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Bootstrapping non-unitary CFTs

यह शोध पत्र एक यूनिटैरिटी-स्वतंत्र (unitarity-independent) विकासवादी एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो क्रॉसिंग सिमिट्री (crossing symmetry) की संतुष्टि को अधिकतम करने के लिए ट्रायल स्पेक्ट्रा को पुनरावृत्ति रूप से अनुकूलित करके सामान्य कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज़ के स्पेक्ट्रा को बूटस्ट्रैप करता है, जो $c<1$ वाले विरासो ब्लॉक्स (Virasoro blocks) के लिए ज्ञात मिनिमल मॉडल्स को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित करता है।

मूल लेखक: Yu-tin Huang, Shao-Cheng Lee, Henry Liao, Justinas Rumbutis

प्रकाशित 2026-04-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yu-tin Huang, Shao-Cheng Lee, Henry Liao, Justinas Rumbutis

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, बहु-आयामी (multi-dimensional) जिग्सॉ पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं। लेकिन एक पेच है: आपके पास डिब्बे पर बनी तस्वीर नहीं है, और आप यह भी सुनिश्चित नहीं हैं कि आपके पास जो टुकड़े हैं, वे "सही" प्रकार के टुकड़े हैं या नहीं। सैद्धांतिक भौतिकी (theoretical physics) की दुनिया में, इस पहेली को कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी (Conformal Field Theory - CFT) कहा जाता है। यह एक गणितीय ढांचा है जिसका उपयोग यह वर्णन करने के लिए किया जाता है कि कण और बल मूलभूत स्तरों पर कैसे व्यवहार करते हैं, विशेष रूप से तब जब चीजें पूरी तरह से संतुलित होती हैं (जैसे कि एक क्रिटिकल फेज ट्रांजिशन के दौरान)।

दशकों से, भौतिक विज्ञानी इस पहेली को हल करने के लिए बूटस्ट्रैप (Bootstrap) नामक एक विधि का उपयोग करने की कोशिश कर रहे हैं। इसका नाम "अपने ही बूटस्ट्रैप्स से खुद को ऊपर खींचने" (pulling yourself up by your own bootstraps) के विचार से आया है: यानी केवल अपने आंतरिक नियमों का उपयोग करके सिस्टम को हल करना, बिना किसी बाहरी डेटा की आवश्यकता के।

पुराना तरीका: "अच्छे लड़के" का फिल्टर

पारंपरिक रूप से, बूटस्ट्रैप विधि एक सख्त शिक्षक की तरह काम करती थी जिसका एक बहुत विशिष्ट नियम था: "सब कुछ सकारात्मक होना चाहिए।"

भौतिकी में, इस नियम को यूनिटैरिटी (Unitarity) कहा जाता है। इसका मूल अर्थ यह है कि संभावनाओं (probabilities) का योग 100% होना चाहिए और कुछ भी "नकारात्मक संभावना" नहीं रख सकता (जो हमारे रोजमर्रा की दुनिया में भौतिक रूप से असंभव है)। इस नियम के कारण, गणित बहुत व्यवस्थित और सुव्यवस्थित हो गया, जैसे कि एक उत्तल कटोरा (convex bowl)। भौतिक विज्ञानी इस कटोरे के "तल" (bottom) को खोजने के लिए शक्तिशाली कंप्यूटरों का उपयोग कर सकते थे, जो सही समाधान का प्रतिनिधित्व करता था।

हालाँकि, इस विधि की एक बड़ी खामी थी: यह "बुरे" समाधानों को नहीं देख सकती थी।
भौतिकी में कई दिलचस्प सिद्धांत हैं (जैसे कि कुछ अराजक प्रणालियों या "जटिल" फिक्स्ड पॉइंट्स का वर्णन करने वाले सिद्धांत) जो नॉन-यूनिटरी (non-unitary) होते हैं। इन सिद्धांतों में, गणित "नकारात्मक संभावनाओं" या जटिल संख्याओं (complex numbers) की अनुमति देता है। पुराना "सख्त शिक्षक" वाला तरीका इन सिद्धांतों को तुरंत बाहर कर देता था, भले ही वे उन विशिष्ट संदर्भों में वास्तविकता का सही वर्णन करते हों। यह एक पहेली को हल करने की कोशिश करने जैसा था, लेकिन केवल उन टुकड़ों को देखना जो नीले रंग के थे, और उन लाल और हरे टुकड़ों को अनदेखा करना जो वास्तव में फिट हो सकते थे।

नया विचार: "स्थिरता परीक्षण" (The Stability Test)

इस नए शोध पत्र में, लेखक उन "नॉन-यूनिटरी" समाधानों को खोजने के लिए एक चतुर नई रणनीति प्रस्तावित करते हैं। वे टुकड़ों को सकारात्मक होने के लिए मजबूर करना बंद कर देते हैं और इसके बजाय एक अलग प्रश्न पूछते हैं: "क्या यह समाधान स्थिर (stable) है?"

यहाँ उपमा (analogy) दी गई है:

कल्पना कीजिए कि आप एक विशिष्ट स्टेशन खोजने के लिए रेडियो ट्यून करने की कोशिश कर रहे हैं।

पुराना तरीका: आप केवल उन्हीं स्टेशनों को सुनते हैं जो "खुशनुमा संगीत" (Unitary) बजाते हैं। यदि कोई स्टेशन "दुखी संगीत" (Non-unitary) बजाता है, तो आप उसे अनदेखा कर देते हैं।
नया तरीका: आप एक विशिष्ट फ्रीक्वेंसी पर ट्यून करते हैं। यदि आप ठीक स्टेशन पर हैं, तो संगीत, चाहे आप डायल को थोड़ा सा भी हिलाएं, एकदम स्पष्ट और सटीक सुनाई देगा। लेकिन यदि आप स्टेशन से हटे हुए हैं, तो संगीत थोड़ा सा भी हिलने पर अजीब, फटी हुई आवाज़ वाला और बहुत अधिक बदलता हुआ महसूस होगा।

लेखकों ने महसूस किया कि बूटस्ट्रैप के गणित में, यह "अस्पष्टता" (fuzziness) ही कुंजी है।

सेटअप: वे सिद्धांत के लिए "स्पेक्ट्रम" (कणों/भार की सूची) का एक अनुमान चुनते हैं।
परीक्षण: वे "OPE गुणांकों" (OPE coefficients) की गणना करते हैं (जो इस बात के वॉल्यूम नॉब की तरह हैं कि प्रत्येक कण कितना योगदान देता है) विभिन्न गणितीय "दृष्टिकोणों" (जिन्हें क्रॉस-रेशियो कहा जाता है) का उपयोग करके।
परिणाम:
- यदि अनुमान गलत है, तो अलग-अलग दृष्टिकोणों का उपयोग करने पर वॉल्यूम नॉब बेतहाशा उतार-चढ़ाव करेंगे। समाधान "अस्थिर" (unstable) होगा।
- यदि अनुमान सही है (या उसके बहुत करीब है), तो दृष्टिकोण बदलने के बावजूद वॉल्यूम नॉब पूरी तरह से स्थिर रहेंगे। समाधान "सांख्यिकीय रूप से स्थिर" (statistically stable) होगा।

उन्होंने यह कैसे किया

लेखकों ने एक कंप्यूटर प्रोग्राम बनाया (एक स्मार्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके जिसे CMA-ES कहा जाता है, जो अनुभव और त्रुटि (trial and error) से सीखने वाले एक डिजिटल विकास की तरह है) ताकि इन स्थिर समाधानों की खोज की जा सके।

चरण 1: उन्होंने बोर्ड पर एक निशाना लगाया (एक रैंडम अनुमान)।
चरण 2: उन्होंने जांचा कि क्या "वॉल्यूम नॉब" स्थिर थे।
चरण 3: यदि नॉब डगमगाए, तो कंप्यूटर ने अनुमान को और अधिक स्थिर बनाने के लिए विकसित किया।
चरण 4: उन्होंने इसे तब तक दोहराया जब तक कि उन्हें संख्याओं का एक ऐसा सेट नहीं मिल गया जहाँ नॉब बिल्कुल भी नहीं डगमगाए।

उन्हें क्या मिला

क्लासिक्स की रिकवरी: सबसे पहले, उन्होंने अपने तरीके का परीक्षण उन सिद्धांतों पर किया जिन्हें वे पहले से जानते थे (A-सीरीज मिनिमल मॉडल्स)। भले ही उनकी विधि ने "सकारात्मक संभावना" के नियम को नहीं माना, फिर भी उन्होंने सही उत्तर खोज निकाले। इससे सिद्ध हुआ कि यह विधि काम करती है।
अज्ञात की खोज: फिर, उन्होंने उन सिद्धांतों की तलाश की जिनमें सेंट्रल चार्ज ( $c$ ) का मान 1 से अधिक है, जिन्हें हल करना आमतौर पर बहुत कठिन होता है। उन्होंने ऐसे स्थिर, ट्रंकेटेड समाधान (stable, truncated solutions) खोजे जो वास्तविक भौतिक सिद्धांतों की तरह दिखते हैं, भले ही वे नॉन-यूनिटरी हों।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह एक बड़ी बात है क्योंकि यह भौतिकी के एक नए संसार के द्वार खोलता है।

पहले: हम केवल ब्रह्मांड के "सुरक्षित" हिस्से को मैप कर सकते थे (जहाँ संभावनाएँ सकारात्मक होती हैं)।
अब: हमारे पास एक "मैप-मेकिंग टूल" है जो ब्रह्मांड के "खतरनाक" या "अजीब" हिस्सों (जहाँ जटिल संख्याएँ और नकारात्मक संभावनाएँ मौजूद हैं) की खोज कर सकता है।

यह उन नए चश्मों के होने जैसा है जो आपको उन रंगों को देखने की अनुमति देते हैं जो पहले अदृश्य थे। लेखकों ने दिखाया है कि "अच्छे व्यवहार" (यूनिटैरिटी) के सख्त नियमों के बिना भी, ब्रह्मांड में एक छिपा हुआ क्रम (स्थिरता) है जिसे हम खोज सकते हैं यदि हमें पता हो कि कहाँ देखना है।

संक्षेप में: उन्होंने यह पूछना बंद कर दिया कि "क्या यह समाधान सकारात्मक है?" और इसके बजाय पूछा कि "क्या यह समाधान सुसंगत (consistent) है?" इस सरल बदलाव ने उन्हें ब्रह्मांड की सबसे बड़ी पहेलियों के नए, अजीब और आकर्षक समाधान खोजने में सक्षम बनाया।

यहाँ Huang et al. के शोध पत्र "Bootstrapping non-unitary CFTs" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

संख्यात्मक कॉन्फॉर्मल बूटस्ट्रैप (numerical conformal bootstrap) पारंपरिक रूप से CFT डेटा की खोज को एक कॉन्वेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या (convex optimization problem) के रूप में तैयार करने के लिए यूनिटैरिटी (unitarity) (OPE गुणांकों की धनात्मकता) पर निर्भर रहा है। यह दृष्टिकोण यूनिटरी सिद्धांतों (जैसे 3D Ising मॉडल) को सफलतापूर्वक सीमित करता है, लेकिन इसे दो प्रमुख सीमाओं का सामना करना पड़ता है:

नॉन-यूनिटरी सिद्धांत (Non-unitary theories): कई भौतिक रूप से दिलचस्प प्रणालियाँ, जैसे कि जटिल फिक्स्ड पॉइंट्स के पास आरजी-फ्लो (RG flows) और कुछ होलोग्राफिक सेटिंग्स, नॉन-यूनिटरी होती हैं। मानक कॉन्वेक्स फॉर्मूलेशन यहाँ विफल हो जाता है क्योंकि OPE गुणांक ऋणात्मक या जटिल हो सकते हैं, जिससे वह 'कॉन्वेक्सिटी' समाप्त हो जाती है जो कठोर सीमाओं (rigorous bounds) के लिए आवश्यक है।
इंटीरियर सॉल्यूशंस (Interior solutions): ऑप्टिमाइज़ेशन-आधारित विधियाँ अनुमत सिद्धांत स्थान (allowed theory space) की सीमाओं को खोजने में तो उत्कृष्ट हैं, लेकिन पैरामीटर स्पेस के भीतर स्थित विशिष्ट सिद्धांतों को खोजने में संघर्ष करती हैं।

मौजूदा नॉन-कॉन्वेक्स खोज रणनीतियाँ (Monte Carlo, मशीन लर्निंग) अक्सर महत्वपूर्ण पूर्व ज्ञान की मांग करती हैं या उच्च आयामी खोज स्थान (scaling dimensions $\Delta$ , spins $s$ , और OPE coefficients $f$ ) को संभालने में संघर्ष करती हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक नई रणनीति प्रस्तावित करते हैं जो अनुमानित OPE डेटा में सांख्यिकीय स्थिरता (statistical stability) की खोज करके यूनिटैरिटी की आवश्यकता को दरकिनार करती है।

मुख्य अवधारणा: इनवर्जन और स्थिरता (Inversion and Stability)

$(\Delta, s, f^2)$ के पूर्ण स्थान को स्कैन करने के बजाय, यह विधि एक परीक्षण स्पेक्ट्रम (scaling dimensions $\Delta_k$ और spins $s_k$ का एक सेट) को स्थिर करती है और OPE गुणांकों ( $C_k = f_{\phi\phi k}^2$ ) को हल करने के लिए क्रॉसिंग समीकरणों को इनवर्ट (invert) करती है।

सटीक समाधान (Exact Solution): एक वास्तविक CFT के लिए, अनुमानित OPE गुणांक, चुने गए क्रॉस-रेश्योस $(z, \bar{z})$ के चयन से स्वतंत्र होते हैं।
अनुमानित/ट्रंकेटेड समाधान (Approximate/Truncated Solution): यदि स्पेक्ट्रम को ट्रंकेट (truncate) किया गया है या गलत है, तो अनुमानित गुणांक मूल्यांकन बिंदुओं $(z, \bar{z})$ के बदलने के साथ उतार-चढ़ाव करेंगे।

ऑब्जेक्टिव फंक्शन (The Objective Function)

लेखक एक स्केलर ऑब्जेक्टिव फंक्शन $R$ को deined करते हैं जो नमूने लिए गए क्रॉस-रेश्योस $\{z_j\}$ के सेट में अनुमानित गुणांकों के सांख्यिकीय प्रसार (statistical spread) पर आधारित है।

मैट्रिक्स फॉर्मूलेशन: क्रॉसिंग समीकरणों को एक लीनियर सिस्टम $G \cdot C + e = v$ में विविक्त (discretize) किया जाता है, जहाँ $G$ कॉन्फॉर्मल ब्लॉक्स को समाहित करता है, $C$ स्क्वेर्ड OPE गुणांक हैं, और $e$ ट्रंकेशन एरर है।
लीस्ट स्क्वायर्स इन्फरेंस (Least Squares Inference): $N$ (ट्रंकेशन में ऑपरेटरों की संख्या) की तुलना में बहुत अधिक $N_z \gg N$ बिंदुओं को सैंपल करके, सिस्टम ओवर-डिटरमाइंड (over-determined) होता है। गुणांक $C$ को लीस्ट स्क्वायर्स के माध्यम से अनुमानित किया जाता है।
रिवॉर्ड मेट्रिक (Reward Metric): ऑब्जेक्टिव फंक्शन इन गुणांकों की स्थिरता को अधिकतम करता है:
$R = -\sum_{i=1}^{N_r} \log \left| \frac{\sigma(C_i)}{\text{Mean}(C_i)} \right|$
जहाँ $\sigma$ नमूने लिए गए बिंदुओं के बीच अनुमानित गुणांक $C_i$ का मानक विचलन (standard deviation) है। एक उच्च $R$ इंगित करता है कि अनुमानित डेटा स्थिर (कम वेरिएंस) है, जिसका अर्थ है कि स्पेक्ट्रम क्रॉसिंग सिमेट्री को अच्छी तरह से संतुष्ट करता है।

ऑप्टिमाइज़ेशन एल्गोरिदम (Optimization Algorithm)

खोज स्थान (Search Space): ऑप्टिमाइज़ेशन केवल स्पेक्ट्रम ( $\Delta_k, s_k$ ) पर किया जाता है, जिससे OPE गुणांकों को नॉन-लीनियर खोज स्थान से हटा दिया जाता है।
ऑप्टिमाइज़र (Optimizer): लेखक कोवेरिएंस मैट्रिक्स एडैप्टेशन इवोल्यूशन स्ट्रैजी (CMA-ES) का उपयोग करते हैं, जो एक डेरिवेटिव-फ्री स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़र है और नॉन-कॉन्वेक्स, नॉइज़ी लैंडस्केप के लिए उपयुक्त है।
कार्यान्वयन (Implementation): हजारों बिंदुओं प्रति इटरेशन का मूल्यांकन करने की कम्प्यूटेशनल लागत को संभालने के लिए विरासोरो कॉन्फॉर्मल ब्लॉक्स और रिवॉर्ड फंक्शन की गणना GPUs पर अत्यधिक पैरेललाइज्ड (parallelized) की गई है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

नॉन-यूनिटरी बूटस्ट्रैप फ्रेमवर्क: यूनिटैरिटी की धारणा के बिना CFT समाधानों को खोजने के लिए एक व्यावहारिक, नॉन-कॉन्वेक्स विधि पेश करता है।
सांख्यिकीय स्थिरता मानदंड: यह प्रदर्शित करता है कि विभिन्न क्रॉस-रेश्योस के बीच अनुमानित OPE गुणांकों का वेरिएंस, एक वास्तविक समाधान से "दूरी" के लिए एक मजबूत प्रॉक्सी के रूप में कार्य करता है।
डायमेंशनलिटी रिडक्शन: स्पेक्ट्रम दिए जाने पर OPE गुणांकों को विश्लेषणात्मक रूप से हल करके, यह प्रभावी रूप से खोज स्थान को कम करता है, जिससे एक जटिल नॉन-लीनियर समस्या को केवल स्केलिंग डायमेंशन्स की खोज में बदल दिया जाता है।
GPU-एक्सेलेरेटेड सर्च: CMA-ES का उपयोग करके एक पूर्ण GPU-पैरेललाइज्ड पाइपलाइन को लागू करता है, जो उच्च-आयामी पैरामीटर स्पेस के कुशल अन्वेषण को सक्षम बनाता है।

4. परिणाम (Results)

इस विधि का परीक्षण विरासोरो कॉन्फॉर्मल ब्लॉक्स का उपयोग करके 2D CFTs पर किया गया।

A. ज्ञात मिनिमल मॉडल्स की पुनरावृत्ति ( $c < 1$ )

सटीक स्पेक्ट्रा (Exact Spectra): उन क्षेत्रों में जहाँ सटीक स्पेक्ट्रम ट्रंकेशन के भीतर फिट बैठता है (जैसे 1, 2, या 3 ऑपरेटरों वाले A-सीरीज मिनिमल मॉडल्स), एल्गोरिदम सफलतापूर्वक सेंट्रल चार्ज $c$ , एक्सटर्नल वेट्स $h_{ext}$ , और इंटरनल वेट्स $h_{int}$ के ज्ञात विश्लेषणात्मक मानों को पुनरुत्पादित करता है।
ट्रंकेटेड स्पेक्ट्रा (Truncated Spectra): उन मॉडल्स के लिए जिनमें अधिक ऑपरेटरों की आवश्यकता होती है (जैसे 5-स्टेट मॉडल्स), विधि स्थिर ट्रंकेटेड समाधानों की पहचान करती है। जैसे-जैसे ट्रंकेशन आकार $N$ बढ़ता है, रिवॉर्ड $R$ बेहतर होता जाता है जब तक कि वह स्थिर (plateau) न हो जाए। वह बिंदु जहाँ रिवॉर्ड सुधरना बंद हो जाता है और अगला अनुमानित OPE गुणांक सांख्यिकीय रूप से शून्य के सुसंगत (consistent) हो जाता है, सही ट्रंकेशन आकार को दर्शाता है।
सटीकता (Accuracy): पाए गए स्पेक्ट्रा और ज्ञात मिनिमल मॉडल्स के बीच सापेक्ष त्रुटियां आमतौर पर 0.2% से कम होती हैं।

B. कैंडिडेट नॉन-यूनिटरी स्पेक्ट्रा ( $c > 1$ )

डिस्कवरी (Discovery): लेखकों ने $c > 1$ के साथ नॉन-यूनिटरी रिजीम में इस विधि को लागू किया।
स्थिरता (Stability): उन्होंने $N=11$ $N = 11$ एक्सचेंजड स्टेट्स से शुरू होने वाले स्थिर कैंडिडेट स्पेक्ट्रा की पहचान की।
- $N=11$ पर रिवॉर्ड $R$ बेंचमार्क थ्रेशोल्ड (जो मिनिमल मॉडल्स से स्थापित किया गया था) को पार कर गया।
- $N=12$ और $N=13$ तक बढ़ने से $R$ में नगण्य सुधार हुआ।
- 12वें और 13वें स्टेट्स के लिए अनुमानित OPE गुणांक 11वें की तुलना में कई गुना छोटे थे और उनमें उच्च सांख्यिकीय शोर (noise) था, जो पुष्टि करता है कि वे ट्रंकेशन के आर्टिफैक्ट्स (artifacts) थे, न कि भौतिक अवस्थाएँ।
क्रॉसिंग वायलेशन (Crossing Violation): इन $c > 1$ उम्मीदवारों का क्रॉसिंग वायलेशन (अवशिष्ट त्रुटि) ज्ञात मिनिमल मॉडल्स के समान था, जो सुझाव देता है कि वे क्रॉसिंग समीकरणों के वैध अनुमानित समाधान हैं।

5. महत्व और भविष्य की संभावनाएं (Significance and Outlook)

कॉन्वेक्सिटी से परे (Beyond Convexity): यह कार्य उन सिद्धांतों के बूटस्ट्रैपिंग के लिए एक व्यवहार्य मार्ग प्रदान करता है जहाँ यूनिटैरिटी को माना नहीं जा सकता, जिससे जटिल फिक्स्ड पॉइंट्स और लॉगरिदमिक CFTs के अध्ययन का द्वार खुलता है।
इंटीरियर सर्च (Interior Search): यह विधि CFT डेटा स्पेस के भीतर विशिष्ट सिद्धांतों को खोजने के लिए अद्वितीय रूप से उपयुक्त है, न कि केवल किनारों को सीमित करने के लिए।
भविष्य की दिशाएं (Future Directions):
- उच्च आयामों ( $d > 2$ ) और स्पिन वाली थ्योरीज तक विस्तार।
- मिक्स्ड कोरिलेटर्स और मॉड्यूलर इनवेरिएंस बाधाओं का समावेश।
- विश्लेषणात्मक अपेक्षाओं (जैसे लाइट-कोन बूटस्ट्रैप एसिम्प्टोटिक्स) का उपयोग करके ट्रंकेशन एरर $e(z, \bar{z})$ का परिशोधन।
- अन्य ऑप्टिमाइज़ेशन रणनीतियों (जैसे मशीन लर्निंग) का अन्वेषण जो नॉन-डिफरेंशिएबल ऑब्जेक्टिव फंक्शन के लिए उपयुक्त हों।

संक्षेप में, यह शोध पत्र OPE डेटा की सांख्यिकीय स्थिरता का लाभ उठाकर नॉन-यूनिटरी रिजीम में कॉन्फॉर्मल बूटस्ट्रैप को हल करने के लिए एक मजबूत संख्यात्मक ढांचा स्थापित करता है, जो ज्ञात परिणामों को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित करता है और $c > 1$ के लिए नए कैंडिडेट थ्योरीज का प्रस्ताव करता है।