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Non-linear PCA via Evolution Strategies: a Novel Objective Function

यह शोध पत्र एक नवीन गैर-रेखीय PCA ढांचे का प्रस्ताव करता है जो एक सूक्ष्म उद्देश्य फलन (granular objective function) के साथ न्यूरल नेटवर्क-आधारित चर रूपांतरणों को अनुकूलित करने के लिए इवोल्यूशन स्ट्रेटेजीज़ का उपयोग करता है, जिससे व्याख्यात्मकता को बनाए रखते हुए और श्रेणीबद्ध डेटा (categorical data) को स्वाभाविक रूप से संभालते हुए बेहतर आयामी कमी (dimensionality reduction) प्रदर्शन प्राप्त किया जाता है।

मूल लेखक: Thomas Uriot, Elise Chung

प्रकाशित 2026-02-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Thomas Uriot, Elise Chung

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "Non-linear PCA via Evolution Strategies: a Novel Objective Function" पेपर का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों का उपयोग करते हुए हिंदी अनुवाद दिया गया है।

समस्या: "सीधी रेखा" की सीमा

कल्पना कीजिए कि आपके पास मिले-जुले खिलौनों का एक बड़ा डिब्बा है (डेटा)। आप उन्हें कुछ व्यवस्थित ढेरों में व्यवस्थित करना चाहते हैं ताकि आप मुख्य पैटर्न देख सकें।

स्टैंडर्ड PCA (प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस) एक सख्त लाइब्रेरियन की तरह है जो केवल सीधी रेखाएं खींचकर खिलौनों को छाँटने की अनुमति देता है। यदि खिलौने एक घेरे, एक सर्पिल (spiral), या किसी जटिल 3D आकार में व्यवस्थित हैं, तो लाइब्रेरियन पैटर्न नहीं देख पाता। वे इसे केवल "बिखराव" के रूप में देखते हैं क्योंकि उन्हें मजबूरन सीधी रेखाएं खींचनी पड़ती हैं।

Kernel PCA (kPCA) एक अधिक समझदार लाइब्रेरियन है जो घुमावदार रेखाएं खींच सकता है। लेकिन इसमें एक पेंच है: वे एक गुप्त, अदृश्य आयाम (dimension) में रेखाएं खींचते हैं। आप यह नहीं देख सकते कि उन्होंने खिलौनों को इस तरह से क्यों छाँटा, और दूसरों को उनके तर्क को समझाना बहुत कठिन है। साथ ही, यदि आप उन्हें "लाल", "नीला" या "बड़ा" जैसे लेबल वाले खिलौने देते हैं (कैटेगोरिकल डेटा), तो वे भ्रमित हो जाते हैं क्योंकि उन्हें नहीं पता कि एक "लाल" खिलौने और एक "नीले" खिलौने के बीच की दूरी को कैसे मापा जाए।

समाधान: एक "आकार बदलने वाला" लाइब्रेरियन

लेखकों ने एक नया तरीका प्रस्तावित किया है जो एक आकार बदलने वाले (shape-shifting) लाइब्रेरियन की तरह काम करता है।

परिवर्तन (न्यूरल नेटवर्क): छाँटने से पहले, यह लाइब्रेरियन जादुई रूप से हर एक खिलौने को व्यक्तिगत रूप से नया आकार दे सकता है। एक गोल गेंद को एक घन (cube) में बदला जा सकता है; एक लंबी छड़ी को मोड़कर वक्र (curve) बनाया जा सकता है। वे यह न्यूरल नेटवर्क्स (कंप्यूटर प्रोग्राम जो पैटर्न सीखते हैं) का उपयोग करके करते हैं।
लक्ष्य: लक्ष्य खिलौनों को इस तरह से नया आकार देना है कि जब लाइब्रेरियन अंततः अपनी सीधी रेखाएं खींचे (स्टैंडर्ड PCA), तो वे रेखाएं सबसे महत्वपूर्ण पैटर्न को पकड़ सकें।

असली मंत्र: "इवोल्यूशन स्ट्रेटजीज़" (Evolution Strategies)

यहाँ पेचीदा हिस्सा यह है: लाइब्रेरियन खिलौनों को नया आकार देने का सबसे अच्छा तरीका पता लगाने के लिए मानक कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर सकता क्योंकि गणित बहुत जटिल है ("नॉन-डिफरेंशिएबल")।

इसके बजाय, वे इवोल्यूशन स्ट्रेटजीज़ का उपयोग करते हैं, जो प्राकृतिक चयन (natural selection) की तरह काम करता है:

कल्पना कीजिए कि आपके पास 50 लाइब्रेरियनों की एक आबादी है, जिनमें से प्रत्येक खिलौनों को थोड़ा अलग तरीके से नया आकार देने की कोशिश कर रहा है।
आप उन सभी का परीक्षण करते हैं। जो खिलौनों को व्यवस्थित करने का सबसे अच्छा काम करते हैं, उन्हें "प्रजनन" (reproduce) करने का मौका मिलता है।
उनके "बच्चे" (नए लाइब्रेरियन) अपने पूर्वजों की आकार बदलने की तकनीक विरासत में लेते हैं, लेकिन उनमें छोटे-छोटे यादृच्छिक (random) बदलाव किए जाते हैं।
आप इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराते हैं। अंततः, आप एक ऐसा लाइब्रेरियन विकसित करते हैं जो खिलौनों को छाँटने के लिए उन्हें पूरी तरह से नया आकार देने में माहिर होता है।

मुख्य नवाचार: "ग्रैनुलर" स्कोरकार्ड

पेपर में लाइब्रेरियन को ग्रेड देने का एक नया तरीका पेश किया गया है।

पुराना तरीका (ग्लोबल ऑब्जेक्टिव): आप पूरे समूह को एक ही ग्रेड देते हैं कि पूरे डिब्बे को कितनी अच्छी तरह से छाँटा गया है। यह कुछ ऐसा है जैसे कहना, "अच्छा काम किया, टीम!" लेकिन आपको यह नहीं पता चलता कि किस लाइब्रेरियन ने वास्तव में सबसे अधिक मेहनत की।
नया तरीका (पार्शियल/ग्रैनुलर ऑब्जेक्टिव): लेखकों ने एक ऐसा स्कोरकार्ड बनाया है जो प्रत्येक खिलौने के परिवर्तन को व्यक्तिगत रूप से ग्रेड देता है। वे पूछते हैं: "इस विशिष्ट आकार परिवर्तन ने समग्र छंटाई में कितनी मदद की?"
- उदाहरण: कल्पना कीजिए कि एक स्पोर्ट्स टीम है। पुराना तरीका केवल अंतिम स्कोर देखता है। नया तरीका यह देखता है कि प्रत्येक खिलाड़ी ने कितने अंक दिए।
- परिणाम: यह "इवोल्यूशन" प्रक्रिया को एक बहुत मजबूत संकेत देता है। यह लाइब्रेरियनों को ठीक-ठीक बताता है कि कौन सी आकार बदलने की तकनीक काम कर रही है और कौन सी नहीं, जिससे बहुत तेज़ और बेहतर परिणाम मिलते हैं, खासकर जब आपके पास कई अलग-अलग प्रकार के खिलौने (हाई-डायमेंशनल डेटा) हों।

"कैटेगोरिकल" खिलौनों को संभालना

डेटा साइंस में सबसे बड़ी समस्याओं में से एक श्रेणियों (जैसे "हाँ/नहीं", "छोटा/मध्यम/बड़ा", या "कुत्ता/बिल्ली") से निपटना है।

पुरानी समस्या: आमतौर पर, आपको "कुत्ता" को शून्य और एक (zeros and ones) की एक लंबी सूची में बदलना पड़ता है (one-hot encoding)। यदि आपके पास 1,000 अलग-अलग नस्लें हैं, तो आपका डिब्बा अचानक 1,000 कॉलमों में बदल जाता है। इससे डेटा का आकार विस्फोट की तरह बढ़ जाता है और सॉर्टिंग मशीन खराब हो जाती है।
नया समाधान: यह विधि "कुत्ता" को एक एकल अवधारणा के रूप में मानती है। यह सीखती है कि "गोल्डन रिट्रीवर" और "लैब्राडोर" एक-दूसरे के करीब हैं, जबकि "साँप" उनसे दूर है। यह डेटा को संक्षिप्त रखती है और मिश्रित प्रकारों (संख्याओं, श्रेणियों और रैंकिंग) को बिना आकार बढ़ाए एक साथ संभालती है।

परिणाम

लेखकों ने इसका परीक्षण किया:

नकली डेटा (Fake Data): नेस्टेड सर्कल और स्फेयर जैसे आकार जहाँ पैटर्न स्पष्ट रूप से नॉन-लीनियर हैं।
वास्तविक डेटा (Real Data): मेडिकल रिकॉर्ड, क्रेडिट चेक और वाइन डेटासेट।

निष्कर्ष:

उनके तरीके ने पुराने सीधी रेखा वाले तरीके (PCA) और गुप्त-घुमावदार-रेखा वाले तरीके (kPCA) दोनों की तुलना में अधिक जानकारी (अधिक वेरिएंस) पकड़ी।
"ग्रैनुलर स्कोरकार्ड" (नया ऑब्जेक्टिव फंक्शन) पुराने "टीम ग्रेड" तरीके की तुलना में काफी बेहतर काम कर गया।
परिणाम व्याख्या योग्य (interpretable) रहे। क्योंकि उन्होंने एक समय में केवल एक ही खिलौने को नया आकार दिया, आप अभी भी अंतिम मानचित्र को देख सकते हैं और कह सकते हैं, "आह, 'लाल' खिलौने 'गोल' खिलौनों के करीब हैं क्योंकि इस विशिष्ट परिवर्तन के कारण हैं।" आप परिणामों को विज़ुअलाइज़ करने के लिए मानक उपकरणों (जैसे biplots) का उपयोग कर सकते हैं, जो कर्नल PCA के साथ संभव नहीं है।

सारांश

यह पेपर जटिल डेटा को सरल बनाने का एक नया तरीका प्रस्तुत करता है। डेटा को सीधी रेखाओं में मजबूर करने या उसे गुप्त आयामों में छिपाने के बजाय, यह पहले डेटा को "नया आकार" देने के लिए एक विकासवादी प्रक्रिया (evolutionary process) का उपयोग करता है। प्रत्येक आकार बदलने के कदम को व्यक्तिगत रूप से ग्रेड करके, उन्हें बहुत अधिक स्मार्ट, कुशल और समझने में आसान परिणाम मिलता है जो सभी प्रकार के डेटा (संख्या और श्रेणियाँ) को बिना बोझिल हुए संभाल सकता है।

तकनीकी सारांश: इवोल्यूशन स्ट्रैटेजीज़ के माध्यम से नॉन-लीनियर PCA

समस्या विवरण (Problem Statement)

प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस (PCA) एक प्रमुख आयामी कमी (dimensionality reduction) तकनीक है जो अपनी व्याख्यात्मकता (interpretability) और नियत प्रकृति (deterministic nature) के लिए जानी जाती है। हालाँकि, इसकी रैखिक रूपांतरणों (linear transformations) पर निर्भरता इसे वास्तविक दुनिया के डेटा में निहित जटिल, गैर-रैखिक संरचनाओं को पकड़ने में सीमित कर देती है। मौजूदा गैर-रैखिक विस्तार महत्वपूर्ण ट्रेड-ऑफ का सामना करते हैं:

कर्नेल PCA (kPCA): हालांकि यह गैर-रैखिकता को पकड़ता है, लेकिन यह व्याख्यात्मकता का त्याग करता है (प्रिंसिपल कंपोनेंट्स मूल चरों से सीधे मैप नहीं होते) और हाइपरपैरामीटर चयन में संघर्ष करता है।
ऑटो-एनकोडर्स (Auto-encoders): इनमें PCA के अंतर्निहित विचरण अधिकतमकरण (variance maximization) और ऑर्थोगोनैलिटी गुणों की कमी होती है, और उनके लेटेंट वेरिएबल्स (latent variables) अक्सर व्याख्या करने में कठिन होते हैं।
कैटेगोरिकल डेटा का प्रबंधन: मानक PCA और कई NLPCA विधियाँ मूल रूप से कैटेगोरिकल या ऑर्डिनल वेरिएबल्स को संभालने में विफल रहती हैं। इन्हें वन-हॉट एनकोडिंग (one-hot encoding) में बदलने से "डायमेंशनल एक्सप्लोजन" (dimensional explosion) होता है, जहाँ कैटेगोरिकल स्तर विचरण योगदान (variance contribution) को हावी कर देते हैं, जिससे विश्लेषण पक्षपाती हो जाता है। इसके अलावा, MFA जैसी मौजूदा विधियों के लिए वन-हॉट एनकोडिंग की आवश्यकता होती है, जिससे कई अद्वितीय स्तरों वाले डेटासेट में अस्थिरता आती है।

लेखक एक ऐसे ढांचे के लिए अंतराल (gap) की पहचान करते है जो PCA की व्याख्यात्मकता को न्यूरल नेटवर्क के लचीलेपन के साथ एकीकृत कर सके और बिना डायमेंशनल एक्सप्लोजन के मिश्रित डेटा प्रकारों को संभालने में सक्षम हो।

कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित ढांचा, इवोल्यूशन स्ट्रैटेजीज़ (ES) के माध्यम से नॉन-लीनियर PCA, तीन मुख्य घटकों से बना है:

1. रूपांतरणों का पैरामीट्राइजेशन (Parameterization of Transformations)

एक वैश्विक गैर-रैखिक मैपिंग सीखने के बजाय, यह विधि प्रत्येक मूल चर $X^{(l)}$ के लिए एक अलग रूपांतरण फलन $\Phi_l$ को पैरामीट्राइज करती है।

आर्किटेक्चर: प्रत्येक $\Phi_l$ को एक सरल फीड-फॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क के रूप में लागू किया गया है।
कैटेगोरिकल हैंडलिंग: कैटेगोरिकल वेरिएबल्स के लिए, इनपुट को वन-हॉट एनकोड किया जाता है, लेकिन नेटवर्क एक एकल स्केलर मान आउटपुट करता है। यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक मूल चर (चाहे वह संख्यात्मक हो या कैटेगोरिकल) ठीक एक रूपांतरित आयाम (transformed dimension) में मैप होता है, जिससे PCA या MFA से जुड़े डायमेंशनल एक्सप्लोजन को रोका जा सके।
व्याख्यात्मकता: वन-टू-वन मैपिंग यह सुनिश्चित करती है कि परिणामी कंपोनेंट्स को विशिष्ट मूल चरों तक ट्रैक किया जा सके।

2. इवोल्यूशन स्ट्रैटेजीज़ (ES) के माध्यम से अनुकूलन

ऑब्जेक्टिव फंक्शन में कोवेरिएंस मैट्रिक्स का आइजनडीकंपोजिशन (eigendecomposition) शामिल है, जो नॉन-डिफरेंशिएबल (non-differentiable) है। फलस्वरूप, मानक बैकप्रोपैगेशन का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

एल्गोरिदम: लेखक इवोल्यूशन स्ट्रैटेजीज़ (ES) का उपयोग करते हैं, जो एक डेरिवेटिव-फ्री ब्लैक-बॉक्स ऑप्टिमाइजेशन विधि है।
प्रक्रिया: न्यूरल नेटवर्क के पैरामीटर्स को गॉसियन नॉइज़ (Gaussian noise) के साथ विक्षेपित (perturb) किया जाता है। प्रत्येक विक्षेपण के लिए ऑब्जेक्टिव वैल्यू की गणना की जाती है, और पैरामीटर्स को भारित शोर नमूनों (weighted noise samples) से प्राप्त ग्रेडिएंट एप्रोक्सिमेशन के आधार पर अपडेट किया जाता है। यह मानक आइजनडीकंपोजिशन की डिफरेंशिएबिलिटी बाधाओं को दरकिनार कर देता है।

3. नवीन ऑब्जेक्टिव फंक्शन्स (Novel Objective Functions)

यह पेपर पहले $k$ प्रिंसिपल कंपोनेंट्स के समझाया गए विचरण (explained variance) को अधिकतम करने के लिए दो ऑब्जेक्टिव फंक्शन्स पेश करता है:

ग्लोबल ऑब्जेक्टिव ( $F^k_{global}$ ): पहले $k$ कंपोनेंट्स के विचरण के योग को अधिकतम करता है। यह पूरे सिस्टम के लिए एक एकल स्केलर सिग्नल प्रदान करता है।
पार्शियल (ग्रैनुलर) ऑब्जेक्टिव ( $F^k_l$ ): एक नवीन योगदान जो प्रत्येक रूपांतरित चर के व्यक्तिगत विचरण योगदान को अधिकतम करने के लिए ग्लोबल वेरियंस को डीकंपोज करता है।
- प्रपोजिशन 3.1 के आधार पर, वेरिएबल $l$ का आइजनवेल्यू $j$ में विचरण योगदान $c_{j,l}$ की गणना की जाती है।
- ऑब्जेक्टिव प्रत्येक चर के लिए अलग-अलग इन व्यक्तिगत योगदानों के योग को अधिकतम करता है।
- स्केलिंग: ग्लोबल ऑब्जेक्टिव के साथ निष्पक्ष तुलना सुनिश्चित करने के लिए, ग्लोबल ऑब्जेक्टिव को $p$ वेरिएबल्स द्वारा नीचे की ओर स्केल किया जाता है ताकि ES में लर्निंग स्टेप के परिमाण (magnitude) से मेल खा सके।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

न्यूरोइवोल्यूशन के माध्यम से नॉन-लीनियर विस्तार: यह पेपर एक मजबूत NLPCA ढांचा प्रस्तावित करता है जहाँ वेरिएबल ट्रांसफॉर्मेशन को न्यूरल नेटवर्क द्वारा पैरामीट्राइज किया जाता है और ES का उपयोग करके अनुकूलित किया जाता है। यह मानक आइजनडीकंपोजिशन की डिफरेंशिएबिलिटी समस्याओं से बचते हुए मनमाने जटिल मैपिंग की अनुमति देता है।
ग्रैनुलर वेरियंस मैक्सिमाइजेशन: पार्शियल ऑब्जेक्टिव फंक्शन का परिचय एक प्राथमिक योगदान है। प्रत्येक वेरिएबल के विशिष्ट विचरण योगदान को अलग करने और उसे अधिकतम करने से, यह ग्लोबल वेरियंस मैक्सिमाइजेशन की तुलना में अधिक मजबूत लर्निंग सिग्नल प्रदान करता है, विशेष रूप से उच्च आयामों (higher dimensions) में।
एकीकृत डेटा हैंडलिंग: यह विधि संख्यात्मक, कैटेगोरिकल और ऑर्डिनल वेरिएबल्स को एक साथ स्वाभाविक रूप से संभालती है। प्रत्येक कैटेगोरिकल वेरिएबल को एक सिंगल ट्रांसफॉर्मेड कॉलम में मैप करके, यह डायमेंशनल एक्सप्लोजन को रोकता है, जो कर्नल PCA और पारंपरिक कंपोनेंट-आधारित विधियों जैसे MFA के बीच के अंतर को पाटता है।

प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

विधि का मूल्यांकन तीन सिंथेटिक डेटासेट्स (नेस्टेड सर्कल्स, स्फीयर्स, अल्टरनेट स्ट्राइप्स) और OpenML से पांच रियल-वर्ल्ड डेटासेट्स (क्रेडिट, आयोस्फीयर, ब्रेस्ट कैंसर, हार्ट, वाइन) पर किया गया।

एक्सप्लेन्ड वेरियंस (Explained Variance): प्रस्तावित विधि (ES-PCA) ने सभी डेटासेट्स पर लीनियर PCA को लगातार पछाड़ दिया।
kPCA के साथ तुलना: ES-PCA विधि, विशेष रूप से पार्शियल ऑब्जेक्टिव (ES-Partial) के साथ, $k=2$ $k = 2$ (पहले दो कंपोनेंट्स का संचयी विचरण) के लिए रियल-वर्ल्ड डेटासेट्स पर कर्नेल PCA (kPCA) से काफी बेहतर प्रदर्शन करती है।
- नोट: kPCA के साथ तुलना अनुकूल थी क्योंकि चार कर्नेल्स (rbf, cosine, polynomial, sigmoid) में से सर्वश्रेष्ठ परिणाम बिना फाइन-ट्यूनिंग के रिपोर्ट किया गया था, जबकि ES-PCA ने डिफॉल्ट पैरामीटर्स का उपयोग किया।
ऑब्जेक्टिव परफॉरमेंस: ग्लोबल ऑब्जेक्टिव की तुलना में पार्शियल ऑब्जेक्टिव ने लगातार उच्च समझाया गया विचरण (explained variance) और तेज़ अभिसरण (convergence) दिखाया। पार्शियल ऑब्जेक्टिव का ग्लोबल ऑब्जेक्टिव पर प्रदर्शन लाभ, डेटासेट की डाइमेंशनलिटी के साथ मजबूती से सह-संबंधित था ( $\rho=0.87$ $k=1$ के लिए और $\rho=0.98$ $k=2$ के लिए)।
व्याख्यात्मकता (Interpretability): सिंथेटिक डेटासेट्स पर गुणात्मक परिणामों ने प्रदर्शित किया कि सीखे गए ट्रांसफॉर्मेशन सहज रूप से व्याख्या योग्य थे (जैसे, स्फीयर्स में रेडियस अंतर या स्ट्राइप्स में अवधि/periodicity को पकड़ना)। विधि ने बायोप्लॉट (biplots) जैसे मानक PCA विज़ुअलाइज़ेशन टूल्स का उपयोग करने की क्षमता को बनाए रखा।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह पेपर पिछले रिव्यूज द्वारा पहचाने गए NLPCA अनुसंधान के "गैप" को संबोधित करने का दावा करता है: एक ऐसा सामान्य ढांचा जिसकी आवश्यकता है जिसमें पैरामीट्रिक ट्रांसफॉर्मेशन हो और जो व्याख्यात्मकता बनाए रखे।

व्याख्यात्मकता: ऑटो-एनकोडर्स या kPCA के विपरीत, यह विधि मूल और रूपांतरित वेरिएबल्स के बीच वन-टू-वन मैपिंग को सुरक्षित रखती है, जिससे विश्लेषक फीचर योगदान और गैर-रैखिक संबंधों को विज़ुअलाइज़ करने के लिए मानक टूल्स (बायप्लॉट्स) का उपयोग कर सकते हैं।
डेटा प्रकारों के प्रति मजबूती: कैटेगोरिकल वेरिएबल्स को वन-हॉट एनकोडिंग के बिना संभालकर, यह वास्तविक दुनिया के गैर-क्यूरेटेड डेटासेट्स के लिए एक अधिक स्थिर और कुशल दृष्टिकोण प्रदान करता है जहाँ कैटेगोरिकल स्तर अनेक या असंगत हो सकते हैं।
लर्निंग सिग्नल: लेखक दावा करते हैं कि ग्रैनुलर पार्शियल ऑब्जेक्टिव एक बेहतर लर्निंग सिग्नल प्रदान करता है, जिससे मॉडल को उच्च-आयामी स्थानों में अधिक प्रभावी ढंग से सीखने में मदद मिलती है जहाँ ग्लोबल ऑब्जेक्टिव संघर्ष कर सकते हैं।

लेखक अपने वर्तमान कार्य के बारे में विनम्र रहते हैं, यह नोट करते हुए कि समझाया गया विचरण (explained variance) अभी भी जनरेशन की संख्या के साथ बढ़ रहा है, जो बताता है कि आगे और लाभ संभव हैं। वे यह भी स्वीकार करते हैं कि हालांकि यह विधि कुछ संदर्भों में मानक PCA की तुलना में आउटलेयर्स को बेहतर ढंग से संभालती है, भविष्य के काम में रोबस्ट PCA तकनीकों को एकीकृत किया जा सकता है।