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Trigonometric continuous-variable gates and hybrid quantum simulations of the sine-Gordon model

यह शोध पत्र त्रिकोणमितीय निरंतर-चर (continuous-variable) गेट्स पर आधारित हाइब्रिड क्यूबिट-क्यूमोड (qubit-qumode) क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक नया सार्वभौमिकता प्रतिमान (universality paradigm) प्रस्तुत करता है, जो एक नियत (deterministic) सहायक-आधारित कार्यान्वयन के माध्यम से उनकी प्रभावशीलता को प्रदर्शित करता है और लैटिस साइन-गॉर्डन मॉडल का एक सफल सिमुलेशन प्रस्तुत करता है, जिसमें ग्राउंड स्टेट की तैयारी, वास्तविक समय की गतिशीलता और किंक प्रोफाइल निष्कर्षण शामिल है।

मूल लेखक: Tommaso Rainaldi, Victor Ale, Matt Grau, Dmitri Kharzeev, Enrique Rico, Felix Ringer, Pubasha Shome, George Siopsis

प्रकाशित 2026-03-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Tommaso Rainaldi, Victor Ale, Matt Grau, Dmitri Kharzeev, Enrique Rico, Felix Ringer, Pubasha Shome, George Siopsis

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके एक जटिल भौतिक प्रणाली (physical system) को सिम्युलेट करने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि एक कंपन करती हुई डोरी या ऊर्जा का क्षेत्र। लंबे समय से, वैज्ञानिक इसे "टेलर सीरीज़" (Taylor Series) दृष्टिकोण का उपयोग करके करने की कोशिश कर रहे हैं। इसे ऐसे समझें जैसे आप केवल सीधी रेखाओं का उपयोग करके एक सटीक वृत्त (circle) बनाने की कोशिश कर रहे हों। आप करीब तो पहुँच सकते हैं, लेकिन वृत्त को चिकना दिखाने के लिए आपको हजारों छोटे, सीधे खंडों की आवश्यकता होगी। क्वांटम कंप्यूटिंग में, इसका अर्थ है एक साधारण वक्र (curve) को अनुमानित करने के लिए कई चरणों वाले बहुत गहरे और जटिल सर्किट बनाना।

यह पेपर एक नया, अधिक स्मार्ट तरीका पेश करता है। "सीधी रेखाओं" (पॉलीनोमियल्स) का उपयोग करने के बजाय, लेखक ऐसे वक्रों का उपयोग करने का सुझाव देते हैं जो समस्या के आकार के साथ स्वाभाविक रूप से फिट बैठते हैं, जैसे कि साइन (sine) और कोसाइन (cosine) तरंगें।

यहाँ उनके द्वारा किए गए कार्यों का विवरण दिया गया है, रोजमर्रा के उदाहरणों के साथ:

1. समस्या: "सीधी रेखा" की सीमा

अधिकांश वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर जो निरंतर चीजों (जैसे किसी कण की स्थिति) को संभालते हैं, वे सरल पॉलीनोमियल ब्लॉकों से जटिल आकृतियाँ बनाने पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आप एक लहर को तराशने की कोशिश कर रहे हैं एक मूर्तिकार के रूप में। यदि आपके पास केवल एक छेनी है जो सीधी रेखाएं काटती है, तो आपको लहर जैसा दिखने के लिए हजारों छोटे टुकड़े काटने होंगे। यह अक्षम है और इसमें बहुत अधिक काम की आवश्यकता होती है।
समस्या: प्रकृति के कई भौतिक नियम (जैसे कि इसमें उल्लेखित साइन-गॉर्डन मॉडल) स्वाभाविक रूप से आवधिक (periodic) होते हैं—वे तरंगों की तरह दोहराते हैं। एक "सीधी रेखा" वाले उपकरण से "लहर" वाला काम करवाने की कोशिश करना, एक चौकोर चीज़ को गोल छेद में फिट करने जैसा है।

2. समाधान: "त्रिकोणमितीय" (Trigonometric) टूलबॉक्स

लेखकों ने त्रिकोणमिति (साइन और कोसाइन) पर आधारित "गेट्स" (क्वांटम कंप्यूटर द्वारा पालन किए जाने वाले बुनियादी निर्देश) का एक नया सेट विकसित किया है।

उदाहरण: छेनी का उपयोग करने के बजाय, अब आपके पास एक सांचा (mold) है जो बिल्कुल एक लहर के आकार का है। आप इसमें अपना पदार्थ डाल सकते हैं, और पफ, आपके पास तुरंत एक आदर्श लहर होती है।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: क्योंकि साइन-गॉर्डन मॉडल (जो चुंबकीय श्रृंखलाओं और कण भौतिकी का वर्णन करता है) कोसाइन तरंगों पर बना है, इसलिए कोसाइन-आधारित गेट्स का उपयोग करना ब्रह्मांड की मूल भाषा बोलने जैसा है। यह बहुत अधिक कुशल और स्वाभाविक है।

3. तरकीब: "जादुई सहायक" (Ancilla Qubits)

कठिन हिस्सा यह है कि क्वांटम कंप्यूटर आमतौर पर इन विशिष्ट "कोसाइन" ऑपरेशन्स को सीधे करने में संघर्ष करते हैं। लेखकों ने "एनसिला" क्यूबिट्स (अतिरिक्त सहायक बिट्स) का उपयोग करके एक चतुर रास्ता खोजा है।

उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आप एक केक बनाना चाहते हैं जिसके लिए एक विशिष्ट, अजीब सामग्री की आवश्यकता है जो आपके किचन में नहीं है। उस सामग्री को जबरदस्ती अपने ओवन में बनाने की कोशिश करने के बजाय, आप एक "जादुई सहायक" (एनसिला क्यूबिट) को काम पर रखते हैं।
- आप सहायक को बताते हैं, "यदि सामग्री मौजूद है, तो X करें; यदि नहीं, तो Y करें।"
- सहायक आपकी सामग्रियों और एक सहायक उपकरण के साथ एक जटिल नृत्य करता है।
- अंत में, सहायक चला जाता है, और आपके पास पूरी तरह से पका हुआ केक होता है, भले ही आपने कभी सीधे उस अजीब सामग्री को खुद न छुआ हो।
पेपर में: वे इन सहायक क्यूबिट्स का उपयोग इन कोसाइन ऑपरेशन्स को सिस्टम में "एम्बेड" करने के लिए करते हैं। यह उन्हें बिना किसी अनुमान या सही परिणाम की उम्मीद किए, इसे नियत रूप से (deterministically) बनाने की अनुमति देता है।

4. अनुप्रयोग: "साइन-गॉर्डन" मॉडल का सिमुलेशन

यह सिद्ध करने के लिए कि उनकी विधि काम करती है, उन्होंने साइन-गॉर्डन मॉडल का सिमुलेशन किया।

यह क्या है? एक लंबी पंक्ति में लटके हुए पेंडुलमों के बारे में सोचें जो स्प्रिंग्स से जुड़े हुए हैं। यदि आप एक को धक्का देते हैं, तो एक "किंक" (एक मोड़ या सॉलिटॉन) पंक्ति में चलता है। यह मॉडल भौतिकी में प्रसिद्ध है क्योंकि यह बताता है कि कैसे कण तरंगों की तरह व्यवहार कर सकते हैं और कैसे टोपोलॉजिकल दोष (kinks) बनते हैं।
उन्होंने क्या किया?
- ग्राउंड स्टेट (Ground State): उन्होंने इस सिस्टम के "विश्राम अवस्था" (सबसे शांत ऊर्जा स्तर) को बहुत कुशलता से खोजने के लिए अपने नए गेट्स का उपयोग किया।
- टाइम ट्रैवल (Time Travel): उन्होंने सिमुलेट किया कि सिस्टम समय के साथ कैसे चलता है और बदलता है।
- द किंक (The Kink): उन्होंने सफलतापूर्वक इस सिस्टम में एक "किंक" (एक टोपोलॉजिकल मोड़) बनाया और उसका अध्ययन किया। यह एक रस्सी में एक विशिष्ट गांठ बनाने और यह देखने जैसा है कि वह बिना खुले हुए कैसे चलती है।

5. यह एक बड़ी बात क्यों है

हाइब्रिड शक्ति: उन्होंने "डिस्क्रीट" क्यूबिट्स (मानक 0 और 1 की तरह) और "कंटीन्यूअस" क्यूमोड्स (वायलिन के तार की चिकनी लहरों की तरह) के मिश्रण का उपयोग किया। यह हाइब्रिड दृष्टिकोण लैब में (ट्रैप्ड आयन या सुपरकंडक्टिंग सर्किट का उपयोग करके) बहुत लोकप्रिय हो रहा है।
भविष्य के लिए तैयार: यह केवल एक विशिष्ट मॉडल के लिए नहीं है। यह कई अन्य जटिल प्रणालियों के सिमुलेशन के द्वार खोलता है जो रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और कंडेंस्ड मैटर फिजिक्स में मौजूद हैं और आवधिक, दोहराव वाले पैटर्न पर निर्भर करती हैं।
दक्षता: यह सुझाव देता है कि कुछ समस्याओं के लिए, हमें विशाल, त्रुटि-सुधारित (error-corrected) क्वांटम कंप्यूटरों का इंतजार करने की आवश्यकता नहीं है। हम इस पद्धति के कारण निकट-अवधि के हार्डवेयर पर अभी भी उपयोगी सिमुलेशन कर सकते हैं क्योंकि यह तरीका बहुत अधिक सीधा है।

सारांश

लेखकों ने महसूस किया कि क्वांटम कंप्यूटरों को "लहरों" वाली भौतिकी को समझाने के लिए "सीधी रेखाओं" का उपयोग करने के लिए मजबूर करना अक्षम था। उन्होंने नए उपकरण (त्रिकोणमितीय गेट्स) बनाए जो उन्हें सीधे लहरों की भाषा बोलने की अनुमति देते हैं। एक चतुर "हेल्पर" सिस्टम का उपयोग करके, उन्होंने एक जटिल भौतिक मॉडल का सफलतापूर्वक सिमुलेशन किया, और प्रक्रिया के दौरान "किंक्स" को बनाया और उनका अध्ययन किया। यह एक रूलर (पैमाने) का उपयोग करके वृत्त बनाने के बजाय कंपास का उपयोग करने जैसा है: परिणाम वही है, लेकिन प्रक्रिया अनंत रूप से अधिक सहज और प्राकृतिक है।

यहाँ शोध पत्र "Trigonometric continuous-variable gates and hybrid quantum simulations of the sine-Gordon model" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

हाइब्रिड क्वांटम कंप्यूटिंग आर्किटेक्चर, जो डिस्क्रीट-वेरिएबल (DV) क्यूबिट्स को कंटीन्यूअस-वेरिएबल (CV) बोसोनिक क्वामोड्स (हार्मोनिक ऑसिलेटर्स) के साथ जोड़ते हैं, परस्पर क्रिया करने वाले बोसोनिक क्वांटम फील्ड थ्योरीज़ (QFTs) के अनुकरण (simulation) के लिए एक आशाजनक मंच प्रदान करते हैं। हालाँकि, CV क्वांटम कंप्यूटिंग के मौजूदा सार्वभौमिकता प्रतिमान (universality paradigms) मुख्य रूप से कैनोनिकल क्वाड्रचर ऑपरेटर्स ( $\hat{x}$ और $\hat{p}$ ) के पॉलीनोमियल फंक्शन्स पर निर्भर करते हैं।

यह पॉलीनोमियल दृष्टिकोण (जो टेलर एक्सपेंशन के समान है) महत्वपूर्ण सीमाओं का सामना करता है:

आवधिक संरचनाओं (Periodic Structures) के लिए अक्षमता: कई भौतिक प्रणालियाँ, विशेष रूप से उच्च-ऊर्जा और कंडेंस्ड मैटर फिजिक्स में, गैर-पॉलीनोमियल, आवधिक इंटरैक्शन (जैसे कि कोसाइन पोटेंशियल) शामिल करती हैं।
संसाधन ओवरहेड (Resource Overhead): वैश्विक या आवधिक संरचनाओं को उच्च-क्रम के पॉलिनोमियल का उपयोग करके दर्शाने के लिए गहरे सर्किट और उच्च-डिग्री विस्तार की आवश्यकता होती है, जो निकट-अवधि (near-term) हार्डवेयर पर त्रुटियों के प्रति संवेदनशील होते हैं।
नेटिव सपोर्ट का अभाव: मानक CV गेट सेट्स में सीधे ट्रिगोनोमेट्रिक ऑपरेटर्स के एक्सपोनेन्शिएशन (exponentiation) का समर्थन नहीं है, जो साइन-गॉर्डन मॉडल जैसे मॉडलों के लिए आवश्यक हैं।

यह शोध पत्र एक पूरक सार्वभौमिकता प्रतिमान की आवश्यकता को संबोधित करता है जो अक्षम पॉलीनोमियल सन्निकटन (approximations) पर निर्भर रहने के बजाय स्वाभाविक रूप से आवधिक और नॉन-पर्टर्बेटिव इंटरैक्शन को संभाल सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक ट्रिगोनोमेट्रिक कंटीन्यूअस-वेरिएबल गेट्स पर आधारित एक ढांचा प्रस्तावित करते हैं और इसे हाइब्रिड क्यूबिट-क्वामोड आर्किटेक्चर का उपयोग करके लागू करते हैं।

A. ट्रिगोनोमेट्रिक गेट निर्माण (Trigonometric Gate Construction)

मुख्य तकनीकी योगदान $e^{-it \cos(\hat{A})}$ और $e^{-it \sin(\hat{A})}$ के रूप में गेट्स को लागू करने की एक नियत (deterministic), यूनिटरी विधि है, जहाँ $\hat{A}$ क्वामोड्स पर कार्य करने वाला एक मनमाना हर्मिटियन (Hermitian) ऑपरेटर है।

एंसिला एम्बेडिंग (Ancilla Embedding): गैर-हर्मिटियन ट्रिगोनोमेट्रिक ऑपरेटर्स का सीधे एक्सपोनेन्शिएशन करने के बजाय, लेखक एक विस्तारित हिल्बर्ट स्पेस का उपयोग करके यूनिटरी ऑपरेटर $U = e^{i\hat{A}}$ को अतिरिक्त क्यूबिट्स (ancillary qubits) के माध्यम से एम्बेड करते हैं।
हर्मिटियन प्रमोशन (Hermitian Promotion): वे हाइब्रिड ऑपरेटर्स $\Sigma$ और $\bar{\Sigma}$ का निर्माण करते हैं (जो $U$ और $U^\dagger$ के रैखिक संयोजन हैं और एंसिला पर पाउली ऑपरेटर्स के साथ एंटैंगल हैं) जो हर्मिटियन और यूनिटरी दोनों हैं।
एक्सपोनेन्शिएशन (Exponentiation): इन हाइब्रिड ऑपरेटर्स को मानक एंसिला-आधारित तकनीकों का उपयोग करके एक्सपोनेन्शिएट किया जा सकता है (पाउली स्ट्रिंग्स के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकों के समान)। इन सर्किटों को जोड़कर, वे वांछित कोसाइन और साइन गेट्स उत्पन्न करते हैं।
गैर-यूनिटरी विस्तार (Non-Unitary Extension): इस ढांचे को अतिरिक्त एंसिला क्यूबिट पर संभावabilistic पोस्ट-सिलेक्शन (post-selection) के माध्यम से गैर-यूनिटरी ट्रिगोनोमेट्रिक गेट्स (जैसे $e^{-t \cos \hat{A}}$ ) के लिए विस्तारित किया गया है। ये क्वांटम इमेजरी-टाइम इवोल्यूशन (QITE) के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

B. साइन-गॉर्डन मॉडल का हाइब्रिड सिमुलेशन (Hybrid Simulation of the Sine-Gordon Model)

लेखक इस ढांचे को लैटिस साइन-गॉर्डन मॉडल पर लागू करते हैं, जो एक पैराडिग्मैटिक 1+1 आयामी QFT है जिसका हैमिल्टोनियन एक गैर-पॉलीनोमियल कोसाइन पोटेंशियल वाला है:
$H_{sG} = \sum_n \left[ \frac{1}{2}\pi_n^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{\phi_{n+1}-\phi_n}{a}\right)^2 + \frac{m^2}{\beta^2}(1 - \cos(\beta\phi_n)) \right]$

मैपिंग (Mapping): क्षेत्र $\phi_n$ और मोमेंटम $\pi_n$ को क्वामोड्स के क्वाड्रचर ऑपरेटर्स $\hat{x}_n$ और $\hat{p}_n$ में मैप किया जाता है।
बेसिस ट्रांसफॉर्मेशन (Basis Transformation): हैमिल्टोनियन के क्वाड्रेटिक (काइनेटिक) भाग को सरल बनाने के लिए, वे ग्रेडिएंट टर्म को डायगोनलाइज करने के लिए एक रियल डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) का उपयोग करते हैं, जिससे यह स्थानीय सिंगल-मोड स्क्वीजिंग और रोटेशन गेट्स में बदल जाता है।
इंटरैक्शन टर्म (Interaction Term): कोसाइन पोटेंशियल टर्म को नए विकसित ट्रिगोनोमेट्रिक गेट्स का उपयोग करके सीधे लागू किया जाता है, जहाँ तर्क (argument) क्वाड्रचर्स का एक रैखिक संयोजन होता है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

नया सार्वभौमिकता प्रतिमान: CV क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक "फूरियर-समान" सार्वभौमिकता का परिचय, जो मानक "टेलर-समान" (पॉलीनोमियल) दृष्टिकोण का पूरक है। यह आवधिक ऑपरेटर्स के कुशल प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है।
नियत गेट प्रोटोकॉल (Deterministic Gate Protocols): ट्रिगोनोमेट्रिक गेट्स ( $e^{i \cos \hat{A}}$ , $e^{i \sin \hat{A}}$ ) और इमेजरी-टाइम इवोल्यूशन के लिए गैर-यूनिटरी गेट्स को नियत रूप से लागू करने के लिए एक सर्किट आर्किटेक्चर का विकास।
हार्डवेयर अनुकूलता (Hardware Compatibility): यह प्रदर्शन करना कि ये गेट केवल मानक हाइब्रिड प्रिमिटिव्स (कंट्रोल्ड डिस्प्लेसमेंट, सिंगल-क्यूबिट रोटेशन, और फेज इंटरैक्शन) पर निर्भर करते हैं, जो ट्रैप्ड-आयन और सुपरकंडक्टिंग सर्किट प्लेटफॉर्म पर उपलब्ध हैं।
पूर्ण सिमुलेशन प्रोटोकॉल: साइन-गॉर्डन मॉडल के सिमुलेशन के लिए एक पूर्ण वर्कफ़्लो, जिसमें शामिल हैं:
- QITE के माध्यम से ग्राउंड स्टेट की तैयारी।
- रियल-टाइम यूनिटरी इवोल्यूशन।
- समय-निर्भर कोरिलेशन फंक्शन्स की गणना।
- टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन (किंक) प्रोफाइल का निष्कर्षण।

4. परिणाम (Results)

लेखकों ने ढांचे को मान्य करने के लिए छोटे लैटिस आकार ( $L=3$ और $L=5$ ) के लिए हाइब्रिड सर्किट के क्लासिकल सिमुलेशन किए:

ग्राउंड स्टेट की तैयारी: गैर-यूनिटरी ट्रिगोनोमेट्रिक गेट्स के साथ QITE का उपयोग करके, उन्होंने साइन-गॉर्डन मॉडल के ग्राउंड स्टेट को सफलतापूर्वक तैयार किया। एल्गोरिदम ने सटीक ग्राउंड-स्टेट ऊर्जा के साथ तीव्र अभिसरण (convergence) दिखाया, जिसमें मामूली सर्किट डेप्थ के साथ उच्च फिडेलिटी ( $\approx 0.971$ ) प्राप्त हुई।
रियल-टाइम डायनेमिक्स: फ्री वैक्यूम की सर्वाइवल प्रोबेबिलिटी का सिमुलेशन किया गया, जिसने स्थानीय फोक स्पेस कटऑफ ( $\Lambda$ ) के संबंध में अच्छा अभिसरण दिखाया।
कोरिलेशन फंक्शन्स: उन्होंने वर्टेक्स ऑपरेटर्स ( $e^{i\alpha\phi}$ ) के लिए समय-निर्भर टू-पॉइंट कनेक्टेड कोरिलेशन फंक्शन्स की गणना की। QITE-तैयार अवस्था के परिणाम सटीक डायगोनलाइजेशन परिणामों से बारीकी से मेल खाते हैं, जो नॉन-पर्टर्बेटिव सॉलिटोनिक एक्साइटेशन्स को पकड़ने की क्षमता को प्रदर्शित करते हैं।
किंक प्रोफाइल (Kink Profiles): टोपोलॉजिकल बाउंड्री कंडीशंस लागू करके, उन्होंने एक क्वांटम किंक (एक सॉलिटॉन) का सिमुलेशन किया। उन्होंने फील्ड प्रोफाइल और उसके वेरिएंस के एक्सपेक्टेशन वैल्यू को सफलतापूर्वक निकाला, और कपलिंग पैरामीटर $\beta$ के घटने के साथ क्वांटम से क्लासिकल व्यवहार की ओर संक्रमण को देखा (सेमी-क्लासिकल लिमिट में उतार-चढ़ाव कम हो जाते हैं)।

5. महत्व (Significance)

नॉन-पर्टर्बेटिव फिजिक्स के लिए दक्षता: यह कार्य स्थापित करता है कि ट्रिगोनोमेट्रिक गेट्स, पॉलीनोमियल एक्सपेंशन की तुलना में आवधिक पोटेंशियल वाले इंटरैक्टिंग फील्ड थ्योरीज के अनुकरण के लिए अधिक स्वाभाविक और संसाधन-कुशल भाषा प्रदान करते हैं।
NISQ प्रयोज्यता: प्रस्तावित गेट्स निकट-अवधि हाइब्रिड हार्डवेयर (ट्रैप्ड आयन, सुपरकंडक्टिंग सर्किट) के अनुकूल हैं, जो पूर्ण फॉल्ट टॉलरेंस प्राप्त करने से पहले जटिल QFTs के अनुकरण के लिए एक व्यवहार्य मार्ग प्रदान करते हैं।
टोपोलॉजिकल अंतर्दृष्टि: किंक और एंटी-किंक को सीधे सिम्युलेट करने की क्षमता टोपोलॉजिकल डिफेक्ट्स, डोमेन वॉल्स और नॉन-इक्विलिब्रियम डायनेमिक्स के अध्ययन के लिए नए रास्ते खोलती है।
व्यापक प्रभाव: हाई-एनर्जी फिजिक्स के अलावा, यह ढांचा कंडेंस्ड मैटर सिस्टम (जैसे जोसेफसन जंक्शन एरे), क्वांटम केमिस्ट्री और जैविक मॉडलों में अनुप्रयोग खोजने की उम्मीद करता है जहाँ आवधिक पोटेंशियल सर्वव्यापी हैं।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र आवधिक क्वांटम फील्ड थ्योरीज की सैद्धांतिक आवश्यकताओं और हाइब्रिड क्वांटम हार्डवेयर की व्यावहारिक क्षमताओं के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाटता है, जिससे ट्रिगोनोमेट्रिक कंटीन्यूअस-वेरिएबल गेट्स को अगली पीढ़ी के क्वांटम सिमुलेशन के लिए एक मौलिक उपकरण के रूप में स्थापित किया गया है।