पॉलीमर रिलैक्सेशन समय ( $\lambda_d$ ) निर्धारित करने के लिए किया गया।
संख्यात्मक सिमुलेशन (Numerical Simulations):
- मॉडल: विस्कोइलास्टिक तरल पदार्थों का अनुकरण करने के लिए Oldroyd-B मॉडल का उपयोग किया गया, विशेष रूप से अनंत डेबोरा संख्या ( $De \to \infty$ ) की सीमा में ताकि इलास्टिक प्रभावों को अधिकतम किया जा सके (कोई स्ट्रेस रिलैक्सेशन नहीं)।
- कॉन्फ़िगरेशन: साइनुसोइडल परटर्बेशन के साथ आदर्श बेलनाकार नेक (दोनों वायु-में-तरल और तरल-में-गैस) का अनुकरण 'Basilisk' कोड (लॉग-कॉन्फ़ॉर्मेशन फॉर्मूलेशन के साथ वॉल्यूम-ऑफ-फ्लुइड विधि) का उपयोग करके किया गया।
- लक्ष्य: सुई की ज्यामितीय जटिलताओं के बिना मौलिक गर्दन के पतला होने (neck thinning) की भौतिकी को अलग करना।
विश्लेमीय मॉडलिंग (Analytical Modeling):
- बबल कोलैप्स के दौरान स्ट्रेस वितरण प्राप्त करने के लिए एक 2D स्लेंडर-बॉडी थ्योरी विकसित की गई।
- मॉडल ने बेलनाकार समरूपता (cylindrical symmetry) को माना और अक्षीय प्रवाह (axial flow) को नजरअंदाज करते हुए रेडियल कोलैप्स डायनेमिक्स पर ध्यान केंद्रित किया।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions & Results)

A. प्रायोगिक अवलोकन (Experimental Observations)

विरल शासन में धागों की अनुपस्थिति: बूंदों के विपरीत, जो बहुत कम पॉलीमर सांद्रता ( $\sim 0.01$ wt%) पर भी दृश्य धागे बनाती हैं, विरल पॉलीमर समाधानों में बुलबुलों ने कोई दृश्य धागा निर्माण नहीं दिखाया। पिंच-ऑफ डायनेमिक्स अंतिम क्षणों तक काफी हद तक न्यूटोनियन बना रहा।
सांद्रता निर्भरता: दृश्य वायु धागे केवल उच्च पॉलीमर सांद्रता (overlap concentration, $c^*$ के पास या उससे ऊपर) पर दिखाई दिए।
सुई के आकार के प्रति संवेदनशीलता: डायनेमिक्स सुई के व्यास ( $d_{needle}$ $d_{n ee d l e}$ ) के प्रति अत्यधिक संवेदनशील थे।
- बड़ी सुइयाँ: धागे अल्पकालिक थे और अक्सर अचानक धागे की चौड़ाई में उछाल (rebound) के कारण होने वाली रेले-प्लेटो जैसी अस्थिरता (Rayleigh-Plateau-like instability) के कारण विघटित हो गए।
- छोटी सुइयाँ: धागे काफी लंबे समय तक रहे (क्रमशः कई गुना अधिक) और बिना तत्काल सैटेलाइट बुलबुले बनाए ऊपर की ओर रिट्रैक्ट (retract) हुए (Taylor-Culick flow)।
स्केलिंग (Scaling): न्यूटोनियन शासन में, बबल पिंच-ऑफ जड़त्वीय स्केलिंग (inertial scaling) $h \propto (t_0 - t)^{1/2}$ का पालन करता है। विस्कोइलास्टिक शासन में, पतला होना बूंदों के विशिष्ट घातीय क्षय ( $e^{-t/3\lambda}$ ) का पालन नहीं करता था; इसके बजाय, पतला होने की दर सुई के आकार पर अत्यधिक निर्भर थी और अक्सर घातीय व्यवहार से विचलित हुई।

B. संख्यात्मक और सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि (Numerical & Theoretical Insights)

स्ट्रेस डाइवर्जेंस अंतर (Stress Divergence Difference): मुख्य सैद्धांतिक निष्कर्ष इस विसंगति की व्याख्या करता है।
- ड्रॉप्स (Drops): पॉलीमर स्ट्रेचिंग मुख्य रूप से अक्षीय (axial) (नेक के साथ) होती है। परिणामस्वरूप अक्षीय स्ट्रेस ( $\sigma_{zz}$ ) $G(h_0/h)^4$ के रूप में अपसारित होता है। यह मजबूत अपसरण कैपिलरी प्रेशर को संतुलित करता है, जिससे पतला होना रुक जाता है और धागा बनता है।
- बबल्स (Bubbles): पॉलीमर स्ट्रेचिंग मुख्य रूप से रेडियल (radial) (नेक की ओर) होती है। परिणामस्वरूप रेडियल स्ट्रेस ( $\sigma_{rr}$ ) $G(h_0/h)^2$ के रूप में अपसारित होता है।
जड़त्व का प्रभुत्व (Inertial Dominance): बुलबुलों के लिए, पिंच-ऑफ जड़त्व (inertia) द्वारा संचालित होता है, न कि कैपिलैरिटी द्वारा। जड़त्वीय स्ट्रेस $\rho \dot{h}^2 \sim 1/h^2$ $ρ \dot{h}^{2} \sim 1/ h^{2}$ के रूप में स्केल करता है।
- चूंकि दोनों इलास्टिक स्ट्रेस ( $\sim 1/h^2$ ) और जड़त्वीय स्ट्रेस ( $\sim 1/h^2$ ) समान रूप से स्केल करते हैं, इसलिए विरल समाधानों में इलास्टिक स्ट्रेस आम तौर पर जड़त्वीय स्ट्रेस की तुलना में उप-प्रमुख (subdominant) होता है।
- फलस्वरूप, इलास्टिक बल विरल समाधानों में धागा बनाने के लिए पर्याप्त नहीं हैं क्योंकि वे जड़त्वीय पतन (inertial collapse) को रोकने में विफल रहते हैं।

4. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

मौलिक भौतिकी: यह शोध पत्र स्थापित करता है कि हालांकि ड्रॉप और बबल पिंच-ऑफ साझा टोपोलॉजिकल समानताएं रखते हैं, लेकिन पॉलीमर स्ट्रेचिंग की दिशा (अक्षीय बनाम रेडियल) मौलिक रूप से स्ट्रेस सिंगुलैरिटी को बदल देती है। यही कारण है कि "बीड्स-ऑन-ए-स्ट्रिंग" (beads-on-a-string) घटना बूंदों में सर्वव्यापी है लेकिन बुलबुलों में दुर्लभ है।
रियोलॉजिकल उपकरण (Rheological Tools): यह अध्ययन विरल समाधानों में पॉलीमर रिलैक्सेशन समय को मापने के लिए बबल पिंच-ऑफ के एक मानक रियोलॉजिकल टूल के रूप में उपयोग को चुनौती देता है। Oldroyd-B मॉडल भविष्यवाणी करता है कि बबल पिंच-ऑफ विरल सीमा में इलास्टिसिटी के प्रति असंवेदनशील है, जबकि ड्रॉप पिंच-ऑफ अत्यधिक संवेदनशील है।
व्यावहारिक अनुप्रयोग: इन डायनेमिक्स को समझना विस्कोइलास्टिक स्प्रे, इंकजက် प्रिंटिंग और फोमिंग प्रक्रियाओं जैसे अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है जहाँ बबल ब्रेकअप एक प्रमुख कारक है। सुई के आकार पर मजबूत निर्भरता यह सुझाव देती है कि ज्यामितीय बाधाएं विस्कोइलास्टिक बबल ब्रेकअप में पहले की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।
भावी दिशाएँ: लेखक सुझाव देते हैं कि परिमित विस्तारशीलता (finite extensibility) और शियर थिनिंग (shear thinning) को ध्यान में रखने वाले उन्नत पॉलीमर मॉडल की आवश्यकता है, जो केंद्रित पॉलीमर प्रणालियों के लिए एक नया रियोलॉजिकल प्रोब प्रदान कर सकते हैं।

निष्कर्ष (Conclusion)

लेखक प्रदर्शित करते हैं कि विस्कोइलास्टिक बबल पिंच-ऑफ, ड्रॉप पिंच-ऑफ से मौलिक रूप से भिन्न है क्योंकि यह पॉलीमर स्ट्रेचिंग के रेडियल ओरिएंटेशन के कारण है, जो एक कमजोर स्ट्रेस सिंगुलैरिटी ( $1/h^2$ बनाम $1/h^4$ ) की ओर ले जाता है। यह कमजोर सिंगुलैरिटी विरल समाधानों में प्रभावी जड़त्वीय बलों (inertial forces) को पार करने में विफल रहती है, जिससे धागा बनना रुक जाता है। धागे केवल उच्च सांद्रता या विशिष्ट ज्यामितीय बाधाओं (छोटी सुइयों) के साथ उभरते हैं, जो इलास्टिसिटी, जड़त्व और ज्यामिति के बीच एक जटिल परस्पर क्रिया को उजागर करते हैं।