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Separating Quantum and Classical Advice with Good Codes

यह शोध पत्र $\mathsf{QMA}$ और $\mathsf{QCMA}$ के बीच एक बिना शर्त शास्त्रीय ऑरेकल सेपरेशन (unconditional classical oracle separation) का वैचारिक और तकनीकी रूप से सरल प्रमाण प्रस्तुत करता है, साथ ही कोड इंटरसेक्शन समस्या (code intersection problem) को मजबूत लिस्ट-रिकवरी गुणों वाले कोड के साथ जोड़कर $\mathsf{BQP}/\mathsf{qpoly}$ और $\mathsf{BQP}/\mathsf{poly}$ के बीच पहला ऐसा सेपरेशन स्थापित करता है।

मूल लेखक: John Bostanci, Andrew Huang, Vinod Vaikuntanathan

प्रकाशित 2026-04-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: John Bostanci, Andrew Huang, Vinod Vaikuntanathan

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, असंभव पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास दो प्रकार के सहायक हैं: एक क्लासिकल हेल्पर (Classical Helper) जो आपको निर्देशों के साथ एक लिखित नोट देता है, और एक क्वांटम हेल्पर (Quantum Helper) जो आपको एक रहस्यमय, चमकता हुआ क्रिस्टल देता है जिसमें उत्तर "सुपरपोजिशन" (superposition) की स्थिति में होता है (यह कुछ इस तरह है जैसे एक घूमता हुआ सिक्का जो देखने तक हेड और टेल दोनों है)।

कंप्यूटर विज्ञान का बड़ा सवाल दशकों से यह रहा है: क्या चमकता हुआ क्रिस्टल वास्तव में लिखित नोट से अधिक शक्तिशाली है? क्या क्वांटम हेल्पर उन समस्याओं को हल कर सकता है जिन्हें क्लासिकल हेल्पर बिल्कुल नहीं कर सकता, भले ही क्लासिकल हेल्पर को उस नोट को पढ़ने के लिए एक सुपर-फास्ट क्वांटम कंप्यूटर इस्तेमाल करने की अनुमति दी जाए?

यह शोध पत्र, जिसका शीर्षक है "Separating Quantum and Classical Advice with Good Codes," एक जोरदार हाँ कहता है। लेखकों ने सिद्ध किया है कि, कुछ विशेष परिस्थितियों के तहत, क्वांटम हेल्पर (क्वांटम एडवाइस का उपयोग करते हुए) क्लासिकल हेल्पर (क्लासिकल एडवाइस का उपयोग करते हुए) की तुलना में स्पष्ट रूप से अधिक शक्तिशाली है।

यहाँ बताया गया है कि उन्होंने इसे कैसे किया, सरल उपमाओं के माध्यम से।

1. सेटअप: "कोड इंटरसेक्शन" गेम

एक विशाल पुस्तकालय की कल्पना करें जिसमें अरबों पुस्तकें (ये "कोडवर्ड्स" हैं) हैं। प्रत्येक पुस्तक का एक अद्वितीय बारकोड है।

खेल: आपको एक विशिष्ट "टारगेट कोड" (एक हैश वैल्यू) दिया जाता है। आपका काम पुस्तकालय में एक ऐसी पुस्तक खोजना है जिसका बारकोड उस टारगेट से मेल खाता हो।
ट्विस्ट: पुस्तकालय एक गुप्त, यादृच्छिक नियम (एक फंक्शन $H$ ) द्वारा व्यवस्थित है जो पुस्तक के पृष्ठों को बारकोड में बदल देता है। इस नियम को जाने बिना, सही पुस्तक खोजना घास के ढेर में सुई खोजने जैसा है।

क्वांटम लाभ:
लेखक दिखाते हैं कि यदि आपके पास एक क्वांटम क्रिस्टल (क्वांटम एडवाइस) है जिसमें सभी पुस्तकों और उनके बारकोड का "सुपरपोजिशन" शामिल है, तो एक क्वांटम कंप्यूटर एक चालाक ट्रिक (जिसे यामाकावा-ज़ैंड्री एल्गोरिदम कहा जाता है) का उपयोग करके तुरंत मिलान करने वाली पुस्तक खोज सकता है। यह एक जादुई मानचित्र होने जैसा है जो सुई को हाइलाइट करता है।

क्लासिकल संघर्ष:
यदि आपके पास केवल एक लिखित नोट (क्लासिकल एडवाइस) है, तो आप सभी पुस्तकों के "सुपरपोजिशन" को नहीं रख सकते। आपको अनुमान लगाना होगा। शोध पत्र सिद्ध करता है कि आपका लिखित नोट चाहे कितना भी स्मार्ट क्यों न हो, आप हर संभव टारगेट कोड के लिए घास के ढेर में सुई को विश्वसनीय रूप से नहीं खोज सकते।

2. मुख्य सामग्री: "गुड कोड्स" (Good Codes) और "बायस्ड ओरैकल्स" (Biased Oracles)

पिछले प्रयासों ने "फोल्डेड रीड-सोलोमन कोड्स" (Folded Reed-Solomon codes) का उपयोग किया था, जो पुस्तकालय के संगठन का एक विशिष्ट प्रकार है। लेखकों ने महसूस किया कि वे प्रमाण को सरल और अटूट बनाने के लिए पर्याप्त "अच्छे" नहीं थे।

इसके बजाय, उन्होंने मल्टीप्लिसिटी कोड्स (Multiplicity Codes) का उपयोग किया।

उपमा: एक ऐसे पुस्तकालय की कल्पना करें जहाँ पुस्तकें न केवल शीर्षक द्वारा, बल्कि शीर्षक, लेखक के नाम और प्रकाशन तिथि में एक विशिष्ट अक्षर कितनी बार आता है, इसके आधार पर व्यवस्थित हैं। यह एक अत्यधिक संरचित, कठोर प्रणाली बनाता है।
क्यों महत्वपूर्ण है: इन कोड्स में "लिस्ट रिकवरी" (List Recovery) नामक एक गुण होता है। इसका मतलब है कि यदि आपके पास कुछ सुराग (एक आंशिक बारकोड) हैं, तो आप संभावनाओं को बहुत छोटी सूची तक सीमित कर सकते हैं। लेखकों ने सिद्ध किया कि इन विशिष्ट कोड्स के साथ, एक क्लासिकल हेल्पर सूची को इतना छोटा नहीं कर सकता कि वह जीत सके, लेकिन एक क्वांटम हेल्पर कर सकता है।

"बायस्ड" (Biased) ट्रिक:
गणित को काम करने योग्य बनाने के लिए, लेखकों ने खेल के नियमों में थोड़ा बदलाव किया। बारकोड पूरी तरह से रैंडम होने के बजाय, उन्होंने उन्हें बायस्ड (पक्षपाती) बना दिया।

उपमा: कल्पना करें कि पुस्तकालय को इस तरह डिज़ाइन किया गया है कि 90% पुस्तकों के बारकोड "0000..." से शुरू होते हैं और केवल 10% "1111..." से शुरू होते हैं।
परिणाम: यह बायस क्वांटम हेल्पर के लिए सुई खोजना बहुत आसान बना देता है (क्योंकि "शोर" कम है), लेकिन यह क्लासिकल हेल्पर की मदद बहुत कम करता है। यह ऐसा है जैसे क्वांटम हेल्पर के पास एक टॉर्च है जो मंद रोशनी में भी पूरी तरह काम करती है, जबकि क्लासिकल हेल्पर अभी भी अंधेरे में ठोकर खा रहा है।

3. "क्लोनिंग" की समस्या: क्लासिकल एडवाइस क्यों विफल होता है

यह प्रमाण भौतिकी के एक मौलिक नियम पर आधारित है: आप क्वांटम अवस्था (quantum state) को क्लोन नहीं कर सकते।

क्लासिकल हेल्पर: यदि आप एक क्लासिकल हेल्पर को एक नोट देते हैं, तो वे उसे पढ़ सकते हैं, उसकी प्रतिलिपि बना सकते हैं और उसी परीक्षण को 1,000 बार चला सकते हैं। यदि वे एक बार विफल होते हैं, तो वे उसी नोट के साथ फिर से प्रयास कर सकते हैं।
क्वांटम हेल्पर: यदि आप एक क्वांटम हेल्पर को एक क्रिस्टल देते हैं, और वे उत्तर की जांच करने के लिए उसे मापते हैं, तो क्रिस्टल "कोलैप्स" (collapse) हो जाता है। जादू खत्म हो जाता है। वे उसी क्रिस्टल के साथ परीक्षण को फिर से नहीं चला सकते।

लेखकों ने एक ऐसा खेल डिज़ाइन किया जहाँ क्लासिकल हेल्पर को जीतने के लिए परीक्षण को कई बार दोहराना अनिवार्य है। क्योंकि क्वांटम हेल्पर का क्रिस्टल "नाजुक" (इसे क्लोन नहीं किया जा सकता) है, इसलिए क्लासिकल हेल्पर की रणनीति—"कोशिश करो, विफल हो जाओ, फिर उसी नोट के साथ फिर से कोशिश करो"—विफल हो जाती है। क्वांटम हेल्पर, हालांकि, एक ही बार में समस्या को हल करने के लिए क्रिस्टल के अद्वितीय गुणों का उपयोग करता है।

4. बड़ी तस्वीर: यह क्यों मायने रखता है

इस पेपर से पहले, हम जानते थे कि क्वांटम कंप्यूटर कुछ चीजों में तेज़ होते हैं (जैसे संख्याओं को फैक्टराइज करना)। लेकिन हमें यह नहीं पता था कि क्या वे एक "चीट शीट" (सलाह/एडवाइस) मिलने पर मौलिक रूप से अधिक शक्तिशाली होते हैं।

BQP/poly: वे समस्याएँ जो एक क्लासिकल चीट शीट के साथ क्वांटम कंप्यूटर द्वारा हल की जा सकती हैं।
BQP/qpoly: वे समस्याएँ जो एक क्वांटम चीट शीट के साथ क्वांटम कंप्यूटर द्वारा हल की जा सकती हैं।

यह पेपर सिद्ध करता है कि BQP/qpoly, BQP/poly से स्पष्ट रूप से बड़ा है।

निष्कर्ष:
ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें एक क्वांटम कंप्यूटर हल कर सकता है यदि उसे एक "क्वांटम चीट शीट" दी जाए, लेकिन यह गणितीय रूप से असंभव है कि वह उन्हीं समस्याओं को हल कर सके भले ही उसके पास सबसे अच्छी संभव "क्लासिकल चीट शीट" हो।

एक वाक्य में सारांश

एक विशिष्ट, अत्यधिक संरचित पहेली ( "गुड कोड्स" और "बायस्ड रूल्स" का उपयोग करके) बनाकर, लेखकों ने सिद्ध किया कि एक क्वांटम कंप्यूटर जिसके पास क्वांटम "चीट शीट" है, उन समस्याओं को हल कर सकता है जिन्हें हल करना एक क्वांटम कंप्यूटर के लिए पूरी तरह से असंभव है यदि उसके पास केवल क्लासिकल "चीट शीट" हो, क्योंकि क्वांटम चीट शीट में ऐसी जानकारी होती जिसे कॉपी या लिखा नहीं जा सकता।

यहाँ बोस्तान्सी, हुआंग और वैकुंतनाथन के शोध पत्र "Separating Quantum and Classical Advice with Good Codes" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र क्वांटम जटिलता सिद्धांत (quantum complexity theory) में क्वांटम बनाम शास्त्रीय संसाधनों की शक्ति से संबंधित दो मौलिक खुले प्रश्नों को संबोधित करता है:

प्रमाण (Proofs): क्या जटिलता वर्ग QMA (क्वांटम मेर्लिन-आर्थर, क्वांटम प्रमाणों के साथ) और QCMA (क्वांटम क्लासिकल मेर्लिन-आर्थर, शास्त्रीय प्रमाणों के साथ) भिन्न हैं?
सलाह (Advice): क्या वर्ग BQP/qpoly (क्वांटम सलाह के साथ BQP) और BQP/poly (शास्त्रीय सलाह के साथ BQP) भिन्न हैं?

मानक मॉडल में अनकंडीशनल सेपरेशन (unconditional separations) वर्तमान में पहुंच से बाहर हैं (जो $P \neq PSPACE$ जैसे बड़े परिणामों की ओर संकेत करते हैं), इसलिए लेखक अनकंडीशनल क्लासिकल ओरकल सेपरेशन (unconditional classical oracle separations) प्रदान करने का लक्ष्य रखते हैं। पिछले कार्यों ने जटिल "स्पेक्ट्रल फोरेलेशन" (spectral Forrelation) ओरकल का उपयोग करके QMA बनाम QCMA के लिए यह हासिल किया था, लेकिन BQP/qpoly बनाम BQP/poly के लिए सेपरेशन अभी भी खुला था।

2. कार्यप्रणाली और मुख्य तकनीकें (Methodology and Core Techniques)

लेखक एक संशोधित कोड इंटरसेक्शन प्रॉब्लम (Code Intersection Problem) पर आधारित एक नया ओरकल निर्मित करते हैं, जो मल्टीप्लिसिटी कोड्स (Multiplicity Codes) और बायस्ड ओरकल (Biased Oracles) का लाभ उठाता है।

A. कोड इंटरसेक्शन प्रॉब्लम (The Code Intersection Problem)

मुख्य समस्या एक रैखिक कोड $C$ में एक कोडवर्ड $c$ खोजने से संबंधित है ताकि एक हैश फंक्शन $H$ एक विशिष्ट लक्ष्य स्ट्रिंग $x$ को $c$ पर मैप करे (अर्थात $H(c) = x$ )।

क्वांटम लाभ (Quantum Advantage): यामाकावा-ज़ैंड्री (YZ) एल्गोरिदम का उपयोग करके, एक क्वांटम कंप्यूटर इसे कुशलतापूर्वक हल कर सकता है यदि उसे $H$ के प्री-इमेजेस (preimages) को एनकोड करने वाली एक विशिष्ट "एडवाइस स्टेट" दी जाए।
शास्त्रीय कठिनाई (Classical Hardness): लेखक तर्क देते हैं कि एक शास्त्रीय प्रूवर (QCMA में) इस समस्या को सभी इनपुट्स के लिए हल करने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान नहीं कर सकता है बिना बहुत अधिक संरचना (structure) प्रकट किए, जिसका उपयोग सेपरेशन को तोड़ने के लिए किया जा सकता है।

B. प्रमुख तकनीकी नवाचार (Key Technical Innovations)

एक क्लासिकल ओरकल सेपरेशन प्राप्त करने के लिए (जहाँ ओरकल एक क्लासिकल फंक्शन है, यूनिटरी नहीं), लेखक मानक YZ फ्रेमवर्क में तीन महत्वपूर्ण संशोधन पेश करते हैं:

बायस्ड ओरकल (Biased Oracles):
- मानक YZ एल्गोरिदम एक रैंडम हैश फंक्शन $H$ मानते हैं। हालाँकि, लेखक एक बायस्ड डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग करते हैं जहाँ $H(i, \sigma) = 0$ उच्च प्रायिकता के साथ होता है ( $p \gg 1/2$ )।
- उद्देश्य: यह ड्यूल कोड (dual code) को डिकोड करते समय एरर डिस्ट्रीब्यूशन में "नॉइज़" (हैमिंग वेट) को कम करता है। यह लेखकों को सब-कॉन्स्टेंट रिलेटिव डिस्टेंस (sub-constant relative distance) वाले कोड्स का उपयोग करने की अनुमति देता है (जो अगले चरण के लिए आवश्यक हैं) जबकि यह सुनिश्चित करता है कि क्वांटम एल्गोरिदम उच्च प्रायिकता के साथ सफल हो।
मल्टीप्लिसिटी कोड्स और लिस्ट रिकवरी (Multiplicity Codes and List Recovery):
- लेखक अपने कोड $C$ को यूनिवेरिएट मल्टीप्लिसिटी कोड्स (विशेष रूप से हासे डेरिवेटिव्स पर आधारित कोड्स) का उपयोग करके स्थापित करते हैं।
- मल्टीप्लिसिटी कोड्स क्यों? फोल्डेड रीड-सॉल्मन (FRS) कोड्स के विपरीत, जो पिछले कार्यों में उपयोग किए गए थे, मल्टीप्लिसिटी कोड्स में निकट-इष्टतम लिस्ट-रिकवरी गुण (near-optimal list-recovery properties) होते हैं।
- प्रमाण में भूमिका: QCMA को खारिज करने के लिए, लेखक एक "एन्ट्रोपिक" (entropic) तर्क का उपयोग करते हैं। यदि एक QCMA वेरीफायर मौजूद है, तो एक ऐसा "गेसर" (guesser) बनाया जा सकता है जो ओरकल क्वेरी के बिना कोडवर्ड्स और उनके हैश को सैंपल करता है। लिस्ट-रिकवरी गुण सुनिश्चित करते हैं कि $\ell$ अलग-अलग कोडवर्ड्स उत्पन्न करने के लिए, गेसर को $\Omega(\ell \cdot n)$ सिम्बल्स को सही ढंग से अनुमान लगाना होगा। ओरकल का बायस इन सिम्बल्स को अनुमान लगाने की संभावना को एक्सपोनेंशियल रूप से कम कर देता है, जिससे एक विरोधाभास पैदा होता है।
लो हैमिंग वेट इनपुट्स तक प्रतिबंध (Restriction to Low Hamming Weight Inputs):
- क्योंकि ओरकल 0 की ओर बायस्ड है, क्वांटम एल्गोरिदम केवल लो-वेट इनपुट्स $x$ को कुशलतापूर्वक इनवर्ट कर सकता है (विशेष रूप से $x \| 0^{n-k}$ )।
- समस्या को केवल इन लो-वेट इनपुट्स के आधार पर सेट्स को अलग करने के लिए पुनर्गठित किया गया है। यह प्रतिबंध क्वांटम डिकोडर की दक्षता बनाए रखने के साथ-साथ क्लासिकल गेसिंग प्रोबेबिलिटी को नगण्य रखने के लिए महत्वपूर्ण है।

C. सेपरेशन रणनीति (The Separation Strategy)

QMA समावेशन (QMA Containment): क्वांटम प्रूवर "YZ एडवाइस स्टेट" (प्री-इमेजेस का सुपरपोजिशन) भेजता है। वेरीफायर एक रैंडम क्वेरी $x$ के लिए एक वैध कोडवर्ड $v$ उत्पन्न करने के लिए बायस्ड YZ एल्गोरिदम का उपयोग करता है और इसे ओरकल के विरुद्ध चेक करता है।
QCMA असंभवता (QCMA Impossibility): लेखक दिखाते हैं कि कोई भी QCMA वेरीफायर एक "सैंपलर" (Guesser) के अस्तित्व को दर्शाता है जो ओरकल एक्सेस के बिना वैध $(x, v)$ $(x, v)$ पेयर्स आउटपुट कर सकता है।
- वे हाइब्रिड लेम्मा (Hybrid Lemma) का उपयोग करके दिखाते हैं कि यदि वेरीफायर सफल होता है, तो सैंपलर गैर-नगण्य प्रायिकता के साथ नए वैध पेयर्स निकाल सकता है।
- इसे दोहराकर, सैंपलर कई पेयर्स बनाता है।
- विरोधाभास: मल्टीप्लिसिटी कोड्स का लिस्ट रिकवरी गुण यह निर्धारित करता है कि $\ell$ पेयर्स बनाने के लिए $\Omega(\ell \cdot n)$ सिम्बल्स का अनुमान लगाना आवश्यक है। ओरकल का बायस इन सिम्बल्स को सही ढंग से अनुमान लगाने की संभावना को एक्सपोनेंशियल रूप से छोटा ( $\approx (1-p)^{\text{symbols}}$ ) बना देता है, जो QCMA धारणा के लिए आवश्यक प्रायिकता से बहुत कम है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

BQP/qpoly बनाम BQP/poly के लिए पहला अनकंडीशनल क्लासिकल ओरकल सेपरेशन:
- यह पेपर सिद्ध करता है कि $BQP^{O}/qpoly \not\subseteq BQP^{O}/poly$ ।
- यह पिछले सर्वश्रेष्ठ परिणाम (Li et al., ITCS 2024) में सुधार करता है, जो केवल "क्लासिकल एक्सेसिबल" ओरकल मॉडल में इन वर्गों को अलग करता था।
- यह सेपरेशन मजबूत है: यह उन एल्गोरिदम के विरुद्ध भी बना रहता है जिनके पास क्वांटम ओरकल एक्सेस लेकिन क्लासिकल एडवाइस है।
QMA बनाम QCMA के लिए सरलीकृत सेपरेशन:
- जबकि बोस्तान्सी आदि (STOC 2026) ने हाल ही में QMA और QCMA को अलग किया था, उनका प्रमाण जटिल स्पेक्ट्रल फोरेलेशन और हैमिल्टोनियन लर्निंग तकनीकों पर निर्भर था।
- यह पेपर कोड इंटरसेक्शन प्रॉब्लम और मल्टीप्लिसिटी कोड्स का उपयोग करके एक वैचारिक और तकनीकी रूप से सरल प्रमाण प्रदान करता है।
नया ओरकल निर्माण:
- ओरकल कोड इंटरसेक्शन सबसेट साइज (CISS) समस्या पर आधारित है।
- यह एक "YES" इंस्टेंस (जहाँ वैध कोडवर्ड्स का सेट बड़ा है) और एक "NO" इंस्टेंस (जहाँ सेट छोटा है) के बीच अंतर करता है, जो क्लासिकल विटनेस के लिए हार्डनेस को लागू करने के लिए मल्टीप्लिसिटी कोड्स के संरचनात्मक गुणों का उपयोग करता है।

4. परिणाम (Results)

थ्योरम 1.1: एक क्लासिकल ओरकल $\mathcal{O}$ मौजूद है कि $QMA^{\mathcal{O}} \not\subseteq QCMA^{\mathcal{O}}$ ।
थ्योरम 1.2: एक क्लासिकल ओरकल $\mathcal{O}$ मौजूद है कि $BQP^{\mathcal{O}}/qpoly \not\subseteq BQP^{\mathcal{O}}/poly$ ।
संरचनात्मक अंतर्दृष्टि (Structural Insight): लेखक दिखाते हैं कि उनका ओरकल $NP^{\mathcal{O}} \cap coNP^{\mathcal{O}} \cap BQP^{\mathcal{O}}/qpoly$ को $BQP^{\mathcal{O}}/poly$ से अलग करता है, जो स्पेक्ट्रल फोरेलेशन (जो QMA-कम्प्लीट समस्याओं से जुड़े हैं) पर आधारित पिछले ओरकल से संरचनात्मक अंतर दर्शाता है।

5. महत्व (Significance)

दीर्घकालिक खुले प्रश्नों का समाधान: यह पेपर ओरकल मॉडल में क्वांटम और क्लासिकल प्रमाणों/सलाह की शक्ति के प्रश्न को हल करता है, जो आरोंसन और कुपरबर्ग (2007) के समय से खुला था।
जटिलता सिद्धांत का सरलीकरण: भारी मशीनरी (जैसे स्पेक्ट्रल फोरेलेशन और हैमिल्टोनियन लर्निंग) को कोडिंग थ्योरी (लिस्ट रिकवरी और बायस्ड ओरकल) से बदलकर, लेखक इस सेपरेशन को अधिक सुलभ और अनुकूलनीय बनाते हैं।
क्रिप्टोग्राफिक निहितार्थ: यह सेपरेशन क्वांटम सलाह की "अनक्लोनेबिलिटी" (unclonability) पर निर्भर करता है। यह पेपर क्वांटम मनी और कॉपी-प्रोटेक्टेड सॉफ्टवेयर के साथ संबंधों पर चर्चा करता है, जिससे यह सुझाव मिलता है कि यहाँ उपयोग की गई तकनीकें नए क्रिप्टोग्राफिक प्रिमिटिव्स को प्रेरित कर सकती हैं (सूचना को ऐसी क्वांटम अवस्थाओं में एनकोड करना जिन्हें क्लोन नहीं किया जा सकता लेकिन सत्यापित किया जा सकता है)।
कोडिंग थ्योरी अनुप्रयोग: यह कार्य मल्टीप्लिसिटी कोड्स और उनके ड्यूल्स के उपयोग को रेखांकित करता है, विशेष रूप से कुशल डिकोडिंग (क्वांटम पक्ष के लिए) और मजबूत लिस्ट-रिकवरी (क्लासिकल लोअर बाउंड के लिए) प्रदान करने की उनकी क्षमता को।

संक्षेप में, यह पेपर बायस्ड ओरकल के साथ मल्टीप्लिसिटी कोड्स के मजबूत लिस्ट-रिकवरी गुणों को चतुराई से जोड़कर क्वांटम और क्लासिकल प्रमाणों/सलाह के बीच एक निर्णायक क्लासिकल ओरकल सेपरेशन स्थापित करता है, जो पिछले दृष्टिकोणों की तुलना में एक सरल और अधिक शक्तिशाली ढांचा प्रदान करता है।