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Improved results of chiral limit study with the large $N_c$ standard U(3) ChPT inputs in the on-shell renormalized quark-meson model

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि बड़े- $N_c$ मानक U(3) चिरल पर्सर्बेशन थ्योरी इनपुट्स को ऑन-शेल्फ रिनॉर्मलाइज्ड क्वार्क-मेसॉन मॉडल में सम्मिलित करने से चिरल लिमिट अध्ययनों के लिए एक अधिक सुदृढ़ ढांचा प्राप्त होता है, जैसा कि इन्फ्रारेड-रेगुलराइज्ड RQM-I मॉडल में देखे गए विचलनकारी व्यवहार की तुलना में RQM-S मॉडल के स्थिर सैचुरेशन पैटर्न द्वारा प्रमाणित होता है।

मूल लेखक: Vivek Kumar Tiwari

प्रकाशित 2026-02-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Vivek Kumar Tiwari

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, ब्रह्मांडीय सूप (cosmic soup) की तरह है। बिग बैंग के ठीक बाद, बिल्कुल शुरुआत में, यह सूप इतना गर्म और घना था कि पदार्थ के मौलिक निर्माण खंड—क्वार्क्स और ग्लुऑन्स—एक भीड़ भरे कमरे में व्यक्तिगत नर्तकों की तरह स्वतंत्र रूप से घूम रहे थे। इस अवस्था को क्वार्क-ग्लूऑन प्लाज्मा (QGP) कहा जाता है।

जैसे-जैसे ब्रह्मांड ठंडा हुआ, इन नर्तकों ने अकेले नाचना बंद कर दिया और प्रोटॉन और न्यूट्रॉन (वह चीज़ जिससे हमारे शरीर और तारे बने हैं) बनाने के लिए जोड़ों और समूहों में बनना शुरू कर दिया। इस "जोड़ी बनाने" की प्रक्रिया को कन्फाइनमेंट (confinement) कहा जाता है।

भौतिक विज्ञानी यह समझना चाहते हैं कि ठीक कैसे और कब यह परिवर्तन होता है। वे इस मानचित्र को विज़ुअलाइज़ करने के लिए कोलंबिया प्लॉट (Columbia Plot) नामक एक मानचित्र का उपयोग करते हैं। इस मानचित्र को ब्रह्मांड के सूप के लिए एक मौसम चार्ट की तरह समझें। इसके दो मुख्य अक्ष (axes) हैं:

"हल्के" अवयवों का वजन कितना है (जैसे अप और डाउन क्वार्क्स, जो प्रोटॉन बनाते हैं)।
"स्ट्रेंज" अवयव (strange quark) का वजन कितना है।

आप इस मानचित्र पर कहाँ हैं, इसके आधार पर, मुक्त सूप से बंधे हुए पदार्थ में परिवर्तन अलग-अलग तरीकों से होता है:

स्मूथ क्रॉसओवर (Smooth Crossover): जैसे पानी धीरे-धीरे बर्फ में बदल जाता है; यह एक कोमल परिवर्तन है।
फर्स्ट-ऑर्डर ट्रांजिशन (First-Order Transition): जैसे पानी अचानक भाप में उबल जाता है; यह एक हिंसक, अचानक होने वाला उछाल है।
सेकंड-ऑर्डर ट्रांजिशन (Second-Order Transition): दोनों के बीच एक नाजुक संतुलन बिंदु।

समस्या: "रेसिपी" टूट गई थी

इस मानचित्र पर क्या होता है, इसका अनुमान लगाने के लिए वैज्ञानिक गणितीय मॉडल (जैसे कि क्वार्क-मेसन मॉडल) का उपयोग करते हैं। हालाँकि, एक बड़ी समस्या थी। जब वैज्ञानिकों ने "चिरल लिमिट" (एक सैद्धांतिक परिदृश्य जहाँ हल्के क्वार्क्स का द्रव्यमान शून्य होता है) का अनुकरण (simulate) करने की कोशिश की, तो उनके मॉडल बार-बार टूट जाते थे।

यह आटे को हटाकर केक बनाने की कोशिश करने जैसा था। मॉडल ढह जाता था, और पदार्थ कैसे बनता है, इसका वर्णन करने की क्षमता खो देता था। पिछले तरीकों ने इसे "ह्यूरिस्टिक एडजस्टमेंट्स" (heuristic adjustments)—यानी, बिना किसी ठोस सैद्धांतिक कारण के, केवल अंदाज़ा लगाकर और रेसिपी में बदलाव करके ठीक करने की कोशिश की—के माध्यम से सुधारने का प्रयास किया था।

समाधान: एक बेहतर रेसिपी बुक

यह शोध पत्र इस रेसिपी को ठीक करने का एक नया, बेहतर तरीका पेश करता है। लेखक, विवेक कुमार तिवारी, चिरल परटर्बेशन थ्योरी (ChPT) से नियमों का एक विशिष्ट सेट का उपयोग करते हैं—इसे प्रकृति के मौलिक नियमों से प्राप्त एक अत्यधिक सटीक, भौतिकी-आधारित कुकबुक (cookbook) की तरह समझें।

वह दो अलग-अलग "कुकबुक" की तुलना करते हैं:

"स्टैंडर्ड" कुकबुक (RQM-S): यह रंगों की एक बड़ी संख्या (कण भौतिकी में $N_c$ नामक एक अवधारणा) पर आधारित नियमों का उपयोग करती है। यह "स्टैंडर्ड U(3) ChPT" है।
"इन्फ्रारेड" कुकबुक (RQM-I): यह कम ऊर्जा वाले इंटरैक्शन को अलग तरह से संभालने के लिए डिज़ाइन किए गए नियमों का एक अलग सेट है।

प्रयोग: मानचित्रों का परीक्षण

लेखक विभिन्न सिग्मा मेसॉन (एक कण जिसे 'गोंद' या 'glue' समझें जो पदार्थ को थामे रखता है) के "वजन" के लिए दोनों कुकबुक का उपयोग करके कोलंबिया प्लॉट मैप चलाते हैं। वह 400, 500, 600, 750, और 800 MeV के सिग्मा द्रव्यमान का परीक्षण करते हैं।

यहाँ उन्होंने (सरल उपमाओं का उपयोग करते हुए) पाया:

1. "सैचुरेशन" बनाम "डाइवर्जेंस" का परीक्षण

कल्पना कीजिए कि आप एक पहाड़ी पर कार चला रहे हैं (मानचित्र का ऊर्ध्वाधर अक्ष)।

स्टैंडर्ड कुकबुक (RQM-S): जैसे-जैसे आप पहाड़ी पर ऊपर चढ़ते हैं, सड़क अंततः समतल हो जाती है। आप एक पठार (plateau) पर पहुँच जाते हैं। इसे सैचुरेशन (saturation) कहा जाता है। यह भौतिक रूप से समझ में आता है क्योंकि, वास्तविकता में, संक्रमण अनंत काल तक नहीं चलना चाहिए; इसे स्थिर होना चाहिए।
इन्फ्रारेड कुकबुक (RQM-I): जैसे-जैसे आप पहाड़ी पर ऊपर चढ़ते हैं, सड़क बेकाबू होकर ढलान पर आ जाती है और अंततः एक खाई में गिर जाती है। रेखा डाइवर्ज (diverge) हो जाती है। यह अस्थिर और अवास्तविक हो जाती है, विशेष रूप से जब "गोंद" (सिग्मा मास) भारी होता है।

निष्कर्ष: स्टैंडर्ड कुकबुक (RQM-S) बहुत अधिक स्थिर और यथार्थवादी मानचित्र प्रदान करती है।

2. सिकुड़ता हुआ "स्टॉर्म ज़ोन" (Storm Zone)

इन मानचित्रों पर, एक "स्टॉर्म ज़ोन" (लाल क्षेत्र) है जहाँ संक्रमण हिंसक (First-Order) होता है।

जब "गोंद" (सिग्मा मास) हल्का (400 MeV) होता है, तो स्टॉर्म ज़ोन बहुत बड़ा होता है।
जैसे-जैसे गोंद भारी होता जाता है (800 MeV तक), स्टॉर्म ज़ोन सिकुड़ जाता है।
आश्चर्य: भले ही गोंद बहुत भारी (800 MeV) हो, स्टैंडर्ड मॉडल में स्टॉर्म ज़ोन अन्य मॉडलों (जैसे FRG मॉडल) द्वारा अनुमानित क्षेत्र की तुलना में अभी भी बड़ा और अधिक स्थिर है। अन्य मॉडल सुझाव देते हैं कि स्टॉर्म लगभग पूरी तरह से गायब हो जाता है, लेकिन यह पेपर कहता है, "नहीं, अभी भी थोड़ा तूफान बाकी है, और हमारा मानचित्र इसे स्पष्ट रूप से दिखाता है।"

3. "क्रिटिकल पॉइंट" का बदलाव

मानचित्र पर एक विशिष्ट स्थान है जिसे ट्राइक्रिटिकल पॉइंट (TCP) कहा जाता है। यह वह सटीक स्थान है जहाँ संक्रमण सुचारू से हिंसक में बदल जाता है।

जैसे-जैसे सिग्मा मास बढ़ता है, यह बिंदु स्थानांतरित होता है।
स्टैंडर्ड मॉडल में, यह बिंदु एक अनुमानित, सुचारू तरीके से चलता है।
दूसरे मॉडल में, यह बिंदु अनिश्चित रूप से इधर-उधर कूदता है, जिससे मानचित्र भ्रमित करने वाला और अविश्वसनीय हो जाता है।

यह क्यों मायने रखता है?

यह पेपर परिशुद्धता (precision) की जीत है।

कोई और अंदाज़ा नहीं: लेखक दिखाते हैं कि आपको रेसिपी का अंदाज़ा लगाने की ज़रूरत नहीं है। स्टैंडर्ड ChPT नियमों का उपयोग करके, मॉडल स्वाभाविक रूप से चरम सीमाओं (चिरल लिमिट) तक जाने पर भी स्थिर रहता है।
बेहतर भविष्यवाणियाँ: क्योंकि मानचित्र अधिक सटीक है, हम प्रारंभिक ब्रह्मांड और न्यूट्रॉन सितारों (जो अनिवार्य रूप से इस क्वार्क सूप के विशाल गोले हैं) के अंदर की स्थिति को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं।
निरंतरता: इसके परिणाम सुपर कंप्यूटरों (Lattice QCD) पर हाल के प्रयोगों के साथ अच्छी तरह मेल खाते हैं, जो यह सुझाव देते हैं कि यह नई विधि इन चरम स्थितियों का अध्ययन करने का सही तरीका है।

निचोड़ (Bottom Line)

इस पेपर को एक टूटी हुई कार के इंजन को ठीक करने वाले मैकेनिक के रूप में देखें। पिछले मैकेनिकों ने इसे चलाने के लिए पुर्जों पर टेप लगाकर काम चलाया था। इस लेखक ने टेप को निर्माता के ब्लूप्रिंट पर आधारित एक पूरी तरह से इंजीनियर किए गए पुर्जे से बदल दिया है। अब इंजन उच्च गति (उच्च ऊर्जा सीमा) पर बिना खराब हुए सुचारू रूप से चलता है, जिससे हमें यह समझने की बहुत स्पष्ट तस्वीर मिलती है कि ब्रह्मांड का पदार्थ कैसे बना।

यहाँ "Improved results of chiral limit study with the large Nc standard U(3) ChPT inputs in the on-shell renormalized quark-meson model" शोध पत्र का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र प्रभावी क्षेत्र सिद्धांतों (effective field theories), विशेष रूप से 2+1 फ्लेवर क्वार्क-मेसन (QM) मॉडल का उपयोग करके चिरल लिमिट (जहाँ हल्के क्वार्क द्रव्यमान $m_{u,d} \to 0$ होते हैं) में QCD चिरल फेज ट्रांजिशन के अध्ययन की चुनौती को संबोधित करता है।

"Loss of SCSB" की समस्या: पारंपरिक दृष्टिकोणों ( "fixed-UV scheme") में, पैरामीटर भौतिक बिंदु (physical point) पर स्थिर किए जाते हैं, और चिरल लिमिट का अनुकरण करने के लिए केवल स्पष्ट चिरल सिमेट्री ब्रेकिंग स्ट्रेंथ ( $h_x, h_y$ ) को कम किया जाता है। यह विधि स्कैलर $\sigma$ मेसन द्रव्यमान ( $m_\sigma$ ) के 400–800 MeV रेंज में स्पोंटेनियस चिरल सिमेट्री ब्रेकिंग (SCSB) के नुकसान का कारण बनती है, क्योंकि द्रव्यमान पैरामीटर $m^2$ धनात्मक हो जाता है।
पिछले समाधानों में अस्पष्टता: पिछले प्रयास, जैसे कि फंक्शनल रिनॉर्मलाइजेशन ग्रुप (FRG) अध्ययनों में उपयोग किया जाने वाला "fixed- $f_\pi$ " स्कीम, प्रारंभिक प्रभावी एक्शन स्केल ( $\Lambda$ ) को प्रत्येक चरण में ह्यूरिस्टिक (heuristic) समायोजन पर निर्भर करते हैं। यह अस्पष्टता पैदा करता है और अध्ययन को विशिष्ट $m_\sigma$ रेंज (जैसे 400–600 MeV) तक सीमित करता है।
Lattice QCD विसंगतियाँ: चिरल लिमिट में क्रिटिकल पायियन मास ( $m_c^\pi$ ) और ट्रांजिशन की प्रकृति (प्रथम-क्रम बनाम क्रॉसओवर) के संबंध में Lattice QCD (LQCD) के परिणाम असंगत रहे हैं, जिनके अनुमान 0 से 290 MeV के बीच हैं। प्रभावी मॉडलों को इन परिणामों की व्याख्या करने के लिए एक सुसंगत ढांचा प्रदान करने की आवश्यकता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक 2+1 फ्लेवर के साथ On-Shell Renormalized Quark-Meson (RQM) मॉडल का उपयोग करते हैं। मुख्य कार्यप्रणाली में शामिल हैं:

On-Shell Renormalization: कर्वेचर मास (curvature masses) आधारित स्कीम्स के विपरीत, इस मॉडल में पैरामीटर मेसॉन ( $\pi, K, \eta, \eta', \sigma$ ) के पोल मास और डिके कांस्टेंट्स ( $f_\pi, f_K$ ) के साथ काउंटर-टर्म्स को मैच करके ऑन-शेल द्वारा रिनॉर्मलाइज किए जाते हैं। क्वार्क वन-लूप वैक्यूम फ्लक्चुएशन का यह उपचार सुसंगत है और कर्वेचर-मास आधारित स्कीम्स में पाई जाने वाली विसंगतियों से बचता है।
Chiral Perturbation Theory (ChPT) इनपुट्स: भौतिक बिंदु से दूर जाने पर (जैसे $m_\pi, m_K \to 0$ $m_{π}, m_{K} \to 0$ ) मॉडल पैरामीटर्स को निर्धारित करने के लिए, यह अध्ययन दो अलग-अलग ChPT ढांचों से प्राप्त $(m_\pi, m_K)$ $(m_{π}, m_{K})$ -डिपेंडेंट स्केलिंग संबंधों का उपयोग करता है:
1. RQM-S मॉडल: Large $N_c$ standard U(3) ChPT का उपयोग करता है। यह $\eta'$ मेसन को गोल्डस्टोन बोसोन के समान स्तर पर मानता है और इसे लूप्स में शामिल करता है, जो $O(1/N_c)$ काउंटिंग का उपयोग करता है।
2. RQM-I मॉडल: Infrared Regularized U(3) ChPT का उपयोग करता है। यह $\eta'$ को एक बैकग्राउंड फील्ड (इन्फ्रारेड रेगुलराइजेशन) के रूप में मानता है और इसे लूप्स से बाहर रखता है, जो $SU(3)$ चिरल लिमिट पर निर्भर करता है।
Parameter Scanning: यह अध्ययन स्कैलर $\sigma$ मेसन मास ( $m_\sigma$ ) को 400 MeV से 800 MeV तक व्यवस्थित रूप से परिवर्तित करता है।
Columbia Plot निर्माण: लेखक "कोलंबिया प्लॉट्स" ( $m_\pi - m_K$ $m_{π} - m_{K}$ और $m_{ud} - m_s$ $m_{u d} - m_{s}$ प्लेन में फेज डायग्राम) की गणना करते हैं ताकि प्रथम-क्रम, द्वितीय-क्रम और क्रॉसओवर ट्रांजिशन वाले क्षेत्रों को मैप किया जा सके। गणना किए गए प्रमुख क्रिटिकल मात्राएँ निम्नलिखित हैं:
- ट्राइक्रिटिकल पॉइंट (TCP) द्रव्यमान ( $m_K^{TCP}, m_s^{TCP}$ )।
- क्रिटिकल पायियन/लाइट क्वार्क मास ( $m_c^\pi, m_c^{ud}$ ), जो क्रॉसओवर और प्रथम-क्रम ट्रांजिशन को अलग करता है।
- टर्मिनल पायियन मास ( $m_t^\pi$ )।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

SCSB लॉस का समाधान: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि RQM फ्रेमवर्क, जो ChPT स्केलिंग संबंधों से समृद्ध है, बिना किसी ह्यूरिस्टिक समायोजन के पूरे $m_\sigma$ रेंज (400–800 MeV) में स्पोंटेनियस चिरल सिमेट्री ब्रेकिंग को सफलतापूर्वक बनाए रखता है।
ChPT स्कीम्स का तुलनात्मक विश्लेषण: यह Large $N_c$ (RQM-S) और Infrared Regularized (RQM-I) दृष्टिकोणों के बीच एक कठोर तुलना प्रदान करता है, और यह स्थापित करता है कि Large $N_c$ मानक U(3) ChPT इनपुट्स एक भौतिक रूप से श्रेष्ठ ढांचा प्रदान करते हैं।
High $m_\sigma$ व्यवहार: यह अध्ययन बहुत उच्च स्कैलर मास ( $m_\sigma = 750, 800$ MeV) तक चिरल लिमिट विश्लेषण का विस्तार करता है, जो अन्य प्रभावी मॉडलों में अक्सर दुर्गम या समस्याग्रस्त होता है।
Quantitative Benchmarking: परिणामों की तुलना LQCD डेटा और अन्य प्रभावी मॉडल अध्ययनों (FRG, QMVT) के विरुद्ध की जाती है, जिससे क्रिटिकल पायियन मास की सीमा के बारे में एक स्पष्ट चित्र मिलता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

RQM-S की श्रेष्ठता (Superiority of RQM-S):
- RQM-S मॉडल (Large $N_c$ इनपुट्स) वर्टिकल $\mu - m_K$ प्लेन में सैचुरेटेड ट्राइक्रिटिकल लाइन्स (saturated tricritical lines) उत्पन्न करता है। जैसे-जैसे $m_K$ बढ़ता है, रासायनिक क्षमता (chemical potential) $\mu$ स्थिर हो जाती है, जो भौतिक रूप से अपेक्षित है क्योंकि इस रेखा को टू-फ्लेवर चिरल लिमिट से जुड़ना चाहिए।
- इसके विपरीत, RQM-I मॉडल (Infrared Regularized) $m_\sigma \geq 500$ MeV के लिए डाइवर्जेंट ट्राइक्रिटिकल लाइन्स दिखाता है, जहाँ ढलान (slope) काफी बढ़ जाती है और सैचुरेट होने में विफल रहती है। यह दर्शाता है कि Large $N_c$ दृष्टिकोण अधिक सुदृढ़ है।
क्रिटिकल मास शिफ्ट (Critical Mass Shifts):
- जैसे-जैसे $m_\sigma$ 400 से 800 MeV तक बढ़ता है, प्रथम-क्रम ट्रांजिशन क्षेत्र काफी सिकुड़ जाता है।
- RQM-S के लिए, क्रिटिकल पायियन मास $m_c^\pi$ , $m_\sigma=400$ के लिए 134.51 MeV से घटकर $m_\sigma=800$ के लिए 82.07 MeV हो जाता है।
- TCP की सापेक्ष स्थिति ( $m_K^{TCP}/m_K^{Phys}$ ) $m_\sigma=400$ से $m_\sigma=800$ होने पर 0.5016 से घटकर 0.2988 हो जाती है।
अन्य मॉडलों के साथ तुलना:
- RQM-S मॉडल, e-MFA:FRG QM मॉडल और QMVT मॉडल (जो MS रिनॉर्मलाइजेशन और कर्वेचर मास का उपयोग करते हैं) की तुलना में बड़े प्रथम-क्रम क्षेत्र प्रदान करता है।
- उच्च $m_\sigma$ (जैसे $m_\sigma=800$ पर $m_c^\pi \approx 82$ MeV) के लिए RQM-S के परिणाम उन मॉडलों के तुलनीय या उनसे बड़े हैं जिनमें स्ट्रॉन्ग वैक्यूम फ्लक्चुएशन सॉफ्टनिंग होती है, जो इंगित करता है कि RQM-S में ऑन-शेल रिनॉर्मलाइजेशन एक मध्यम (moderate) सॉफ्टनिंग प्रभाव प्रदान करता है, जबकि MS-स्कीम मॉडलों में स्ट्रॉन्ग सॉफ्टनिंग देखी जाती है।
LQCD संगति (LQCD Consistency): RQM-S मॉडल में गणना किए गए क्रिटिकल लाइट क्वार्क मास ( $m_c^{ud} \approx 1.43 - 3.8$ MeV) की सीमा हाल के LQCD अध्ययनों (Möbius domain wall fermions का उपयोग करके) द्वारा सुझाए गए रेंज ( $m_c^{ud} \leq 4$ MeV) के भीतर आती है।

5. महत्व (Significance)

सैद्धांतिक सत्यापन (Theoretical Validation): यह शोध पत्र Large $N_c$ standard U(3) ChPT को चिरल लिमिट के अध्ययन के लिए पैरामीटर्स को फिक्स करने हेतु पसंदीदा इनपुट के रूप में मान्य करता है, जो इन्फ्रारेड रेगुलराइजेशन की तुलना में अधिक सुसंगत भौतिक चित्र प्रदान करता है।
कार्यप्रणाली की सुदृढ़ता (Methodological Robustness): यह On-shell Renormalized QM मॉडल को एक विश्वसनीय उपकरण के रूप में स्थापित करता है जो "loss of SCSB" और अन्य विधियों में मौजूद ह्यूरिस्टिक अस्पष्टताओं से बचता है।
फेनोमेनोलॉजिकल अंतर्दृष्टि (Phenomenological Insight): विभिन्न $m_\sigma$ के लिए कोलंबिया प्लॉट्स को मैप करके, यह अध्ययन स्पष्ट करता है कि स्कैलर मास बढ़ने के साथ चिरल ट्रांजिशन की शक्ति कैसे कम होती है। यह सुझाव देता है कि भले ही $m_\sigma$ उच्च हो (जहाँ ट्रांजिशन कमजोर होता है), प्रथम-क्रम क्षेत्र अन्य मॉडलों की तुलना में महत्वपूर्ण बना रहता है।
Lattice के साथ सेतु: इसके परिणाम क्रिटिकल पायियन मास पर हाल के LQCD प्रतिबंधों के साथ संरेखित होकर एक ठोस सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करते हैं, जिससे चिरल लिमिट में फेज ट्रांजिशन की प्रकृति के संबंध में क्षेत्र में मौजूद विसंगतियों को सुलझाने में मदद मिलती है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र तर्क देता है कि RQM-S मॉडल, जो Large $N_c$ ChPT इनपुट्स और ऑन-शेल रिनॉर्मलाइजेशन का उपयोग करता है, चिरल लिमिट में QCD फेज डायग्राम की खोज के लिए सबसे उन्नत और भौतिक रूप से सुसंगत ढांचा प्रदान करता है।