⚛️ nuclear theory

Exterior complex scaling enables physics-informed neural networks for quantum scattering

यह कार्य प्रदर्शित करता है कि एक्सटीरियर कॉम्प्लेक्स स्केलिंग (exterior complex scaling) गैर-क्षयकारी प्रकीर्णन तरंग फलनों (non-decaying scattering wave functions) को घातांकीय रूप से क्षय होने वाले रूपों में परिवर्तित करती है, जिससे फिजिक्स-इंफॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क पहली बार परमाणु प्रकीर्णन समस्याओं को सटीक रूप से हल करने में सक्षम होते हैं और कुशल इन्वर्स समस्याओं एवं जटिल प्रतिक्रिया मॉडलिंग का मार्ग प्रशस्त करते हैं।

मूल लेखक: Jin Lei

प्रकाशित 2026-06-08

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jin Lei

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ इस शोध पत्र का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों के साथ विवरण दिया गया है।

बड़ी समस्या: "अनंत गूँज" (The Endless Echo)

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि एक गेंद दीवार से टकराकर कैसे उछलेगी। परमाणुओं और नाभिकों (nuclei) की दुनिया में, यह "गेंद" एक कण (particle) है, और "दीवार" एक दूसरा नाभिक है। जब वे आपस में टकराते हैं, तो वे केवल रुकते नहीं हैं; वे बिखर जाते हैं (scatter)।

भौतिकी (physics) में, इस बिखराव (scattering) का वर्णन करने वाली गणित एक ऐसी लहर (wave) की तरह है जो कभी रुकती नहीं है। यह एक अंतहीन घाटी में ध्वनि तरंग की तरह आगे-पीछे डोलती रहती है।

द दशकों से, वैज्ञानिक इन समीकरणों को हल करने के लिए मानक कंप्यूटर प्रोग्रामों का उपयोग करते आए हैं। ये प्रोग्राम एक ग्रिड या सीढ़ी की तरह काम करते हैं: वे एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर कदम बढ़ाते हैं। लेकिन क्योंकि लहर कभी समाप्त नहीं होती, इसलिए कंप्यूटर को सही उत्तर पाने के लिए अनंत तक कदम बढ़ाते रहना पड़ता है। यदि आप सीढ़ी को बहुत जल्दी रोक देते हैं, तो आपको गलत उत्तर मिलता है (जैसे एक ऐसी दीवार से टकराकर आने वाली गूँज जो वहाँ होनी ही नहीं चाहिए थी)।

हाल ही में, फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क (PINN) नामक एक नए प्रकार का कंप्यूटर प्रोग्राम लोकप्रिय हुआ है। एक PINN को एक बहुत ही बुद्धिमान छात्र के रूप में सोचें जो ग्रिड के माध्यम से कदम बढ़ाने के बजाय खेल के नियमों (भौतिकी समीकरणों) को देखकर सीखता है। PINNs उन समस्याओं को हल करने में बेहतरीन होते हैं जहाँ चीजें स्थिर हो जाती हैं और रुक जाती हैं (जैसे गर्मी का धीरे-धीरे कम होना)। लेकिन वे परमाणु बिखराव (nuclear scattering) के मामले में बुरी तरह विफल हो जाते हैं क्योंकि "लहर" कभी स्थिर नहीं होती; वह बस अनंत काल तक डोलती रहती है। छात्र भ्रमित हो जाता है और उत्तर नहीं ढूँढ पाता।

समाधान: "कॉम्प्लेक्स मिरर" (The Complex Mirror)

इस शोध पत्र के लेखक, जिन लेई (Jin Lei) ने न्यूरल नेटवर्क छात्र को समस्या समझाने के लिए एक चतुर तकनीक खोजी। उन्होंने एक्सटीरियर कॉम्प्लेक्स स्केलिंग (ECS) नामक एक गणितीय तकनीक का उपयोग किया।

कल्पना कीजिए कि परमाणु टक्कर एक कमरे में हो रही है।

वास्तविक कमरा (The Real Room): कमरे के अंदर (नाभिक के करीब), भौतिकी सामान्य है। कण इधर-उधर उछलता है, और दीवारें वास्तविक हैं।
कॉम्प्लेक्स मिरर (The Complex Mirror): एक बार जब कण कमरे से बाहर निकलता है और "बाहर" की दुनिया में प्रवेश करता है, तो लेखक फर्श को एक दर्पण में बदल देता है जो दुनिया को एक अलग आयाम (complex plane) में झुका देता है।

इस झुकी हुई, "कॉम्प्लेक्स" दुनिया में, अनंत डोलती लहर अचानक बदल जाती है। आगे-पीछे डोलने के बजाय, यह एक घनी धुंध में मरती हुई ध्वनि की तरह मिटने (fade away) लगती है। यह एक "एक्सपोनेंशियलली डिकेइंग वेव" (exponentially decaying wave) बन जाती है।

अब, न्यूरल नेटवर्क छात्र खुश है! वह एक ऐसी लहर देखता है जो मिट रही है और रुक रही है। वह आसानी से नियमों को सीख सकता है क्योंकि समस्या अब वैसी ही दिख रही है जैसी वे समस्याएँ जिन्हें हल करने में वह माहिर है।

"ड्रिवन" ट्रिक (The "Driven" Trick): शोर को अलग करना

इसे पूरी तरह से काम करने योग्य बनाने के लिए, लेखक ने यह भी बदला कि समस्या को कैसे पूछा जा रहा है।

न्यूरल नेटवर्क से पूरी लहर को शुरू से ही समझने के लिए कहने के बजाय, उन्होंने इसे दो भागों में विभाजित किया:

ज्ञात भाग (The Known Part): एक "बैकग्राउंड" लहर जिसे कंप्यूटर पहले से ही गणना करने में सक्षम है (जैसे एक मानक ध्वनि तरंग)।
"ड्रिवन" भाग (The "Driven" Part): वह अस्त-व्यस्त, दिलचस्प हिस्सा जो टक्कर के कारण उत्पन्न हुआ है।

लेखक ने गणित को इस तरह व्यवस्थित किया कि "अस्त-व्यस्त" वाला हिस्सा केवल वहीं मौजूद रहता है जहाँ नाभिक वास्तव में एक-दूसरे को छूते हैं (वास्तविक कमरा)। एक बार जब कण उस कमरे से बाहर निकल जाता है, तो "अस्त-व्यस्त" हिस्से को शून्य होने के लिए मजबूर कर दिया जाता है। इसका मतलब है कि न्यूरल नेटवर्क को केवल वास्तविक कमरे में उस अस्त-व्यस्त हिस्से को सीखना है और फिर उसे "कॉम्प्लेक्स मिरर" में मिटते हुए देखना है। उसे अनंत दूरी पर क्या होता है, इसका अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है; गणित उसे मिटने के लिए मजबूर करता है।

परिणाम: नए तरीके का परीक्षण

लेखक ने यह सिद्ध करने के लिए कि यह तरीका काम करता है, दो अलग-अलग परिदृश्यों पर इस पद्धति का परीक्षण किया:

हल्का परीक्षण (न्यूट्रॉन + कैल्शियम): उन्होंने एक कैल्शियम नाभिक से टकराते हुए न्यूट्रॉन का अनुकरण (simulate) किया। परिणाम अविश्वसनीय रूप से सटीक थे, जो पारंपरिक सर्वोत्तम कंप्यूटर विधियों से लगभग पूरी तरह मेल खाते थे। अंतर इतना छोटा था कि वह मुश्किल से दिखाई दे सके (बौंस के कोण में एक डिग्री के दसवें हिस्से से भी कम)।
भारी परीक्षण (लिथियम + लेड): उन्होंने लिथियम और लेड के बीच एक भारी टक्कर का अनुकरण किया। यह कठिन है क्योंकि उनके बीच विद्युत प्रतिकर्षण (electric repulsion) बहुत अधिक है। यह विधि अभी भी काम करती रही, जिसने सटीकता से भविष्यवाणी की कि कण कैसे बिखरे, यहाँ तक कि उस कठिन "ग्रे एरिया" में भी जहाँ कण मुश्किल से एक-दूसरे को छूते हैं।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

यह शोध पत्र दावा करता है कि यह एक बड़ी उपलब्धि है क्योंकि:

यह वहां काम करता है जहां दूसरे विफल रहे: यह पहली बार है जब न्यूरल नेटवर्क ने इन विशिष्ट परमाणु बिखराव समस्याओं को सफलतापूर्वक हल किया है।
यह "एंड-टू-एंड" है: क्योंकि पूरी प्रक्रिया एक न्यूरल नेटवर्क पर आधारित है, आप इनपुट (जैसे परमाणु बल की शक्ति) को बदल सकते हैं और कंप्यूटर तुरंत जान जाता है कि आउटपुट कैसे बदलेगा। यह "इनवर्स प्रॉब्लम्स" (inverse problems) के लिए बहुत अच्छा है—यह समझना कि कणों के टकराकर वापस लौटने के तरीके के आधार पर नाभिक कैसा दिखता है।
यह "कठिन" चीजों को संभालता है: यह जटिल आकृतियों और कई कणों के साथ काम कर सकता है बिना किसी कठोर ग्रिड की आवश्यकता के, जो आमतौर पर कंप्यूटर क्रैश कर देते हैं जब चीजें बहुत जटिल हो जाती हैं।

संक्षेप में: लेखक ने एक गणितीय "फनल" (कॉम्प्लेक्स स्केलिंग) बनाया है जो एक असंभव, अनंत लहर वाली समस्या को एक सरल, मिटती हुई लहर वाली समस्या में बदल देता है जिसे आधुनिक AI आसानी से और सटीकता से हल कर सकता है।

तकनीकी सारांश: एक्सटीरियर कॉम्प्लेक्स स्केलिंग न्यूक्लियर रिएक्शन के लिए फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स को सक्षम बनाती है

समस्या विवरण
फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स (PINNs) विभिन्न डोमेन में विभेदक समीकरणों (differential equations) को हल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण के रूप में उभरे हैं। हालाँकि, न्यूक्लियर स्कैटरिंग (परमाणु प्रकीर्णन) में उनका अनुप्रयोग स्कैटरिंग वेव फंक्शन की प्रकृति के कारण मौलिक रूप से बाधित रहा है। बाउंड-स्टेट समस्याओं के विपरीत, जहाँ वेव फंक्शन तेजी से (exponentially) घटते हैं, स्कैटरिंग वेफंक्शन्स अनंत पर रेडिएशन बाउंडरी कंडीशंस (सोमरफेल्ड कंडीशंस) को संतुष्ट करते हुए सभी त्रिज्याओं पर दोलनशील (oscillatory) बने रहते हैं। पारंपरिक PINNs सीमित कंप्यूटेशनल डोमेन पर कार्य करते हैं और उन्हें ऐसी बाउंडरी कंडीशंस की आवश्यकता होती है जिन्हें समाधान से स्वतंत्र रूप से निर्दिष्ट किया जा सके। दोलनशील, गैर-क्षयकारी (non-decaying) स्कैटरिंग वेव्स की यह प्रकृति परिमित सीमाओं (finite boundaries) पर सरल डिरिचलेट या न्यूमैन कंडीशंस लगाने से रोकती है; डोमेन को काटने (truncating) से स्प्यूरियस रिफ्लेक्शन (spurious reflections) उत्पन्न होते हैं जो समाधान को दूषित कर देते हैं। दोलनी स्कैटरिंग कंडीशंस और परिमित-डोमेन कंप्यूटेशन के बीच यह असंगतता पहले न्यूक्लियर रिएक्शन समस्याओं में PINNs के अनुप्रयोग को बाधित करती रही है।

कार्यप्रणाली
यह कार्य बाउंडरी कंडीशन की बाधा को दूर करने के लिए एक्सटीरियर कॉम्प्लेक्स स्केलिंग (ECS) को PINNs के साथ संयोजित करने वाले एक ढांचे (framework) को प्रस्तुत करता है। यह कार्यप्रणाली तीन प्राथमिक घटकों से बनी है:

एक्सटीरियर कॉम्प्लेक्स स्केलिंग (ECS): एक स्केलिंग त्रिज्या $R_0$ के परे एक रेडियल कोऑर्डिनेट $r$ को विश्लेषणात्मक रूप से कॉम्प्लेक्स प्लेन में निरंतरित (analytically continued) किया जाता है। $r > R_0$ के लिए, कोऑर्डिनेट को एक कोण $\theta$ द्वारा घुमाया जाता है। यह रूपांतरण आउटगोइंग दोलनी वेव्स ( $e^{ikr}$ ) को तेजी से क्षय होने वाले फंक्शन्स ( $e^{ikr \cos \theta} e^{-kr \sin \theta}$ ) में बदल देता है। फलस्वरूप, ECS रूपांतरण स्कैटरिंग समस्या को स्क्वायर-इंटीग्रेबल ( $L^2$ ) बाउंडरी कंडीशंस वाली समस्या में बदल देता है, जिससे वेव फंक्शन को बिना किसी स्प्यूरियस रिफ्लेक्शन के एक परिमित बाहरी सीमा पर शून्य सेट किया जा सकता है। महत्वपूर्ण रूप से, ECS रूपांतरण न्यूक्लियर इंटरेक्शन रीजन को वास्तविक अक्ष (real axis) पर रखता है, जिससे न्यूक्लियर पोटेंशियल को कॉम्प्लेक्स प्लेन में विश्लेषणात्मक रूप से निरंतरित करने की आवश्यकता से बचा जा जा सकता है।
ड्रिवन-इक्वेशन फॉर्मूलेशन: सीखने के कार्य को और सरल बनाने के लिए, कुल वेव फंक्शन $u(r)$ को एक ज्ञात इनसिडेंट कूलम्ब वेव $u_{in}(r)$ और एक स्कैटर्ड वेव $u_{sc}(r)$ में विभाजित किया जाता है। स्कैटर्ड वेव एक इनहोमोजेनियस ड्रिवन इक्वेशन को संतुष्ट करता है जहाँ सोर्स टर्म पूरी तरह से वास्तविक अक्ष (न्यूक्लियर रेंज के भीतर) तक सीमित है। ECS क्षेत्र ( $r > R_0$ ) में, सोर्स टर्म लुप्त हो जाता है, और स्कैटर्ड वेव एक होमोजेनियस इक्वेशन को संतुष्ट करता है जिसमें तेजी से क्षय होने वाली बाउंडरी कंडीशंस होती हैं। यह फॉर्मूलेशन न्यूरल नेटवर्क को एक ऐसे फंक्शन को सीखने की अनुमति देता है जो शून्य की ओर क्षय होता है, न कि एक दोलनी फंक्शन को।
न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर और ट्रेनिंग:
- आर्किटेक्चर: स्कैटर्ड वेव के वास्तविक और काल्पनिक भागों को दर्शाने के लिए साइनुसोइडल एक्टिवेशन फंक्शन्स ( $\sin(z)$ ) के साथ एक फुली कनेक्टेड फीडफॉरवर्ड नेटवर्क का उपयोग किया गया है।
- बाउंडरी कंडीशंस: हार्ड-कोडेड मल्टीप्लिकेटिव फैक्टर्स $u_{sc}(0)=0$ और $u_{sc}(R_{max})=0$ को लागू करते हैं। उच्च कोणीय संवेग ( $\ell$ ) चैनलों के लिए, जहाँ मानक $r^{\ell+1}$ व्यवहार को अत्यंत सूक्ष्म मान आउटपुट करने की आवश्यकता होती है, वहां संख्यात्मक ओवरफ्लो को रोकने के लिए एक सिग्मॉइड-कैप्ड बाउंडरी कंडीशन फैक्टर पेश किया गया है।
- लॉस फंक्शन: लॉस, ड्रिवन इक्वेशन के रेसिडुअल को एक एंकर टर्म के साथ जोड़ता है ताकि ट्रिवियल सॉल्यूशन ( $u_{sc}=0$ ) को रोका जा सके।
- ऑटो-एडैप्टिव एंकर वार्म-डाउन: कमजोर सोर्स टर्म वाले चैनलों (उच्च $\ell$ या मजबूत कूलम्ब सप्रेशन) के लिए, एक निश्चित एंकर समाधान को बायस (bias) कर सकता है। लेखक एक ऑटो-एडैप्टिव मैकेनिज्म लागू करते हैं जहाँ एंकर वेट को उन चैनलों के लिए, जहाँ सोर्स मैग्नीट्यूड एक थ्रेशोल्ड से नीचे गिर जाता है, रैखिक रूप से "वार्म डाउन" किया जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि अंतिम समाधान केवल रेसिडुअल लॉस द्वारा संचालित हो, जिससे निकट-पारदर्शी (near-transparent) चैनलों में कृत्रिम अवशोषण पूर्वाग्रह (absorption biases) समाप्त हो जाते हैं।
- ट्रेनिंग स्ट्रैटेजी: एडम ऑप्टिमाइज़र (Adam optimizer) के बाद L-BFGS का उपयोग करते हुए एक दो-चरणीय प्रशिक्षण प्रक्रिया अपनाई जाती है। हेवी-आयन सिस्टम के लिए, एक कॉज़ल ट्रेनिंग स्ट्रैटेजी का उपयोग किया जाता है, जो स्थिर अभिसरण (stable convergence) सुनिश्चित करने के लिए न्यूक्लियर इंटीरियर से बाहर की ओर प्रशिक्षण क्षेत्र को क्रमिक रूप से विस्तारित करती है।

प्रमुख योगदान

न्यूक्लियर रिएक्शन के लिए PINNs का प्रथम अनुप्रयोग: यह कार्य ECS के माध्यम से बाउंडरी कंडीशन असंगतता को हल करके न्यूक्लियर स्कैटरिंग समस्याओं के लिए PINNs के पहले सफल अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।
ड्रिवन-इक्वेशन फॉर्मूलेशन: एक सोर्स-कंफाइंड ड्रिवन इक्वेशन का विकास जो न्यूक्लियर पोटेंशियल के एनालिटिक कंटीन्यूएशन से बचता है।
तकनीकी नवाचार: उच्च- $\ell$ स्थिरता के लिए सिग्मॉइड-कैप्ड बाउंडरी फैक्टर और कमजोर-सोर्स चैनलों के निष्पक्ष उपचार के लिए ऑटो-एडैप्टिव एंकर वार्म-डाउन का परिचय।
एंड-टू-एंड डिफरेंशिएबिलिटी: यह ढांचा एक ऐसा पाइपलाइन स्थापित करता है जहाँ संपूर्ण गणना डिफरेंशिएबल है, जिससे ऑप्टिकल पोटेंशियल पैरामीटर्स का सीधा ग्रेडिएंट-बेस्ड ऑप्टिमाइजेशन (इनवर्स प्रॉब्लम्स) संभव होता है।

परिणाम
इस पद्धति को स्थापित COLOSS कोड (जो कॉम्प्लेक्स स्केलिंग के साथ लैग्रेंज-मेश विविक्तकरण का उपयोग करता है) के विरुद्ध दो बेंचमार्क सिस्टम पर मान्य किया गया:

न्यूट्रॉन-न्यूक्लियस स्कैटरिंग ( $n + ^{40}\text{Ca}$ 20 MeV पर):
- कोनिंग-डेलारोच ग्लोबल ऑप्टिकल पोटेंशियल का उपयोग करके 21 पार्शियल वेव्स (स्पिन-ऑर्बिट पार्टनर्स सहित $\ell=10$ तक) की गणना की गई।
- सटीकता: स्ट्रॉन्गली एब्जॉर्ब्ड चैनलों ( $\ell \le 4$ ) के लिए फेज शिफ्ट एरर ( $\Delta\delta$ ) $\lesssim 0.1^\circ$ था और $\ell=10$ तक के सभी चैनलों के लिए $\le 0.60^\circ$ था। सभी चैनलों के लिए औसत त्रुटि $0.09^\circ$ थी।
- वेव फंक्शन: लो- $\ell$ चैनलों के लिए रेफरेंस सॉल्यूशंस के सापेक्ष RMS अंतर $0.15\%$ से कम और सबसे खराब मामले वाले चैनल के लिए भी $2\%$ से कम था।
हेवी-आयन स्कैटरिंग ( $^6\text{Li} + ^{20}\text{Pb}$ 40 MeV पर):
- मजबूत कूलम्ब प्रभाव ( $\eta \approx 15$ ) के साथ 41 पार्शियल वेव्स की गणना की गई।
- सटीकता: सभी पार्शियल वेव्स में औसत S-मैट्रिक्स सटीकता $|\Delta|S_\ell|| \approx 3 \times 10^{-3}$ थी। चुनौतीपूर्ण एब्जॉर्प्शन-टू-ट्रांसपेरेंसी ट्रांजिशन रीजन ( $\ell \approx 25\text{--}30$ ) में, त्रुटि $0.007$ से नीचे रही।
- ऑब्जर्वेबल्स: गणना किए गए रदरफोर्ड रेशियो ने तीन ऑर्डर्स ऑफ मैग्नीट्यूड में रेफरेंस सॉल्यूशन को पुनरुत्पादित किया, जो विशिष्ट कूलम्ब-न्यूक्लियर इंटरफेरेंस पैटर्न को कैप्चर करता है।

महत्व और दावे
पेपर का दावा है कि यह कार्य न्यूक्लियर रिएक्शन फिजिक्स में PINNs को विस्तारित करने के लिए आधार स्थापित करता है। प्राथमिक महत्व एंड-टू-एंड डिफरेंशिएबिलिटी को सक्षम करने में निहित है, जो ऑप्टिकल पोटेंशियल पैरामीटर्स को प्रयोगात्मक डेटा के साथ सीधे फिट करने की अनुमति देता है, जो एक ऐसा कार्य है जिसके लिए पारंपरिक रूप से महंगे आउटर-लूप ऑप्टिमाइजेशन की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, इस मेथड की मेश-फ्री प्रकृति कपल्ड-चैनल रिएक्शन और फ्यू-बॉडी स्कैटरिंग समस्याओं (जैसे फैडेव इक्वेशंस) को हल करने के लिए एक संभावित मार्ग प्रदान करती है, जहाँ पारंपरिक ग्रिड-आधारित विधियाँ एक्सपोनेंशियल स्केलिंग लागतों का सामना करती हैं।

लेखक नोट करते हैं कि यह विधि वर्तमान में उन प्रतिक्रियाओं तक सीमित है जहाँ भौतिकी ECS स्केलिंग रेडियस से छोटे रेडियस पर केंद्रित है (इलास्टिक, इनइलास्टिक और ट्रांसफर रिएक्शन)। लंबी दूरी के इलेक्ट्रोमैग्नेटिक ट्रांजिशन द्वारा डोमिनेटेड प्रक्रियाओं (जैसे सब-बैरियर कूलम्ब एक्साइटेशन) को इस ढांचे के भीतर सीधे उपचारित नहीं किया जा सकता है। वर्तमान में कंप्यूटेशनल लागत पारंपरिक इंटीग्रेशन विधियों की तुलना में अधिक है (प्रति चैनल मिनट बनाम सेकंड), लेकिन लेखक तर्क देते हैं कि यह डिफरेंशिएबिलिटी या मेश-फ्री फॉर्मूलेशन की आवश्यकता वाले अनुसंधान अनुप्रयोगों के लिए स्वीकार्य है।

बड़ी समस्या: "अनंत गूँज" (The Endless Echo)

समाधान: "कॉम्प्लेक्स मिरर" (The Complex Mirror)

"ड्रिवन" ट्रिक (The "Driven" Trick): शोर को अलग करना

परिणाम: नए तरीके का परीक्षण

यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

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