⚛️ क्वांटम भौतिकी

Combinatorial Matrix Functions in Ising Models and Quantum Circuit Representation

यह शोध पत्र अतिरिक्त स्पिनों के माध्यम से सेल्फ-लूप्स को पेश करके तीनों कॉम्बिनेटोरियल मैट्रिक्स फलनों (परमानेंट, हाफनियन और लूप-हाफनियन) को एनकोड करने के लिए आइसिंग मॉडल का विस्तार करता है, और यह प्रदर्शित करता है कि परिणामी लूप-हाफनियन अवस्था को $O(n^2)$ गेट्स का उपयोग करके एक क्वांटम सर्किट पर कुशलतापूर्वक सिम्युलेट और मापा जा सकता है।

मूल लेखक: Minhyeok Kang, Gwonhak Lee, Youngrong Lim, Joonsuk Huh

प्रकाशित 2026-11-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Minhyeok Kang, Gwonhak Lee, Youngrong Lim, Joonsuk Huh

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सैद्धांतिक भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान के शांत कोनों में, शोधकर्ता अक्सर उन समस्याओं से जूझते हैं जो इतने विशाल हैं कि उन्हें सबसे शक्तिशाली सुपरकंप्यूटर भी सीधे हल नहीं कर सकते। ये उन चीजों की व्यवस्था करने के तरीकों की गिनती करने के बारे में सवाल हैं, विशेष रूप से जटिल नेटवर्क के भीतर पूर्ण मिलान (perfect pairings) की तलाश करना। एक ऐसे कनेक्शन वाले वेब की कल्पना करें जहाँ प्रत्येक बिंदु को ठीक एक अन्य बिंदु से जोड़ा जाना चाहिए, बिना किसी अवशेष के। एक सरल नेटवर्क के लिए इन पूर्ण मिलानों की कुल संख्या की गणना करना आसान है, लेकिन जैसे-जैसे नेटवर्क बढ़ता है और अधिक जटिल होता जाता है, संभावनाओं की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि उन सभी को गिनना व्यावहारिक रूप से असंभव हो जाता है। यह कठिनाई केवल एक गणितीय जिज्ञासा नहीं है; यह इस बात के केंद्र में है कि कुछ क्वांटम सिस्टम कैसे व्यवहार करते हैं और वे शास्त्रीय मशीनों पर सिम्युलेट करने में इतने कठिन क्यों हैं। दशकों से, वैज्ञानिक जानते हैं कि प्रकाश के ऑप्टिकल नेटवर्कों के माध्यम से गुजरने वाले व्यवहार में इस प्रकार की विशिष्ट गणना संबंधी समस्याएं दिखाई देती हैं, लेकिन उन्हें वर्णित करने के लिए गणितीय उपकरण बहुत विशिष्ट, अत्यधिक सममित (symmetric) नेटवर्क के आकारों तक ही सीमित थे।

शोधकर्ताओं के एक दल ने अब इन उपकरणों की पहुंच का विस्तार किया है, यह दिखाते हुए कि कैसे इन जटिल गणना समस्याओं को एक अलग प्रकार के भौतिक तंत्र का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है: परस्पर क्रिया करने वाले चुंबकीय स्पिन का एक मॉडल, जिसे आइसिंग मॉडल (Ising model) के रूप में जाना जाता है। इस ढांचे में, शोधकर्ताओं ने दिखाया कि न केवल मानक, सममित नेटवर्क को, बल्कि अधिक सामान्य संरचनाओं को भी कैसे एनकोड किया जा सकता है जिनमें स्व-कनेक्शन (self-connections) शामिल हैं, जहाँ एक बिंदु स्वयं से जुड़ता है। अतिरिक्त चुंबकीय इकाइयों का उपयोग करके इन स्व-कनेक्शनों को दर्शाने की एक चतुर विधि पेश करके, उन्होंने दिखाया कि सिस्टम स्वाभाविक रूप से नेटवर्क की संरचना के आधार पर तीन अलग-अलग प्रकार के गणना फलनों (counting functions) को उत्पन्न करता है। सबसे सामान्य, जिसे वे 'लूप-हाफनियन' (loop-hafnian) कहते हैं, अन्य दो प्रकारों को विशेष मामलों के रूप में समाहित करता है। टीम ने इस पूरी प्रक्रिया को सिम्युलेट करने के लिए एक क्वांटम सर्किट प्रस्तावित किया है जो समस्या के आकार के साथ उचित रूप से बढ़ते ऑपरेशनों की संख्या का उपयोग करता है, जो इन कठिन गणनाओं को खोजने के लिए एक नया मार्ग प्रदान करता है।

यह यात्रा इस अहसास के साथ शुरू हुई कि मानक चुंबकीय मॉडल, जो आमतौर पर बताता है कि स्पिन अपने पड़ोसियों के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं, इन गणना समस्याओं की पूरी विविधता को पकड़ने के लिए बहुत कठोर था। पिछले कार्यों ने दिखाया था कि यदि नेटवर्क पूरी तरह से संतुलित और द्विपक्षीय (bipartite) है—जिसका अर्थ है कि बिंदुओं को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है जहाँ कनेक्शन केवल समूहों के बीच होते हैं, उनके भीतर नहीं—तो सिस्टम एक विशिष्ट गणना फलन उत्पन्न करता है जिसे 'परमानेंट' (permanent) कहा जाता है। यदि नेटवर्क स्व-कनेक्शन के बिना एक सरल ग्राफ था, तो यह 'हाफनियन' (hafnian) नामक एक अन्य फलन उत्पन्न करता था। वास्तविक दुनिया के नेटवर्क और अधिक जटिल सैद्धांतिक मॉडल अक्सर स्वयं से जुड़ने वाले बिंदुओं को शामिल करते हैं, एक ऐसी विशेषता जिसे मौजूदा मॉडल संभालने में सक्षम नहीं थे। शोधकर्ताओं ने इस गणितीय संरचना को तोड़े बिना, जो पिछले परिणामों को काम करने योग्य बनाता था, स्व-कनेक्शन या "लूप्स" को शामिल करने के लिए आइसिंग मॉडल को संशोधित करके इसे ठीक करने का लक्ष्य रखा।

इसे प्राप्त करने के लिए, टीम ने स्व-कनेक्शनों को एनकोड करने का एक नया तरीका पेश किया। नेटवर्क में एक एकल चुंबकीय स्पिन को स्व-लूप का प्रतिनिधित्व करने के लिए मजबूर करने के बजाय, उन्होंने इन कनेक्शनों को संभालने के लिए सिस्टम में अतिरिक्त स्पिन जोड़े। मूल स्पिन और उसके साथी स्पिन के बीच की परस्पर क्रिया को स्व-लूप के प्रभाव की नकल करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। इसने सिस्टम को स्वाभाविक रूप से सबसे सामान्य गणना फलन, 'लूप-हाफनियन' उत्पन्न करने में सक्षम बनाया, जो सभी संभावित पूर्ण मिलानों को जोड़ता है, जिसमें वे भी शामिल हैं जहाँ बिंदु स्वयं के साथ जोड़े जाते हैं। इस दृष्टिकोण की सुंदरता इसकी लचीलापन है: जैसे-जैसे नेटवर्क में स्व-लूप की संख्या कम होती है, अतिरिक्त स्पिन कम प्रासंगिक होते जाते हैं, और सिस्टम सहजता से हाफनियन और परमानेंट जैसे सरल फलनों की ओर वापस लौट आता है। यह ऐसा है जैसे शोधकर्ताओं ने एक ही मशीन बनाई है जो केवल इनपुट बदलकर तीन अलग-अलग प्रकार की पहेलियों को हल करने के लिए खुद को स्वचालित रूप से पुनर्गठित कर सकती है।

शोधकर्ताओं ने फिर इस व्यावहारिक प्रश्न की ओर ध्यान दिया कि क्वांटम कंप्यूटर पर इस सिमुलेशन को वास्तव में कैसे चलाया जाए। उन्होंने दिखाया कि चुंबकीय मॉडल को सिम्युलेट करने के लिए आवश्यक अंतःक्रियाओं को क्वांटम बिट्स या क्यूबिट्स के जोड़ों के बीच ऑपरेशनों के एक अनुक्रम में तोड़ा जा सकता है। क्योंकि उनके संशोधित मॉडल में सभी अंतःक्रियाएं 'कम्यूट' (commute) करती हैं—अर्थात जिस क्रम में उन्हें लागू किया जाता है उससे कोई फर्क नहीं पड़ता—सिमुलेशन को उन छोटी त्रुटियों के संचय के बिना किया जा सकता है जो आमतौर पर ऐसी गणनाओं को बाधित करती हैं। उन्होंने प्रदर्शन किया कि एक निश्चित आकार के नेटवर्क के लिए, आवश्यक ऑपरेशनों की संख्या बिंदुओं की संख्या के वर्ग के साथ बढ़ती है, जिसे क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में कुशल माना जाता है। इसका अर्थ है कि एक क्वांटम कंप्यूटर, सिद्धांत रूप में, इन चुंबकीय प्रणालियों के व्यवहार को सिम्युलेट कर सकता है और जटिल गणना संख्याओं को सीधे निकाल सकता है।

एक महत्वपूर्ण चुनौती परिणाम को पढ़ने के तरीके में बनी हुई थी। स्व-लूप के बिना सरल मामलों के लिए, उत्तर चुंबकीय स्पिन की अवस्था को मापकर प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि, स्व-लूप के सामान्य मामले के लिए, सिस्टम एक साथ कई अलग-अलग अवस्थाओं के सुपरपोजिशन (superposition) में मौजूद होता है, और एक सीधा मापन विशिष्ट गणना संख्या को प्रकट नहीं करेगा। टीम ने इस समस्या को एक माप सर्किट (measurement circuit) डिजाइन करके हल किया जो इस सुपरपोजिशन को छाँट सकता है। उन्होंने दिखाया कि ऑपरेशनों के एक विशिष्ट अनुक्रम को करने और फिर स्पिन को एक विशेष क्रम में मापने से, वे इस जटिल सुपरपोजिशन को एक एकल, स्पष्ट परिणाम पर मैप कर सकते हैं। इस प्रक्रिया ने उन्हें यह दिखाने की अनुमति दी कि नेटवर्क के सभी संभावित उपसमुच्चयों (subsets) के लिए लूप-हाफनियन को एक साथ मापा जा सकता है, प्रभावी रूप से गणना समस्या के उत्तर को एक ही बार में पढ़ लेना।

इस कार्य के निहितार्थ केवल संख्याओं की गणना करने का नया तरीका खोजने से कहीं अधिक हैं। शोधकर्ताओं ने अपने चुंबकीय दृष्टिकोण और अन्य क्वांटम प्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले ऑप्टिकल नेटवर्कों के बीच एक मौलिक अंतर को रेखांकित किया है। ऑप्टिकल सिस्टम में, एक विशिष्ट परिणाम की संभावना गणना संख्या के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है, जिससे परिणामों के वितरण से नमूना लेना आसान हो जाता है। उनके चुंबकीय मॉडल में, संबंध थोड़ा अधिक जटिल है, जिसमें सिस्टम के विकसित होने के समय और परिणाम को देखने की संभावना के बीच एक ट्रेड-ऑफ शामिल है। हालांकि यह ऑप्टिकल नेटवर्क तकनीकों के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को कठिन बनाता है, लेकिन समस्या की अंतर्निहित जटिलता बनी रहती है। शोधकर्ताओं ने तर्क दिया कि इन चुंबकीय प्रणालियों को सिम्युलेट करने की कठिनाई संभवतः ऑप्टिकल सिस्टम जितनी ही बड़ी है, जो यह सुझाव देती है कि वे 'क्वांटम एडवांटेज' प्रदर्शित करने के लिए एक नया मंच बन सकते हैं।

जटिल गणना समस्याओं के विभिन्न प्रकारों के बीच की खाई को पाटकर और यह दिखाकर कि उन सभी को एक एकल, लचीले चुंबकीय मॉडल के भीतर कैसे प्रस्तुत किया जा सकता है, यह कार्य गणना की सीमाओं को खोजने के लिए नए रास्ते खोलता है। एक प्रबंधनीय संख्या में ऑपरेशनों के साथ इन प्रणालियों को क्वांटम कंप्यूटर पर सिम्युलेट करने की क्षमता यह बताती है कि हम उन समस्याओं को हल करने के करीब पहुँच रहे हैं जिन्हें पहले पहुंच से बाहर माना जाता था। शोधकर्ताओं ने जटिल नेटवर्क संरचनाओं को क्वांटम हार्डवेयर में एनकोड करने के लिए एक स्पष्ट ब्लूप्रिंट प्रदान किया है, जो भौतिक दुनिया और गणित के अमूर्त क्षेत्र दोनों को परिभाषित करने वाले कनेक्शनों के जटिल जाल को समझने के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण प्रदान करता है।

तकनीकी सारांश: आइसिंग मॉडल और क्वांटम सर्किट प्रतिनिधित्व में कॉम्बिनेटोरियल मैट्रिक्स फलन

समस्या विवरण
कॉम्बिनेटोरियल मैट्रिक्स फलन—विशेष रूप से परमानेंट (permanents), हाफ़नियन (hafnians), और लूप-हाफ़नियन (loop-hafnians)—लीनियर ऑप्टिकल नेटवर्क की कम्प्यूटेशनल जटिलता को समझने के लिए केंद्रीय हैं और आणविक स्पेक्ट्रोस्कोपी एवं ग्राफ समस्याओं में अनुप्रयोग रखते हैं। ये फलन विशिष्ट संरचनाओं वाले ग्राफ के परफेक्ट मैचिंग्स (perfect matchings) के योग के रूप में परिभाषित किए जाते हैं: संतुलित द्विपक्षीय ग्राफ (परमानेंट), सरल ग्राफ (हाफ़नियन), और लूप-संवर्धित ग्राफ (लूप-हाफ़नियन)। जबकि पिछले शोध ने संतुलित द्विपक्षीय ग्राफ के लिए परमानेंट और आइसिंग मॉडल के बीच एक पत्राचार स्थापित किया था, मौजूदा परिणाम इस विशिष्ट ग्राफ वर्ग तक ही सीमित थे। फलस्वरूप, व्यापक श्रेणी के मैट्रिक्स फलन, विशेष रूप से लूप-हाफ़नियन जो ग्राफ में सेल्फ-लूप्स (self-loops) को ध्यान में रखता है, को आइसिंग मॉडल ढांचे के भीतर सफलतापूर्वक एनकोड नहीं किया जा सका था। यह शोध पत्र इस अंतर को दूर करने के लिए आइसिंग मॉडल को सभी तीन मैट्रिक्स फलनों को निरूपित करने के लिए विस्तारित करके और उनके क्वांटम सर्किट सिमुलेशन को प्रदर्शित करके इस कमी को संबोधित करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक गैर-शून्य विकर्ण तत्वों (self-loops) वाले सामान्य वास्तविक सममित मैट्रिसेस (real symmetric matrices) को एनकोड करने के लिए मानक आइसिंग मॉडल का विस्तार प्रस्तावित करते हैं।

मॉडल निर्माण: एक $2n \times 2n$ वास्तविक सममित मैट्रिक्स $A$ के लिए, लेखक एक ग्राफ को परिभाषित करते हैं जहाँ वर्टिसेस (vertices) स्पिनों के अनुरूप होते हैं और एज वेट्स (edge weights) कपलिंग स्ट्रेंथ के अनुरूप होते हैं। सेल्फ-लूप्स (गैर-शून्य विकर्ण प्रविष्टियाँ $A_{ii}$ ) को एनकोड करने के लिए, मॉडल $p$ अतिरिक्त स्पिन पेश करता है (जहाँ $p$ गैर-शून्य विकर्ण तत्वों की संख्या है), जिसके परिणामस्वरूप कुल $2n + p$ स्पिनों का सिस्टम बनता है।
हैमिल्टनियन डिज़ाइन: सिस्टम $\hat{\sigma}_z \hat{\sigma}_z$ $\overset{σ}{^}_{z} \overset{σ}{^}_{z}$ के बजाय $\hat{\sigma}_x \hat{\sigma}_x$ $\overset{σ}{^}_{x} \overset{σ}{^}_{x}$ प्रकार के टू-बॉडी इंटरैक्शन का उपयोग करता है। हैमिल्टनियन $\hat{H}$ $\hat{H}$ को दो कम्यूटिंग भागों में विभाजित किया गया है:
- $\hat{H}_1$ : पहले $2n$ स्पिनों पर कार्य करता है, जो ऑफ-डायगोनल एज वेट्स $A_{ij}$ को एनकोड करता है।
- $\hat{H}_2$ : अतिरिक्त $p$ स्पिनों पर कार्य करता है, जो सेल्फ-लूप वेट्स के जोड़ों के उत्पादों को एनकोड करता है।
स्टेट डेफिनिशन (State Definitions):
- हाफ़नियन और परमानेंट मामलों के लिए (शून्य विकूर्ण या संतुलित द्विपक्षीय), मैट्रिक्स फलन एक एकल स्पिन स्टेट मैट्रिक्स एलिमेंट से उभरता है।
- लूप-हाफ़नियन मामले (सामान्य विकर्ण) के लिए, लेखक एक "लूप-हाफ़नियन स्टेट" $|\psi_{S,L}\rangle$ को परिभाषित करते हैं। यह आधार अवस्थाओं (basis states) का एक विशिष्ट सुपरपोजिशन है जहाँ गुणांक उन कॉम्बिनेटोरियल कारकों की भरपाई करते हैं जो वर्टिसेस को स्वयं से मिलाने से उत्पन्न होते हैं।
क्वांटम सिमुलेशन: लेखक स्पिन सिस्टम को एक क्वांटम सर्किट में मैप करते हैं जहाँ प्रत्येक स्पिन एक क्यूबिट है। चूंकि हैमिल्टनियन के सभी पद कम्यूट करते हैं, इसलिए टाइम इवोल्यूशन ऑपरेटर $e^{-i\hat{H}t}$ को बिना ट्रोटर एरर (Trotter error) के $O(n^2)$ टू-क्यूबिट गेट्स (विशेष रूप से $R_{XX}$ गेट्स) का उपयोग करके सटीक रूप से लागू किया जा सकता है।
रीडआउट रणनीति (Readout Strategy): लूप-हाफ़नियन को मापने के लिए, जो कि एक सुपरपोजिशन है, लेखक एक एडेप्टिव मेजरमेंट सर्किट का प्रस्ताव करते हैं। इसमें सुपरपोजिशन को अलग करने के लिए $p$ CNOT गेट्स लागू करना, सबसेट $S$ निर्धारित करने के लिए पहले $2n$ क्यूबिट्स को मापना, और फिर शेष $p$ क्यूबिट्स पर एक विशिष्ट ऑपरेटर $\hat{G}_{S,L}$ लागू करना शामिल है ताकि अवस्था को बेसिस स्टेट में मैप किया जा सके।

प्रमुख योगदान और परिणाम

आइसिंग-मैट्रिक्स पत्राचार का सामान्यीकरण: शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि आइसिंग मॉडल परमानेंट, हाफ़नियन और लूप-हाफ़नियन को एक साथ निरूपित कर सकता है। लूप-हाफ़नियन को मैट्रिक्स एलिमेंट $\langle \psi_{S,L} | \hat{H}^m | \uparrow^{2n+p} \rangle$ से प्राप्त किया जाता है, जो सब-मैट्रिक्स $A_S$ के लूप-हाफ़नियन के समानुपाती है।
विशेष मामलों की रिकवरी: यह ढांचा स्वाभाविक रूप से हाफ़नियन और परमानेंट मामलों में बदल जाता है जैसे-जैसे सेल्फ-लूप्स की संख्या कम होती है। विशेष रूप से, जब विकूर्ण शून्य होता है ( $p=0$ ), तो लूप-हाफ़नियन स्टेट एक एकल बेसिस स्टेट में सरल हो जाती है, जिससे हाफ़नियन परिणाम प्राप्त होता है। संतुलित द्विपक्षीय संरचनाओं के लिए, यह परमानेंट को रिकवर करता है।
कुशल क्वांटम सर्किट कार्यान्वयन: लेखक दिखाते हैं कि $2n \times 2n$ मैट्रिक्स के आइसिंग डायनेमिक्स को $O(n)$ क्यूबिट्स और $O(n^2)$ गेट्स वाले क्वांटम सर्किट पर सिम्युलेट किया जा सकता है।
सिमल्टेनियस मेजरमेंट (Simultaneous Measurement): एक प्रमुख परिणाम एक मेजरमेंट प्रोटोकॉल का निर्माण है जो एडेप्टिव मेजरमेंट के माध्यम से सभी वर्टिसेस के सबसेट्स के लिए लूप-हाफ़नियन स्टेट्स को एक साथ मापने की अनुमति देता है, जिससे $O(n^2)$ गेट कॉम्प्लेक्सिटी बनी रहती है।
त्रुटि विश्लेषण (Error Analysis): एक लघु प्रोपेगेशन समय $t$ के बाद ट्रांजिशन प्रोबेबिलिटी को स्क्वेर्ड लूप-हाफ़नियन के समानुपाती दिखाया गया है, जिसमें $O(t^2)$ का एक एडिटिव एरर है। यह सिमुलेशन समय और मेजरमेंट प्रोबेबिलिटी के बीच एक ट्रेड-ऑफ स्थापित करता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र दावा करता है कि यह क्वांटम इंटरफेरेंस के माध्यम से आइसिंग मॉडल को कॉम्बिनेटोरियल मैट्रिक्स फलनों (परमानेंट, हाफ़नियन, लूप-हाफ़नियन) के पूर्ण स्पेक्ट्रम से जोड़ने वाला एक एकीकृत सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करता है।

सैंपलिंग हार्डनेस (Sampling Hardness): लेखक सुझाव देते हैं कि लीनियर ऑप्टिकल नेटवर्क (बोसॉन सैंपलिंग और गॉसियन बोसॉन सैंपलिंग) के लिए स्थापित सैंपलिंग हार्डनेस तर्क आइसिंग मॉडल के लिए भी हस्तांतरणीय हो सकते हैं। चूंकि उनके मॉडल में ट्रांजिशन प्रोबेबिलिटी (एक एडिटिव एरर के साथ) स्क्वेर्ड मैट्रिक्स फंक्शन के समानुपाती है, इसलिए इन फलनों के अनुमान (approximation) की एवरेज-केस हार्डनेस आइसिंग मॉडल सैंपलिंग पर लागू हो सकती है, जो IQP सर्किट्स से प्राप्त हार्डनेस प्रमाणों के लिए एक वैकल्पिक मार्ग प्रदान करती है।
ऑप्टिकल नेटवर्क से अंतर: शोध पत्र विनम्रतापूर्वक नोट करता है कि जबकि लीनियर ऑप्टिकल नेटवर्क जटिल मैट्रिसेस के साथ ट्रांजिशन एम्प्लीट्यूड में सीधे मैट्रिक्स फलन प्रदान करते हैं, आइसिंग मॉडल वास्तविक सममित मैट्रिसेस तक ही सीमित हैं और हैमिल्टनियन पावर्स के मैट्रिक्स एलिमेंट्स में फलन प्रदान करते हैं। इसलिए, आइसिंग डायनेमिक्स में निहित एरर-प्रोबेबिलिटी ट्रेड-ऑफ के कारण ऑप्टिकल नेटवर्क से सीधे अनुप्रयोग (जैसे मॉलिक्यूलर डॉकिंग) बिना संशोधन के हस्तांतरित नहीं किए जा सकते।
प्लेटफॉर्म उपयुक्तता: लेखक इस सिमुलेशन के लिए ट्रैप्ड-आयन सिस्टम को एक उपयुक्त प्लेटफॉर्म के रूप में पहचानते हैं क्योंकि उनमें प्रस्तावित सर्किट्स की कनेक्टिविटी आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए किसी भी जोड़ी क्यूबिट के बीच सीधे टू-क्यूबिट गेट्स करने की क्षमता होती है।

निष्कर्षतः, यह कार्य आइसिंग मॉडल की उपयोगिता को परमानेंट से आगे बढ़ाकर लूप-हाफ़नियन्स तक विस्तृत करता है और इन कॉम्बिनेटोरियल संरचनाओं को सिम्युलेट करने और मापने के लिए एक ठोस, कुशल क्वांटम सर्किट आर्किटेक्चर प्रदान करता है।

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