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Neural and numerical methods for $\mathrm{G}_2$ -structures on contact Calabi-Yau 7-manifolds

यह शोध पत्र एक त्रि-चरणीय संख्यात्मक ढांचे (numerical framework) को प्रस्तुत करता है जो कैलबी-यौ (Calabi-Yau) थ्रीफोल्ड्स पर रिची-फ्लैट मेट्रिक्स का अनुमान लगाने के लिए न्यूरल नेटवर्क का लाभ उठाता है और तत्पश्चात कॉन्टैक्ट कैलबी-यौ सेवन-मैनिफोल्ड्स पर $\mathrm{G}_2$ -स्ट्रक्चर 3-फॉर्म्स और उनके प्रेरित मेट्रिक्स को सीखता है, जो बाह्य अवकलज (exterior derivative) के एक नवीन संख्यात्मक कार्यान्वयन के माध्यम से परिणामों को मान्य करता है।

मूल लेखक: Elli Heyes, Edward Hirst, Henrique N. Sá Earp, Tomás S. R. Silva

प्रकाशित 2026-02-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Elli Heyes, Edward Hirst, Henrique N. Sá Earp, Tomás S. R. Silva

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक उच्च-आयामी बॉक्स के भीतर मौजूद एक रहस्यमय, अदृश्य ब्रह्मांड के आकार को समझने की कोशिश कर रहे हैं। भौतिक विज्ञानी इसे 7-आयामी मैनिफोल्ड (7-dimensional manifold) कहते हैं, और उनका मानना है कि इसमें हमारे ब्रह्मांड के काम करने के तरीके (विशेष रूप से, गुरुत्वाकर्षण और क्वांटम मैकेनिक्स कैसे आपस में मिलते हैं) के रहस्य छिपे हैं।

यह शोध पत्र इस बारे में है कि कैसे शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस अदृश्य आकार की तस्वीरें लेने के लिए एक डिजिटल "AI कैमरा" बनाया, क्योंकि पहले कभी भी कोई इंसान इसे स्पष्ट रूप से देख या बना नहीं पाया था।

यहाँ बताया गया है कि उन्होंने यह कैसे किया, जिसे सरल चरणों में विभाजित किया गया है:

1. समस्या: अदृश्य ब्लूप्रिंट (The Invisible Blueprint)

भौतिकी में, एक विशेष प्रकार का 7-आयामी आकार होता है जिसे $G_2$ -मैनिफोल्ड कहा जाता है। इसे एक बहुत ही जटिल, बहु-परतीय ओरिगामी मूर्तिकला (origami sculpture) की तरह समझें।

यह क्यों महत्वपूर्ण है: यदि आप इस मूर्तिकला के सटीक आकार को समझ सकते हैं, तो आप हमारे ब्रह्मांड में कणों के व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकते हैं।
कठिनाई: ये आकार इतने घुमावदार और जटिल होते हैं कि गणितज्ञ इनका वर्णन केवल अस्पष्ट विचारों या सरल टोपोलॉजिकल "कंकालों" (जैसे यह जानना कि एक बिल्ली के 4 पैर हैं, लेकिन यह नहीं कि वह रोएँदार है या गंजी) के माध्यम से ही कर सकते हैं। उनके पास वह "ब्लूप्रिंट" (मेट्रिक) नहीं है जो आपको सटीक दूरियों और वक्रों (curves) के बारे में बताता है।

2. रणनीति: अंदर से एक घर बनाना (Building a House from the Inside Out)

शोधकर्ता पूरे 7D आकार को शुरुआत से नहीं बना सकते थे, इसलिए उन्होंने एक चतुर तरकीब का उपयोग किया: उन्होंने पहले नींव बनाई।

चरण 1: नींव (The Calabi-Yau Base)।
कल्पना करें कि 7D आकार एक ऊँचा, गोलाकार टॉवर है। टॉवर का निचला हिस्सा एक 6-आयामी आकार है जिसे कैलाबी-यौ (Calabi-Yau) मैनिफोल्ड कहा जाता है। गणितज्ञों ने वास्तव में AI का उपयोग करके इन 6D आधारों के आकार का अनुमान लगाना सीख लिया है।
- उपमा: इसे एक घर के लिए एक आदर्श, सपाट फ्लोर प्लान बनाने के लिए 3D प्रिंटर का उपयोग करने के रूप में सोचें।
चरण 2: दीवारें जोड़ना (The Contact Structure)।
शोधकर्ताओं ने उस सपाट फ्लोर प्लान को लिया और उसे सातवें आयाम में ऊपर की ओर "एक्सट्रूड" (extrude) किया, जिससे यह एक सर्पिल सीढ़ी (spiral staircase) की तरह इसके चारों ओर लिपट गया। यह एक कॉन्टैक्ट कैलाबी-यौ (Contact Calabi-Yau) आकार बनाता है।
- उपमा: कल्पना करें कि आप उस फ्लोर प्लान को एक ट्यूब में रोल करते हैं, और फिर उस ट्यूब को एक सर्पिल में मरोड़ देते हैं। अब आपके पास एक 7D वस्तु है।
चरण 3: AI कैमरा (Neural Networks)।
अब, उन्हें इस सर्पिल ट्यूब की सतह का वर्णन करने की आवश्यकता थी। उन्होंने इस सर्पिल ट्यूब के गणितीय समीकरणों को हाथ से हल करने की कोशिश नहीं की (जो कि आँखों पर पट्टी बांधकर रूबिक क्यूब सुलझाने जैसा है)। इसके बजाय, उन्होंने मशीन लर्निंग का उपयोग किया।
- उन्होंने कंप्यूटर को इस सर्पिल ट्यूब के लाखों बिंदु (points) दिए।
- उन्होंने कंप्यूटर को पैटर्न पहचानना सिखाया: "जब निर्देशांक (coordinates) ऐसे दिखते हैं, तो आकार उस दिशा में मुड़ता है।"
- AI ने किसी भी बिंदु पर (यहाँ तक कि उन बिंदुओं पर भी जिन्हें उसने पहले नहीं देखा था) 3-फॉर्म (एक गणितीय वस्तु जो आकार के "घुमाव" का वर्णन करती है) और मेट्रिक (वह पैमाना जो दूरियों को मापता है) की भविष्यवाणी करना सीख लिया।

3. "जादुई" जाँच: क्या आकार आपस में जुड़ा रहता है? (The "Magic" Check)

सिर्फ इसलिए कि AI ने आकार का अनुमान लगाया है, इसका मतलब यह नहीं है कि वह सही है। शोधकर्ताओं को यह साबित करना था कि AI ने केवल एक भ्रम पैदा नहीं किया है।

बीजगणितीय परीक्षण (The Algebraic Test): उन्होंने जांच की कि क्या हिस्से एक विशिष्ट गणितीय नियम का उपयोग करके आपस में फिट बैठते हैं (जैसे यह जांचना कि क्या पहेली का टुकड़ा अपनी जगह पर ठीक से बैठता है)। AI के अनुमान नियम के साथ लगभग पूरी तरह मेल खाते थे।
"घुमाव" परीक्षण (Torsion Test): भौतिकी में, एक आदर्श आकार में कुछ दिशाओं में "झुकाव" या "घुमाव" (kinks/twists) नहीं होना चाहिए। शोधकर्ताओं ने इन झटकों की जांच करने के लिए "डेरिवेटिव" (एक उपकरण जो मापता है कि चीजें कितनी तेजी से बदलती हैं) के डिजिटल संस्करण का उपयोग किया।
- परिणाम: AI द्वारा बनाया गया आकार अविश्वसनीय रूप से चिकना था। "झटके" (kinks) बहुत छोटे थे—इतने छोटे कि वे संभवतः केवल डिजिटल शोर (noise) थे। इसने सिद्ध किया कि AI ने सफलतापूर्वक इस रहस्यमय 7D दुनिया की ज्यामिति को सीख लिया था।

4. यह एक बड़ी बात क्यों है?

इस शोध पत्र से पहले, हम इन आकारों के बारे में केवल सिद्धांत में बात कर सकते थे। हम जानते थे कि वे अस्तित्व में हैं, लेकिन हम उन्हें "छू" नहीं सकते थे या माप नहीं सकते थे।

उपमा: कल्पना करें कि आप एक नए कार इंजन को डिजाइन करने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आपके पास केवल इंजन के बाहरी रेखा का एक स्केच है। आप जानते हैं कि यह काम करना चाहिए, लेकिन आप ईंधन दक्षता या तनाव बिंदुओं (stress points) की गणना नहीं कर सकते।
ब्रेकथ्रू: इस शोध पत्र ने हमें उस इंजन का एक 3D CAD मॉडल दे दिया है। अब, भौतिक विज्ञानी सिमुलेशन चला सकते हैं, ऊर्जा स्तरों की गणना कर सकते हैं, और देख सकते हैं कि इंजन वास्तव में कैसे प्रदर्शन करता है।

सारांश

शोधकर्ताओं ने आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस का उपयोग करके एक जटिल, 7-आयामी ब्रह्मांड के आकार को सीखने के लिए किया, जो भौतिकी के नियमों को समझने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। उन्होंने एक ज्ञात 6D आकार से शुरुआत की, उसे 7D सर्पिल में लपेटा, और एक न्यूरल नेटवर्क को ज्यामिति को "देखने" के लिए प्रशिक्षित किया। उन्होंने यह सिद्ध करने के लिए कि AI सही था, यह जांचा कि क्या आकार ब्रह्मांड के सभी सख्त गणितीय नियमों का पालन करता है।

यह सैद्धांतिक भौतिकी की कुछ सबसे कठिन पहेलियों को हल करने के लिए कंप्यूटरों का उपयोग करने की दिशा में एक बड़ा कदम है, जो अमूर्त गणित को कुछ ऐसा बना देता है जिसे हम वास्तव में कंप्यूट और एक्सप्लोर कर सकते हैं।

यहाँ "Neural and numerical methods for $G_2$ -structures on contact Calabi–Y–manifolds" शोध पत्र का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र $G_2$ -मैनिफ़ोल्ड्स के लिए स्पष्ट मेट्रिक्स और ज्यामितीय संरचनाएँ प्राप्त करने की महत्वपूर्ण चुनौती को संबोधित करता है।

संदर्भ: $G_2$ -मैनिफ़ोल्ड्स ( $G_2$ हॉलोनोमी समूह वाले 7-आयामी मैनिफ़ोल्ड्स) M-थ्योरी कॉम्पैक्टिफिकेशन के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे 4D प्रभावी सिद्धांतों में न्यूनतम सुपरसिमेट्री (supersymmetry) की अनुमति देते हैं।
बाधा: कैलेबी-याऊ (CY) मैनिफ़ोल्ड्स के विपरीत, जिन्हें बीजगणितीय ज्यामिति के शक्तिशाली उपकरणों और रिची-फ्लैट (Ricci-flat) मेट्रिक्स खोजने के लिए व्यापक संख्यात्मक विधियों का लाभ मिलता है, $G_2$ -मैनिफ़ोल्ड्स में ऐसे उपकरणों का अभाव है। एक टोरशन-फ्री (torsion-free) 3-फॉर्म $\phi$ (जो $d\phi=0$ और $d*\phi=0$ को संतुष्ट करता हो) खोजने के लिए एक अत्यधिक जटिल, गैर-रेखीय आंशिक अवकल समीकरणों (PDEs) के निकाय को हल करना आवश्यक है।
विशिष्ट अंतराल: जबकि $G_2$ -मैनिफ़ोल्ड्स के टोपोलॉजिकल इनवेरियंट्स ज्ञात हैं, स्पष्ट ज्यामितीय डेटा (मेट्रिक्स, साइकल वॉल्यूम, युकावा कपलिंग) अभी भी अप्राप्य है। लेखक एक विशिष्ट वर्ग के $G_2$ -स्ट्रक्चर: कॉन्टैक्ट कैलेबी-याऊ (cCY) मैनिफ़ोल्ड्स पर डिफाइनिंग 3-फॉर्म और प्रेरित मेट्रिक का अनुमान लगाने के लिए मशीन लर्निंग का उपयोग करके इस अंतराल को पाटने का लक्ष्य रखते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक तीन-चरणीय संख्यात्मक और मशीन लर्निंग फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं:

चरण 1: बेस कैलेबी-याऊ मेट्रिक का अनुमान लगाना (Approximating the Base Calabi–Yau Metric)

बेस मैनिफ़ोल्ड: अध्ययन आधार के रूप में $\mathbb{CP}^4$ में फर्मेट क्विंटिक थ्रीफोल्ड (Fermat quintic threefold) पर केंद्रित है।
उपकरण: वे cymetric लाइब्रेरी का उपयोग करते हैं (पूर्व कार्य [12] से), जो CY हाइपरसरफेस पर रिची-फ्लैट मेट्रिक्स का अनुमान लगाने के लिए न्यूरल नेटवर्क का उपयोग करती है।
प्रक्रिया:
- एक न्यूरल नेटवर्क एक मल्टीप्लिकेटिव एंसेत्ज़ (multiplicative Ansatz) का उपयोग करके फ्युबिनी-स्टडी (Fubini–Study) मेट्रिक के पॉइंटवाइज सुधारों को सीखता है: $g_{pred} = g_{FS} + g_{FS} \odot g_{NN}$ ।
- मॉडल को 200,000 बिंदुओं पर प्रशिक्षित किया जाता है जो क्विंटिक से लिए गए हैं, जो मोंज-एम्पियर (Monge–Ampère) समीकरण, केलरिटी (Kählerity) और वॉल्यूम बाधाओं को लागू करने वाला एक मिश्रित लॉस फंक्शन कम करता है।
- सत्यापन: लेखक यह सत्यापित करने के लिए कि अनुमानित केलर फॉर्म $\omega_{pred}$ लगभग क्लोज्ड ( $d\omega \approx 0$ ) है, एक संख्यात्मक एक्सटीरियर डेरिवेटिव (NED) एल्गोरिदम का उपयोग करके एक स्वतंत्र जांच करते हैं, जहाँ वे $O(10^{-1})$ का स्केल-स्वतंत्र रेसिडुअल एरर देखते हैं।

चरण 2: $G_2$ -स्ट्रक्चर डेटा का निर्माण (Constructing the $G_2$ -Structure Data)

ज्यामितीय सेटअप: वे कैलेबी-याऊ लिंक ( $K_f$ ) का निर्माण करते हैं, जो एक 7-आयामी मैनिफ़ोल्ड है जिसे क्विंटिक हाइपरसरफेस और यूनिट स्फीयर $S^9$ के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है। यह लिंक बेस CY थ्रीफोल्ड पर एक $S^1$ -बंडल है।
सैद्धांतिक आधार: प्रपोजिशन 7 का उपयोग करते हुए, वे इस तथ्य का लाभ उठाते हैं कि एक cCY मैनिफ़ोल्ड एक को-क्लोज्ड (coclosed) $G_2$ $G_{2}$ -स्ट्रक्चर (जहाँ $d*\phi=0$ $d * ϕ = 0$ लेकिन $d\phi \neq 0$ $d ϕ \neq = 0$ ) धारण करता है।
- $G_2$ 3-फॉर्म को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $\phi = \eta \wedge \omega + \text{Re}(\Upsilon)$ ।
- यहाँ, $\eta$ कॉन्टैक्ट 1-फॉर्म है, $\omega$ केलर फॉर्म (चरण 1 से) है, और $\Upsilon$ होलोमॉर्फिक वॉल्यूम फॉर्म है।
डेटा जनरेशन:
- मैनिफ़ोल्ड पर बिंदु उत्पन्न करने के लिए बेस CY पर बिंदुओं को सैंपल किया जाता है, उन्हें लिंक पर लिफ्ट किया जाता है, और एक फेज रोटेशन ( $S^1$ एक्शन) लागू किया जाता है।
- इससे 900,000 बिंदुओं का एक डेटासेट प्राप्त होता है (ट्रेन/वैलिडेशन/टेस्ट के लिए 90/5/5 का विभाजन)।
- प्रत्येक बिंदु पर, केलर फॉर्म और होलोमॉर्फिक वॉल्यूम फॉर्म की गणना की जाती है ( $\Upsilon$ के लिए रेसिड्यूज़ के माध्यम से) और पूर्ण 3-फॉर्म $\phi$ , इसका हॉज ड्यूल $\psi$ , और प्रेरित मेट्रिक $g_\phi$ बनाने के लिए उन्हें लिफ्ट किया जाता है।
- संगति जाँच (Consistency Checks): डेटासेट उच्च सटीकता के साथ मौलिक $G_2$ पहचान $\phi \wedge \psi = 7 \text{vol}(g_\phi)$ को सत्यापित करता है।

चरण 3: $G_2$ -स्ट्रक्चर का न्यूरल लर्निंग (Neural Learning of the $G_2$ -Structure)

आर्किटेक्चर: एक डेंस फीड-फॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क को ज्यामितीय निर्देशांकों से टेंसर घटकों के मैपिंग को सीखने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
- इनपुट (19D): लिंक पॉइंट के एम्बिएंट निर्देशांक ( $R^{10}$ ), कॉन्टैक्ट फॉर्म $\eta$ के स्थानीय निर्देशांक ( $R^7$ ), और पैच इंडेक्स (कोऑर्डिनेट चार्ट्स को संभालने के लिए)।
- आउटपुट:
  - मॉडल A ( $\phi$ ): 3-फॉर्म के 35 स्वतंत्र घटकों (एंटीसिमेट्रिक $7\times7\times7$ टेंसर) की भविष्यवाणी करता है।
  - मॉडल B ( $g_\phi$ ): चोलेस्की डीकंपोजिशन ( $g = LL^T$ ) के माध्यम से मेट्रिक के 28 स्वतंत्र घटकों (सिमेट्रिक $7\times7$ टेंसर) की भविष्यवाणी करता है ताकि पॉजिटिव डेफिनेटनेस सुनिश्चित की जा सके।
- प्रशिक्षण: 150 एपॉक्स में MSE लॉस के साथ एडम (Adam) ऑप्टिमाइज़र का उपयोग किया जाता है। टेंसर घटकों के बदलते स्केल्स को संभालने के लिए नॉर्मलाइजेशन लेयर्स लागू की जाती हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

$G_2$ -स्ट्रक्चर का प्रथम संख्यात्मक अनुमान: यह कार्य कॉन्टैक्ट कैलेबी-याऊ लिंक पर डिफाइनिंग 3-फॉर्म और प्रेरित मेट्रिक को अनुमानित करने के लिए न्यूरल नेटवर्क के सफल अनुप्रयोग का पहला उदाहरण प्रस्तुत करता है।
हाइब्रिड संख्यात्मक-ML पाइपलाइन: यह सिम्बोलिक/बीजगणितीय ज्यामिति (लिंक और वॉल्यूम फॉर्म के निर्माण के लिए) को डीप लर्निंग (मेट्रिक अनुमान और इंटरपोलेशन के लिए) के साथ जोड़कर एक मजबूत पाइपलाइन स्थापित करता है।
न्यूरल नेटवर्क के माध्यम से टोरशन का सत्यापन: लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि कैसे प्रशिक्षित न्यूरल नेटवर्क का उपयोग संख्यात्मक एक्सटीरियर डेरिवेटिव (NED) के माध्यम से संख्यात्मक टोरशन ( $d\phi$ और $d\psi$ ) की गणना करने के लिए एक निरंतर फलन के रूप में किया जा सकता है। यह सत्यापित करता है कि सीखा गया स्ट्रक्चर को-क्लोज्ड स्थिति ( $d\psi \approx 0$ ) और विशिष्ट टोरशन संबंध ( $d\phi = \omega \wedge \omega$ ) को संतुष्ट करता है।
सांख्यिकीय विश्लेषण: पेपर प्रशिक्षित टेंसरों का विस्तृत सांख्यिकीय विश्लेषण प्रदान करता है, जिसमें नोट किया गया है कि जहाँ 3-फॉर्म के घटक मल्टीमॉडल वितरण (बीजगणितीय बाधाओं के कारण) प्रदर्शित करते हैं, वहीं मेट्रिक के घटक अधिक स्मूथ होते हैं, जिससे मेट्रिक एक आसान रिग्रेशन लक्ष्य बन जाता है।

4. परिणाम (Results)

सटीकता (Accuracy):
- 3-फॉर्म मॉडल: टेस्ट MSE $1.54 \times 10^{-6}$ और पीयरसन कोरिलेशन कोएफिशिएंट (PMCC) $\approx 1$ प्राप्त किया।
- मेट्रिक मॉडल: टेस्ट MSE $2.28 \times 10^{-6}$ और PMCC $\approx 1$ प्राप्त किया।
टोरशन सत्यापन (Torsion Verification):
- प्रशिक्षित मॉडलों का उपयोग करके एक्सटीरियर डेरिवेटिव की गणना करते हुए, लेखकों ने पाया:
  - $\|d\psi\| = 0.074 \pm 0.036$ (को-क्लोज्ड स्थिति $d*\phi=0$ की पुष्टि करता है)।
  - $\|d\phi\| / \|\omega \wedge \omega\| = 2.77 \pm 0.98$ (cCY मैनिफ़ोल्ड्स के लिए विशिष्ट टोरशन संबंध की पुष्टि करता है)।
  - $\phi \wedge \psi / \text{vol}(g_\phi)$ का अनुपात सैद्धांतिक मान 7 के आसपास स्थिर रहा।
इंटरपोलेशन: प्रशिक्षित नेटवर्क स्मूथ इंटरपुलेंट्स प्रदान करते हैं, जिससे मूल प्रशिक्षण डेटासेट में मौजूद नहीं होने वाले बिंदुओं पर भी ज्यामितीय मात्राओं का मूल्यांकन संभव होता है।

5. महत्व और भविष्य की संभावनाएं (Significance and Future Prospects)

सिद्धांत और गणना के बीच सेतु: यह कार्य प्रदर्शित करता है कि मशीन लर्निंग प्रभावी रूप से विलक्षण हॉलोनोमी ज्योमेट्री (exceptional holonomy geometries) की जटिल गैर-रेखीयताओं को संभाल सकती है, जो M-थ्योरी कॉम्पैक्टिफिकेशन में पहले अप्राप्य भौतिक मात्राओं (जैसे साइकल वॉल्यूम और युकावा कपलिंग) की गणना के द्वार खोलती है।
फ्लो के लिए आधार: सीखे गए मेट्रिक्स ज्यामितीय प्रवाह (जैसे लैपलेसियन को-फ्लो) के लिए उच्च-गुणवत्ता वाले प्रारंभिक डेटा के रूप में कार्य करते हैं। लेखक भविष्य के कार्य में फिजिक्स-इंफॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स (PINNs) का उपयोग करके इन को-क्लोज्ड स्ट्रक्चर्स को पूरी तरह से टोरशन-फ्री $G_2$ -हॉलोनोमी मेट्रिक्स की ओर विकसित करने का प्रस्ताव देते हैं।
स्केलेबिलिटी: यह फ्रेमवर्क केवल फर्मेट क्विंटिक तक सीमित नहीं है; इसे अन्य वेटेड प्रोजेक्टिव कैलेबी-याऊ बेस तक विस्तारित किया जा सकता है, जिससे $G_2$ -मैनिफ़ोल्ड्स के परिदृश्य के व्यवस्थित अन्वेषण में मदद मिलेगी।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सफलतापूर्वक $G_2$ -मैनिफ़ोल्ड्स के लिए एक "संख्यात्मक ज्यामिति" टूलकिट स्थापित करता है, यह सिद्ध करता है कि न्यूरल नेटवर्क M-थ्योरी कॉम्पैक्टिफिकेशन के लिए आवश्यक जटिल बीजगणितीय और अवकल संरचनाओं को सीख और सत्यापित कर सकते हैं।