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Dual Attainment in Multi-Period Multi-Asset Martingale Optimal Transport and Its Computation

यह शोध पत्र सौम्य शर्तों के तहत मल्टी-पीरियड, मल्टी-एसेट मार्टिंगेल ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट समस्या के लिए डुअल ऑप्टिमाइज़र के अस्तित्व को स्थापित करता है, जो रोबस्ट वित्तीय मूल्य निर्धारण के लिए एक कठोर सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है और साथ ही प्राइमल-डुअल लीनियर प्रोग्रामिंग के माध्यम से बड़े पैमाने के उदाहरणों की व्यावहारिक समाधान क्षमता को प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Charlie Che, Tongseok Lim, Yue Sun

प्रकाशित 2026-02-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Charlie Che, Tongseok Lim, Yue Sun

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ही जटिल वित्तीय दांव (एक डेरिवेटिव) की कीमत तय करने की कोशिश कर रहे हैं जो केवल एक नहीं, बल्कि कई अलग-अलग शेयरों के भविष्य के मूल्यों पर निर्भर करता है, और यह उन शेयरों द्वारा समय के साथ लिए गए पूरे मार्ग (path) पर निर्भर करता है, न कि केवल इस पर कि वे अंत में कहाँ पहुँचते हैं।

वास्तविक दुनिया में, हमें शेयर बाजार के "सच्चे" भविष्य का ज्ञान नहीं है। हम केवल साधारण विकल्पों (जैसे एक एकल स्टॉक पर एक निश्चित तिथि पर लगने वाले मानक दांव) के वर्तमान मूल्यों को जानते हैं। ये साधारण विकल्प हमें प्रत्येक स्टॉक के व्यक्तिगत वितरण (distributions) के बारे में कुछ "सुराग" देते हैं, लेकिन वे हमें यह नहीं बताते कि स्टॉक एक साथ कैसे चलते हैं या वे कई दिनों में कैसे व्यवहार करते हैं।

यह शोध पत्र उस जटिल दांव के लिए सबसे सुरक्षित संभव मूल्य सीमा खोजने के काम को संबोधित करता है, जो केवल हमारे पास उपलब्ध सुरागों का उपयोग करके किया जाता है, बिना बाजार के व्यवहार के बारे में कोई अतिरिक्त नियम बनाए।

यहाँ लेखकों द्वारा किए गए कार्यों का सरल उपमाओं के माध्यम से विवरण दिया गया है:

1. पहेली: "मार्टिंगेल" (Martingale) मानचित्र

शेयर बाजार को एक पर्वतीय श्रृंखला को पार करने की कोशिश करने वाले एक हाइकर (पर्वतारोही) के रूप में सोचें।

सुराग: हम जानते हैं कि हाइकर कहाँ से शुरू करता है (आज की कीमत) और हमारे पास संभावित स्थानों की एक सूची है जहाँ वह विशिष्ट चेकपॉइंट्स पर हो सकता है (कल, अगले सप्ताह, अगले महीने)। ये "सीमांत वितरण" (marginal distributions) हैं।
नियम: हाइकर को "मार्टिंगेल" नियम का पालन करना चाहिए। वित्त में, यह ऐसा है जैसे हाइकर के पास कोई गुप्त लाभ नहीं होना चाहिए। औसतन, उनका अगला कदम ठीक वहीं होना चाहिए जहाँ वे अभी खड़े हैं। वे व्यवस्थित रूप से ऊपर या नीचे नहीं जा सकते; वे बस यादृच्छिक रूप से घूम सकते हैं।
लक्ष्य: हम एक जटिल दांव के लिए उच्चतम और निम्नतम संभावित मूल्य जानना चाहते हैं जो हाइकर की पूरी यात्रा के आधार पर भुगतान करता है।

2. समस्या: "डुअल" (Dual) समाधान

गणितज्ञों के पास इसे दो दृष्टिकोणों से देखने का एक तरीका है:

प्राइमल व्यू (Primal View): हाइकर के सबसे खराब या सबसे अच्छे मामले वाले विशिष्ट मार्ग को खोजने का प्रयास करना।
डुअल व्यू (Dual View): सरल उपकरणों (जैसे मानक विकल्प खरीदना और गतिशील रूप से स्टॉक का व्यापार करना) का उपयोग करके एक "सुरक्षा जाल" (safety net) बनाने का प्रयास करना, जो गारंटी देता है कि आप जटिल दांव की लागत को कवर कर सकें, चाहे हाइकर का मार्ग कुछ भी हो।
लंबे समय तक, गणितज्ञों को पता था कि ये दो दृष्टिकोण आपस में मेल खाने चाहिए (Duality)। लेकिन वे यह सिद्ध नहीं कर सके कि जटिल, बहु-स्टॉक, बहु-दिवसीय परिदृश्यों के लिए एक पूर्ण "सुरक्षा जाल" (dual optimizer) वास्तव में अस्तित्व में है। यह ऐसा था जैसे यह जानना कि सैद्धांतिक रूप से एक आदर्श ढाल मौजूद है, लेकिन उसे वास्तव में बनाने में असमर्थ होना। इस प्रमाण के बिना, आप 100% आश्वस्त नहीं हो सकते कि आपकी हेजिंग रणनीति गणितीय रूप से सही है।

3. सफलता: यह सिद्ध करना कि ढाल का अस्तित्व है

लेखकों ने सिद्ध किया कि हाँ, आप हमेशा एक आदर्श सुरक्षा जाल बना सकते हैं, बशर्ते कि बाजार के सुराग "टूटे हुए" न हों (एक स्थिति जिसे वे "अपरिवर्तनीयता" या irreducibility कहते हैं)।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक घूमते हुए कुत्ते के चारों ओर बाड़ बनाने की कोशिश कर रहे हैं। आप जानते हैं कि कुत्ता दोपहर 1 बजे, 2 बजे और 3 बजे कहाँ हो सकता है। आप केवल सीधे तख्तों (साधारण विकल्प) और एक चलते हुए गेट (गतिशील व्यापार) का उपयोग करके एक बाड़ बनाना चाहते हैं जो कुत्ते को पकड़ ले, जब तक कि वह "नो ड्रिफ्ट" (कोई विचलन नहीं) नियम का पालन करता है।
परिणाम: उन्होंने सिद्ध किया कि किसी भी संख्या में कुत्तों (स्टॉक्स) और समय के किसी भी संख्या में चेकपॉइंट्स के लिए, अपने तख्तों और गेटों को व्यवस्थित करने का हमेशा एक तरीका होता है जो कुत्ते के पथ को पूरी तरह से कवर कर सके, जब तक कि वह "नो ड्रिफ्ट" नियम का पालन करता है। यह डुअल अटेनमेंट (Dual Attainment) है।

4. कंप्यूटर परीक्षण: विशाल पहेली को हल करना

यह सिद्ध करना एक बात है; वास्तव में वास्तविक दुनिया की समस्या के लिए समाधान खोजना दूसरी बात है। ये समस्याएँ ऐसी पहेलियों की तरह हैं जहाँ ग्रिड एक शहर के आकार का है, और नियम हर सेकंड बदलते हैं।

चुनौती: पारंपरिक कंप्यूटर संभावनाओं की विशाल संख्या (the "curse of dimensionality") से अभिभूत हो जाते हैं।
समाधान: लेखकों ने ग्राफिक्स कार्ड (GPUs) पर चलने वाले एक सुपर-फास्ट, आधुनिक एल्गोरिदम PDLP (Primal-Dual Linear Programming) का उपयोग किया।
परीक्षण मामला: उन्होंने इस तकनीक को एक वास्तविक वित्तीय उत्पाद पर लागू किया जिसे "वर्स्ट-ऑफ ऑटोकैलेबल ऑप्शन" (Worst-of Autocallable Option) कहा जाता है।
- यह क्या है? दो शेयरों (S&P 500 और NASDAQ) पर एक दांव। यदि दोनों में से एक भी शेयर बहुत नीचे गिर जाता है, तो आप पैसा खो देते हैं। यदि यह उच्च रहता है, तो आपको भुगतान किया जाता है। लेकिन यदि यह बहुत अधिक हो जाता है, तो दांव समय से पहले समाप्त हो जाता है।
- परिणाम: उनके कंप्यूटर ने सफलतापूर्वक इस जटिल उत्पाद के लिए सटीक मूल्य सीमाएं और विशिष्ट "सुरक्षा जाल" रणनीति (कौन से विकल्प खरीदने हैं और कैसे व्यापार करना है) की गणना की। गणित पूरी तरह से काम कर गया, और सैद्धांतिक मूल्य और गणना किए गए मूल्य के बीच का "अंतर" (gap) लगभग शून्य था।

सारांश

सरल शब्दों में, यह शोध पत्र मुख्य रूप से दो चीजें करता है:

गणितीय रूप से: यह सिद्ध करता है कि जटिल, बहु-स्टॉक वित्तीय दावों के लिए, मानक बाजार उपकरणों का उपयोग करके हेजिंग रणनीति (एक सुरक्षा जाल) बनाने का हमेशा एक गणितीय रूप से पूर्ण तरीका होता है, जब तक कि बाजार का डेटा सुसंगत हो।
व्यावहारिक रूप से: यह दिखाता है कि हम आधुनिक सुपर कंप्यूटरों का उपयोग करके वास्तविक दुनिया के उच्च-दांव वाले उत्पादों के लिए इन रणनीतियों को वास्तव में कंप्यूट कर सकते हैं, जिससे पुष्टि होती है कि सिद्धांत व्यवहार में काम करता है।

उन्होंने कोई नया वित्तीय उत्पाद नहीं बनाया या भविष्य की भविष्यवाणी नहीं की; उन्होंने केवल यह सिद्ध किया कि इन जटिल बेटों के लिए "गणितीय सुरक्षा जाल" वास्तविक है, और हमें इसे बनाने का तरीका दिखाया।

तकनीकी सारांश: मल्टी-पीरियड मल्टी-एसेट मार्टिंगेल ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट में डुअल अटेनमेंट और इसकी गणना

समस्या की परिभाषा

यह शोध पत्र मल्टीमार्गल, मल्टी-एसेट मार्टिंगेल ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट (MOT) समस्या को संबोधित करता है, जो मॉडल-स्वतंत्र मूल्य निर्धारण (pricing) और हेजिंग (hedging) के गणितीय सिद्धांत में एक मौलिक चुनौती है। शास्त्रीय ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट (OT) के विपरीत, MOT के लिए यह आवश्यक है कि ट्रांसपोर्ट प्लान मार्टिंगेल गुण (martingale property) को संतुष्ट करे, जो जोखिम-तटस्थ मूल्यांकन (risk-neutral valuation) की बाधाओं को दर्शाता है।

विशिष्ट समस्या $d$ अंतर्निहित संपत्तियों (assets) के लिए $N$ समय अवधियों में देखे गए एक वित्तीय बाजार पर विचार करती है। बाजार प्रत्येक परिपक्वता (maturity) पर प्रत्येक संपत्ति के मार्जिनल डिस्ट्रीब्यूशन (marginal distributions) को प्रकट करता है, लेकिन संयुक्त वितरण (बाजार मॉडल) अज्ञात रहता है। लक्ष्य एक ऐसा अनुकूलतम ट्रांसपोर्ट प्लान $\pi$ खोजना है जो एक पाथ-डिपेंडेंट डेरिवेटिव $c(X)$ के अपेक्षित पे-ऑफ (expected payoff) को कम (या अधिकतम) करे, निम्नलिखित शर्तों के अधीन:

मार्जिनल बाधाएं (Marginal Constraints): प्लान को प्रत्येक संपत्ति $i$ और समय $t$ के लिए देखे गए मार्जिनल डिस्ट्रीब्यूशन $\mu_{t,i}$ से मेल खाना चाहिए।
मार्टिंगेल बाधाएं (Martingale Constraints): अगली संपत्ति की अपेक्षित कीमत वर्तमान कीमत के बराबर होनी चाहिए ( $E[X_{t+1} | X_t] = X_t$ )।

इस क्षेत्र में एक केंद्रीय सैद्धांतिक प्रश्न डुअल अटेनमेंट (dual attainment) है: एक अनुकूलतम डुअल जोड़ी $(\phi, h)$ का अस्तित्व, जो सेमी-स्टैटिक हेजिंग रणनीतियों (यूरोपीय विकल्प $\phi$ और डायनेमिक ट्रेडिंग रणनीतियां $h$ ) का प्रतिनिधित्व करती है और डुअल बाउंड को प्राप्त करती है। जबकि ड्युअलिटी (प्राइमल और डुअल मानों के बीच समानता) अच्छी तरह से स्थापित है, सामान्य मल्टी-एसेट, मल्टी-पीरियड सेटिंग्स में डुअल ऑप्टिमाइज़र के अस्तित्व को सिद्ध करना एक खुला और चुनौतीपूर्ण प्रश्न बना हुआ है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

सैद्धांतिक ढांचा (Theoretical Framework)

लेखक हल्के नियमन (regularity) और इरिड्यूसिबिलिटी (irreducibility) की शर्तों के तहत डुअल अटेनमेंट स्थापित करते हैं। प्रमाण रणनीति सिंगल-एसेट, टू-पीरियड केस की तकनीकों को मनमाने आयामों ( $d$ ) और समय चरणों ( $N$ ) तक विस्तारित करती है।

अनुमानित डुअल मैक्सिमाइज़र (Approximating Dual Maximizers): लेखक "अच्छे" डुअल उम्मीदवारों $(\phi_n, h_n)$ का एक अनुक्रम (sequence) निर्मित करते हैं जहाँ डुअल मान अनुकूलतम मान की ओर अभिसरित (converge) होते हैं। ये उम्मीदवार उस पाथवाइज असमानता (pathwise inequality) को संतुष्ट करते हैं जो सब-हेजिंग (sub-hedging) के लिए आवश्यक है।
इरिड्यूसिबिलिटी और कॉनवेक्स ऑर्डर (Irreducibility and Convex Order): एक प्रमुख संरचनात्मक धारणा यह है कि मार्जिनल डिस्ट्रीब्यूशन कॉनवेक्स ऑर्डर में एक इरिड्यूसिबल सीक्वेंस बनाते हैं। यह गुण सुनिश्चित करता है कि मार्जनल्स के पोटेंशियल फंक्शन्स नियमित व्यवहार करते हैं, जिससे उन घातक मामलों को रोका जा सके जहाँ द्रव्यमान (mass) विच्छेदित घटकों (disconnected components) में "फँस" सकता है।
लोकल $L^1$ बाउंड्स और कॉम्पैक्टनेस (Local $L^1$ Bounds and Compactness): मुख्य तकनीकी नवाचार कॉम्पैक्ट इंटरवल्स पर अनुमानित पोटेंशियल्स के लिए लोकल $L^1$ बाउंड्स प्राप्त करना है। मार्जनल्स की इरिड्यूसिबिलिटी का उपयोग करके, लेखक सिद्ध करते हैं कि डुअल पोटेंशियल का अनुक्रम $L^1$ में स्थानीय रूप से बाध्य (locally bounded) है।
पॉइंटवाइज कन्वर्जेंस (Pointwise Convergence): इन बाउंड्स और कोम्लोस लेम्मा (Komlós's lemma) का लाभ उठाते हुए, वे एक उप-अनुक्रम (subsequence) निकालते हैं जो एक सीमा फलन (limiting function) की ओर लगभग हर जगह (almost everywhere) पॉइंटवाइज अभिसरण करता है। यह सीमा एक डुअल ऑप्टिमाइज़र के रूप में कार्य करती है।
डुअल क्लास को संभालना (Handling the Dual Class): शोध पत्र नोट करता है कि डुअल ऑप्टिमाइज़र अनिवार्य रूप से मूल स्वीकार्य वर्ग $\Psi$ का हिस्सा नहीं हो सकता है (अनंत-आयामी कॉम्पैक्टनेस मुद्दों के कारण), लेकिन इसके घटक वास्तविक-मान (real-valued) और मापने योग्य (measurable) हैं, जो हेजिंग रणनीतियों की वित्तीय व्याख्या के लिए पर्याप्त हैं।

संख्यात्मक कार्यान्वयन (Numerical Implementation)

सैद्धांतिक निष्कर्षों का समर्थन करने के लिए, शोध पत्र प्राइमल-डुअल लीनियर प्रोग्रामिंग (PDLP) एल्गोरिदम का उपयोग करके एक कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण अपनाता है।

विविक्तीकरण (Discretization): निरंतर MOT समस्या को संपत्ति की कीमतों और समय चरणों के एक परिमित ग्रिड पर विविक्त (discretize) किया जाता है, जिससे इसे एक बड़े पैमाने के लीनियर प्रोग्राम (LP) के रूप में तैयार किया जाता है।
शिथिल बाधाएं (Relaxed Constraints): विविक्तीकरण त्रुटियों को संभालने के लिए, मार्टिंगेल बाधाओं को ग्रिड आकार के समानुपाती टॉलरेंस पैरामीटर के साथ शिथिल (relax) किया जाता है।
सॉल्वर (Solver): लेखक PDLP सॉल्वर का उपयोग करते हैं (जो NVIDIA cuOpt में कार्यान्वित है), जो बड़े पैमाने के, स्पार्स LP के लिए डिज़ाइन किया गया एक फर्स्ट-ऑर्डर मेथड है। यह उच्च-आयामी, पाथ-डिपेंडेंट संरचना को बिना स्पष्ट मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन के संभालने के लिए एडेप्टिव स्टेप साइज़, रीस्टार्ट और डायगोनल प्रीकंडीशनिंग का उपयोग करता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

डुअल ऑप्टिमाइज़र का अस्तित्व: प्राथमिक योगदान मल्टीमार्गल, मल्टी-एसेट MOT समस्या के लिए डुअल अटेनमेंट का एक कठोर प्रमाण है। यह पिछले परिणामों को विस्तृत करता है, जो काफी हद तक सिंगल-एसेट या टू-पीरियड सेटिंग्स तक सीमित थे, उन्हें मनमाने एसेट्स और समय अवधियों तक।
मजबूत हेजिंग के लिए सैद्धांतिक आधार: डुअल ऑप्टिमाइज़र के अस्तित्व को स्थापित करके, यह शोध पत्र जटिल, पाथ-डिपेंडेंट डेरिवेटिव्स के लिए अनुकूलतम सब- और सुपर-हेजिंग रणनीतियों के अस्तित्व की गणितीय गारंटी प्रदान करता है।
संख्यात्मक सत्यापन: शोध पत्र बड़े पैमाने की मल्टीमार्गल MOT समस्याओं को हल करने के लिए PDLP एल्गोरिदम को लागू करने का पहला प्रदर्शन प्रस्तुत करता है। यह उच्च सटीकता के साथ डिस्क्रीट इंस्टेंस को हल करके अपने सैद्धांतिक परिणामों को मान्य करता है।
वर्स्ट-ऑफ ऑटोकलेबल्स पर केस स्टडी: लेखक S&P 500 और NASDAQ 100 को संदर्भित करने वाले एक वर्स्ट-ऑफ ऑटोकलेबल ऑप्शन (worst-of autocallable option) की प्राइसिंग के लिए अपने ढांचे को लागू करते हैं। यह मल्टी-एसेट, पाथ-डिपेंडेंट उत्पादों के लिए एक वास्तविक परीक्षण मामला है।

परिणाम (Results)

सैद्धांतिक परिणाम

थ्योरम 3.1 पुष्टि करता है कि इरिड्यूसिबिलिटी और कॉस्ट फंक्शन की लोअर सेमीकंटीन्यूइटी (lower semicontinuity) के तहत, एक डुअल ऑप्टिमाइज़र मौजूद है।
डुअल ऑप्टिमाइज़र $(\phi, h)$ सभी प्राइस पाथ्स के लिए पाथवाइज असमानता को संतुष्ट करता है और किसी भी प्रिमल ऑप्टिमाइज़र $\pi$ के लिए समानता (रेप्लिकेशन) $\pi$ -लगभग निश्चित रूप से (almost surely) प्राप्त करता है।
प्रमाण मार्जनल्स की इरिड्यूसिबिलिटी से प्राप्त लोकल कॉम्पैक्टनेस तर्कों के माध्यम से अनुमानित अनुक्रमों के निर्माण और सीमाओं के निष्कर्षण पर निर्भर करता है।

संख्यात्मक परिणाम

सटीकता (Accuracy): PDLP सॉल्वर ने मशीन-स्तर की सटीकता प्राप्त की। 2-एसेट, 3-टाइम-स्टेप वर्स्ट-ऑफ ऑटोकलेबल केस के लिए, डुअलिटी गैप (duality gap) $10^{-13}$ से $10^{-14}$ के क्रम में था।
व्यवहार्यता (Feasibility): दोनों प्रिमल और डुअल इनफीजिबिलिटी नॉर्म्स को $10^{-8}$ से काफी नीचे बनाए रखा गया, जो पुष्टि करता है कि सॉल्वर ने विविक्तीकरण टॉलरेंस के भीतर मार्जिनल और मार्टिंगेल बाधाओं को सख्ती से लागू किया।
स्केलेबिलिटी (Scalability): GPU-एक्सेलेरेटेड PDLP का उपयोग उच्च-आयामी इंस्टेंस को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए किया गया था, जो मानक CPU-आधारित सॉल्वर के लिए असंभव होता।
केस स्टडी: संख्यात्मक प्रयोग ने वर्स्ट-ऑफ ऑटोकलेबल ऑप्शन के लिए टाइट प्राइस बाउंड्स को सफलतापूर्वक कंप्यूट किया, जो मल्टी-एसेट, पाथ-डिपेंडेंट उत्पादों के लिए सैद्धांतिक ढांचे की व्यावहारिक व्यवहार्यता को प्रदर्शित करता है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

शोध पत्र का दावा है कि यह सामान्य मल्टी-एसेट, मल्टी-पीरियड सेटिंग में MOT के गणितीय समझ को हल करके इसे आगे बढ़ाता है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि:

मजबूत मूल्य निर्धारण (Robust Pricing): यह विशिष्ट पैरामेट्रिक मॉडल पर भरोसा किए बिना जटिल डेरिवेटिव्स की प्राइसिंग के लिए एक कठोर आधार प्रदान करता है, जिससे वास्तविक मॉडल अनिश्चितता को कैप्चर किया जा सकता है।
हेजिंग रणनीतियां (Hedging Strategies): डुअल ऑप्टिमाइज़र का अस्तित्व सीधे तौर पर ट्रेड करने योग्य उपकरणों (विकल्प और डायनेमिक ट्रेडिंग) का उपयोग करके स्पष्ट, मॉडल-स्वतंत्र हेजिंग रणनीतियों के अस्तित्व में अनुवादित होता है।
व्यावहारिक अनुप्रयोग (Practical Applicability): संख्यात्मक प्रयोग दर्शाते हैं कि ये सैद्धांतिक प्रगति स्ट्रक्चर्ड नोट्स और ऑटोकलेबल्स जैसे वास्तविक वित्तीय उत्पादों के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से सुलभ है, जो कई संपत्तियों के संयुक्त विकास पर निर्भर करते हैं।

लेखक कम्प्यूटेशनल पहलू के संबंध में एक मध्यम रुख बनाए रखते हैं, यह नोट करते हुए कि हालांकि वे PDLP का उपयोग करके इन समस्याओं को हल करने की व्यवहार्यता प्रदर्शित करते हैं, प्राथमिक ध्यान डुअल अटेनमेंट के सैद्धांतिक विकास पर बना हुआ है। संख्यात्मक कार्य का उद्देश्य नए कम्प्यूटेशनल पद्धतियों का प्रस्ताव करने के बजाय सैद्धांतिक परिणामों की पुष्टि करना है। भविष्य के कार्य के रूप में पे-ऑफ स्ट्रक्चर के आधार पर सैद्धांतिक बाउंड्स को रिफाइन करने और बड़े पैमाने के लिए अधिक कुशल कम्प्यूटेशनल तकनीकों को विकसित करने का सुझाव दिया गया है।