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The stealth Kerr solution in the bumblebee gravity

यह शोध पत्र बम्बलबी ग्रेविटी (bumblebee gravity) में एक गैर-तुच्छ वेक्टर क्षेत्र के साथ एक केर ब्लैक होल समाधान प्रस्तुत करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि इस समाधान को न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम का उपयोग करके एक गोलाकार समकक्ष से प्राप्त किया जा सकता है, जिससे एल्गोरिदम की सामान्य सापेक्षता से परे वैधता का एक दुर्लभ उदाहरण प्राप्त होता है।

मूल लेखक: Rui Xu, Zhan-Feng Mai, Dicong Liang

प्रकाशित 2026-03-31

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Rui Xu, Zhan-Feng Mai, Dicong Liang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, अदृश्य कपड़े की तरह है जिसे स्पेसटाइम (spacetime) कहा जाता है। दशकों तक, इस कपड़े का हमारा सबसे अच्छा नक्शा अल्बर्ट आइंस्टीन ने अपने जनरल रिलेटिविटी (GR) के सिद्धांत में बनाया था। आइंस्टीन की दुनिया में, तारे और ब्लैक होल जैसी विशाल वस्तुएं इस कपड़े में "गड्ढे" बनाती हैं, और वे गड्ढे अन्य वस्तुओं को यह बताते हैं कि उन्हें कैसे चलना है।

लेकिन क्या होगा अगर इस कपड़े में केवल गुरुत्वाकर्षण से अधिक कुछ है? क्या होगा अगर इसमें कोई अदृश्य "हवा" या कोई छिपा हुआ "क्षेत्र" (field) बह रहा है जिसे हमने अभी तक नहीं देखा है?

यह शोधपत्र एक बहुत ही विशेष, चालाकी से छिपे हुए घूमते हुए ब्लैक होल की खोज के बारे में है, जो एक ऐसे ब्रह्मांड में मौजूद है जहाँ यह अदृश्य हवा मौजूद है। यहाँ इसकी कहानी सरल अवधारणाओं में दी गई है।

1. "बंबलबी" ग्रेविटी मॉडल (The "Bumblebee" Gravity Model)

जनरल रिलेटिविटी को एक सख्त नियम पुस्तिका के रूप में सोचें: "द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण बनाता है, और बस इतना ही।"

लेखक एक नई, थोड़ी अलग नियम पुस्तिका की ओर देख रहे हैं जिसे बंबलबी ग्रेविटी (Bumblebee Gravity) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड में एक "बंबलबी" (भौंरा) मंडरा रहा है। यह कोई वास्तविक कीट नहीं है, बल्कि एक गणितीय वेक्टर फील्ड (vector field) है (इसे हवा या चुंबकीय क्षेत्र की तरह समझें) जो हर जगह मौजूद है।

इस सिद्धांत के अधिकांश संस्करणों में, बंबलबी की हवा स्पेसटाइम के कपड़े को बिगाड़ देती है, जिससे अजीब विकृतियाँ पैदा होती हैं। हालाँकि, लेखकों ने एक बहुत ही विशिष्ट सेटिंग (नियमों की एक विशिष्ट "ट्यूनिंग") पाई है जहाँ कुछ जादुई होता है: बंबलबी की हवा वहाँ है, लेकिन वह गुरुत्वाकर्षण के लिए अदृश्य है।

2. "स्टेल्थ" ब्लैक होल (The "Stealth" Black Hole)

भौतिकी में, एक "स्टेल्थ" (stealth) समाधान एक निंजा की तरह होता है। इसका अस्तित्व है, इसमें ऊर्जा है, लेकिन यह गुरुत्वाकर्षण के पैमाने पर कोई निशान नहीं छोड़ता।

पुरानी खोज: पहले, वैज्ञानिकों ने एक "स्टेल्थ श्वार्ज़चाइल्ड" (Stealth Schwarzschild) ब्लैक होल की खोज की थी। यह एक ऐसा ब्लैक होल है जो घूम नहीं रहा है। यह आइंस्टीन के सिद्धांत वाले एक सामान्य ब्लैक होल जैसा ही दिखता है, लेकिन इसमें यह अदृश्य बंबलबी हवा बह रही है। हवा और गुरुत्वाकर्षण एक दूसरे को पूरी तरह से संतुलित कर देते हैं, जिससे ब्लैक होल बाहर से "सामान्य" दिखाई देता है।
नई खोज: लेखकों ने पूछा, "क्या होगा यदि ब्लैक होल घूम रहा हो?" (जैसे एक लट्टू)। वास्तविक जीवन में, लगभग सभी ब्लैक होल घूमते हैं। उन्होंने "स्टेल्थ केर" (Stealth Kerr) समाधान की खोज की।
- परिणाम: उन्होंने एक घूमता हुआ ब्लैक होल पाया जो आइंस्टीन के सिद्धांत के प्रसिद्ध 'केर ब्लैक होल' जैसा ही दिखता है।
- ट्विस्ट: भले ही यह आइंस्टीन के ब्लैक होल जैसा ही दिखता है, लेकिन इसके साथ वास्तव में वह गैर-तुच्छ (non-trivial), अदृश्य बंबलबी हवा मौजूद है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक जादूगर (ब्लैक होल) ने एक लबादा (cloak) पहना हुआ है (बंबलबी फील्ड)। अधिकांश सिद्धांतों में, लबादा जादूगर को विशाल और विकृत दिखाता है। लेकिन इस विशिष्ट "स्टेल्थ" सिद्धांत में, लबादा एक विशेष सामग्री से बना है जो जादूगर को बिल्कुल उसी आकार और रूप में दिखाता है जैसे कि उसने कुछ पहना ही न हो। आप केवल आकार देखकर अंतर नहीं बता सकते, लेकिन लबादा निश्चित रूप से वहाँ है।

3. जादू का खेल: न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम (The Newman-Janis Algorithm)

उन्होंने इस घूमते हुए समाधान को कैसे खोजा? उन्होंने शून्य से शुरुआत नहीं की। उन्होंने एक गणितीय "जादू के खेल" का उपयोग किया जिसे न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम (Newman-Janis algorithm) कहा जाता है।

इस एल्गोरिदम को ब्लैक होल के लिए एक 3D प्रिंटर की तरह समझें:

आप इसमें एक सरल, बिना घूमता हुआ (गोलाकार) ब्लैक होल डालते हैं।
मशीन जटिल प्रकार के रोटेशन और "कॉम्प्लेक्स नंबर" के हेर-फेर करती है।
यह एक घूमता हुआ (rotating) ब्लैक होल बाहर निकालती है।

आमतौर पर, यह ट्रिक केवल आइंस्टीन की जनरल रिलेटिविटी में पूरी तरह से काम करती है। यदि आप इसे अन्य, अधिक जटिल गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों में आज़माते हैं, तो मशीन आमतौर पर जाम हो जाती है, या परिणाम एक गड़बड़ होता है जिसका कोई अर्थ नहीं निकलता।

शोधपत्र की सफलता: लेखकों ने दिखाया कि इस विशिष्ट "स्टेल्थ बंबलबी" सिद्धांत के लिए, यह 3D प्रिंटर पूरी तरह से काम करता है! आप सरल, बिना घूमते हुए स्टेल्थ ब्लैक होल को ले सकते हैं, उसे एल्गोरिदम से गुजार सकते हैं, और बाहर एक घूमता हुआ स्टेल्थ ब्लैक होल निकल आता है। यह एक दुर्लभ और सुंदर परिणाम है क्योंकि यह सुझाव देता है कि यह विशिष्ट सिद्धांत गणितीय रूप से बहुत "साफ" है और आइंस्टीन के मूल सिद्धांत के बहुत समान है।

4. यह क्यों महत्वपूर्ण है?

आप पूछ सकते हैं, "यदि यह आइंस्टीन के ब्लैक होल जैसा ही दिखता है, तो हमें इसकी परवाह क्यों है?"

यह एक छिपा हुआ सुराग है: भले ही ब्लैक होल का आकार समान हो, लेकिन अदृश्य हवा (वेक्टर फील्ड) वास्तविक है। यदि हम ब्लैक होल को बहुत सटीकता से माप सकें (गुरुत्वाकर्षण तरंगों या इवेंट होराइजन टेलीस्कोप का उपयोग करके), तो हम इस हवा के व्यवहार में आइंस्टीन की भविष्यवाणियों की तुलना में सूक्ष्म अंतर का पता लगा सकते हैं।
यह चीजों को सरल बनाता है: आमतौर पर, गुरुत्वाकर्षण में नए क्षेत्रों (fields) को जोड़ने से गणित एक दुःस्वप्न बन जाता है। यहाँ, लेखकों ने एक ऐसा मामला पाया है जहाँ नया क्षेत्र वास्तव में गणित को सरल बना देता है, जिससे घूमता हुआ ब्लैक होल पुराने, परिचित ब्लैक होल जैसा ही दिखता है। यह एक नया तरीका खोजने जैसा है जिससे केक का स्वाद क्लासिक रेसिपी जैसा ही रहता है, लेकिन उसमें एक गुप्त सामग्री का उपयोग होता है जो प्रक्रिया को आसान बना देती है।
ब्रह्मांड का परीक्षण करना: चूंकि हमारे ब्रह्मांड में अधिकांश ब्लैक होल घूमते हैं, इसलिए इस वैकल्पिक सिद्धांत में घूमते हुए ब्लैक होल का समाधान होने से वैज्ञानिकों को यह परीक्षण करने में मदद मिलती है कि हमारा ब्रह्मांड आइंस्टीन के नियमों का पालन करता है या पृष्ठभूमि में कोई "बंबलबी" हवा छिपी हुई है।

सारांश

लेखकों ने एक "भूतिया" (ghost) ब्लैक होल की खोज की है। यह घूमता है, इसमें द्रव्यमान है, और इसके चारों ओर ऊर्जा का एक अदृश्य, घूमता हुआ क्षेत्र है। लेकिन भौतिकी के नियमों में एक विशेष संतुलन के कारण, यह क्षेत्र पूरी तरह से छिप जाता है, जिससे ब्लैक होल बिल्कुल वैसा ही दिखता है जैसा आइंस्टीन ने भविष्यवाणी की थी। उन्होंने इसे एक गणितीय "टाइम मशीन" (न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम) का उपयोग करके सिद्ध किया, जो एक साधारण, बिना घूमते हुए भूत को एक घूमते हुए ब्लैक होल में बदल देती है।

यह इस बात का एक सुंदर उदाहरण है कि कैसे प्रकृति एक बहुत ही सरल दिखने वाले पैकेज (केर मेट्रिक) के भीतर एक जटिल रहस्य (वेक्टर फील्ड) को छिपा सकती है।

यहाँ "The stealth Kerr solution in the bumblebee gravity" (Xu, Mai, और Liang द्वारा) शोध पत्र का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र संशोधित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों (modified gravity theories), विशेष रूप से बंबलबी ग्रेविटी मॉडल (bumblebee gravity model) के भीतर विश्लेषणात्मक घूमते हुए ब्लैक होल (rotating black hole) समाधान खोजने की चुनौती को संबोधित करता है। यह मॉडल रीची कर्वेचर टेंसर ( $R_{\mu\nu}$ ) और कर्वेचर स्केलर ( $R$ ) के साथ गैर-न्यूनतम युग्मन (non-minimal couplings) वाले एक वेक्टर फील्ड ( $B_\mu$ ) को पेश करके सामान्य सापेक्षता (GR) का विस्तार करता है।

जबकि विशिष्ट युग्मन स्थिरांकों (coupling constants) के लिए स्थिर (गोलीय सममित) "स्टेल्थ" (stealth) समाधान (जहाँ मीट्रिक GR समाधानों के समान है, बावजूद एक गैर-तुच्छ वेक्टर फील्ड की उपस्थिति के) ज्ञात थे, यह स्पष्ट नहीं था कि:

क्या इस मॉडल में एक घूमता हुआ (Kerr-like) स्टेल्थ समाधान मौजूद है।
क्या न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम (NJA)—जो GR में स्थिर समाधानों से घूमते हुए मीट्रिक उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक शक्तिशाली तरीका है—वेक्टर-टेंसर सिद्धांतों में GR से परे सफलतापूर्वक लागू किया जा सकता है।
क्या यह एल्गोरिदम सामान्य युग्मन मापदंडों के लिए मान्य है या केवल विशिष्ट "स्टेल्थ" विन्यासों के लिए।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक बहु-चरणीय विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण अपनाते हैं:

मॉडल परिभाषा (Model Definition): वे एक विशिष्ट बंबलबी एक्शन पर ध्यान केंद्रित करते हैं जहाँ $\xi_1 = 2\kappa$ , $\xi_2 = 0$ , और $V=0$ है। इस शासन (regime) में, वेक्टर फील्ड का ऊर्जा-संवेग टेंसर (energy-momentum tensor) शून्य हो जाता है, जिससे मीट्रिक एक वैक्यूम GR समाधान (श्वार्ज़चाइल्ड या केर) बना रह सकता है जबकि एक गैर-तुच्छ वेक्टर फील्ड का समर्थन करता है।
न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम (N-J Algorithm): मुख्य कार्यप्रणाली में घूमते हुए समाधान को उत्पन्न करने के लिए NJA को लागू करना शामिल है। लेखक दो औपचारिकताओं (formalisms) का परीक्षण करते हैं:
1. टेट्राड फॉर्मलिज्म (Tetrad Formalism): नुल टेट्राड्स (null tetrads) और जटिल निर्देशांक रूपांतरणों का उपयोग करके।
2. जियाम्पीरी का फॉर्मलिज्म (Giampieri's Formalism): निर्देशांकों के जटिलीकरण (complexification) और एक विशिष्ट स्लाइसिंग एंसेट्स (slicing ansatz) से जुड़ा एक सरल दृष्टिकोण।
व्युत्पत्ति प्रक्रिया (Derivation Process):
1. ज्ञात स्टेल्थ श्वार्ज़चाइल्ड समाधान (मीट्रिक श्वार्ज़चाइल्ड है; वेक्टर फील्ड गैर-तुच्छ है) से शुरू करें।
2. एडिंगटन-फिंकेल्स्टीन निर्देशांकों (Eddington-Finkelstein coordinates) में बदलें।
3. रेडियल निर्देशांक को जटिल (complexify) करें ( $r \to r + ia\cos\theta$ ) और घूर्णन पैरामीटर $a$ पेश करने के लिए निर्देशांक रूपांतरण लागू करें।
4. परिणामी मीट्रिक और वेक्टर फील्ड व्युत्पन्न करें।
5. बंबलबी मॉडल के पूर्ण क्षेत्र समीकरणों (field equations) के विरुद्ध समाधान को सत्यापित करें।
सामान्य केस विश्लेषण (General Case Analysis): लेखक यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह एल्गोरिदम इस सिद्धांत में सार्वभौमिक रूप से लागू है, सामान्य गोलाकार समाधान (जहाँ $\xi \neq 2\kappa$ या मुक्त पैरामीटर गैर-शून्य हैं) पर NJA लागू करने का प्रयास करते हैं।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

स्टेल्थ केर समाधान की खोज (Discovery of the Stealth Kerr Solution): यह शोध पत्र बंबलबी मॉडल के लिए पहला विश्लेषणात्मक घूमते हुए ब्लैक होल समाधान प्रस्तुत करता है जहाँ मीट्रिक ठीक केर मीट्रिक (Kerr metric) है, जो एक गैर-तुच्छ वेक्टर फील्ड के साथ है।
न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम का सत्यापन (Validation of the Newman-Janis Algorithm): लेखक प्रदर्शित करते हैं कि यह विशिष्ट बंबलबी मॉडल के लिए NJA पूरी तरह से काम करता है, जो स्टेल्थ श्वार्ज़चाइल्ड वेक्टर फील्ड से सफलतापूर्वक स्टेल्थ केर वेक्टर फील्ड उत्पन्न करता है।
एल्गोरिदम की सीमाओं की पहचान (Identification of Algorithmic Limitations): वे सिद्ध करते हैं कि NJA बंबलबी मॉडल के सामान्य मामले (जहाँ युग्मन स्थिरांक विशिष्ट "स्टेल्थ" मान नहीं है) के लिए विफल हो जाता है। सामान्य मामले में, एल्गोरिदम असंगत क्षेत्र समीकरण (inconsistent field equations) उत्पन्न करता है, जिसका अर्थ है कि घूमते हुए समाधान तब तक सरलता से उत्पन्न नहीं किए जा सकते जब तक कि "स्टेल्थ" स्थिति पूरी न हो जाए।
आवेश व्याख्या (Charge Interpretation): लेखक स्टेल्थ केर समाधान को एक आवेशित घूमते हुए ब्लैक होल (charged rotating black hole) के रूप में व्याख्यायित करते हैं। हालांकि मीट्रिक अनचार्ज्ड केर मीट्रिक के समान है, गैर-न्यूनतम युग्मन एक प्रभावी विद्युत आवेश $Q = -\sqrt{2\kappa}\lambda_0 M$ प्रेरित करता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

A. स्टेल्थ केर समाधान (The Stealth Kerr Solution)

विशिष्ट मॉडल ( $\xi_1 = 2\kappa, \xi_2 = 0, V=0$ ) के लिए, समाधान में शामिल हैं:

मीट्रिक: मानक केर मीट्रिक ( $ds^2_{Kerr}$ )।
वेक्टर फील्ड: एक गैर-तुच्छ वेक्टर फील्ड $b_\mu$ जो इस प्रकार है:
$b_\mu dx^\mu = \lambda_0 \left[ \left(1 - \frac{2M\tilde{r}}{\Sigma}\right) d\tilde{t} + \frac{2Ma\tilde{r}\sin^2\tilde{\theta}}{\Sigma} d\tilde{\phi} \right]$
जहाँ $\Sigma = \tilde{r}^2 + a^2\cos^2\tilde{\theta}$ और $\lambda_0$ एक स्वतंत्र स्थिरांक है।
सत्यापन: इसे क्षेत्र समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर $G_{\mu\nu} = 0$ प्राप्त होता है क्योंकि वेक्टर फील्ड की गतिज ऊर्जा (kinetic energy) और गैर-न्यूनतम युग्मन पद एक-दूसरे को ठीक से रद्द कर देते हैं।

B. न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम की सफलता (Success of the Newman-Janis Algorithm)

स्टेल्थ श्वार्ज़चाइल्ड वेक्टर फील्ड ( $b_\mu \propto \partial_u$ ) पर NJA लागू करने से ऊपर व्युत्पन्न स्टेल्थ केर वेक्टर फील्ड प्राप्त होता है।
यह पुष्टि करता है कि NJA इस विशिष्ट वेक्टर-टेंसर सिद्धांत में घूमते हुए समाधानों को उत्पन्न करने के लिए एक वैध उपकरण है, जो इसे GR के बाहर इसके सबसे सरल उदाहरणों में से एक बनाता है।

C. सामान्य मामले में विफलता (Failure in the General Case)

जब सामान्य गोलाकार समाधान (स्वैच्छिक $\mu_0, \lambda_1$ के साथ) पर NJA लागू करने का प्रयास किया जाता है, तो परिणामी मीट्रिक और वेक्टर फील्ड क्षेत्र समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर असंगत समीकरण (inconsistent equations) उत्पन्न करते हैं।
विशेष रूप से, वेक्टर फील्ड के रेडियल घटक से उत्पन्न अनिर्धारित फलन (undetermined function) क्षेत्र समीकरणों को संतुष्ट नहीं कर सकता है जब तक कि समाधान विशिष्ट स्टेल्थ मामले ( $b_r = 0$ ) में न बदल जाए।

D. आइंस्टीन-मैक्सवेल सिद्धांत के साथ तुलना (Comparison with Einstein-Maxwell Theory)

तालिका 1 तुलना:
- GR (आइंस्टीन-मैक्सवेल): आवेशित घूमता हुआ BH केर-न्यूमन (Kerr-Newman) मीट्रिक है (जटिल, केर से भिन्न)।
- स्टेल्थ बंबलबी: आवेशित घूमता हुआ BH केर (Kerr) मीट्रिक है (सरल, अनचार्ज्ड GR के समान)।
महत्व: इस विशिष्ट बंबलबी मॉडल में गैर-न्यूनतम युग्मन आमतौर पर घूमते हुए स्पेस-टाइम के साथ जुड़े आवेश की जटिलता को प्रभावी ढंग से "छिपा" देता है, जिससे ज्यामिति सरल हो जाती है जबकि वेक्टर हेयर (vector hair) बना रहता है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि (Theoretical Insight): यह कार्य एक दुर्लभ विश्लेषणात्मक उदाहरण प्रदान करता है जहाँ न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम एक संशोधित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत में कार्य करता है, जो समाधान-जनरेटिंग तकनीकों के लिए एक नया परीक्षण स्थल प्रदान करता है।
अवलोकन संबंधी संभावनाएं (Observational Prospects): चूंकि मीट्रिक मानक केर मीट्रिक के समान है, इसलिए "स्टेल्थ" प्रकृति का अर्थ है कि केवल मीट्रिक के मानक गुरुत्वाकर्षण तरंग (LVK) या इवेंट होराइजन टेलीस्कोप (EHT) अवलोकन इस मॉडल को GR से अलग नहीं कर पाएंगे। हालांकि, वेक्टर फील्ड (और इसके संबंधित "आवेश") की उपस्थिति से संकेत मिलता है कि:
- ऊष्मागतिकी (Thermodynamics): एंट्रॉपी और तापमान मानक केर BHs से भिन्न हो सकते हैं।
- विक्षोभ (Perturbations): क्वासी-नॉर्मल मोड्स (QNMs) और स्थिरता गुण GR भविष्यवाणियों से विचलित होंगे।
- वेक्टर हेयर (Vector Hair): समाधान में "वेक्टर हेयर" होता है, जिसे अत्यधिक-द्रव्यमान-अनुपात इनस्पायरल (EMRIs) या पल्सर टाइमिंग के माध्यम से जांचा जा सकता है।
एकीकरण (Unification): यह परिणाम इस विचार का समर्थन करता है कि विशिष्ट गैर-न्यूनतम युग्मन गुरुत्वाकर्षण और विद्युत चुंबकत्व जैसी व्यवहारों को एकीकृत कर सकते हैं, जिससे स्ट्रॉन्ग-फील्ड शासन में ज्यामिति पर वेक्टर फील्ड के बैक-रिएक्शन को रद्द किया जा सके, जिससे "स्टेल्थ" विन्यास निर्मित होते हैं।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र स्थापित करता है कि विशिष्ट युग्मन वाला बंबलबी मॉडल न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिदम के माध्यम से एक स्टेल्थ केर समाधान को स्वीकार करता है, जो GR और संशोधित गुरुत्वाकर्षण के बीच एक अनूठा सेतु बनाता है जो गणितीय रूप से सुंदर है लेकिन अवलोकन संबंधी रूप से सूक्ष्म है, जिसके लिए GR से अलग करने हेतु विशिष्ट जांच (जैसे विक्षोभ या ऊष्मागतिकी) की आवश्यकता होती है।