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Cosmological long-wavelength solutions in non-adiabatic multi-fluid systems

यह शोध पत्र ADM फॉर्मलिज्म और स्थानिक ग्रेडिएंट विस्तार (spatial gradient expansion) का उपयोग करके गैर-एडियाबेटिक बहु-द्रव प्रणालियों के लिए सुपरहोराइजन पैमानों पर कॉस्मोलॉजिकल परम्यूटेशन्स (cosmological perturbations) का एक नॉनलीनियर निरूपण विकसित करता है, जो एडियाबेटिक और एंट्रॉपी मोड दोनों को समाहित करने वाले समाधानों का स्पष्ट रूप से निर्माण करता है और विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के तहत उनके समय विकास का विश्लेषण करता है।

मूल लेखक: Hayami Iizuka, Tomohiro Harada

प्रकाशित 2026-05-12

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hayami Iizuka, Tomohiro Harada

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक व्यस्त रसोईघर के रूप में ब्रह्मांड

कल्पना कीजिए कि प्रारंभिक ब्रह्मांड एक एकल, चिकने सूप की तरह नहीं, बल्कि एक व्यस्त रसोईघर की तरह था जहाँ कई अलग-अलग शेफ एक साथ काम कर रहे हैं। कुछ शेफ सूप (विकिरण/radiation) बना रहे हैं, कुछ ब्रेड (पदार्थ/matter) बेक कर रहे हैं, और शायद कुछ अंडे (डार्क मैटर या अन्य तरल पदार्थ) तल रहे हैं।

आमतौर पर, जब वैज्ञानिक प्रारंभिक ब्रह्मांड का अध्ययन करते हैं, तो वे मान लेते हैं कि ये सभी सामग्रियां एक ही पूर्ण, एकसमान मिश्रण में मिली हुई हैं। वे मान लेते हैं कि यदि आप मिश्रण को हिलाते हैं, तो सब कुछ पूरी तरह से एक साथ चलता है। इसे एक एडियाबेटिक (adiabatic) प्रणाली कहा जाता है (जैसे एक स्मूदी जहाँ सब कुछ पूरी तरह से मिला हुआ है)।

हालाँकि, यह शोध पत्र तर्क देता है कि वास्तविक प्रारंभिक ब्रह्मांड में, "शेफ" हमेशा पूरी तरह से एक साथ नहीं मिले थे। कभी सूप गर्म था जबकि ब्रेड ठंडी थी, या कभी अंडे ज्यादा पक गए थे जबकि सूप कम पका था। इस बेमेल स्थिति को नॉन-एडियाबेटिकिटी (non-adiabaticity) कहा जाता है। यह शोध पत्र पूछता है: जब ये विभिन्न तरल पदार्थ पूर्ण तालमेल में नहीं चलते, तो ब्रह्मांड के आकार और घनत्व का क्या होता है?

समस्या: ब्रह्मांड को सीधे मापना बहुत कठिन है

वैज्ञानिक ब्रह्मांड को इतने विशाल पैमानों पर देख रहे हैं जो उस दूरी से भी बड़े हैं जिसे प्रकाश बिग बैंग के बाद से तय कर सकता था (जिसे "सुपरहोराइजन" स्केल कहा जाता है)। यह एक छोटे से द्वीप पर खड़े होकर पूरी पृथ्वी के आकार को समझने की कोशिश करने जैसा है; आप वक्रता (curvature) को सीधे नहीं देख सकते।

इसे हल करने के लिए, वे ग्रेडिएंट एक्सपेंशन (gradient expansion) नामक एक गणितीय तरकीब का उपयोग करते हैं। कल्पना कीजिए कि आप एक ऊबड़-खाबड़ सड़क देख रहे हैं। यदि आप बहुत करीब से देखते हैं, तो उभार बहुत बड़े दिखते हैं। लेकिन यदि आप पर्याप्त दूर तक ज़ूम आउट करते हैं, तो सड़क लगभग समतल दिखाई देती है। वैज्ञानिक इतनी दूर तक ज़ूम आउट करते हैं कि "उभार" (घनत्व के उतार-चढ़ाव) बहुत सौम्य दिखने लगते हैं। वे इन सौम्य ढलानों को एक छोटे पैरामीटर (एक छोटा नंबर, $\epsilon$ ) के रूप में मानते हैं और स्टेप-दर-स्टेप समीकरणों को हल करते हैं, सबसे सपाट, सरल संस्करण से शुरू करते हैं और फिर धीरे-धीरे उभारों को वापस जोड़ते जाते हैं।

मुख्य खोज: "अलग ब्रह्मांड" (Separate Universes)

यह शोध पत्र ADM फॉर्मलिज्म (ADM formalism) नामक एक ढांचे का उपयोग करता है (ब्रह्मांड को परत दर परत अध्ययन करने के लिए स्पेसटाइम को ब्रेड के स्लाइस की तरह काटने का एक तरीका)। उन्होंने पाया कि इन विशाल पैमानों पर, ब्रह्मांड "अलग-अलग ब्रह्त्वों" के एक संग्रह की तरह व्यवहार करता है।

कल्पाना कीजिए कि स्वतंत्र बगीचों का एक विशाल क्षेत्र है। प्रत्येक बगीचे में सूर्य उगता और डूबता है, और पौधे बढ़ते हैं, लेकिन वे एक-दूसरे से बात नहीं करते हैं।

एक सिंगल-फ्लुइड (एकल-तरल) ब्रह्मांड में (एक प्रकार का पौधा), यदि आप जानते हैं कि एक बगीचा कैसे बढ़ रहा है, तो आप जानते हैं कि वे सभी कैसे बढ़ रहे हैं। वे सभी तालमेल में हैं।
इस मल्टी-फ्लुइड (बहु-तरल) ब्रह्मांड में (विभिन्न प्रकार के पौधे), प्रत्येक बगीचा अपनी गति से बढ़ सकता है। एक बगीचा तेज़ बढ़ने वाली लताओं (विकिरण) से भरा हो सकता है, जबकि दूसरे में धीमी गति से बढ़ने वाले पेड़ हो सकते हैं। क्योंकि वे अलग-अलग दरों पर बढ़ते हैं, इसलिए बगीचे का "आकार" (वक्रता) समय के साथ इस बात पर निर्भर करते हुए बदलता है कि उस स्थान पर पौधों का विशिष्ट मिश्रण क्या है।

दो मुख्य घटक: एडियाबेटिक बनाम एंट्रॉपी

लेखक रसोई में होने वाली अराजकता को दो प्रकार के "शोर" में विभाजित करते हैं:

एडियाबेटिक परम्यूटेशन्स (आयतन का नॉब - The "Volume" Knob): यह तब होता है जब पूरा रसोईघर एक ही समय में तेज़ या धीमा हो जाता है। यदि आप वॉल्यूम बढ़ाते हैं, तो सूप भी तेज़ होगा, ब्रेड भी तेज़ होगी, और अंडे भी तेज़ होंगे। उनके बीच का अनुपात समान रहता है। यह ब्रह्मांड के विस्तार का "मानक" तरीका है।
एंट्रॉपी परम्यूटेशन्स (रेसिपी का नॉब - The "Recipe" Knob): यह तब होता है जब एक स्थान से दूसरे स्थान पर रेसिपी बदल जाती है। एक बगीचे में, आपके पास बहुत अधिक सूप और बहुत कम ब्रेड है। दूसरे में, इसके विपरीत है। कुल वॉल्यूम समान हो सकता है, लेकिन मिश्रण अलग है। इसे एंट्रॉपी (या आइसोक्यूरवेचर) परम्यूटेशन कहा जाता है।

बड़ा मोड़: केवल एक तरल पदार्थ वाले ब्रह्मांड में, "रेसिपी नॉब" मौजूद नहीं होता। लेकिन एक मल्टी-फ्लुइड ब्रह्मांड में, "रेसिपी नॉब" वास्तविक और शक्तिशाली है। शोध पत्र दिखाता है कि यह "रेसिपी नॉब" वास्तव में ब्रह्मांड के आकार (वक्रता) को समय के साथ बदल सकता है, यहाँ तक कि सबसे बड़े पैमानों पर भी। यह एक आश्चर्य है क्योंकि सरल मॉडलों में, यह माना जाता था कि ब्रह्मांड का आकार बनने के बाद स्थिर (frozen) हो जाता है।

"जियोडेसिक स्लाइस": पर्यवेक्षक का दृष्टिकोण

इसे समझने के लिए, लेखकों को ब्रह्मांड के विकास को देखने का एक विशिष्ट तरीका चुनना पड़ा, जिसे वे जियोडेसिक स्लाइस (geodesic slice) कहते हैं।

कल्पना कीजिए कि आप एक रबर शीट (स्पेसटाइम) पर चलने वाली एक छोटी चींटी हैं। यदि शीट खिंचती है, तो आप उसके साथ चलते हैं। यह "जियोडेसिक" दृश्य है।
शोध पत्र दिखाता है कि यदि आप इस विशिष्ट "चींटी के नजरिए" से ब्रह्मांड को देखते हैं, तो "रेसिपी नॉब" (एंट्रॉपी) वक्रता को हिलाता और बदलता है, क्योंकि विभिन्न तरल पदार्थ (विकिरण बनाम पदार्थ) रसोई पर बारी-बारी से कब्जा करते हैं।

प्रदर्शन: पदार्थ बनाम विकिरण

लेखकों ने अपने सिद्धांत का परीक्षण एक विशिष्ट परिदृश्य के साथ किया: एक ब्रह्मांड जो विकिरण (Radiation) (गर्म, तेज़ गति वाले कण) और पदार्थ (Matter) (धीमी, गांठदार चीज़ें) से भरा है।

प्रारंभिक समय: विकिरण हावी है। ब्रह्मांड ऐसा व्यवहार करता है जैसे इसमें एक ही तरल पदार्थ है। "रेसिपी नॉब" मुश्किल से दिखाई देता है।
संक्रमण (The Transition): जैसे-जैसे ब्रह्मांड फैलता है, विकिरण पदार्थ की तुलना में तेज़ी से ठंडा होता जाता है। अंततः, पदार्थ नियंत्रण ले लेता है।
परिणाम: इस संक्रमण के दौरान, "रेसिपी नॉब" बेतहाशा घूमता है। अंतरिक्ष की वक्रता (ब्रह्मांड कितना मुड़ा हुआ है) महत्वपूर्ण रूप से बदल जाती है। यह स्थिर नहीं है। पदार्थ और विकिरण का घनत्व जटिल, गैर-रेखीय (non-linear) तरीकों से उतार-चढ़ाव करता है जिसे पिछला सरल गणित अनुमान नहीं लगा सका था।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

लेखकों ने कंप्यूटर सिमुलेशन के लिए प्रारंभिक स्थितियाँ (initial conditions) बनाने के लिए यह गणितीय "इंजन" बनाया है।

यदि आप यह सिम्युलेट करना चाहते हैं कि प्राइमॉर्डियल ब्लैक होल्स (बिग बैंग के तुरंत बाद बने छोटे ब्लैक होल) कैसे पैदा होते हैं, तो आपको सिमुलेशन को ब्रह्मांड के सही "उभारों" के साथ शुरू करने की आवश्यकता है।
पिछले मॉडलों ने माना था कि ब्रह्मांड एक चिकना, एकल तरल पदार्थ है। यह शोध पत्र कहता है, "नहीं, यह विभिन्न तरल पदार्थों का मिश्रण है, और यह मिश्रण मायने रखता है।"
अपने नए सूत्रों का उपयोग करके, वैज्ञानिक अब अपने सुपर कंप्यूटरों में अधिक यथार्थवादी शुरुआती डेटा फीड कर सकते हैं ताकि यह देखा जा सके कि क्या ये "रेसिपी नॉब" के उतार-चढ़ाव पदार्थ को ब्लैक होल में बदलने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली हैं।

एक वाक्य में सारांश

यह शोध पत्र यह वर्णन करने के लिए एक नया गणितीय टूलकिट प्रदान करता है कि कैसे विभिन्न "तरल पदार्थों" (जैसे विकिरण और पदार्थ) से बना ब्रह्मांड विकसित होता है जब वे एक साथ नहीं चलते, यह प्रकट करता है कि इन तरल पदार्थों का "मिश्रण" सक्रिय रूप से समय के साथ अंतरिक्ष के आकार को बदल सकता है, जो यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि पहले ब्लैक होल कैसे बन सकते थे।

तकनीकी सारांश: गैर-एडियाबेटिक बहु-द्रव प्रणालियों में कॉस्मोलॉजिकल दीर्घ-तरंग समाधान

समस्या विवरण
प्रारंभिक ब्रह्मांड में बड़े आयाम वाले घनत्व उतार-चढ़ाव से आदिम ब्लैक होल (PBHs) के निर्माण के लिए गैर-रेखीय गुरुत्वाकर्षण पतन (nonlinear gravitational collapse) के कठोर उपचार की आवश्यकता होती है। छोटे उतार-चढ़ाव के लिए रैखिक विचलन सिद्धांत (linear perturbation theory) पर्याप्त है, लेकिन पतन की प्रक्रिया स्वाभाविक रूप से गैर-रेखीय है, जिसके लिए पूर्ण आइंस्टीन समीकरणों के समाधान की आवश्यकता होती है। मौजूदा दीर्घ-तरंग सन्निकटन विधियाँ (long-wavelength approximation methods), विशेष रूपकर ग्रेडिएंट विस्तार योजना (gradient expansion scheme), एकल-द्रव या प्रभावी एकल-द्रव प्रणालियों के लिए व्यापक रूप से विकसित की गई हैं जहाँ समीकरण का अवस्था (equation of state) बैरोट्रोपिक है और विचलन एडियाबेटिक (adiabatic) हैं। हालांकि, प्रारंभिक ब्रह्मांड में संभवतः विभिन्न ऊष्मप्रवैगिकी गुणों वाले कई संक्रमणकालीन युग (जैसे, रीहीटिंग, QCD चरण संक्रमण) हुए होंगे जिनमें कई द्रव घटक शामिल थे। ऐसे गैर-एडियाबेटिक बहु-द्रव प्रणालियों में, एंट्रॉपी (इसोक्यूरवेचर) विचलन एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। पिछले प्रारूपों ने अक्सर यह माना कि एक घटक ऊर्जा बजट पर हावी था या प्रणाली को प्रभावी रूप से एडियाबेटिक माना गया। उन सामान्य बहु-द्रव प्रणालियों के लिए स्पष्ट, पूर्णतः गैर-रेखीय दीर्घ-तरंग समाधानों का अभाव है जहाँ कई घटक ऊर्जा घनत्व में तुलनीय योगदान देते हैं, और जहाँ आंतरिक गैर-एडियाबेटिकता वक्रता (curvature) और घनत्व विचलन के अग्रणी व्यवहार को प्रभावित करती है। यह अंतराल PBH निर्माण के बहु-घटक परिदृश्यों के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन (numerical simulations) के निर्माण के लिए सुसंगत भौतिक प्रारंभिक स्थितियों के निर्माण में बाधा डालता है।

कार्यप्रणाली
लेखक ADM फॉर्मलिज्म (Arnowitt–Deser–Misner) के साथ एक स्थानिक ग्रेडिएंट विस्तार का उपयोग करके सुपरहोराइजन स्केल पर गैर-रेखीय कॉस्मोलॉजिकल विचलनों का एक प्रारूप विकसित करते हैं। विस्तार को एक छोटे पैरामीटर $\epsilon \equiv k/(aH)$ द्वारा अभिलक्षित किया जाता है, जहाँ $k$ एक फिडुशियल फ्लेट FLRW स्पेसटाइम का कोमोविंग वेवनंबर है, और $H$ हबल पैरामीटर है। विश्लेषण $\epsilon \ll 1$ मानकर $\epsilon$ पर ध्यान केंद्रित करता है, जो हबल त्रिज्या से बड़े पैमानों पर केंद्रित है।

मुख्य कार्यप्रणाली संबंधी चरण शामिल हैं:

ADM अपघटन (Decomposition): स्पेसटाइम मीट्रिक को लैप्स फंक्शन, शिफ्ट वेक्टर और प्रेरित मीट्रिक में विभाजित किया गया है। $N$ टकराव रहित परफेक्ट फ्लूइड्स के ऊर्जा-संवेग टेंसर को सामान्य वेक्टर के सापेक्ष ऊर्जा घनत्व, संवेग घनत्व और स्ट्रेस टेंसर घटकों में विभाजित किया गया है।
कॉन्फ़ॉर्मल अपघटन: प्रेरित मीट्रिक को एक स्केल फैक्टर, एक कॉन्फ़ॉर्मल फैक्टर $\psi$ और एक ट्रेसलेस भाग में विभाजित किया गया है। एक्सट्रिंसिक कर्वेचर (extrinsic curvature) को भी इसके ट्रेस (मीन कर्वेचर $K$ ) और एक ट्रेसलेस भाग में विभाजित किया गया है।
ग्रेडिएंट विस्तार: क्षेत्र समीकरणों (हैमिल्टोनियन बाधा, मोमेंटम बाधा, और विकास समीकरण) को $\epsilon$ की घातों में विस्तारित किया गया है। लेखक अग्रणी-क्रम ( $O(\epsilon^0)$ ) समीकरणों को व्युत्पन्न करते हैं, यह मानते हुए कि स्पेसटाइम दीर्घ-तरंग सीमा में स्थानीय रूप से समरूप और समदैशिक (homogeneous and isotropic) है।
विचलन की परिभाषा: लेखक बहु-द्रव प्रणालियों के लिए गैर-रेखीय तरीके से एडियाबेटिक और एंट्रॉपी विचलन को परिभाषित करते हैं। एक एडियाबेटिक विचलन को एक सामान्य स्थानिक रूप से निर्भर समय शिफ्ट (या e-फोल्डिंग संख्या शिफ्ट $\delta N$ ) के अस्तित्व द्वारा परिभाषित किया जाता है जो सभी द्रव घटकों के लिए उनके बैकग्राउंड घनत्वों को मैप करता है। एंट्रॉपी विचलन इस स्थिति से विचलन हैं।
स्लाइसिंग स्थितियाँ: अध्ययन विभिन्न स्लाइसिंग स्थितियों की जांच करता है, जिसमें यूनिफॉर्म e-फोल्डिंग ( $N$ ) स्लाइस, कांस्टेंट मीन कर्वेचर (CMC) स्लाइस, और जियोडेसिक स्लाइस (जहाँ लैप्स फंक्शन $\alpha=1$ है) शामिल हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

एडियाबेटिक और एंट्रॉपी मोड की गैर-रेखीय परिभाषा: शोध पत्र सामान्य बहु-द्रव कॉस्मोलॉजी के लिए लागू होने वाले पूर्णतः गैर-रेखीय एडियाबेटिक और एंट्रॉपी विचलन की परिभाषा प्रदान करता है। यह प्रदर्शित करता है कि बहु-द्रव प्रणालियों में, ग्रेडिएंट विस्तार के अग्रणी क्रम पर भी, प्रणाली में आंतरिक गैर-एडियाबेटिकता के कारण दोनों एडियाबेटिक और एंट्रॉपी मोड मौजूद होते हैं। लेखक दिखाते हैं कि व्यक्तिगत द्रवों के संरक्षण समीकरणों से उत्पन्न होने वाले स्थानिक एकीकरण फलन (integration functions) वास्तविक भौतिक स्वतंत्रताएँ (degrees of freedom) हैं जिन्हें गेज ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा हटाया नहीं जा सकता है।
स्पष्ट दीर्घ-तरंग समाधान: लेखक सामान्य बहु-द्रव प्रणालियों के लिए स्पष्ट गैर-रेखीय दीर्घ-तरंग समाधानों का निर्माण करते हैं। वे प्रत्येक द्रव घटक के अग्रणी-क्रम ऊर्जा घनत्व को इंटीग्रल फंक्शन्स $C^{(\alpha)}(x^k)$ और कॉन्फ़ॉर्मल फैक्टर $\Psi$ के पदों में व्यक्त करते हैं।
वक्रता विचलन की समय निर्भरता: एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि गैर-एडियाबेटिक बहु-द्रव प्रणालियों में, वक्रता विचलन (जिसे कॉन्फ़ॉर्मल फैक्टर $\Psi$ या स्थानीय e-फोल्डिंग संख्या द्वारा दर्शाया जाता है) सुपरहोरजन स्केल पर आवश्यक रूप से संरक्षित नहीं होता है, भले ही वह अग्रणी क्रम पर हो। एकल-द्रव एडियाबेटिक प्रणालियों में जहाँ $\zeta$ स्थिर रहता है, बहु-द्रव प्रणालियों में वक्रता विचलन एंट्रॉपी विचलन द्वारा संचालित होकर समय के साथ विकसित होता है।
शुद्ध एंट्रॉपी विचलन की गैर-विशिष्टता: शोध पत्र इस बात पर प्रकाश डालता है कि एक "शुद्ध" एंट्रॉपी विचलन (जहाँ एडियाबेटिक मोड को शून्य कर दिया जाता है) को परिभाषित करना गैर-विशिष्ट (non-unique) है। लेखक एडियाबेटिक मोड को अलग करने और शुद्ध एंट्रॉपी प्रारंभिक स्थितियाँ परिभाषित करने के लिए तीन अलग-अलग विधियाँ प्रस्तावित करते हैं:
1. प्राइमिवल इसोक्यूरवेचर स्थिति: एक प्रारंभिक समय पर जब एक घटक हावी होता है, एंट्रॉपी विचलन को शून्य करना।
2. जीरो-एवरेज स्थिति: व्यक्तिगत द्रव e-फोल्डिंग शिफ्ट के औसत के रूप में एडियाबेटिक मोड को परिभाषित करना।
3. इनिशियल इसोक्यूरवेचर स्थिति: एक प्रारंभिक समय $t_0$ पर कॉन्फ़ॉर्मल फैक्टर $\Psi=1$ को स्थिर करना।
  लेखक प्रदर्शित करते हैं कि ये विभिन्न विकल्प वक्रता विचलन के लिए अलग-अलग समय विकास की ओर ले जाते हैं, हालांकि व्यक्तिगत घटकों के भौतिक घनत्व विचलन इन परिभाषाओं के तहत अपरिवर्तित रहते हैं।
दो-द्रव प्रणाली विश्लेषण: इस ढांचे को दो-द्रव प्रणालियों पर लागू किया गया है। लेखक स्पष्ट समाधान व्युत्पन्न करते हैं जो दिखाते हैं कि जबकि व्यक्तिगत घटकों के घनत्व विचलन केवल एंट्रॉपी मोड (विशेष रूप से इंटीग्रल फंक्शन्स के अनुपात) पर निर्भर करते हैं, वक्रता विचलन चुने गए एडियाबेटिक मोड की विशिष्ट परिभाषा पर निर्भर करता है।
मैटर-रेडिएशन प्रदर्शन: एक ठोस उदाहरण के रूप में, लेखक एक मैटर-रेडिएशन प्रणाली का विश्लेषण करते हैं। वे दिखाते हैं कि एक शुद्ध एंट्रॉपी प्रारंभिक स्थिति के लिए, वक्रता विचलन समानता युग (equality epoch - जब पदार्थ और विकिरण घनत्व तुलनीय होते हैं) के आसपास महत्वपूर्ण रूप से विकसित होता है, लेकिन प्रारंभिक (विकिरण-प्रधान) और देर के (पदार्थ-प्रधान) दोनों सीमाओं में एक स्थिर मान की ओर अग्रसर होता है, जहाँ प्रणाली प्रभावी रूप से एक एकल एडियाबेटिक द्रव के रूप में व्यवहार करती है। घनत्व विचलन को गैर-रेखीय रूप से बढ़ते हुए और अंततः समय-स्वतंत्र प्रोफाइल में स्थिर होते हुए दिखाया गया है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह गैर-एडियाबेटिक बहु-घटक ब्रह्मांडों में गैर-रेखीय विचलनों का अध्ययन करने के लिए एक सुसंगत सैद्धांतिक आधार स्थापित करता है। कई द्रवों के गैर-नगण्य योगदानों को ध्यान में रखते हुए स्पष्ट दीर्घ-तरंग समाधानों का निर्माण करके, लेखक बहु-घटक परिदृश्यों में PBH निर्माण के संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए आवश्यक भौतिक प्रारंभिक स्थितियाँ प्रदान करते हैं। यह कार्य पारंपरिक $\delta N$ फॉर्मलिज्म (जो सेपरेट यूनिवर्स चित्र पर निर्भर करता है) को उन परिदृश्यों तक विस्तारित करता है जहाँ समीकरण का अवस्था बैरोट्रोपिक नहीं है और एंट्रॉनी विचलन अग्रणी क्रम पर महत्वपूर्ण हैं। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि इन प्रणालियों में वक्रता विचलन का समय विकास आंतरिक गैर-एडियाबेटिकता का प्रत्यक्ष परिणाम है, जो एक विशेषता है जो बहु-द्रव गतिशीलता को एकल-द्रव एडियाबेटिक परिदृश्यों से अलग करती है। व्युत्पन्न समाधानों का उपयोग प्रारंभिक ब्रह्मांड में PBH निर्माण की दहलीज (threshold) और गतिशीलता की जांच करने के लिए संख्यात्मक सापेक्षता (numerical relativity) सिमुलेशन के लिए प्रारंभिक डेटा के रूप में किया जाना है।