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Structure-Preserving Learning Improves Geometry Generalization in Neural PDEs

यह शोध पत्र जनरल-जियोमेट्री न्यूरल व्हिटनी फॉर्म्स (Geo-NeW) को प्रस्तुत करता है, जो एक डेटा-संचालित परिमित तत्व विधि (finite element method) है जो आंशिक अंतर समीकरणों (Partial Differential Equations) को हल करने के लिए भौतिक संरक्षण नियमों को बनाए रखने और अनदेखी ज्यामितिओं (unseen geometries) के प्रति उत्कृष्ट सामान्यीकरण प्राप्त करने हेतु विभेदक ऑपरेटरों और सुसंगत न्यूनीकरण स्थानों (compatible reduced spaces) को संयुक्त रूप से सीखता है।

मूल लेखक: Benjamin D. Shaffer, Shawn Koohy, Brooks Kinch, M. Ani Hsieh, Nathaniel Trask

प्रकाशित 2026-06-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Benjamin D. Shaffer, Shawn Koohy, Brooks Kinch, M. Ani Hsieh, Nathaniel Trask

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कंप्यूटर को यह सिखाने की कोशिश कर रहे हैं कि चट्टानों के चारों ओर पानी कैसे बहता है, एक धातु की प्लेट में गर्मी कैसे फैलती है, या भार के नीचे एक पुल कैसे झुकता है। ये वे समस्याएँ हैं जो पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशंस (PDEs) द्वारा नियंत्रित होती हैं। पारंपरिक रूप से, इन्हें हल करने के लिए विशाल, धीमी सिमुलेशन की आवश्यकता होती है जो एक डिजिटल विंड टनल या वर्चुअल स्ट्रेस टेस्ट की तरह कार्य करती हैं।

हाल ही में, वैज्ञानिकों ने "AI मॉडल्स" को शॉर्टकट के रूप में प्रशिक्षित करने की कोशिश की है, जो तुरंत उत्तरों की भविष्यवाणी कर सकें। हालाँकि, अधिकांश AI शॉर्टकटों में एक बड़ी खामी है: वे उन छात्रों की तरह हैं जिन्होंने विशिष्ट सेट के प्रश्नों के उत्तर रट लिए हैं लेकिन टेस्ट पेपर का आकार बदलते ही पूरी तरह विफल हो जाते हैं। यदि आप एक AI को वर्गाकार कमरे के लिए प्रशिक्षित करते हैं, तो वह अजीब आकार वाले कोने वाले कमरे के लिए समस्या को हल करने पर भ्रमित हो जाता है।

यह पेपर एक नई विधि पेश करता है जिसे Geo-NeW (General-Geometry Neural Whitney Forms) कहा जाता है। इसे ऐसे समझें जैसे आप AI को केवल उत्तर नहीं, बल्कि खेल के नियम और उन नियमों को किसी भी आकार के अनुकूल बनाने का तरीका सिखा रहे हैं।

यह यहाँ कैसे काम करता है, सरल उपमाओं का उपयोग करते हुए:

1. समस्या: "कठोर सांचा" बनाम "मिट्टी"

भौतिकी (Physics) के लिए अधिकांश वर्तमान AI मॉडल कठोर प्लास्टिक सांचों की तरह हैं। उन्हें एक विशिष्ट आकार (जैसे एक वर्ग) पर प्रशिक्षित किया जाता है। यदि आप किसी दूसरे आकार (जैसे एक वृत्त) में भौतिकी डालने की कोशिश करते हैं, तो सांचा फिट नहीं बैठता, और परिणाम गड़बड़ हो जाता है। वे देखे गए पैटर्न के आधार पर उत्तर का अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं, लेकिन वे वास्तव में ज्यामिति (Geometry) को नहीं समझते हैं।

2. समाधान: "स्मार्ट, आकार बदलने वाला जाल"

Geo-NeW अलग है। एक कठोर सांचे के बजाय, यह एक स्मार्ट, आकार बदलने वाला जाल (एक गणितीय मेश) बनाता है जो आपके द्वारा दिए गए किसी भी आकार (चाहे वह वर्ग हो, वृत्त हो, या एक जटिल एयरफॉइल) के चारों ओर पूरी तरह से फिट बैठता है।

मेश एक कंकाल के रूप में: कल्पना करें कि आपके ऑब्जेक्ट का आकार एक कंकाल है। Geo-NeW इस कंकाल के ऊपर एक लचीला जाल बनाता है। यह जाल केवल एक ग्रिड नहीं है; यह एक "Whitney Form" है। सरल शब्दों में, यह एक विशेष प्रकार का गणितीय जाल है जिसे भौतिकी के नियमों (जैसे द्रव्यमान या ऊर्जा का संरक्षण) का सम्मान करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, चाहे आप उस जाल को कितना भी खींचें या मोड़ें।
"शिक्षक" (The Transformer): AI एक "शिक्षक" (एक ट्रांसफॉर्मर नेटवर्क) का उपयोग करता है जो कंकाल के आकार को देखता है। वह पूछता है: "इस आकार का स्वरूप क्या है? दीवारें कहाँ हैं? छेद कहाँ हैं?"
"छात्र" (The Solver): शिक्षक के विवरण के आधार पर, AI तुरंत अपने जाल को नया आकार देता है और उस विशिष्ट आकार के लिए भौतिकी के नियमों की पुनर्गणना करता है। यह केवल उत्तर का अनुमान नहीं लगाता; यह एक छोटा गणितीय प्रश्न सेट करता है जिसका समाधान गारंटीकृत रूप से सही और स्थिर होता है।

3. "इंडक्टिव बायस": केवल उत्तर नहीं, बल्कि नियम सिखाना

पेपर का दावा है कि इस विशेष जाल संरचना का उपयोग करने के लिए AI को मजबूर करके, उसे एक शक्तिशाली "इंडक्टिव बायस" प्राप्त होता है।

उपमा: कल्पना करें कि आप एक बच्चे को केक बनाना सिखा रहे हैं।
- पुराना AI: आप उन्हें चॉकलेट केक की फोटो दिखाते हैं। वे फोटो को रट लेते हैं। यदि आप उनसे स्ट्रॉबेरी केक बनाने को कहते हैं, तो वे खो जाते हैं।
- Geo-NeW: आप उन्हें रेसिपी (संरक्षण नियम) सिखाते हैं और आकार के बर्तन (ज्यामिति) के आधार पर सामग्री को कैसे समायोजित करना है, यह सिखाते हैं। भले ही आप उन्हें तारे के आकार का बर्तन दें, वे जानते हैं कि केक कैसे बनाना है क्योंकि वे केवल चित्र को नहीं, बल्कि नियमों को समझते हैं।

4. "अनदेखे" आकारों के लिए यह क्यों बेहतर है

इस पेपर का परीक्षण उन आकारों पर किया गया जिन्हें AI ने पहले कभी नहीं देखा था (Out-of-Distribution)।

परीक्षण: उन्होंने AI को गोल बाधाओं वाले एक वर्गाकार कमरे पर प्रशिक्षित किया। फिर, उन्होंने इसे एक कमरे पर टेस्ट किया जिसमें एक तीखा, कोणीय स्टेप (एक ऐसा आकार जिसे उसने पहले कभी नहीं देखा था) था।
परिणाम: अन्य AI मॉडल (जैसे Transolver) पूरी तरह विफल रहे, जिससे बेतुके परिणाम या "हैलुसिनेशन" (काल्पनिक बाधाएं) उत्पन्न हुए। हालाँकि, Geo-NeW ने सफलतापूर्वक नए आकार के चारों ओर हवा या पानी के प्रवाह की भविष्यवाणी की।
क्यों? क्योंकि Geo-NeW के पीछे का गणित "फाइनाइट एलीमेंट एक्सटीरियर कैलकुलस" पर आधारित है। यह कहने का एक तकनीकी तरीका है कि गणित संरचनात्मक रूप से सुदृढ़ है। यह गारंटी देता है कि यदि आप यहाँ एक दीवार रखते हैं, तो प्रवाह वहीं रुक जाएगा। यह "ज्यामिति" बदलने पर भी "भौतिकी" को सुरक्षित रखता है।

5. "ब्लैक बॉक्स" बनाम "ट्रांसपेरेंट बॉक्स"

कई AI मॉडल "ब्लैक बॉक्स" होते हैं—आप डेटा डालते हैं, और उत्तर आता है, लेकिन आपको पता नहीं चलता कि उत्तर तर्कसंगत है या नहीं।
Geo-NeW एक "ट्रांसपेरेंट बॉक्स" की तरह है। क्योंकि यह वास्तविक भौतिकी समीकरणों के सरलीकृत संस्करण को हल करता है, हम गणितीय रूप से सिद्ध कर सकते हैं कि एक समाधान मौजूद है और वह अद्वितीय है। यह केवल अनुमान नहीं लगा रहा है; यह हर बार एक सुव्यवस्थित पहेली को हल कर रहा है।

दावों का सारांश

यह क्या करता है: यह एक भौतिकी सॉल्वर बनाता है जो बिना हर नए आकार के लिए पुनः प्रशिक्षित हुए, किसी भी 2D आकार (ज्यामिति) पर काम कर सकता है।
यह कैसे करता है: यह एक डीप लर्निंग "एनकोडर" (आकार को समझने के लिए) को एक विशेष "सॉल्वर" (भौतिकी की गणना करने के लिए) के साथ जोड़ता है जो संरक्षण नियमों का सम्मान करता है।
परिणाम: जब इसे उन आकारों पर हल करने के लिए कहा जाता है जिन्हें इसने पहले कभी नहीं देखा, तो यह अन्य AI मॉडलों की तुलना में काफी अधिक सटीक है।
समझौता (Trade-off): यह सबसे तेज़ "अनुमान लगाने वाले" AI मॉडलों की तुलना में थोड़ा धीमा है क्योंकि यह वास्तव में एक गणितीय समस्या को हल करता है, लेकिन यह पारंपरिक भौतिकी सिमुलेशन की तुलना में बहुत तेज़ और कहीं अधिक विश्वसनीय है।

संक्षेप में, Geo-NeW AI को दुनिया के आकार और भौतिकी के नियमों को एक साथ समझने की शिक्षा देता है, जिससे यह केवल उन्हीं रास्तों को हल करने के बजाय जो उसने रटे हैं, किसी भी क्षेत्र को हल करने में सक्षम होता है।

तकनीकी सारांश: जनरल-जियोमेट्री न्यूरल व्हिटनी फॉर्म्स (Geo-NeW)

समस्या विवरण

वैज्ञानिक फाउंडेशन मॉडल का लक्ष्य विविध भौतिक प्रणालियों और पैरामीटर व्यवस्थाओं में आंशिक अवकल समीकरणों (PDEs) के लिए रीयल-टाइम समाधान प्रदान करना है। हालाँकि, इन्हें वास्तविक इंजीनियरिंग सेटिंग्स में तैनात करने में एक केंद्रीय बाधा जियोमेट्री जनरलाइजेशन (आकृति सामान्यीकरण) है। मौजूदा विधियाँ अक्सर रेक्टिलिनियर डोमेन या उन डोमेन तक सीमित रहती हैं जो उनके डिफ़ोमॉर्फिक (diffeomorphic) हैं, और कार्टेशियन रिप्रजेंटेशन का उपयोग करती हैं। जबकि हालिया ऑपरेटर लर्निंग दृष्टिकोणों (जैसे फूरियर न्यूरल ऑपरेटर्स, ट्रांसफॉर्मर्स) ने प्रगति की है, वे आमतौर पर ज्यामिति को (कोऑर्डिनेट वार्पिंग, ग्राफ कनेक्टिविटी, या पॉइंट-क्लाउड टोकन के माध्यम से) एक इनपुट मोडैलिटी के रूप में देखते हैं, न कि सॉल्वर की मौलिक संरचना में इसे समाहित करते हुए। फलस्वरूप, ये मॉडल बिना पुन: प्रशिक्षण के अनदेखी, जटिल ज्याकृतियों पर सामान्यीकरण करने में संघर्ष करते हैं, और उन टोपोलॉजिकल और संरक्षण संरचनाओं को बनाए रखने में विफल रहते हैं जो भौतिक नियमों के अंतर्निहित होते हैं।

लेखक तर्क देते हैं कि यदि वैज्ञानिक फाउंडेशन मॉडल को इंजीनियरिंग डिजाइन के लिए व्यवहार्य बनाना है, तो उनमें मनमाने ढंग से परिभाषित ज्यामितिओं में सामान्य करने की क्षमता होनी चाहिए और साथ ही भौतिक संरचना (संरक्षण नियम, सीमा स्थितियाँ और स्थिरता) को सख्ती से संरक्षित करना चाहिए।

कार्यप्रणाली: Geo-NeW

यह शोध पत्र जनरल-जियोमेट्री न्यूरल व्हिटनी फॉर्म्स (Geo-NeW) प्रस्तुत करता है, जो एक डेटा-संचालित परिमित तत्व विधि (finite element method) है जो एक डिफरेंशियल ऑपरेटर और अंतर्निहित ज्यामिति पर परिभाषित संगत रिड्यूस्ड फाइनाइट एलीमेंट स्पेस को संयुक्त रूप से सीखती है। मानक ऑपरेटर लर्निंग के विपरीत, जो सीधे इनपुट से समाधानों को रिग्रेट (regress) करती है, Geo-NeW इस समस्या को एक रिड्यूस्ड-ऑर्डर फाइनाइट एलीमेंट मॉडल की पहचान करने के रूप में तैयार करता है जो भौतिकी और ज्यामिति के कोऑर्डिनेट-फ्री रिप्रजेंटेशन को जोड़ता है।

मुख्य घटक

रिड्यूस्ड फाइनाइट एलीमेंट स्पेस (व्हिटनी फॉर्म्स):
यह विधि लो-ऑर्डर व्हिटनी फॉर्म्स के सबस्पेस के रूप में रिड्यूस्ड फाइनाइट एलीमेंट स्पेस $W^k_g$ का निर्माण करती है। ये स्पेस डिस्क्रीट एक्सटीरियर कैलकुलस संरचना (एक्सैक्ट सीक्वेंस प्रॉपर्टी) को संरक्षित करते हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि डिस्क्रीट डाइवर्जेंस, ग्रेडिएंट और कर्ल संचालन डिस्क्रीट स्तर पर संरक्षण नियमों (जैसे, जनरलाइज्ड स्टोक्स थ्योरम) को संतुष्ट करते हैं।
- एक कंडीशनल न्यूरल फील्ड $W(x, z)$ फाइन-स्केल बेसिस फंक्शंस को एक लेटेंट ज्योमेट्री एनकोडिंग $z$ द्वारा कंडീഷन किए गए रिड्यूस्ड बेसिस में मैप करता है।
- यह पार्टीशन-ऑफ-यूनिटी प्रॉपर्टी को सुनिश्चित करता है और एक्सैक्ट सीक्वेंस प्रॉपर्टी ( $\nabla W^0_g \subseteq W^1_g$ ) को बनाए रखता है, जो संख्यात्मक स्थिरता और संरक्षण के लिए महत्वपूर्ण है।
जियोमेट्री कंडीशनिंग और एनकोडिंग:
ज्यामिति मॉडल में एक जियोमेट्री एनकोडर के माध्यम से प्रवेश करती है जो मेश-व्युत्पन्न विशेषताओं को एक लेटेंट कॉन्टेक्स्ट $z$ में मैप करता है। इनपुट विशेषताओं में शामिल हैं:
- हीट कर्नेल सिग्नेचर (HKS): एक अंतर्निहित स्पेक्ट्रल डिस्क्रिप्टर जो रिजिड मोशन के प्रति इनवेरिएंट है।
- हारमोनिक कोऑर्डिनेट्स (HC): बाउंड्री पार्टिशन्स से निर्मित अंतर्निहित कोऑर्डिनेट्स।
- साइंड डिस्टेंस फंक्शन (SDF): सीमाओं से निकटता को मापता है।
- पैच लेबल्स: बाउंड्री प्रकारों (जैसे, इनलेट, वॉल) की वन-हॉट एनकोडिंग।
  एनकोडर एक इंड्यूसिंग-पॉइंट एंकर ट्रांसफॉर्मर का उपयोग करता है, जो ग्लोबल ज्योमेट्रिक कॉन्टेक्स्ट को कैप्चर करने के लिए एंकर टोकन के एक छोटे सेट को सैंपल करता है, जिससे सब-क्वाड्रेटिक स्केलिंग प्राप्त होती है और प्रति-नोड एम्बेडिंग उत्पन्न होती है जो फिजिक्स मॉडल को कंडिशन करती है।
सीखी गई भौतिकी और संरक्षण नियम:
PDE को एक रिड्यूस्ड फाइनाइट एलीमेंट सिस्टम के रूप में व्यक्त किया जाता है। एक फ्लक्स $J$ और नॉनलिनियल्टी $F_\theta$ के लिए, संरक्षण नियम $\nabla \cdot J = f$ को इस प्रकार विविक्त (discretize) किया जाता है:
$\varepsilon \delta_0^\top M_1 \delta_0 u + \delta_0^\top F_\theta(u, z) - M_0 f_\theta(z) = 0$
यहाँ, $\varepsilon \delta_0^\top M_1 \delta_0$ एक रिड्यूस्ड लैपलेसियन (आर्टिफिशियल विस्कोसिटी) के रूप में कार्य करता है जो एक स्थिर लीनियर बैकबोन प्रदान करता है, जबकि $F_\theta$ एक सीखा गया नॉनलीनियर फ्लक्स है जो ज्यामिति पर कंडീഷन किया गया है।
- स्ट्रक्चर प्रिजर्वेशन: फ्लक्स $F_\theta$ को डिस्क्रीट संरक्षण सुनिश्चित करने के लिए एक एंटीसिमेट्रिक एज फंक्शन के रूप में पैरामीटराइज किया गया है।
- स्थिरता गारंटी: लेखक स्टेट वेरिएबल्स के संबंध में फ्लक्स टर्म पर एक यूनिफॉर्म लिप्सचिट्ज़ बाउंड लागू करते हैं। यह सुनिश्चित करता है कि नॉनलीनियर सिस्टम कोएर्सिव (coercive) है, जो समाधान की उपस्थिति और विशिष्टता (वेल-पोज़डनेस) की गारंटी देता है और प्रशिक्षण के दौरान स्थिर इम्प्लिसिट डिफरेंशिएशन को सक्षम बनाता है।
इम्प्लिसिट ऑपरेटर लर्निंग:
प्रशिक्षण PDE-कंस्ट्रेंड ऑप्टिमाइजेशन के माध्यम से किया जाता है। समाधान $u$ को रिग्रेट करने के बजाय, मॉडल ऑपरेटर $G_\theta(u, \alpha) = 0$ को सीखता है। भविष्यवाणी के लिए इस नॉनलीनियर सिस्टम को इम्प्लिसिटली हल करने की आवश्यकता होती है। ग्रेडिएंट्स को न्यूटन सॉल्वर के माध्यम से एडजॉइंट मेथड का उपयोग करके कंप्यूट किया जाता है, जिससे मॉडल केवल सॉल्यूशन मैप के बजाय गवर्निंग ऑपरेटर को सीखने में सक्षम होता है।

मुख्य योगदान

प्रथम जियोमेट्री-जनरलाइजिंग स्ट्रक्चर-प्रिजर्विंग मॉडल: Geo-NeW पहली ऐसी मॉडल है जो अनदेखी ज्याकृतियों में भी बाउंड्री कंडीशंस और संरक्षण नियमों को सटीक रूप से लागू करती है।
FEEC फ्रेमवर्क का विस्तार: यह फाइनाइट एलीमेंट एक्सटीरियर कैलकुलस (FEEC) को बिना पुन: प्रशिक्षण के अलग-अलग ज्याकृतियों पर भौतिकी सीखने में सक्षम बनाने के लिए विस्तारित करता है, जिसमें एक ज्योमेट्री-कंडिश्न्ड रिड्यूस्ड बेसिस का उपयोग किया गया है।
इनवेरिएंट ज्योमेट्रिक एम्बेडिंग्स: HKS, HC और SDF का ट्रांसफॉर्मर आर्किटेक्चर के साथ संयोजन ट्रांसलेशन और रोटेशन-इनवेरिएंट ज्योमेट्रिक एम्बेडिंग्स और पार्टिशन्स का डिस्क्रीटाइजेशन-इनवेरिएंट प्रिस्क्रिप्शन प्रदान करता है।
प्रूवेबल सॉल्वेबिलिटी: पेपर एक कंस्ट्र्यूटिव मॉडल (फ्लक्स) के नवीन पैरामीटराइजेशन को प्रदान करता है जो सॉल्यूशन वेरिएबल्स में कॉन्वेक्स है लेकिन ज्योमेट्रिक वेरिएबल्स में नहीं है, जिससे सीखे गए मॉडल के समाधान की उपस्थिति और विशिष्टता के प्रमाण की अनुमति मिलती है।

परिणाम

लेखक कई स्टेडी-स्टेट PDE बेंचमार्क पर Geo-NeW का मूल्यांकन करते हैं, जिनमें पाइप फ्लो, लीनियर इलास्टिसिटी और नेवियर-स्टोक्स फ्लो शामिल हैं।

स्टैंडर्ड बेंचमार्क: इन-डिस्ट्रीब्यूशन टास्क (NACA एयरफॉइल, इलास्टिसिटी, पाइप फ्लो) पर, Geo-NeW स्टेट-ऑफ-द-आर्ट प्रदर्शन प्राप्त करता है, जो पिछले ML-आधारित तरीकों (जैसे Geo-FNO, GNOT, Transolver) को पाइप फ्लो के लिए त्रुटि में 71% और इलास्टिसिटी के लिए 29% तक सुधार के साथ पछाड़ देता है।
आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन (OOD) जनरलाइजेशन:
- पॉली-पॉइसन (Poly-Poisson): पॉलिगोनल कटआउट ( $n < 5$ ) वाले सर्कुलर डोमेन पर प्रशिक्षित होने के बाद, मॉडल $n > 5$ वाले पॉलिगोन के लिए सफलतापूर्वक सामान्य करता है, जो बेसलाइन्स से काफी बेहतर प्रदर्शन करता है।
- नेवियर-स्टोक्स (NS2d-c++): सर्कुलर ऑब्स्टेकल्स ( $n < 4$ ) वाले यूनिट स्क्वेयर्स पर प्रशिक्षित होने के बाद, मॉडल का मूल्यांकन विभिन्न ऑब्स्टेकल काउंट, स्क्वायर ऑब्स्टेकल्स, विस्तारित डोमेन लेंथ और एंगल्ड स्टेप्स वाली ज्याकृतियों पर किया जाता है। Geo-NeW वहां मजबूत सामान्यीकरण प्रदर्शित करता है जहां बेसलाइन्स (जैसे Transolver) सार्थक भविष्यवाणियां करने में विफल रहते हैं या ऑब्स्टेकल्स को 'हैलुसिनेट' करते हैं। उदाहरण के लिए, एंगल्ड स्टेप्स पर, Geo-NeW कम त्रुटि बनाए रखता है जबकि बेसलाइन्स काफी खराब प्रदर्शन करते हैं।
बाउंड्री कंडीशन संतुष्टि: अनकन्स्ट्रेंड बेसलाइन्स के विपरीत, जो अक्सर बाउंड्री कंडीशंस का उल्लंघन करते हैं, Geo-NeW निर्माण द्वारा डिरिचलेट बाउंड्री कंडीशंस को सटीक रूप से लागू करता है, जिसके परिणामस्वरूप लगभग शून्य बाउंड्री एरर होता है।

महत्व और दावे

पेपर दावा करता है कि Geo-NeW फिजिक्स और जियोमेट्री-अवेयर फाउंडेशन मॉडल्स की ओर एक महत्वपूर्ण कदम है। भौतिक संरचना (संरक्षण, स्थिरता, बाउंड्री एनफोर्समेंट) को स्पष्ट रूप से बाउंड्री कंडीशंस और समाधान के साथ जोड़कर, यह मॉडल एक शक्तिशाली इंडक्टिव बायस प्रदान करता है जो अनदेखे डोमेन में सामान्यीकरण में सुधार करता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि हालांकि वर्तमान कार्य 2D स्टेडी-स्टेट समस्याओं तक सीमित है, यह ढांचा स्वाभाविक रूप से 3D में विस्तारित होता है। वे इस दृष्टिकोण को इंजीनियरिंग डिजाइन अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक मानते हैं, जहाँ रुचि की ज्याकृतियाँ वही हैं जो प्रशिक्षण के दौरान उपलब्ध नहीं थीं। यह पद्धति रिड्यूस्ड नॉनलीनियर सिस्टम को हल करने की कम्प्यूटेशनल लागत और रीयल-टाइम इन्फरेंस (पारंपरिक FEM सॉल्वर जैसे COMSOL की तुलना में काफी तेज) के लाभों के बीच संतुलन बनाती है और अनकन्स्ट्रेंड न्यूरल ऑपरेटर्स की तुलना में बेहतर सामान्यीकरण क्षमता प्रदान करती है।

कार्य इस निष्कर्ष के साथ समाप्त होता है कि भौतिक संरचना (संरक्षण, स्थिरता, बाउंड्री एनफोर्समेंट) को बनाए रखना केवल एक प्रतिबंध नहीं है, बल्कि जटिल, अनदेखी ज्याकृतियों पर मजबूत शिक्षण को सक्षम करने वाला एक तंत्र है, जो वैज्ञानिक फाउंडेशन मॉडल्स की तैनाती में एक महत्वपूर्ण अंतर को संबोधित करता है।